2 Xác định giao điểm của đường thẳng DM với mặt phẳng SAC.. 3 Chứng minh đường thẳng CM song song với mặt phẳng SAD.[r]
(1)TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI TỔ TOÁN KIỂM TRA HỌC KÌ NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình cos x + = 2) Giải phương trình sin x − cos x = −1 3) Giải phương trình tan2 x + tan x − = Câu (1,0 điểm) n Cho khai triển (2x + 1) = a + a1x + + an x n , đó n ∈ * và các số a , a1, , an 1 thỏa mãn hệ thức a + a1 + a2 + ⋅⋅⋅ + n an = 2048 Tìm n và a Câu (1,5 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD có tâm O Gọi G trọng tâm tam giác ABC ; B ′ là ảnh điểm B qua phép quay tâm O góc −900 ; B ′′ là ảnh điểm B qua phép vị tự tâm G tỉ số k = −2 Hãy xác định B ′ và B ′′ 2) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x + y − 2x + 4y − 20 = Gọi (C ′) là ảnh đường tròn (C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1;2) Viết phương trình đường tròn (C ′) Câu (1,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình hình thang vuông A và D , AB = 2CD Gọi M trung điểm cạnh SB 1) Vẽ hình biểu diễn hình chóp đã cho 2) Xác định giao điểm đường thẳng DM với mặt phẳng (SAC ) 3) Chứng minh đường thẳng CM song song với mặt phẳng (SAD ) Câu (1,0 điểm) Cho dãy số (un ) , biết u1 = 1, un +1 = 2un với n ≥ Tính tổng S = u20 + u21 + u22 + u23 + u24 + u25 Câu (2,0 điểm) 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi khác nhau? 2) Trong lớp học gồm có 25 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam và nữ -HẾT Học sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên học sinh: Lớp: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: (2) KIỂM TRA HỌC KÌ NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI TỔ TOÁN Đáp án này có 03 trang ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Câu (3 điểm) Nội dung (1 điểm) Giải phương trình cos Điểm x + = x x + = ⇔ cos = − 2 x ⇔ = ± arccos − + k 2π 0.25 Ta có : cos ⇔x =± 0.25 5π + k 4π , k ∈ 0.5 (1 điểm) Giải phương trình sin x − cos x = −1 Ta có: sin x − cos x = sin (x + ϕ ) , đó cos ϕ = , sin ϕ = − 2 π π Ta chọn ϕ = − , từ đó sin x − cos x = sin x − 3 0,25 0,25 Do đó, sin x − cos x = −1 ⇔ sin x x − π = − π + k 2π π − = − ⇔ π 3 x − = π + π + k 2π x = π + k 2π ⇔ x = 3π + k 2π 0,25 0,25 (1 điểm) Giải phương trình tan2 x + tan x − = Đặt t = tan x , phương trình đã cho trở thành 3t + 3t − = (1) 0,25 + kπ 0,25 Phương trình (1) có hai nghiệm t1 = − và t2 = Với t = − ta tan x = − ⇔ x = − Với t = π 3 ta tan x = ⇔ x = arctan + kπ 3 ĐS: x = − + k π và x = arctan + kπ , k ∈ Câu (1 điểm) π n Xét khai triển (1 + 2x ) = a + a1x + + an x n với x = 0,25 , ta có: 0,25 (3) n 1 1 a + a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n an = 1 + ⋅ = 2n 0.25 Suy 2n = 2048 ⇔ 2n = 211 ⇔ n = 11 Số hạng tổng quát khai triển là: C 11k (2x )k = 2k C 11k x k (với k = 0, ,11 ) 0.25 0.25 Suy a = 28C 118 = 42240 0.25 ( ) Câu (1,5 điểm) (0.5 điểm) A B C B G (0,−90 ) ( O D C D B ) = C (Hình 1) Q G O (0,−90 ) ( Q A Hình Hình Vì GD = −2GB nên V(G ,−2)(B ) = D (1.0 điểm) (C ) có tâm I (1; −2) và bán kính R = B ) = A (Hình 2) (Lưu ý: học sinh nêu trường hợp và có hình vẽ cho đủ 0,25 điểm) Gọi I ′(x ′; y ′) = T (I ) Theo biểu thức tọa độ phép tịnh tiến ta có 0.25 0.25 0.25 0.25 u x ′ = + = Vậy I ′(2; 0) ′ y = −2 + = Theo tính chất phép tịnh tiến, đường tròn (C ′) có cùng bán kính với đường tròn (C ) Suy (C ′) có phương trình (x − 2) + y = 25 0.25 0.25 Câu (1,5 điểm) Vẽ hình biểu diễn hình chóp S ABCD Lưu ý: Trên hình biểu diễn S AB +) AD BC và tỉ số = , vẽ đúng nét CD khuất (0.25); +) Góc A và D không phải là góc vuông (0,25) 0.5 B A D C Xác định giao điểm đường thẳng DM với mặt phẳng (SAC ) S +) Chọn (SBD ) là mp chứa DM ; +) Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thang ABCD Ta có: M N SO = (SBD ) ∩ (SAC ) +)Trong mặt phẳng (SBD ) , hai đường thẳng DM và SO cắt nhau, I B A ta gọi I = DM ∩ SO Suy I = DM ∩ (SAC ) O D C 0.25 0.25 (4) (0.5 điểm) Gọi N là trung điểm SA Vì MN là đường trung bình tam giác SAB nên 1 MN AB và MN = AB Ta lại có CD AB và CD = AB (gt) Suy 2 tứ giác MNDC là hình bình hành Từ đó MC ND Ta có: MC ⊄ (SAD ) MC ND ⇒ MC (SAD ) ND ⊂ (SAD ) Câu (1,0 điểm) Cho dãy số (un ) , biết u1 = 1, un +1 = 2un với ∀ n ≥ … Vì un +1 = 2un , ∀ n ≥ nên (un ) là cấp số nhân có công bội q = Ta có S = S 25 − S19 = = u1(1 − q 25 ) −q − u1(1 − q 19 ) 0.25 0.25 0.25 0.5 1−q (1 − 225 ) (1 − 219 ) − = 33030144 1−2 1−2 0.25 Câu (2,0 điểm) ( 1.0 điểm) Để lập số tự nhiên n = abcd thoả điều kiện bài toán, ta phải thực liên tiếp công đoạn: Công đoạn Chọn d ∈ {2, 4, 6, 8} , có cách; 0.25 Công đoạn Chọn c ∈ {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \ {d } , có cách; Công đoạn Chọn b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \ {d, c } , có cách; 0.5 Công đoạn Chọn a ∈ {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \ {d, b, c } , có cách Theo Quy tắc nhân, ta có × × × = 1344 cách lập số tự nhiên thoả mãn điều kiện bài toán ( 1.0 điểm) Số cách chọn học sinh lớp là C 353 = 6545 Số cách chọn học sinh có nam và nữ là: C 25 ×C 102 + C 252 ×C 101 = 4125 Xác suất cần tính là P = 4125 75 = 6545 119 HẾT 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (5)