1 Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết ,[r]
(1)PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A B A B 0 A B A B 0 1/Định nghĩa 2/Tính chất + A>B B A + A>B và B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > A.C > B.C + A>B và C < A.C < B.C + < A < B và < C <D < A.C < B.D n n + A > B > A > B n n n + A > B A > B với n lẻ A B n n + > A > B với n chẵn m n + m > n > và A > A > A m n + m > n > và <A < A < A +A < B và A.B > 1 A B 3/Một số bất đẳng thức + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A ( dấu = xảy A = ) + A 0 A + - với A (dấu = xảy A = ) <A= A + AB A B + A B A B ( dấu = xảy A.B > 0) ( dấu = xảy A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : 2 a) x + y + z xy+ yz + zx 2 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz 2 c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: 2 a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = 2 ( x + y + z - xy – yz – zx) 2 = ( x y ) ( x z ) ( y z ) 0 đúng với x;y;z R Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu xảy x=y 2 (2) (x-z)2 0 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 0 với z; y Dấu xảy z=y 2 Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z 2 2 2 b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 0 đúng với x;y;z R 2 Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z R Dấu xảy x+y=z 2 2 2 c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 2 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2 b2 a b ; a) b) a b2 c2 a b c 3 c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu a2 b2 a b 2 a2 b2 a 2ab b 1 a b 0 2a 2b a b 2ab 4 = =4 =4 a2 b2 a b Vậy Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2 b2 c2 a b c a b2 c2 a b c 2 a b b c c a 0 3 3 =9 Vậy Dấu xảy a = b =c a12 a 22 a n2 a1 a a n n n c)Tổng quát Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B 2 Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A B 2 2 Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: m2 m2 m2 m2 mn n mp p mq q m 1 0 2 2 m m m m n p q 1 0 2 2 2 2 (luôn đúng) m n 0 m m n p 0 2 m p m q 0 m 2 q m 2 m m n p q 1 Dấu xảy (3) Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta luôn có : a +b4 + c ≥abc (a+ b+c ) Giải: Ta có : a +b4 + c ≥abc (a+ b+c ) , ∀ a , b , c> ⇔ a4 + b4 + c − a2 bc − b2 ac − c ab ≥ 4 2 ⇔ a +2 b +2 c − a bc − 2b ac − c ab ≥ 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ ( a −b ) + 2a b + ( b − c ) +2 b c + ( c −a ) + 2a c −2 a2 bc −2 b2 ac −2 c ab ≥ 2 ⇔ ( a2 − b2 ) + ( b − c 2) + ( c − a2 ) +(a2 b 2+ b2 c −2 b2 ac)+(b2 c 2+ c a2 −2 c ab) +( a2 b 2+ c a −2 a ab) ≥0 2 ⇔ ( a2 − b2 ) + ( b − c 2) + ( c − a2 ) + ( ab − bc )2 + ( bc −ac )2 + ( ab −ac )2 ≥ Đúng với a, b, c Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng Nếu A < B ⇔ C < D , với C < D là bất đẳng thức hiển nhiên, đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B Chú ý các đẳng thức sau: A B A AB B A B C A B C AB AC BC A B A3 A B AB B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh a2 b2 ab a) 2 b) a b ab a b 2 2 c) a b c d e a b c d e Giải: a) a2 b2 ab 4a b 4ab 4a 4a b 0 2a b 0 a2 b2 ab (BĐT này luôn đúng) Vậy (dấu xảy 2a=b) 2 2 b) a b ab a b 2(a b 2(ab a b) a 2ab b a 2a b 2b 0 (a b) (a 1) (b 1) 0 Bất đẳng thức cuối đúng 2 Vậy a b ab a b Dấu xảy a=b=1 2 2 2 2 2 c) a b c d e a b c d e 4 a b c d e 4a b c d e 2 2 2 2 a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c 0 2 2 a 2b a 2c a 2d a 2c 0 Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh 10 10 2 8 4 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a b a b a b a b Giải: a 10 b10 a b a b a b a12 a10 b a b10 b12 a12 a b a b b12 2 2 2 a b a b a b b a 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) (4) Bất đẳng thứccuối đúng ta có điều phải chứng minh x2 y2 Chứng minh x y 2 Ví dụ 3: cho x.y =1 và x y x2 y2 Giải: x y 2 vì :x y nên x- y x2+y2 2 ( x-y) x2+y2- 2 x+ 2 y 0 x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 0 x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2 a/ P(x,y)= x y y xy y 0 x, y R a2 b2 c2 a b c b/ (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z 1 1 1 xyz x y z Chứng minh :có đúng ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 ) x y z x y z x y z < x+y+z theo gt) =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( (vì số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương Nếu trường hợp sau xảy thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp trên tức là có đúng ba số x ,y ,z là số lớn a b c Ví dụ 5: Chứng minh : 1< a+b + b+c + a+ c <2 Giải: 1 a a Ta có : a+b <a+b +c ⇒ a+b > a+b+ c ⇒ a+b > a+b+ c (1) b b c c Tương tự ta có : b+c > a+ b+c (2) , a+c > a+ b+c (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c + + >1 (*) a+b b+c a+ c a a+c Ta có : a< a+b ⇒ a+b < a+ b+c (4) b a+b Tương tự : b+c < a+ b+c (5) , c c +b < (6) c+ a a+ b+c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c + + <2 a+b b+c a+c (**) a b c Từ (*) và (**) , ta : 1< a+b + b+c + a+ c <2 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: 2 a) x y 2 xy (đpcm) (5) b) x y xy dấu( = ) x = y = c) x