Dành cho học sinh lớp7 đang học chương 2- hình học 7 A.Đôi lời: Việc chứng minh ba điểm thẳng hàng đối với các em học sinh lớp 7 tương đối khó khăn bởi lí do : Ở lớp 6 cả năm các em chỉ [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG ( Dành cho học sinh lớp7 học chương 2- hình học 7) A.Đôi lời: Việc chứng minh ba điểm thẳng hàng các em học sinh lớp tương đối khó khăn lí : Ở lớp năm các em học có vỏn vẹn 29 tiết, lớp chương I các em 16 tiết , kiến thức trang bị cho các em tương đối ít, các bài tập sách giáo khoa đưa đa số các bài toán đã có hình vẽ sẵn , điều này các thầy cô giáo dạy không muốn khai thác thêm các bài toán để phát huy óc sáng tạo các em, vô tình bỏ quên các em học sinh giỏi , , đối tượng mà thường các đợt thi học sinh giỏi mang lại cho nhà trường vị trí cao và mang lại cho các thầy cô giáo niềm vui quá trình giảng dạy Khi dạy chương II hình 7, nhiều muốn dạy các bài toán nâng cao , nhiều để giảm bớt khó khăn thầy cô giáo thường đưa thêm các định lý như: Đường trung bình tam giác,tính chất đường trung tuyến tam giác vuông, Cách giải đó người ta thường nói ví von : “ Giết gà dao mổ trâu”, vô tình lại không phát huy trí lực các em Trong phần này : “ Chuyên đề : Chứng minh ba điểm thẳng hàng ” dành cho các em học sinh lớp học chương Do đó các bài toán chuyên đề giải kiến thức mà các em có , cách giải có thể không hay vừa sức với các em B Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7: D Phương pháp 1: ( Hình 1) Nếu ABD DBC 180 thì ba điểm A; B; C thẳng hàng Phương pháp 2: ( Hình 2) C B A hình 1 Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng a (Cơ sở phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7) Phương pháp 3: ( Hình 3) Nếu AB a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng C B A hình 2 ( Cơ sở phương pháp này là: Có và đường thẳng A a’ qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước B - tiết hình học 7) Hoặc A; B; C cùng thuộc đường trung trực C đoạn thẳng (tiết 3- hình 7) a hình 3 x Phương pháp 4: ( Hình 4) Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác góc xOy B thì ba điểm O; A; B thẳng hàng A O Cơ sở phương pháp này là: hình 4 y Mỗi góc có và tia phân giác * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm BD và AC Nếu K’ Là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng có trung điểm) (2) C Các ví dụ minh họa cho phương pháp: Phương pháp Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M là trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BMC CMD 180 Do AMB BMC 180 nên cần chứng minh AMB DMC BÀI GIẢI: AMB và CMD có: B AB = DC (gt) = BAM DCM 900 A / M / C MA = MC (M là trung điểm AC) hình AMB DMC D Do đó: AMB = CMD (c.g.c) Suy ra: 0 Mà AMB BMC 180 (kề bù) nên BMC CMD 180 Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N là các điểm trên BC và ED cho CM = EN N // E D Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng Gợi ý: Chứng minh CAM CAN 180 từ đó suy ba điểm M; A; N thẳng hàng A BÀI GIẢI (Sơ lược) // C B ABC = ADE (c.g.c) C E M hình NAE ACM = AEN (c.g.c) MAC 0 Mà EAN CAN 180 (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên CAM CAN 180 Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm) BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N là trung điểm BE và CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A có ABC 60 Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A phía cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, điểm D thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC) Gọi M là trung điểm HK Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng Bài 4: Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB, kẻ = Hai tia Ax và By cho BAx ABy Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm A và C), trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm B và D) cho AC = BD, AE = BF (3) Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng Bài 5.Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự D và E Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng qua điểm PHƯƠNG PHÁP Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N là trung điểm các cạnh AC, AB Trên Các đường thẳng BM và CN lấy các điểm D và E cho M là trung A E điểm BD và N là trung điểm EC D / = Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng N M Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp = / Ta chứng minh AD // BC và AE // BC C B BÀI GIẢI Hình BMC và DMA có: MC = MA (do M là trung điểm AC) BMC DMA (hai góc đối đỉnh) MB = MD (do M là trung điểm BD) Vậy: BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: ACB DAC , hai góc này vị trí so le nên BC // AD (1) Chứng minh tương tự : BC // AE (2) Điểm A ngoài BC có và đường thẳng song song BC nên từ (1) và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm E, A, D thẳng hàng Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N cho D là trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy M, C, N thẳng hàng A BÀI GIẢI x AOD và COD có: = * X OA = OC (vì O là trung điểm AC) O B D / / AOD COB (hai góc đối đỉnh) = * OD = OB (vì O là trung điểm BD) X Vậy AOD = COB (c.g.c) M C N DAO OCB Suy ra: Do đó: AD // BC Nên DAB CBM (ở vị trí đồng vị) hình DAB và CBM có : AD = BC ( AOD = COB), DAB CBM , AB = BM ( B là trung điểm AM) Vậy DAB = CBM (c.g.c) Suy ABD BMC Do đó BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Baì Cho tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính AC Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B E và F ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng (4) PHƯƠNG PHÁP Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là trung điểm BC a) Chứng minh AM BC b) Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính cho chúng cắt hai A điểm P và Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp giải - Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC = = - AP, AQ là tia phân giác góc BAC BÀI GIẢI P Cách Sử dụng phương pháp / / C B M a) Chứng minh AM BC ΔABM và ΔACM có: Q AB =AC (gt) Hình AM chung MB = MC (M là trung điểm BC) Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: AMB AMC (hai góc tương ứng) 0 Mà AMB AMC 180 (hai góc kề bù) nên AMB AMC 90 Do đó: AM BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c) Suy ra: PMB PMC (hai góc tương ứng), mà PMB PMC 180 nên PMB PMC = 900 Do đó: PM BC Lập luận tương tự QM BC Từ điểm M trên BC có AM BC,PM BC, QM BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Cách Sử dụng phương pháp Chứng minh : ΔBPA = ΔCPA BAP CAP Vậy AP là tia phân giác BAC (1) ΔABQ = ΔACQ BAQ CAQ Vậy AQ là tia phân giác BAC (2) Từ (1) và (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ:Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox và Oy lấy hai điểm B và C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính cho chúng cắt hai điểm A và D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác góc xOy BÀI GIẢI: ΔBOD và ΔCOD có: OB = OC (gt) x OD chung B BD = CD (D là giao điểm hai đường tròn tâm B và tâm C = = / cùng bán kính) A D O Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) / = = C Suy : BOD COD y Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox và Oy Hình 10 (5) Do đó OD là tia phân giác xOy Chứng minh tương tự ta OA là tia phân giác xOy Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng BAÌ TẬP THỰC HÀNH Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM AC, CN AB ( M AC , N AB ), H là giao điểm BM và CN a) Chứng minh AM = AN b) Gọi K là trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H là trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx và Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K là trung điểm MN A Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng M Gợi ý: Xử dụng phương pháp = K' F Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC) C B E K BME và CNF vuông E và F có: = hình 11 N BM = CN (gt), MBE NCF ( cùng ACB ) Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF Gọi K’ là giao điểm BC và MN ' ' MEK’ và NFK’ vuông E và F có: ME = NF (cmt), EMK FNK ( so le ME // FN) Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ A Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’ Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng Cách Kẻ ME // AC (E BC) ACB MEB (hai góc đồng vị) ACB ABC MEB Mà nên MBE Vậy ΔMBE cân M Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta B ME = CN ’ Gọi K là giao điểm BC và MN ΔMEK’ và ΔNCK’ có: M = E Hình 12 K' K C = N ' ME K ' NC K (so le ME //AC) ME = CN (chứng minh trên) ' ' MEK NCK (so le ME //AC) Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’ Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’ Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý không biết là sai Ví dụ Cho tam giác ABC cân A , BAC 108 , Gọi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C cho CBO 12 Vẽ tam giác BOM ( M và A cùng thuộc nửa (6) mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh OCA OCM từ đó suy tia CA và tia CM trùng BÀI GIẢI 0 ABC ACB 180 108 360 Tam giác ABC cân A nên (tính chất tam giác cân) Mà CO là tia phân giác ACB , 0 M nên ACO BCO 18 Do đó BOC 150 A ΔBOM nên BOM 60 = 0 Vậy : MOC 360 (150 60 ) 150 ΔBOC và ΔMOC có: OB = OM ( vì ΔBOM đều) = 108 / 12 B // O / C Hình 13 BOC MOC 1500 OC chung Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) Suy ra: OCB OCM mà OCB OCA (gt) nên OCA OCM Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và OCA OCM nên tia CA và tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm) Lưu ý: Trong phần này chuyên đề chưa hoàn chỉnh, thầy cô giáo dạy toán lớp muốn sử dụng cần viết lại từ phần đặt vấn đề và bổ sung thêm bài tập hoàn chỉnh Chúc tất chúng ta , người làm nghề “lái đò” có ngày 20//11 trọn vẹn Chào thân ái (7) (8)