Về các dãy hồi quy tuyến tính .pdf

Về các dãy hồi quy tuyến tính .pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Hoàng Thanh Nghị VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THANH NGHỊ VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2008 Lời nói đầu Lý thuyết dÃy hồi quy tuyến tính hướng nghiên cứu truyền thống số học Nhiều dÃy số quan trọng định nghĩa qua dÃy hồi quy Nổi tiếng số dÃy số số Fibonacci, số Lucas Mặc dù có lịch sử phát triển lâu đời, số Fibonacci Lucas chứa đựng nhiều tính chất thú vị chưa biết đến, luôn đề tài trọng tâm lý thuyết số đại Bản luận văn nhằm giới thiệu lý thuyết dÃy hồi quy tuyÕn tÝnh nãi chung, mét sè tÝnh chÊt cæ ®iĨn cđa d·y sè Fibonacci, cịng nh­ mét sè tÝnh chất phát gần (2007) số Lucas Bố cục luận văn sau: Chương "Lý thuyết đồng dư" dành để giới thiệu khái niệm, tính chất lý thuyết ®ång d­, ®ång d­ tuyÕn tÝnh, ®Þnh lý FÐcma bÐ, số giả nguyên tố, nhằm phục vụ cho chứng minh sau Chương "Các quan hệ hồi quy" đà ®­a c¸c kh¸i niƯm vỊ c¸c quan hƯ håi quy, phương trình đặc trưng quan hệ hồi quy tun tÝnh hƯ sè h»ng råi tõ ®ã ®­a nghiệm tổng quát cho trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm bội nghiệm bội Ngoài chương trình bày khái niệm dÃy số Fibonacci số tính chất cổ điển dÃy số Chương "Một số tính chất số học số Lucas" nhằm trình bày số kết gần dÃy Lucas Cụ thể Định lý tồn số phương dÃy Lucas đặc trưng số Lucas giả nguyên tố không phương Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Nhờ Thầy đà bước đầu làm quen say mê với Toán học Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lÃnh đạo khoa Toán, khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái Nguyên, thầy cô giáo đà trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập Tôi biết ơn BGH Trường CĐ Kinh tế Kỹ thuật Điện Biên đồng nghiệp đà tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Tôi xin cảm ơn người thân, bạn bè đà cổ vũ động viên trình làm luận văn Chương Lý thuyết đồng dư 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa môđulô Khi Giả sử a, b số nguyên Ta nói a đồng dư víi b m nÕu m|(a − b) a ®ång d­ với b môđulô m, ta viết a b(modm) Nếu a không đồng dư b môđulô m, ta viết a b(modm) Nếu a tồn số nguyên k cho 1.1.2 Mệnh đề Chứng minh số nguyên Giả sử b số nguyên a ≡ b(modm) vµ chØ a = b + km a b(modm) Khi m|(a b), tức a b = km với k Ngược lại, tồn số nguyên k cho a = b + km m|(a − b), tøc lµ a b(modm) 1.1.3 Mệnh đề Giả sử m số nguyên dương Quan hệ đồng dư môđulô m thoả mÃn tính chất sau đây: 1) (Tính chất phản xạ) Nếu a số nguyên, a a(modm) 2) (Tính chất đối xứng) Giả sử a b(modm) b a(modm) a b số nguyên Khi đó, 3) (Tính chất bắc cầu) Giả sử a, b c số nguyên Khi