y 4 xy a b 2 d) b a Ví dụ Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 4 xy a b 4ab ; b c 4bc ; c a 4ac a b b c c a 64a b c 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Tacó Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a , b ≥ , ta có: a+b ≥ √ ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1+a2 + +a n ≥ n √n a1 a2 an a1+ a2 + +a n n ⇔ a1 a an ≤ n Dấu “=” xảy a1=a2= =an ( ) Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số không âm Ví dụ : Giải phương trình : 2x 4x 2x + + = x x x x + +1 + Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt a b ¿ a=2 x b=4 x , a , b>0 ¿{ ¿ Khi đó phương trình có dạng : b+1 + a+1 + a+b = Vế trái phương trình: a b a b 1 a b a b 1 1 1 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 1 1 a b c b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 3 3 √ ( a+1 )( b +1 )( a+b ) − 3= 2 √ ( a+1 ) ( b+1 ) ( a+ b ) Vậy phương trình tương đương với : x x a+1=b+1=a+b ⇔ a=b=1 ⇔2 =4 =1⇔ x =0 x y z Ví dụ : Cho x, y , z > và x + y + z = Tìm GTLN P = x +1 + y +1 + z +1 1 Giải : P = 3- ( x +1 + y +1 + z +1 ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > thì (6) 1 1 1 1 1 3 a b c 9 a b c abc a b c a b c a b c 1 9 ⇒ Suy Q = x +1 + y +1 + z +1 -Q − nên P = – Q 3- = Vậy max P = x = y = z = 1 a+ b+c + + ≤ Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: a + bc b + ac c +ab abc a b c 3 abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a2 ++ bc ≥ a √ bc ⇒ Tương tự : 1 1 ≤ ≤ + a ++ bc a √ bc ab ac ( ) 1 1 1 1 b ac b ac bc ab c ab c ab ac bc 2 a b c a bc b ac c ab 2abc Dấu “=” xảy a = b = c a b c Ví dụ : CMR tam giác ABC : b+c − a + c+ a −b + a+b − c ≥ Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : (*) a b c abc + + ≥3 (1) b+c − a c+ a −b a+b − c (b+ c − a)(c +a − b)(a+b − c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : √ √(b+ c − a)(c +a −b) ≤ (b+ c − a+c +a − b)=c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (b+ c − a)(c+ a −b)(a+b −c )≤ abc abc → ≥1(3) ( b+c −a)(c + a− b)(a+ b− c ) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC là Ví dụ 5: ¿ 0< a≤ b ≤ c x y z ( a+ c ) ( x+ y + z )2 Cho 0< x , y , z Chứng minh rằng: ( + by+cz ) + + ≤ a b c ac ¿{ ¿ Giải: Đặt f ( x)=x −( a+c ) x +ac=0 có nghiệm a,c Mà: a ≤ b ≤ c ⇒ f (b) ≤0 ⇔ b2 −(a+c )b+ ac ≤ ac y ⇔ b+ ≤ a+ c ⇔ yb+ac ≤ ( a+ c ) y b b x y z ⇒ xa +ac +(yb+ac )+(zc+ ac )≤ ( a+ c ) x + ( a+ c ) y +( a+c )z a b c x y z ⇒ xa+ yb+ zc+ac + + ≤ ( a+ c )( x + y + z ) a b c ( ( ) ( ) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ) (7) x y z + + ≤ ( a+c ) ( x + y + z ) ( a b c) √ x y z ⇔ ( xa +yb+ zc ) ac ( + + ) ≤ ( a+c ) ( x + y + z ) a b c x y z ( a+c ) ( x + y + z ) ( đpcm) ⇔ ( xa+ yb+ zc ) ac ( + + )≤ a b c ac ⇒ ( xa + yb+zc ) ac 2 2 Phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n ≥2 ): a1 , a2 , an ,b , b2 , , bn Ta luôn có: a1 b1 +a b2 + + an bn ¿2 ≤(a21 +a22 + + a2n )(b21 +b22 + + b2n ) ¿ a1 a2 an Dấu “=” xảy ⇔ b = b = = b n b1 b bn Hay a = a = = a (Quy ước : mẫu = thì tử = ) n Chứng minh: Đặt a= √a 21+ a22 + +a 2n { b= √b 21+ b22 + +b2n Nếu a = hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng Nếu a,b > 0: a a b b Đặt: α i= i , β i= i ( i=1,2, n ) , Thế thì: α 21+α 22 + +α 2n=β 21 +β 22+ + β 2n 2 Mặt khác: |α i β i|≤ ( α i + β i ) 1 |α β 1|+|α2 β 2|+ +|α n β n|≤ (α 12+ α 22 + + α 2n)+ ( β 21 + β 22+ .+ β 2n)≤1 Suy ra: ⇒ |a1 b1|+|a2 b2|+ +|an bn|≤ a b Lại có: |a1 b1 +a b 2+ .+ an bn|≤|a1 b1|+|a2 b2|+ +|an bn| 2 2 2 Suy ra: a1 b1 +a b2 + + an bn ¿ ≤(a1 +a2 + + an )(b1 +b2 + + bn ) Dấu”=” xảy ¿ a a a α i=β i ( ∀ i=1,2, ,n ) ⇔ ⇔ = = = n bn α β α n β n cùng dáu b1 b2 { Ví dụ : 8 Chứng minh rằng: ∀ x ∈ R , ta có: sin x+ cos x ≥ Giải: Ta có: sin2 x+cos x =1, ∀ x ∈ R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: sin x.1 cos x.1 sin x cos x 12 12 1 sin x cos x sin x cos x Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa: 1 sin x.1 cos x.1 sin x cos8 x 12 12 sin x cos x 4 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của: P=√ 1+ tan A tan B+ √ 1+ tan B tan C + √ 1+ tan C tan A Giải: (8) * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m số, số gồm n số không âm: (ai , bi , ,c i )(i=1,2, , m) Thế thì: a1 a2 am +b b2 bm + + c1 c c m ¿2 ≤(am1 + bm1 + +c m1 )(a m2 + bm2 + + cm2 )(amm +bmm + .+ c mm) ¿ Dấu”=” xảy ⇔∃ bô số (a,b,….,c) cho: với i = 1,2,…,m thì ∃ cho: a=ti , b=t i bi , ,c =t i c i , Hay a1 :b1 : : c1 =a2 : b2 : : c2 =an :bn : c n 2 ti a1 +a2 + + an=3 n∈ Z , n ≥2 a1 a a + + + n < √2 Chứng minh rằng: n+ { Ví dụ 1: Cho | Giải: ∀ k ∈N ❑ | 1 < = 1 k k2 − k− k+ 2 ta có: ( )( ) 1 1 k k k 2 1 1 1 1 1 3 5 1 n n n 2 2 n 2 Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: | a1 a a 1 + + + n ≤ √ a21 +a22 + + a2n + + + < √ < √ (đpcm) n+ 3 n | Ví dụ 2: √ √ Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: (a c) (b d ) a b c d 2 2 ac+bd a b c d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó 2 2 2 2 2 2 2 mà a c b d a b 2 ac bd c d a b a b c d c d (a c) (b d ) a b c d 2 2 Ví dụ 3: Chứng minh : a b c ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 1 (a b c ) 1.a 1.b 1.c 2 2 2 a b c a b c 2 ab bc ac a b c ab bc ac Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép Kiến thức: a)Nếu ¿ a1 ≤ a2 ≤ ≤ an b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn ¿{ ¿ thì 2 2 a1 +a2 + + an b 1+ b2+ + bn a1 b 1+ a2 b2 + + an bn ≤ n n n (9) a1=a2= =an ¿ b1=b2= =bn Dấu ‘=’ xảy và ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a1 ≤ a2 ≤ ≤ an b)Nếu b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn thì ¿{ ¿ a1 +a2 + + an b 1+ b2+ + bn a1 b 1+ a2 b2 + + an bn ≥ n n n a1=a2= =an ¿ b1=b2= =bn Dấu ‘=’ xảy và ¿ ¿ ¿ ¿ Δ Ví dụ 1: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = và sin A sin a+sin B sin B +sin C sin2 C S = sin A +sin B+sin C S là diện tích tan giác chứng minh Δ ABC là tam giác π Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0< A ≤ B ≤ C< Suy ra: ¿ sin A ≤sin B ≤sin C sin a ≤sin B ≤ sin 2C ¿{ ¿ Áp dụng BĐT trebusep ta được: ( sin A+sin B+sin C )( sin A +sin B+ sin2 C ) ≥ ( sin A sin A+ sin B sin B+sin C sin 2C ) sin A sin A+ sin B sin2 B+sin C sin 2C ⇔ ≤ (sin A+ sin2 B+sin 2C ) sin A+sin B+sin C ⇔ sin A=sin B=sin C ¿ sin A=sin B=sin 2C Dấu ‘=’ xảy ¿ ⇔ Δ ABCdêu ¿ ¿ ¿ Mặt khác: sin A+ sin B+sin C=2sin (A + B) cos( A − B)+sin C ¿ sinC [ cos( A − B)+cos C ] =2 sin C [ cos (A − B)−cos ( A+ B) ] ¿ 2sin C sin A sin B=4 sin A sin B sin C ¿(2 R sin A )(2 R sin B) sin C=a b sin C=2 S (2) Thay (2) vào (1) ta có sin A sin a+sin B sin B +sin C sin2 C S ≤ sin A +sin B+sin C Dấu ‘=’ xảy ⇔ Δ ABC Ví dụ 2(HS tự giải): (10) a/ b/ c/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 1 9 CMR: a b c CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y )(1 z ) a b c b c c a a b d)Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn x y 1 ;CMR: x+y a3 b3 c3 2 Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a b c 1 Chứng minh b c a c a b Giải: a b c a b c b c a c a b Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a2 a b c a2 b2 c2 a b c b2 c2 bc a c a b b c a c a b = = a3 b3 c3 Vậy b c a c a b Ví dụ 4: Dấu xảy a=b=c= Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 Chứng minh : a b c d a b c b c d d c a 10 2 Giải: Ta có a b 2ab c d 2cd 1 x x 2) Do abcd =1 nên cd = ab (dùng a b c 2( ab cd ) 2(ab ) 4 ab Ta có (1) a b c b c d d c a Mặt khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 ab ac bc 2 ab ac bc = 2 2 Vậy a b c d a b c b c d d c a 10 Phương pháp7 Kiến thức: Bất đẳng thức Bernouli a)Dạng nguyên thủy: Cho a a=0 ¿ n=1 và ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ -1, 1≤ n ∈ Z thì ( 1+a )n ≥ 1+ na Dấu ‘=’ xảy ¿ b) Dạng mở rộng: - Cho a > -1, α ≥ thì ( 1+a )α ≥1+ na Dấu xảy và a = (11) a=0 ¿ α =1 α - cho a ≥ −1,0<α <1 thì ( 1+a ) ≤1+ na Dấu xảy va ¿ ¿ ¿ ¿ b a Ví dụ : Chứng minh a + b >1, ∀ a ,b >0 Giải - Nếu a ≥ hay b ≥ thì BĐT luôn đúng - Nếu < a,b < Áp dụng BĐT Bernouli: b b b 1 a a b a 1 a ab 1 a a a a b a b a Chứng minh tương tự: b > a+ b Suy ab + ba >1 Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh a5 +b5 +c a+b+c ≥ 3 ( ) (1) Giải ( 1) ⇔ ( 3a 3b 3c + + ≥3 a+ b+c a+b+ c a+b+ c )( ) ( ) Áp dụng BĐT Bernouli: ( ( b+c −2 a ) 3a b +c − a = 1+ ≥1+ a+b+ c a+b+ c a+ b+c ) ( ) (2) Chứng minh tương tự ta đuợc: ( ( ( c+ a− b ) 3b ≥ 1+ a+b+ c a+b +c 5 ( a+b −2 c ) 3c ≥ 1+ a+b+ c a+b +c ) ) (3) (4) Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có ( 3a 3b 3c + + ≥ 3⇒ (đpcm) a+b+ c a+ b+c a+b+c )( )( ) Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây: “Cho a1 , a2 , an >0 ; r ≥1 Chứng minh r r r r a1 +a2 + +an a1+ a2 + +an ≥ n n Dấu ‘=’ ⇔ a1=a2 = =an (chứng minh tương tự bài trên) Ví dụ 3: Cho ≤ x , y , z ≤1 Chứng minh ( x +2 y +2 z ) ( 2− x + 2− y +2− z ) ≤ 81 ( ) Giải Đặt a=2x , b=2 y , c=2 z ( 1≤ a , b , c ≤ ) ≤ a≤ ⇒ ( a −1 ) ( a −2 ) ≤ ⇒ a −3 a+ 2≤ ⇒a+ ≤ 3(1) a Chứng minh tương tự: (đpcm) (12) b+ ≤3(2) b c + ≤ 3(3) c Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta côsi 1 1 1 ≥ ( a+b+ c )+ + + ( a+ b+c ) + + a b c a b c 81 1 ⇒ ≥(a+b+ c) + + ⇒ (đpcm) a b c )√ ( ( ( ) ) Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này “ Cho n số x , x , ., x n ∈ [ a , b ] , c>1 Ta luôn có: x1 x2 xn − x1 − x2 ( c +c + +c )( c +c + +c − xn [ n ( c a+ c b ) ] ) c a+b Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B và B>C thì A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh ab >ad+bc Giải: a c d a c d b d c Tacó b c d ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (a-c)(b-d) > cd (điều phải chứng minh) 1 1 a2 b2 c2 Chứng minh a b c abc Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) ac+bc-ab ( a2+b2+c2) 1 1 ac+bc-ab Chia hai vế cho abc > ta có a b c abc Ví dụ 3: Cho < a,b,c,d <1 Chứng minh (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nên 1- c >0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) 3 2 Ví dụ 4: Cho <a,b,c <1 Chứng minh rằng: 2a 2b 2c a b b c c a Giải: Do a < a và 2 2 2 Ta có 1 a .1 b 1-b- a + a b > 1+ a b > a + b 3 mà 0< a,b <1 a > a , b > b 2 3 3 2 Từ (1) và (2) 1+ a b > a + b Vậy a + b < 1+ a b 3 3 Tương tự b + c 1 b c ; c + a c a (13) 3 2 Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 2b 2c 3 a b b c c a 2 2 Ví dụ Chứng minh : Nếu a b c d 1998 thì ac+bd =1998 Giải: 2 2 2 2 2 Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = a c + b d 2abcd a d b c - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 2 ac bd 1998 rõ ràng (ac+bd)2 ac bd ad bc 1998 Ví dụ (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 2 a a a 2003 2003 c hứng minh : a + b/ Cho a;b;c 0 thỏa mãn :a+b+c=1 1 1).