lec10 vtp1 20 21 tpsuyrong

TÍCH PHÂN SUY RỘNG LEC 10 VI TÍCH PHÂN HK1, 2020-2021 NGUYỄN VĂN THÙY nvthuy@hcmus.edu.vn TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI +∞ 𝑡 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≔ lim න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡→+∞ 𝑎 𝑎 • Nếu giới hạn vế phải tồn hữu hạn tích phân suy rộng vế trái gọi hội tụ Ngược lại, tích phân suy rộng gọi phân kỳ Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 𝑎 𝑎 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≔ lim න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡→−∞ +∞ −∞ 𝑎 𝑡 +∞ න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≔ න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (∗) −∞ −∞ 𝑎 • Chú ý: hai tích phân vế phải (*) phân kỳ tích phân vế trái phân kỳ Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Ví dụ +∞ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐼1 = න ; 𝐼2 = න 1+𝑥 + 𝑥2 −∞ • Ví dụ +∞ 𝑑𝑥 𝐼= න + 𝑥2 −∞ Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Ví dụ +∞ 𝐼 = න 𝑒 −2𝑥 𝑥 + 𝑑𝑥 • Ví dụ 𝐼 = න 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 −∞ Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • [2018-2019] Tính tích phân +∞ 𝑑𝑥 න 𝑥 + 2𝑥 • [2017-2018] Tính tích phân +∞ 𝐼=න Vi tich phan 1, 2020-2021 −𝑥 𝑥𝑒 +∞ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ; 𝐽 = න 𝑥 +𝑥 2𝜋 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • [2014-2015] +∞ −𝑥 𝐼=න 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 • [2014-2015] +∞ 𝐼 = න 𝑥+𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • [2013-2014] +∞ 𝑑𝑥 𝐼= න 𝑥 − 4𝑥 + 100 • [2012-2013] +∞ arctan 𝑥 𝐼=න 𝑑𝑥 3/2 1+𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • [2011-2012] +∞ 𝑑𝑥 𝐼=න 𝑥 +1 • [2015-2016] +∞ 𝑑𝑥 𝐼=න 𝑥2 + Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ • Ví dụ Với 𝛼 ∈ ℝ, 𝑎 > HỘI TỤ ⇔ 𝛼 > +∞ 𝑑𝑥 𝐼=න 𝛼 𝑥 𝑎 PHÂN KỲ ⇔ 𝛼 ≤ • Chứng minh (Bài tập) Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 10 TIÊU CHUẨN SO SÁNH • Định lý Nếu 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ≥ 𝑎 𝑓(𝑥) lim = 𝐿 > 0, 𝐿 < +∞ 𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) hai tích phân suy rộng sau có tính chất +∞ +∞ න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑎 Nguyen Van Thuy, University of Science 11 BÀI TẬP • Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân +∞ 2𝑥 + 𝐼=න 𝑑𝑥 𝑥 +2 • [2014-2015] Khảo sát hội tụ +∞ 𝑥2 + 𝐼= න 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥+2 𝑥+3 2014 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 12 BÀI TẬP • [2014-2015] Khảo sát hội tụ +∞ 𝑥3 + 𝑥 𝑥 + + 𝐼= න 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑥+1 𝑥+2 𝑥 𝑥+3 100 • [2015-2016] Khảo sát hội tụ +∞ 𝐼= න −1 Vi tich phan 1, 2020-2021 3𝑥 + 𝑥 + 𝑥4 + 𝑥2 + Nguyen Van Thuy, University of Science 𝑑𝑥 13 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Định nghĩa: Nếu hàm 𝑓 khả tích đoạn 𝑡; 𝑏 với 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 lim+ 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑎 Khi 𝑏 𝑏 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≔ lim+ න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡→𝑎 𝑎 𝑡 • Nếu giới hạn vế phải tồn hữu hạn, tích phân gọi hội tụ; ngược lại, tích phân gọi phân kỳ Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 14 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Ví dụ Tính 𝑑𝑥 𝐼=න 𝑥 • [2018-2019] Tính 𝑒 න Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 Nguyen Van Thuy, University of Science 15 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Chú ý: 𝑓(𝑥) không liên tục c với 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 𝑏 𝑐 𝑏 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≔ න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑐 • Chú ý: Nếu hai tích phân vế phải phân kỳ tích phân vế trái phân kỳ Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 16 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Ví dụ Tính 𝑑𝑥 𝐼= න 𝑥 −1 • [2017-2018] Tính tích phân 𝐼=න Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑑𝑥 3−𝑥 2.5 ;𝐽 = න Nguyen Van Thuy, University of Science 𝑑𝑥 − 2𝑥 17 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Ví dụ Tính 𝐼=න 𝑑𝑥 − 𝑥2 • Ví dụ Tính 𝐼 = න ln 𝑥 𝑑𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 18 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Ví dụ 𝑏 Hội tụ ⇔ 𝛼 < 𝑑𝑥 𝐼=න (𝑥 − 𝑎)𝛼 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 𝐽=න (𝑏 − 𝑥)𝛼 𝑎 (𝑎 < 𝑏, 𝛼 ∈ ℝ) Vi tich phan 1, 2020-2021 Phân kỳ ⇔ 𝛼 ≥ • Chứng minh: Bài tập Nguyen Van Thuy, University of Science 19 TIÊU CHUẨN SO SÁNH • Định lý Nếu 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑔 𝑥 ≥ 0∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏], 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 → +∞ 𝑥 → 𝑎+ 𝑓(𝑥) lim+ = 𝐿 > 0, ℎữ𝑢 ℎạ𝑛 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) Thì hai tích phân sau có tính chất 𝑏 𝑏 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑎 Nguyen Van Thuy, University of Science 20 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • Ví dụ Khảo sát hội tụ 𝐼=න 𝑒 𝑥 −1 𝑑𝑥 𝑥 • Ví dụ Khảo sát hội tụ ln(1 + 𝑥) 𝐽=න 𝑑𝑥 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 21 BÀI TẬP TỔNG HỢP • Ví dụ Tính tích phân +∞ න 𝑑𝑥 𝑥 1+𝑥 • Ví dụ Tính tích phân +∞ න Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑥 𝑥2 − 𝑑𝑥 Nguyen Van Thuy, University of Science 22 ... phan 1, 202 0 -202 1 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI • [201 8 -201 9] Tính tích phân +∞