đó, a b(modm), b c(modm) a c(modm) Chứng minh 2) Giả sử 1) Ta cã a ≡ a(modm) v× m|(a − a) a b(modm), tức m|(a b) Khi đó, m|(b − a) vµ b ≡ a(modm) 3) NÕu a ≡ b(modm), b c(modm) m|(a b) m|(b c) Do đó, m|(a c) (a c) = (a − b) + (b − c) Nhê tính chất trên, với số nguyên dương hợp số nguyên thành lớp đồng dư môđulô thuộc vào lớp đồng dư môđulô môđulô m, ta chia tập m Hai số nguyên m chúng đồng dư với m 1.1.4 Định nghĩa Một hệ thặng dư đầy đủ môđunlô m tập hợp số nguyên cho số nguyên tuỳ ý đồng dư môđunlô m với mét sè cđa tËp hỵp VÝ dơ: 1) TËp hỵp số 0, 1, , m hệ thặng dư đầy đủ môđulô m Hệ gọi hệ thặng dư không âm bé môđulô m 2) Giả sử m số nguyên lẻ Khi tập hợp số nguyên m1 m3 m3 m−1 ,− , , 0, 1, , , 2 2 hệ thặng dư đầy đủ, gọi hệ thặng dư tuyệt đối bé môđulô 1.1.5 Định lý Giả sử m a, b, c m số nguyên, m > a b(modm) Khi ®ã: 1) a + c ≡ b + c(modm), 2) a − c ≡ b − c(modm), 3) ac bc(modm) Chứng minh nên Vì a b(modm) nªn m|(a − b) Do (a + c) − (b + c) = a − b m|[(a + c) − (b a)]: 1) chứng minh Tương tự 2) suy từ chỗ (a c) (b − c) = a − b §Ĩ chøng minh 3) ta chó ý r»ng ac − bc = c(a − b) nªn tõ m|(a − b) suy m|c(a b), tức ac bc(modm) Tuy nhiên, nói chung làm phép chia hai vế đồng dư cho số Chẳng hạn 2002 4(mod6) 1.1.6 Định lý 2002 = 1001 6= 2(mod6) Giả sử a, b, c m số nguyên, m > ac bc(modm) d = (c, m) Khi ®ã ta cã a ≡ b(mod Chứng minh Giả sử tồn số nguyên m ) d ac ≡ bc(modm) Ta cã m|(ac − bc) = c(a − b) Do ®ã k cho c(a − b) = km Chia hai vÕ cho d ta ®­ỵc: c m (a − b) = k d d   c m m V× , = nên từ suy |(a b), tức d d d m a ≡ b(mod ) d VÝ dơ: 2002 ≡ 2(mod5) Do (2, 5) = nªn ta có 1001 1(mod5) Định lý sau hệ định lý 1.1.6 1.1.7 Định lý Nếu a, b, c m số nguyên, cho m > 0, (c, m) = 1, ac bc(modm) Khi a b(modm) Định lý 1.1.7 mở rộng thành định lý sau đây, cho ta thÊy r»ng cã thĨ lµm mét sè phÐp tÝnh số học lớp đồng dư số nguyên 1.1.8 Định lý Nếu a, b, c, d m số nguyên, m > 0, a ≡ b(modm), c ≡ d(modm) Khi ®ã: 1) a + c ≡ b + d(modm), 2) a − c ≡ b − d(modm), 3) ac ≡ bd(modm) Chứng minh Vì a b(modm), c d(modm) nên m|(a b), m|(c d) Do tồn số nguyên k l cho km = a − b, lm = c − d §Ĩ chøng minh 1), ta nhËn xÐt r»ng (a+c)−(b+d) Do ®ã = km+lm = (k+l)m m|[(a + c) − (b + d)] tức a + c b + d(modm) Để chøng minh 2) ta chó ý r»ng (a − c) − (b − d) = (a − b) − (c − d) = km−lm = (k−l)m Do ®ã m|[(a−c)−(b−d)], tøc ac bd(modm) Để chứng minh 3), ta thấy ac−bd = ac−bc+bc−bd = c(a−b)+b(c−d) = ckm + blm, tøc m|(ac bd) Do ac bd(modm) 1.1.9 Định lý Giả sử số nguyên dương r1 , r2 , , rm hệ đầy đủ thặng dư môđulô (a, m) = Khi ar1 + b, ar2 + b, , arm + b còng hệ thặng dư đầy đủ môđulô Chứng minh m Trước tiên ta rằng, số nguyªn ar1 + b, ar2 + b, , arm + b hai số đồng dư