( 1).( 1) 8 b c Chứng minh rằng: ( a Phương pháp 9: Dùng tính chất tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a a c 1 a – Nếu b thì b b c a a a c 1 b – Nếu b thì b b c 2) Nếu b,d >0 thì từ a c a a c c b d b bd d ` Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > Chứng minh 1 a b c d 2 a b c b c d c d a d a b Giải: Theo tính chất tỉ lệ thức ta có a a ad 1 a b c a b c a b c d a a Mặt khác : a b c a b c d (1) (2) Từ (1) và (2) ta có \ a a ad a b c d < a b c < a b c d (3) Tương tự ta có b b ba a b c d b c d a b c d c c bc a b c d c d a a b c d d d d c a b c d d a b a b c d (4) (5) (6) cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có 1 a b c d 2 a b c b c d c d a d a b điều phải chứng minh (14) a c a ab cd c 2 d Ví dụ :Cho: b < d và b,d > Chứng minh b < b d a c ab cd ab ab cd cd c b2 b2 d d d b d Giải: Từ b < d a ab cd c 2 d Vậy b < b d điều phải chứng minh Ví dụ : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a b tìm giá trị lớn c d a b a b Giải: Không tính tổng quát ta giả sử : c d Từ : c d a a b b c cd d a 1 c vì a+b = c+d b a b a/ Nếu :b 998 thì d 998 c d 999 a b 999 b/Nếu: b=998 thì a=1 c d = c d Đạt giá trị lớn d= 1; c=999 a b Vậy giá trị lớn c d =999+ 999 a=d=1; c=b=999 Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 u2 un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: u k ak ak 1 Khi đó :S = a1 a2 a2 a3 an an1 a1 an1 (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un ak Biến đổi các số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: u k = ak 1 a1 a2 a a n Khi đó P = a2 a3 an 1 an 1 Ví dụ 1: Với số tự nhiên n >1 chứng minh 1 1 n 1 n nn 1 Giải: Ta có n k n n 2n với k = 1,2,3,…,n-1 1 1 n 2n 2n 2n 2n Do đó: n n Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 1 n 1 n Với n là số nguyên (15) 2 2 k k k k k 1 Giải: Ta có Khi cho k chạy từ đến n ta có k > 1 2 3 ……………… n 1 n n Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có n Ví dụ 3: Chứng minh k k 1 2 1 1 n 1 n n Z 1 1 Giải: Ta có k k k 1 k k Cho k chạy từ đến n ta có 1 1 2 1 32 1 1 1 n n n n n k 2 Vậy k 1 Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác thì : a;b;c> Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh tam giác chứng minh 1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 1/Vì a,b,c là số đo cạnh tam giác nên ta có 0 a b c 0 b a c 0 c a b a a (b c) b b(a c) c c ( a b) Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2 2/ Ta có a > b-c a a (b c) > 2 b > a-c b b (c a ) > 2 c > a-b c c ( a b) Nhân vế các bất đẳng thức ta (16) a 2b c a b c b c a c a b 2 a 2b c a b c b c a c a b abc a b c . b c a . c a b Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh tam giác 2 Chứng minh ab bc ca a b c 2(ab bc ca) 2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 2 Chứng minh a b c 2abc Phương pháp 12: Sử dụng hình học và tọa độ Ví dụ 1: Chứng minh : √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab , ∀ a ≥b ≥ và b ≥ c Giải v =¿( √ a − c , √ c) Trong mặt phẳng Oxy, chọn ⃗u=( √ c , √ b − c) ; ¿⃗ ⃗u ⃗v =√ c (a − c)+ √ c (b − c) Thì |u⃗|=√ b , |⃗v|=√ a ; Hơn nữa: ⃗u ⃗v =|u⃗|.|⃗v| cos (⃗u , ⃗v )≤|u⃗|.|⃗v|⇒ √ c ( a− c)+ √ c (b − c) ≤ √ab ⇒ (ĐPCM) Ví dụ 2: n Cho 2n số: x i ; y i ,i=1,2, , n thỏa mãn: n ∑ x i +∑ y i=1 i=1 Chứng minh rằng: i=1 n ∑ √ x 2i + y 2i ≥ √22 i=1 Giải: Vẽ hình y MK MN H M x O x+y=1 Trong mặt phẳng tọa độ, xét: M 1( x1 , y 1) : M (x1 + x , y + y ) ;…; M n (x 1+ …+ x n , y +…+ y n ) ¿ Giả thiết suy M n ∈ đường thẳng x + y = Lúc đó: OM1=√ x + y Và OM1 , ¿ M M 2=√ x 22+ y 22 , +M1 M2 n +M2 M3 M M 3=√ x 23+ y 23 ,…, M n −1 M n =√ x 2n + y 2n +…+ M n − M n ≥ OMn ≥ OH= √ 2 ⇒ ∑ √ x 2i + yi2 ≥ √ ⇒ (ĐPCM) i=1 Phương pháp 13: Đổi biến số a b c Ví dụ1: Cho a,b,c > Chứng minh b c c a a b (1) (17) yz x Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; yz x zx y xy z 2x 2y 2z ta có (1) y z x z x y y x z 3 )( x x y y z z x ( x y y x 2; x y ( Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > và a+b+c <1 Chứng minh 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab zx y x y z b= ;c= x z y ) ( ) 6 z y z z x 2 x z ; z y 2 y z nên ta có điều (1) 2 2 Giải: Đặt x = a 2bc ; y = b 2ac ; z = c 2ab Ta có x y z a b c (1) 1 9 x y z Với x+y+z < và x ,y,z > 1 1 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x y z 3 xyz , và: x y z xyz 1 x y z . 9 9 x y z x y z Mà x+y+z < Vậy (đpcm) xy Ví dụ3: Cho x 0 , y 0 thỏa mãn x y 1 CMR Gợi ý: Đặt x u , thay vào tính S Bài tập tự giải y v 2u-v =1 và S = x+y = u v v = 2u-1 25a 16b c 8 CMR: b c c a a b 1) Cho a > , b > , c > 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc b c c a a b Phương pháp 14: m n p m n p Dùng tam thức bậc hai Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c Định lí 1: ∀x⇔ a>0 f(x) > 0, Δ <0 ¿{ (18) ¿ f (x) ≥0, ∀ x ⇔ a> Δ ≤0 ¿ f (x )< 0, ∀ x ⇔ a< Δ< ¿ f (x) ≤0, ∀ x ⇔ a< Δ ≤0 ¿ ¿{ ¿ Định lí 2: Phương trình f(x) = có nghiệm x 1< α < x ⇔ a f ( α )< Phương trình f(x) = có nghiệm : x 1< x <α ⇔ a f ( α ) >0 Δ> S <α ¿{{ Phương trình f(x) = có nghiệm : α < x1 < x ⇔ a f ( α ) >0 Δ> S >α ¿{{ Phương trình f(x) = có nghiệm α < x1 < β < x ¿ x 1<α < x < β ¿ ( ) ⇔ f α f ( β )< ¿ ¿ 2 Ví dụ 1:Chứng minh f x, y x y xy x y 2 Giải: Ta có (1) x x y 1 y y (1) 2 2 y 1 y y 4 y y y y y 1 Vậy f x, y với x, y 2 Ví dụ2: Chứng minh rằng: f x, y x y 2 x 2 y xy x xy Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 y x y x y xy x xy ( y 1) x y 1 y x y Ta có 4 y Vì a = y 2 y y 16 y f x, y Phương pháp 15: Kiến thức: (đpcm) Dùng quy nạp toán học (19) Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực các bước sau : – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) – kết luận BĐT đúng với n n0 1 1 n N ; n n n Ví dụ1: Chứng minh : 1 1 (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giải: Với n =2 ta có (1) Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 1 1 2 2 k (k 1) k 1 Thật n =k+1 thì (1) Theo giả thiết quy nạp 1 1 1 2 2 2 k (k 1) k k 1 k 1 1 1 2 (k 1) k k 1 k k 1 1 k ( k 2) (k 1) 2 k (k 1) k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh n a b a n bn n N và a+b> Chứng minh (1) Ví dụ2: Cho Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có a b (1) k 1 a k 1 b k 1 k a b a b a k 1 b k 1 k k k 1 (2) k k a b a b a ab a b b k 1 a k 1 b k 1 Vế trái (2) 2 k 1 k 1 k 1 k k k 1 a b a ab a b b 0 k k a b a b 0 (3) Ta chứng minh (3) b (+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a k k k a b b a k b k a b 0 k (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b a b k a k b k a k b k a b 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) n n a Ví dụ 3: Cho a ≥ −1 ,1 ≤ n∈ Ν Chứng minh : 1+a ¿ ≥1+ ¿ (20) Giải n=1: bất đẳng thức luôn đúng k n=k ( k ∈ Ν ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 1+a ¿ ≥¿ 1+ k a k +1 n= k+1 Ta cần chứng minh: 1+a ¿ ≥ 1+(k +1) a Ta có: ¿ k 1+a ¿ ≥(1+a).(1+k a)≥ 1+( k +1) a+ k a ≥ 1+(k + 1) a k +1 1+a ¿ =(1+ a) ¿ ¿ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 n n a , ∀ n∈ Ν V ậy theo nguyên lý quy nạp: 1+a ¿ ≥1+ ¿ ⇒ Ví dụ 4: Cho 1≤ n ∈ Ν a1 , a , … , an ≥ thoả mãn a1 +a 2+ …+an ≤ Chứng minh rằng: (1− a1 )(1− a2 )…(1− an )≥ Giải n=1: a1 ≤ ⇒ 1− a1 ≥ ⇒ Bài toán đúng n=k ( k ∈ Ν ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k ) ≥ n= k+1 Ta cần chứng minh: (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k+1) ≥ Ta có: (1− a1 )(1− a2 ) …(1− a k+1)=¿ (1− a1 )(1− a2 ) …(1− a k− 1)[1−(ak +a k+1)+ ak ak +1 ] 1 (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k− 1)[1−( ak +a k+1)]≥ a1 +a 2+ …+a k− 1+(a k + ak +1) ≤ (Vì ) 2 ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1− a1 )(1− a2 )…(1− an )≥ Ví dụ 5: Cho 1≤ n ∈ Ν , , bi ∈ R , i=1,2, , n Chứng minh rằng: 2 2 2 a1 b1 +a b2 + …+ an bn ¿ ≤(a1 +a 2+ …+a n)(b 1+ b2 +…+b n) ¿ Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k ∈ Ν ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: a1 b1 +a b2 + …+ ak b k ¿2 ≤(a 21+ a22+ …+a 2k )(b21+ b22 +…+ b2k ) ¿ n= k+1 Ta cần chứng minh: a1 b1 +a b2 + …+ ak +1 b k+1 ¿2 ≤(a21 +a 22+ …+a2k +1)( b21+ b22 +…+ b2k+1 ) (1) ¿ Thật vậy: VP (1)=( a21 +a22 +…+ a2k )(b21 +b 22+ …+b2k )+(a21 +…+ a2k ) b2 + (a1 b1 +a b 2+ …+ak b k )+2 a1 b1 ak +1 b k+1 +2 a2 b2 ak+ b k+1 +¿ +a 2( b21 +b22 +…+b2k )+a2k +1 b2k +1 2 +…+2 a k b k ak+1 b k+1 +ak +1 b k+1 2 a1 b1 +a b2 + …+ ak b k ¿ +2 (a b +a b + …+a b ) a b +a k+1 b k+1 1 2 k k k+1 k+1 ¿ a1 b1 +a b2 + …+ ak +1 b k+1 ¿2 ¿ Vậy (1) chứng minh Ví dụ 6: Cho 1≤ n ∈ Ν , , bi ∈ R , i=1,2, , n Chứng minh rằng: a1 +a2 +…+ an a 21+ a22 +…+ a2n ¿ ≤ n n ¿ Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng (21) a1 +a2 +…+ ak a21+ a22 +…+ a2k ¿ ≤ n=k ( k ∈ Ν ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k ¿ 2 a1 +a2 +…+ ak+ a1 +a2 +…+ ak +1 ¿≤ n= k+1 Ta cần chứng minh: (1) k+1 k +1 ¿ a2+ a3 +…+ ak +1 Đặt: a= k k +1 ¿2 ¿ a2+ a2 +…+ a2k+ VP (1)= (a21 +k a 2+2 ka a) ¿ ¿ k +1 k+1 ¿ Vậy (1) đựơc chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh rằng: ⇒ n =4 ¿ n −1 n+1 ¿ =3 ¿ ¿ n+1 ¿n −1 , ∀ n∈ Ζ , n≥ n n> ¿ n Giải: n=2 n −1 n+1 ¿ n ⇒ n >¿ k−1 k +1 ¿ n=k : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k >¿ k +1 ¿ k −1 k +1 ¿ ¿ ¿ ¿ k +1 ¿2=¿ k +1 ¿2 k −2 ¿ ¿¿ k +1 ¿2=k 2+ k +1> k +2 k ) ¿ k+ n= k+1:Ta c ó: k−1 k +2 k ¿ k +1 ¿ k −1 k+ 1¿ ¿ k +1 k +1 ¿ ≥ ¿ kk ¿ (k +2 k) (vì ¿ k +2 ¿k k +1 ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 k +1 ¿ > ¿ ⇒¿ n −1 n+1 ¿ , ∀ n∈ Ζ , n≥ Vậy n n> ¿ ❑ Ví dụ 8: Chứng minh rằng: |sin nx|≤ n|sin x|, ∀ n ∈ Ν , ∀ x ∈ R k k +2 ¿ kk ¿ Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: |sin kx|≤ k|sin x| n= k+1 Ta cần chứng minh: |sin( k +1) x|≤(k +1)|sin x| ¿ |a+ b|≤|a|+|b|, ∀ a , b∈ R Ta có: |sin x|,|cos x|≤1, ∀ x ∈ R ¿{ ¿ |sin kx cos x +cos kx sin x| | sin( k +1) x | = Nên: |sin kx|.|cos x|+|cos kx|.|sin x| |sin kx|.+.|sin x| k |sin x|.+ |sin x| ¿( k +1)|sin x| ❑ ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy: |sin nx|≤ n|sin x|, ∀ n ∈ Ν , ∀ x ∈ R + Phương pháp 16: Kiến thức: Chứng minh phản chứng (22) 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược Từ đó suy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q” Muốn chứng minh p⇒ q (với p : giả thiết đúng, q : kết luận đúng) phép chứng minh thực hiên sau: Giả sử không có q ( q sai) suy điều vô lý p sai Vậy phải có q (hay q đúng) Như để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận nó Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P Q” B – Phủ định rôi suy trái giả thiết C – Phủ định suy trái với điều đúng D – Phủ định suy điều trái ngược E – Phủ định suy kết luận : Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải: Giả sử a thì từ abc > a đó a < Mà abc > và a < cb < Từ ab+bc+ca > a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > b + c < a < và b +c < a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tương tự ta có b > , c > Ví dụ 2:Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) Chứng minh có ít các bất đẳng thức sau là sai: a 4b , c 4d Giải: 2 Giả sử bất đẳng thức : a 4b , c 4d đúng đó cộng các vế ta a c 4(b d ) (1) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) và (2) a c 2ac hay a c (vô lý) 2 Vậy bất đẳng thức a 4b và c 4d có ít các bất đẳng thức sai Ví dụ 3:Cho x,y,z > và xyz = Chứng minh 2 1 Nếu x+y+z > x y z thì có ba số này lớn Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 1 1 =x + y + z – ( x y z ) vì xyz = theo giả thiết x+y +z > x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương Thật ba số dương thì x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có và ba số x , y,z lớn (23) Ví dụ 4: Cho a , b , c >0 và a.b.c=1 Chứng minh rằng: a+b +c ≥ (Bất đẳng thức Cauchy số) Giải: Giả sử ngược l ại: a+b +c <3 ⇒(a+b+ c) ab<3 ab ⇔ a2 b+(a − a) b+1< ⇔ a2 b+ b2 a+cab< ab Xét : f (b)=a b+(a −3 a)b+1 a −1 ¿2 ( a− 4) ≤ a ¿2 − a Có a −3Δ=¿ = a − a3 +9 a − a ¿ a(a3 − a2 +9 a− 4) = ¿a¿ ¿ a ,b ,c >0 a+b +c <3 ⇒ 0< a<3 ) ⇒ f (b) ≥0 ⇒ vô lý Vậy: a+b +c ≥ (Vì ¿{ ¿ Ví dụ 5: Chứng minh không tồn các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3): |a|<|b − c| (1) |b|<|c −a| (2) |c|<|a −b| (3) Giải: Giả sử tồn các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó: 2 b − c ¿ >a ⇒¿ 2 c − a ¿ >b ⇒¿ 2 a −b ¿ > c ⇒¿ |a|<|b − c| |b|<|c −a| |c|<|a −b| ⇒−(a+ b− c )(a −b+ c)>0 (1’) (2’) ⇒ −(− a+b+ c)(a+ b −c )> ⇒−(a+ b− c )(−a+ b+c )> Nhân (1’), (2’) và (3’) vế với vế ta được: (3’) (a+ b− c )(a −b+ c)(− a+b+ c) ¿ >0 ⇒ −¿ Vô lý Vậy bài toán chứng minh Phương pháp 17 : Sử dụng biến đổi lượng giác ⇒ Nếu |x|≤ R thì đặt x = Rcos α , R Nếu |x|≥ R thì đặt x = cos α 3.Nếu √¿ ( x − a ) + ( y − b ) =R , ¿ thì đặt 0, ; x = Rsin α , α ∈ − π , π 2 [ α ∈ ¿ ∪¿ ¿ x=a+ R cos α y =b+ R sin α ,(α =2 π) ¿{ ¿ ¿ x=α +aR cos α y=β + bR sin α x−α y −β + =R a ,b >0 thì đặt Nếu ,(α =2 π ) a b ¿{ ¿ 2 ( ax ) + b , ( a ,b >0 ) Nếu bài toán xuất biểu thức : b π π Thì đặt: x= a tg α , α ∈ − , ( ) ( ) ( ) Ví dụ 1: Cmr : |a √ 1− b2 +b √ 1− a2 + √ (ab − √ ( 1− b2 ) ( 1− a2 ) )|≤2, ∀ a , b ∈ [ −1,1 ] Giải : |a|≤ ,|b|≤1 ] (24) ¿ a=cosα Đặt : b=cos β ¿{ ¿ (α , β ∈ [ , π ]) Khi đó : a b b a ab 1 b 1 a 2 cos sin cos sin cos cos sin sin ) 2, ( dpcm) Ví dụ : Cho a , b ≥ Chứng minh : a √ b −1+b √ a ≤ab sin( ) 3.cos( ) 2 cos( Giải : cos2 α α , β ∈ 0, π b= cos β { a= Đặt : [ ]) ( 1 tg tg (tg cos tg cos ) 2 a b b a tg tg cos cos cos cos cos cos (sin sin 2 ) sin( ) cos in( ) ab 2 2 cos cos cos cos cos cos a−4b¿ ¿ Ví dụ 3: Cho ab ≠ Chứng minh : a2− ¿ −2 √ 2− 2≤ ¿ a (a 4b)2 tg 2 (tg 2) 4(tg 1).cos a 4b tg 2 π π 2sin 2 2(1 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 ) a=2 btg α , α ∈ − , 22 2 sin(2 ) 2 2, 2 Giải :Đặt: ( ) Phương pháp 18: Sử dụng khai triển nhị thức Newton Kiến thức: Công thức nhị thức Newton ( a+b ) n n ∑ Ckn a n− k bk , ∀ n ∈ N ❑ , ∀ a , b ∈ R k=0 1 Trong đó hệ số + + + .+ n(n+1) <1(n∈ N ∗) Một số tính chất đặt biệt khai triển nhị thức Newton: + Trong khai triển (a + b)n có n + số hạng + Số mũ a giảm dần từ n đến 0, đó số mũ b tăng từ đến n Trong số hạng khai trtiển nhị thức Newton có tổng số mũ a và b n +Các hệ số cách hai đầu thì k Cnk =C n− n + Số hạng thứ k + là Cnk a n −k b k (0 ≤ k ≤n) Ví dụ 1: Chứng minh ( 1+a )n ≥ 1+na , ∀ a ≥ 0, ∀ n ∈ N ❑ (bất đẳng thức bernoulli) Giải (25) n n Ta có: ( 1+a ) =∑ C kn ak ≥ C 0n+ C1n a=1+ na (đpcm) k=0 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: an +bn a+b n ❑ ≥ , ∀ a , b ≥ 0, ∀ n ∈ N 2 an +bn + cn a+b+ c n ≥ , ∀ a , b , c ≥ 0, ∀ n∈ N ❑ b) 3 ( ) ( a) ) Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: ( a+b )n=C 0n a n+ C1n an − b+ +C nn −1 a b n −1 +C nn b n n ( a+b ) =C 0n b n+C 1n bn − a+ +C nn −1 b an −1 +C nn a n ⇒ ( a+b )n=C 0n (an +b n)+C 1n (a n− b +bn − a)+ +Cnn − (a bn −1 +b an − 1)+C nn (bn +a n) ∀ a , b ≥0, ∀ i=1,2, , n −1 : n −i n −i ( a −b ) ( −b i ) ≥ ⇒a n+ bn ≥ an −i bi −a i b n− i n n n n n ⇒ ( a+b )n ≤ C0n (an +bn )+C1n( an +b n)+ +C n− n (a +b )+C n (b + a ) ¿( an +b n)(C 0n +C1n + +C nn −1 +Cnn )=2n ( an +b n) a+b n an +b n ⇒ ≤ n a+ b+c b) Đặt d= ≥ ( ) Theo câu (a) ta có: a+b n c+ d n +2 2 a n+ bn +c n +d n ≥ 4 a+b+c +d n n ¿ ≥d ¿ ¿ n n n n ⇒ a + b +c +d ≥ d n ⇒ a n+ bn +c n ≥ d n a+b n c +d n + 2 ≥¿ ( ) ( ) ( )( ) Phương pháp 19: Sử dụng tích phân f , g : [ a , b ] → R Hàm số: liên tục, lúc đó: b * Nếu f (x) ≥0, ∀ x ∈ [ a ,b ] thì ∫ f ( x)dx ≥ a b b * Nếu f ( x)≥ g( x ) , ∀ x ∈ [ a , b ] thì ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g( x )dx * Nếu ∃ x ∈ [ a , b ] : f (x )>g (x 0) thì a b f ( x)≥ g( x ) , ∀ x ∈ [ a , b ] và a b ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g( x )dx a a | b | b * ∫ f ( x)dx ≤ ∫|f (x)|dx a a b * Nếu m≤ f (x) ≤ M , ∀ x ∈ [ a , b ] thì m≤ ∫ f ( x )dx ≤ M b −a a Ví dụ 1: Cho A, B, C là ba góc tam giác (m, M là số) (26) A B C Chưng minh rằng: tg + tg + tg ≥ √ Giải: x Đặt f ( x)=tg , x ∈(0 , π ) x f ' ( x)= (1+tg ) 2 x '' 2x f ( x )= tg (1+ tg )> , x ∈( , π ) 2 Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho: f ( A)+f ( B)+ f (C ) A +B+C ≥f 3 A B C A+ B+C tg + tg + tg ≥ tg 2 A B C π tg + tg + tg ≥ tg 2 A B C tg + tg + tg ≥ √3 2 ( ( Ví dụ 2: Chứng minh: ) ) π π dx π ≤∫ ≤ 10 −2 cos2 x Giải π ta có: cos x 1 2 cos x 2 cos x 0 1 5 cos x 5 5 cos x Trên đoạn [ ] 0, 1 dx 1 dx 0 ∫ đpcm ∫ 2 5 cos x 10 cos x PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO *Dùng định nghĩa a2 1) Cho abc = và a 36 Chứng minh b2+c2> ab+bc+ac a2 a2 a2 Giải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = 12 b2+c2- ab- bc – ac a a2 a2 a 36abc = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 12 3bc =( -b- c)2 + 12a a 36abc a =( -b- c)2 + 12a >0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 ) a2 Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh 4 2 a) x y z 2 x.( xy x z 1) b) với số thực a , b, c ta có c) a 5b 4ab 2a 6b a 2b 2ab 2a 4b 0 (27) Giải: 2 4 2 2 2 a) Xét hiệu: x y z x y x xz x = x y x z x 1 = H H 0 ta có điều phải chứng minh 2 b) Vế trái có thể viết H = a 2b 1 b 1 H > ta có đpcm 2 c) vế trái có thể viết H = a b 1 b 1 H ta có điều phải chứng minh * Dùng biến đổi tương đương 1) Cho x > y và xy =1 Chứng minh x y2 8 x y2 2 x 2 x y x y xy x y Giải: Ta có y 2 x y (vì xy = 1) 4. x y 4 2 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với x y 4 x y 8. x y x y 4 x y 0 x y 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy Chứng minh 1 2 1 x 1 y xy Giải: 1 2 1 x 1 y xy Ta có 1 1 0 2 x y y xy xy x xy y x( y x) y( x y) 0 2 1 x .1 xy 1 y .1 xy x 1 xy y 1 xy 0 y x xy 1 0 x y 1 xy BĐT cuối này đúng xy > Vậy ta có đpcm * Dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) và (a,b,c) Ta có a2 b2 c2 1.a 1.b 1.c 1 1 1. a b c a b c 3.a b c a2 b2 c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c là các số dương Chứng minh a b c . 9 a b c (1) a b a c b c a a b b c c 9 9 b a c a c b b c a c a a Giải: (1) x y 2 áp dụng BĐT phụ y x Với x,y > Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng 1 (28) a b c . 9 a b c Vậy (đpcm) * Dùng phương pháp bắc cầu 3 2 1) Cho < a, b,c <1 Chứng minh : 2a 2b 2c a b b c c a Giải: Do a <1 a <1 và b <1 2 2 Nên 1 a b a b a b 2 Hay a b a b (1) 3 3 Mặt khác <a,b <1 a a ; b b a a b 3 Vậy a b a b Tương tự ta có b3 c b 2c; a c c a 2a 2b 2c a 2b b c c a (đpcm) 2) So sánh 31 11 và 17 11 Giải: Ta thấy 31 < 14 3211 25 256 24.14 24 Mặt khác * Dùng tính chất tỉ số 14 11 255 256 1614 1714 1) Cho a ,b ,c ,d > Cminh rằng: Giải: Vì a ,b ,c ,d > nên ta có 11 Vậy 31 < 17 2 14 (đpcm) a b b c cd d a 3 a b c b c d c d a d a b a b a b a b d a b c d a b c a b c d b c bc bca a b c d b c d a b c d d a d a d a c a b c d d a b a b c d (1) (2) (3) Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có : 2 a b b c cd d a 3 a b c b c d c d a d a b (đpcm) 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác 1 a b c 2 b c c a a b Chứng minh : Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh tam giác nên ta có a,b,c > Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b a a a 2a b c a b c a b c Từ (1) a a Mặt khác b c a b c a a 2a Vậy ta có a b c b c a b c Tương tự ta có b b 2b a b c a c a b c c c 2c a b c b a a b c (29) Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có : 1 a b c 2 b c c a a b (đpcm) * Phương pháp làm trội : 1) Chứng minh BĐT sau : 1 1 (2n 1).(2n 1) a) 1.3 3.5 1 1 2 1.2.3 n b) 1.2 1.2.3 Giải: 1 2k 1 (2k 1) 1 a) Ta có : 2n 1 2n 1 (2k 1).(2k 1) 2k 2k 1 Cho n chạy từ đến k Sau đó cộng lại ta có 1 1 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) n 1 b) Ta có: (đpcm) 1 1 1 1 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 n 1 1 1 1 1 2 2 n n n < 2 3 (đpcm) PHẦN IV : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị Kiến thức: - Nếu f(x) A thì f(x) có giá trị nhỏ là A - Nếu f(x) B thì f(x) có giá trị lớn là B Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ :T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Giải: Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1) x x x x x x 1 Và Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta có từ (1) Dấu xảy x 4 (2) Dấu xảy x 3 Vậy T có giá trị nhỏ là x 3 Ví dụ : Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) Giải: Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta có 3 xyz (2) với x,y,z > và x+y+z =1 1 xyz xyz 27 x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có x y y z z x 3 x y y z x z 3 x y y z z x Dấu xảy x=y=z= 8 Vậy S 27 27 729 Vậy S có giá trị lớn là 729 x=y=z= 4 Ví dụ 3: Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhỏ x y z (30) Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z) xy yz zx x2 y2 z x2 y z Ta có (1) 2 Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x , y , z ) và (1,1,1) 2 2 2 4 2 2 4 Ta có ( x y z ) (1 1 )( x y z ) ( x y z ) 3( x y z ) 4 Từ (1) và (2) 3( x y z ) x4 y z 3 4 x y z Vậy có giá trị nhỏ là x=y=z= Ví dụ : Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn Giải: Gọi cạnh huyền tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y x y h a.h a h a xy Ta có S = Vì a không đổi mà x+y = 2a Vậy S lớn x.y lớn x y Vậy các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn 2/ Dùng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình 2 Ví dụ 1:Giải phương trình: 3x x 19 x 10 x 14 4 x x 2 Giải : Ta có 3x x 19 3.( x x 1) 16 3.( x 1) 16 16 x 10 x 14 5 x 1 9 2 Vậy 3x x 19 x 10 x 14 2 5 Dấu ( = ) xảy x+1 = x = -1 2 Vậy 3x x 19 x 10 x 14 4 x x Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = -1 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x x 4 y y Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có : x x 12 12 x x 2 2 Dấu (=) xảy x = 1 Mặt khác y y y 1 2 Dấu (=) xảy y = - 2 Vậy x x 4 y y 2 x =1 và y =- x 1 y Vậy nghiệm phương trình là 2 x y z 1 4 Ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau: x y z xyz Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có (31) x4 y y z z x4 x y y z z x 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z y z z x z y x2 2 2 2 y xz z xy x yz xyz.( x y z ) x4 y4 z4 Vì x+y+z = 1) Nên x y z xyz Dấu (=) xảy x = y = z = x y z 1 4 x y z xyz Vậy có nghiệm x = y = z = 4 xy 8 y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau xy 2 x y y 0 Từ phương trình (1) Từ phương trình (2) (1) (2) hay x x y 2 x x 2 x 2 0 ( x 2) 0 x x Nếu x = thì y = 2 Nếu x = - thì y = -2 x y x 2 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm và 3/ Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên 2 Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn x y z xy y z 2 Giải: Vì x,y,z là các số nguyên nên x y z xy y z y2 3y2 x y z xy y z 0 x xy y z z 0 2 2 2 y y x 1 z 1 0 2 2 y y x 1 z 1 0 2 Mà y x 3 2 y x 0 y 0 2 z 0 y 1 z 1 0 x 1 y 2 z 1 Các số x,y,z phải tìm là x 1 y 2 z 1 (*) x, y R (32) 1 2 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y z Giải: Không tính tổng quát ta giả sử x y z 1 z 3 x y z z Ta có Mà z nguyên dương z = Thay z = vào phương trình ta 1 1 x y 1 Theo giả sử x y nên = x y y y 2 mà y nguyên dương Nên y = y = Với y = không thích hợp Với y = ta có x = Vậy (2 ,2,1) là nghiệm phương trình Hoán vị các số trên ta các nghiệm phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2) Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình x x y Giải: (*) Với x < , y < thì phương trình không có nghĩa (*) Với x > , y > (*) Ta có x x y x x y x y x Đặt x k (k nguyên dương vì x nguyên dương ) Ta có k (k 1) y 2 Nhưng k k k 1 k 1 k y k Mà k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn số nguyên dương nào Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình x 0 Vậy phương trình có nghiệm là : y 0 Bài tập đề nghị : a b c 1 Bài 1:Chứng minh với a,b,c > : bc + ac + ab ≥ a + b + c HD : Chuyển vế quy đồng mẫu đưa tổng bình phương các đẳng thức 1 1 Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : + + + .+ n(n+1) <1(n∈ N ∗) 1 HD: k (k +1) = k − k + Bài 3: Cho a, b c > và a + b + c (1+ 1a )(1+ 1b )(1+ 1c )≥ 64 (1+ 1a ) ,(1+ 1b ),( 1+ 1c ) Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho Bài : Cho a ≥ c ≥ , b ≥ c ≥ Cmr : √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab c a −c c b −c , , cộng hai vế theo vế b a a b a2 b2 + Bài 5: Cho a, b >1 Tìm GTNN S = b− a −1 HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho √ √ (33) 2 HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a b , b− a −1 Bài : Tìm GTLN và GTNN y = 1+2 x2 ¿2 ¿ 3+ x2 +12 x ¿ và xét trường hợp dấu “=” xảy π π tg α , α ∈ − , 2 √2 ( HD: Đặt x= ) Bài 10: Cho 36x ❑2+16 y 2=9 Cmr : HD: Đặt : 15 25 ≤ y −2 x +5 ≤ 4 x = cos α y= sin α { Bài 11: Cmr : √ 1+ √1 − x ≥ 2x (1+2 √1 − x ), ∀ x ∈ [− 1,1 ] 2 π π HD : Đặt x = sin α , α ∈ − , Bài 12: Cho a , b ≥ , c ≤ Chứng minh rằng: a2 +b 2+ c ≤ 1+ a2 b+b2 c +c a Bài 13: Cho Δ ABC có a, b, c là độ dài các cạnh Chứng minh rằng: [ ] a2 b(a −b)+b2 c (b − c)+c a( c − a)≥ an +bn a+b ≥ Bài 14: Cho n ∈ Ζ , ≤n , a , b ≥ Chứng minh 2 n ( ) n Bài 15: n ∈ Ζ , ≤n Chứng minh rằng: 2< 1+ < ( n) tg x Bài 16: Có tồn x ∈ R cho: ≤ tgx ≤ ? Bài 17: Cho Δ ABC có diện tích (đơn vị diện tích) Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lược các điểm A’, B’, C’ Chứng minh rằng: Trong tất các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có ít diện tích nhỏ hay 1(đơn vị diện tích) (34)