Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 5: 1.0 điểm Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.... TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN.[r]
(1)PHÒNG GD &ĐT PHÚC THỌ TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a x 2+5 x − √ x2 +5 x +4=− b √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ x −3 Bài 3: (2.0 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I là trung điểm DE Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC H và cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc đường tròn b Chứng minh ICB = IDK c Chứng minh H là trung điểm DK Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n (2) TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) 1 a) Chứng minh bất đẳng thức: a b a b Với a; b là các số dương b) Cho x; y là hai số dương và x y 1 Tìm giá trị nhỏ P= xy ; M xy x y Bài 2: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 x + y =11 x + xy+ y=3+ √ { Bài 3: (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q và cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H a Chứng minh HM = HN b Chứng minh MN là phân giác góc QMP Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF là dây cung di động trên nửa đường tròn cho E thuộc cung AF và EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I a Tính góc CIF b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động trên nửa đường tròn c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích đó Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng (3) TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 √ x+2+ √ x − ¿2 Thay ¿ ¿ √¿ √ x +2+ x − 2+ √( x +2)(x − 2) =¿ ¿ √(x +2)(x −2)+ x +2 √ 3+ √ ¿2 ¿ ¿ x=2 √ +3 vào được: √¿ 1 = √2 √ 6+2+3 ¿ Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a x +5 x − √ x2 +5 x +4=− x 2+5 x +4 − √ x2 +5 x +4=2 Đặt y=√ x 2+ x + (y 0) được: y2 - y - = Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = Với y = giải √ x2 +5 x+ 4=2 x1 = 0; x2 = -5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc này cần đặt điều kiện bình phương hai vế b √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ x −3 √( x − 1)(x −2)+ √ x +3=√ x −2+ √(x −1)( x +3) 0,75 0,75 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 √ x −1( √ x − 2− √ x+3)− √ x − 2+ √ x +3=0 0,50 ( √ x −2 − √ x +3)( √ x −1 −1)=0 0,25 √ x −2 − √ x +3=0 vô nghiệm; √ x −1 −1=0 x = Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25 Bài 3: (2.0 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên n =-1: Phương trình có nghiệm Với n -1 n+10 ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + =(n2 + 3n + 1)2 0,50 (4) ’ nên phương trình luôn có nghiệm ’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm phương trình là số hữu tỉ b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( 3.0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 B K A M O H D I E C OB BA; OC CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI IA (I là trung điểm dây DE) B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) DK // AB (Cùng vuông góc với BO) IDK = IAB Từ (1) và (2) được: ICB = IDK ICB = IDK hay ICH = IDH Tứ giác DCIH nội tiếp HID = HCD HCD = BED (Cùng chắn cung DB (O)) 0,75 (1) (2) 1.0 1,25 (5) HID = BED IH // EB IH là đường trung bình DEK H là trung điểm DK (Mỗi bước cho 0,25 điểm) Bài 5: ( 1.0 điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho nên A(n) chia hết cho với n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên A(n) chia hết cho với n - Nếu n chẵn n2 chia hết cho A(n) chia hết cho Nếu n lẻ (n-1) (n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho A(n) chia hết cho với n - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố cùng nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60 0,25 0,25 0,25 0,25 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán (6) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) 1 a Chứng minh bất đẳng thức: a b a b Với a; b là các số dương b Cho x; y là hai số dương và x y 1 Tìm giá trị nhỏ P= 1 a b ab ⇔ xy ; M xy x y a+b 2 ≥ ⇔ ( a+b ) ≥ ab ⇔ ( a − b ) ≥ ab a+b x+ y 4 = ≥ = =2 xy xy 2(x+ y) 1 P đạt giá trị nhỏ tại: x = y = 1 x+ y ¿ ⇔ xy ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥2 xy xy hoặc: xy ≤ x2 + y ⇔ xy ≤¿ x+ y ¿ M ¿ xy x y = ¿ 4 4.3 + ≥ + = + xy x + y 2 xy x +2 xy + y 2 xy ¿ 1 - xy đạt GTNN x = y = 3 - xy + 2 đạt GTNN x = y = Nên M đạt GTNN x = y = x +y P= 0,50 0,50 0,25 0,50 0,25 Bài 2: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình: - Đặt S = x + y; P = xy được: 2 x + y =11 x + xy+ y=3+ √ { { S − P=11 S+ P=3+ √ - ⇒ S2 +2 S −(17+ √ 2)=0 - Giải phương trình S 1=3+ √ ; S 2=− 5− √2 - S 1=3+ √2 P1=3 √ ; S 2=− 5− √2 P2=8+5 √ - Với S 1=3+ √ ; P1=3 √ có x, y là hai nghiệm phương trình: X −(3+ √ 2) X +3 √ 2=0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (7) - Giải phương trình X 1=3 ; X 2=√ - Với S 2=− 5− √ P2=8+5 √ có x, y là hai nghiệm phương trình: X +( 5+ √ 2) X +8+5 √ 2=0 Phương trình này vô nghiệm x=3 x =√ - Hệ có hai nghiệm: y= ; y=3 √ { { Bài 3: (2.0 điểm) -Chứng tỏ MBND là hình bình hành O là trung điểm MN - OH // AB OH MN - HMN cân H (Trung tuyến vừa là đường cao) HM = HN HQ OQ - OH // BM được: HM =OB OQ NQ - ON // BP được: OB =NP HQ NQ HM =NP NH//PM A 0,25 0,25 0,25 M B 0,75 H O Q D 1,25 C N HNM = NMP HMN = NMP MN là phân giác góc QMP P Mỗi bước cho 0,25 điểm Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng Giải: Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho nên có số Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) bc = 5+b+c bc -b - c + = (b-1)(c-1) = b,c là các số nguyên dương có vai trò nên ta có các hệ: −1=1 b=2 ⇔{ {bc −1=6 c=7 và b=3 ⇔{ {bc −−1=2 1=3 c=4 Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 0,25 0,50 0,25 (8) C Bài 4: (3.0 điểm) E F H A O I B - BE, AF là hai đường cao ABC CI là đường cao thứ ba hay CIAB - Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF = EBF - EOF nên EOF = 600 - EF = 600 CIF = EBF = 300 - Chứng minh ACI đồng dạng với ABE AC 1,0 AI - được: AB = AE ⇒ AC AE=AB AI BC BI - Tương tự BCI đồng dạng với BAE được: BA =BF ⇒ BC BF=BA BI - Cộng được: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB = const - Chứng minh ABC đồng dạng với FEC S FEC EF R - S = AB = R = ABC - Để S ABFE lớn ( ) ( ) ⇒ SABFE = S ABC S ABC lớn CI lớn C chạy trên cung chứa góc 60 vẽ trên AB nên CI lớn I O CAB cân EF // AB R R √3 R2 √ =R √3 ⇒ S ABFE= - Lúc đó S ABC= 1.0 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) 1,0 (9)