môđulô m ThËt vËy, nÕu arj + b ≡ ark + b(modm) th× arj ≡ ark (modm) Do (a, m) = nên theo định lý 1.1.7 ta có rj rk (modm) m, a V× rj 6≡ rk (modm) nÕu j 6= k nªn ta suy j = k Do tập hợp số nguyên gồm m số nguyên không đồng dư môđulô m nên số nguyên lập thành hệ thặng dư đầy đủ môđulô m Định lý sau cho thấy rằng, đồng dư bảo toàn hai vế nâng lên luỹ thừa nguyên dương 1.1.10 Định lý Giả sử a, b, k, m số nguyên, đồng thời k > 0, m > 0, a ≡ b(modm) Khi ®ã ak ≡ bk (modm) Chøng minh Do a ≡ b(modm), ta cã m|(a − b) V× ak − bk = (a − b)(ak−1 + ak−2 b + + abk−2 + bk−1 ) nªn (a − b)|(ak − bk ) VËy m|(ak − bk ), tøc ak bk (modm) Trong trường hợp số a, b đồng dư môđulô nhiều số nguyên dương khác nhau, ta kết hợp lại theo định lý sau 1.1.11 Định lý Giả sử a ≡ b(modm1 ), a ≡ b(modm2 ), , a ≡ b(modmk ), a, b, m1 , , mk sè nguyªn, m1 , m2 , , mk > Khi ®ã a ≡ b(mod[m1 mk ]) ®ã [m1 mk ] lµ béi chung nhá nhÊt cđa m1 , , mk Chøng minh cã V× a ≡ b(modm1 ), a ≡ b(modm2 ), , a ≡ b(modmk ), nªn ta m1 |(a − b), m2 |(a − b), , mk |(a − b) Tõ ®ã suy r»ng [m1 , m2 , , mk ]|(a − b), tøc a b(mod[m1 mk ]) 10 1.1.12 Hệ Giả sử a b(modm1 ), a b(modm2 ), , a ≡ b(modmk ), a, b nguyªn, m1 , m2 , , mk số nguyên dương nguyên tố cặp Khi a ≡ b(modm1 mk ) Chøng minh Do m1 , m2 , , mk số nguyên dương nguyên tố cặp nên ta có [m1 m2 mk ] = m1 m2 mk hệ suy trực tiếp từ định lý 1.1.11 1.2 Đồng dư tuyến tính Một đồng dư dạng ax b(modm), biến x số nguyên chưa biết, gọi đồng dư tuyến tính Ta thấy rằng, việc nghiên cứu đồng dư hoàn toàn tương tự việc nghiên cứu phương trình nghiệm nguyªn hai biÕn Tr­íc tiªn ta nhËn xÐt r»ng nÕu x = x0 nghiệm đồng dư ax b(modm) x1 x0 (modm), ax1 ax0 b(modm), nên x1 nghiệm Như vậy, phần tử lớp đồng dư môđulô m nghiệm, phần tử lớp nghiệm Vì đặt câu hỏi: m lớp đồng dư môđulô, có lớp cho nghiệm, hay cách tương đương, có nghiệm không đồng dư môđulô m 1.2.1 Định lý Giả sử a, b, m số nguyên, d |b đồng dư ax b(modm) vô nghiệm m>0 Nếu (a, m) = d NÕu d|b th× ax ≡ b(modm) cã d nghiệm không đồng dư môđulô m Chứng minh Số nguyên x nghiệm đồng dư ax b(modm) tồn số nguyên Vậy, y cho ax − my = b V× d = (a, m) nên d|b d |b đồng dư xét không tồn nghiệm 11 ... - 2008 Lêi nói đầu Lý thuyết dÃy hồi quy tuyến tính hướng nghiên cứu truyền thống số học Nhiều dÃy số quan trọng định nghĩa qua c¸c d·y håi quy Nỉi tiÕng nhÊt sè dÃy số số Fibonacci, số Lucas... nguyên tố, nhằm phục vụ cho chứng minh sau Chương "Các quan hệ hồi quy" đà đưa khái niệm quan hệ hồi quy, phương trình đặc trưng quan hệ hồi quy tuyến tÝnh hƯ sè h»ng råi tõ ®ã ®­a nghiƯm tổng quát...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THANH NGHỊ VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI