Phương pháp lặp xoay vòng và đồng thời giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập

hi n −→ ∞ (2.33) Vì dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnk } ⊂ {xn } cho xnk x Do tính nửa liên tục yếu hàm lồi qj (2.33) ta thu qj (Ax) ≤ lim inf qj (Axnk ) ≤ k−→∞ Khi Ax ∈ Qj , j = 1, 2, , r, hay Ax ∈ ∩rj=1 Qj Đặt unk = xnk − λnk pnk (xnk ) ta có unk − xnk = λnk 4pnk (xnk ) −→ 0, k −→ ∞ pnk (xnk ) pnk (xnk ) ≤ (2.34) Do unk − p ≤ xnk − p Theo Bổ đề 1.2 ta có t t ωi P n Ci k 2 ωi ||PC nk (unk ) − p||2 (unk ) − unk || ≤ ||unk − p|| − i=1 i i=1 = ||xnk − p||2 − ||xnk +1 − p||2 −→ 0, k −→ ∞ (2.35) Do với i ∈ {1, 2, , t} ta có (I − PC nk )(unk ) −→ 0, k −→ ∞ i (2.36) Chú ý vi phân ∂ci bị chặn tập bị chặn, theo (2.34) (2.36) ta biết ci (xnk ) ≤ ξ nk , xnk − PC nk (unk ) i 28 ≤ ξink ||xnk − unk || + ||unk − PC nk (unk || −→ 0, k −→ ∞, i (2.37) Từ tính nửa liên tục yếu hàm lồi ci ta thu ci (x) ≤ lim inf ci (xnk ) ≤ k−→∞ Suy x ∈ Ci , i = 1, 2, , t Do ta áp dụng Bổ đề 1.5 cho K := Ω ta nhận dãy lặp {xn } hội tụ yếu tới nghiệm tốn (MSSFP) Do ta có điều phải chứng minh 29 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian Hilbert, ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert; • Các kết Wen cộng tài liệu [7] phương pháp lặp xoay vòng phương pháp lặp đồng thời giải tốn chấp nhận tách đa tập khơng gian Hilbert 30 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Bertsekas, D.P., Nedié, A., Ozdaglar, A.E (2003), Convex Analysis and Optimization , Athena Scientific, Belmont [4] Byrne C (2002), “Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem”, Inverse Problems, 18(2), pp 441-453 [5] Byrne C (2004), “A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction”, Inverse Problems, 18, pp 103-120 [6] Censor Y., Elfving T (1994), “A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221-239 [7] Wen M., Peng J., Tang Y (2015), “A cyclic and simultaneous iterative method for solving the multiple-sets split feasibility problem”, J Optim Theory Appl, 166, pp 844–860 [8] Xu H.K (2006), “A variable Krasnosel’skii-Mann algorithm and the multipleset split feasibility problem”, Inverse Problems, 22, pp 2021–2034 [9] Xu H.K (2010), “Iterative methods for the split feasibility problem in infinite dimensional Hilbert spaces”, Inverse Problems, 26, 105018 ... giãn khơng gian Hilbert; • Các kết Wen cộng tài liệu [7] phương pháp lặp xoay vòng phương pháp lặp đồng thời giải toán chấp nhận tách đa tập không gian Hilbert 30 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal... lim inf ci (xnk ) ≤ k−→∞ Suy x ∈ Ci , i = 1, 2, , t Do ta áp dụng Bổ đề 1.5 cho K := Ω ta nhận dãy lặp {xn } hội tụ yếu tới nghiệm tốn (MSSFP) Do ta có điều phải chứng minh 29 Kết luận Luận