CAUCHY DẠNG PHÂN THỨC tan tran June 2021 Luyện tập Bài Cho số thực không âm a,b,c cho khơng có hai số Chứng minh rằng: a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) + + ≥1 b2 + c c + a2 a + b2 Bài Cho số thực dương a,b,c Chứng minh rằng: a2 1 + + ≥ 2 + ab + b b + bc + c c + ca + a (a + b + c)2 Bài Cho số thực không âm a,b,c cho khơng có hai số Chứng minh rằng: b2 c2 a2 + + ≤ (2a + b)(2a + c) (2b + c)(2b + a) (2c + a)(2c + b) Bài Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 4a2 + b2 + c2 4b2 + c2 + a2 4c2 + b2 + a2 Bài Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≤ c+1 a+1 b+1 Bài Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 + + ≥ + 5b + 5c + 5a2 Bài Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: 1 + + ≤ − ab − bc − ca Bài Cho số thực không âm a,b,c cho khơng có hai số Chứng minh rằng: ab ab + bc + ca bc ca + + + ≥ 2 2 (a + b) (b + c) (c + a) a + b + c2 Bài Cho số thực không âm a,b,c cho khơng có hai số Chứng minh rằng: b(c + a) c(a + b) a(b + c) + + ≥2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 a2 + ab + b2 Bài 10 Cho số thực không âm a,b,c cho khơng có hai số đồng thời Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≤ 2 2 5a + (b + c) 5b + (c + a) 5c + (a + b) Bài 11 Cho số thực không âm a,b,c cho khơng có hai số đồng thời 0.Chứng minh rằng: a2 a b c + + ≥ + 8bc b + 8ca c + 8ab a+b+c Bài 12 Cho số thực khơng âm a,b,c cho khơng có hai số đồng thời Chứng minh rằng: (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 + + ≥2 4a2 + b2 + c2 4b2 + c2 + a2 4c2 + a2 + b2 Bài 13 Cho số thực dương a,b,c Chứng minh rằng: 1 a) + + ≤ 11a2 + 2b2 + 2c2 11b2 + 2c2 + 2a2 11c2 + 2a2 + 2b2 5(ab + bc + ca) 1 1 b) + + ≤ + 4a + b2 + c2 4b2 + c2 + a2 4c2 + b2 + a2 2(a2 + b2 + c2 ) ab + bc + ca Bài 14 Cho số thực không âm a,b,c cho khơng có hai số đồng thời Chứng minh rằng: a2 − bc b2 − ca c2 − ab + + ≥0 2a2 + b2 + c2 2b2 + c2 + a2 2c2 + a2 + b2 Bài 15 Cho số thực không âm a,b,c cho khơng có hai số đồng thời Chứng minh rằng: a2 + bc b2 + ca c2 + ab (a + b + c)2 a) + + ≥ b + c2 c + a2 a2 + b a + b2 + c 2 2 6(ab + bc + ca) a + 3bc b + 3ca c + 3ab + + ≥ b) b + c2 c + a2 a2 + b a2 + b + c Bài 16 Cho số thực không âm a,b,c Chứng minh 1 1 1 + + ≥ + + 2ab + 2bc + 2ca + a +2 b +2 c +2