Về điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ưu cấp hai.pdf

Về điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ưu cấp hai.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-o0o -

NGUYỄN THỊ LAN ANH

VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-o0o -

NGUYỄN THỊ LAN ANH

VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2009

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐƠN MỤC TIÊU 1.1 Các khái niệm và định nghĩa 4

1.2 Các tập tiếp tuyến cấp một và cấp hai 8

1.3 Điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ưu cấp hai 15

Chương 2 ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 2.1 Kiến thức chuẩn bị 33

2.2 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán đa mục tiêu với ràng buộc tập 37

2.3 Điều kiện cần tối ưu Fritz John 41

2.4 Điều kiện tối ưu Kuhn-Tucker 45

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

MỞ ĐẦU

Lý thuyết các điều kiện tối ưu trong tối ưu đơn mục tiêu và đa mục tiêu trơn và không trơn phát triển rất mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả đẹp đẽ và phong phú Lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 2 là một bộ phận quan trọng của lý thuyết các điều kiện tối ưu

Từ các điều kiện cần ta có được tập các điểm dừng mà trong đó bao hàm các nghiệm của bài toán tối ưu Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta tìm ra nghiệm của bài toán đó Thông thường người ta đưa vào các tập tiếp tuyến cấp 2, các tập tuyến tính hoá cấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 và từ đó dẫn tới các điều kiện tối ưu cấp 2 kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker

J F Bonnans, R Cominetti và A Shapiro [3] đã nghiên cứu các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, các khái niệm chính quy cấp 2 và chính quy cấp 2 ngoài Từ đó, các tác giả đã thiết lập các điều kiện cần tối ưu cấp 2 với điều kiện chính quy Robinson, và các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu không trơn với ràng buộc nón G Bigi và M.Castellani [4] đã nghiên cứu tập các phương giảm cấp 2 Tập các phương chấp nhận được cấp 2 tập tiếp liên cấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard Từ đó, các tác giả dẫn các điều kiện cần tối ưu Fritz John cấp 2 trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên kiểu Motzkin, và các điều kiện cần tối ưu Kuhn-Tucker cấp 2 với các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard

Luận văn tập trung trình bày các điều kiện chính quy cấp 2 và các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp 2, tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp 2 và các đạo hàm theo phương cấp 2

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày các nghiên cứu của J F Bonnans, R Cominetti và A Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, điều kiện chính quy cấp 2 và điều kiện chính quy cấp 2 ngoài Với điều kiện chính quy Robinson, các điều kiện cần tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu với ràng buộc nón không trơn được trình bày cùng với các điều kiện đủ tối ưu cấp 2

Chương 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu của G Bigi và M.Castellani [4] về điều kiện cần tối ưu cấp 2 cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên Motzkin không thuần nhất Các nghiên cứu về tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp 2, các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard được trình bày cùng với các điều kiện cần cấp 2 Fritz John và Kuhn-Tucker

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp Cao học Toán K15 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2009

Nguyễn Thị Lan Anh

1.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA

trong đóX là không gian hữu hạn chiều,Y là không gian Banach,

K là một tập con lồi đóng của Y, hàm mục tiêu f : X R và ánh xạ

ràng buộc G X: Y được giả thiết là khả vi liên tục hai lần Kí hiệu

: G ( )K

  là tập chấp nhận của bài toán ( )P

Một số bài toán tối ưu có thể phát biểu dưới dạng bài toán ( )P Khi

Y  và K  0 Rp q Tập chấp nhận được của ( )P được xác định bởi

một số hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, và ( )P trở thành

bài toán quy hoạch phi tuyến

Ví dụ khác, ta xét không gian Y C( ) gồm các hàm liên tục  : ¡

xác định trên không gian metric compăc  trang bị chuẩn sup

Trong trường hợp này, ràng buộc G( x ) K tương ứng với

g( x, ) 0  với mọi   , trong đó g( x,.) : G( x )(.) Nếu tập  là vô hạn, ta nhận được một số vô hạn các ràng buộc, và (P) trở thành bài toán quy hoạch bán vô hạn

Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu điều kiện tối ưu là xét các bài toán tối ưu có dạng

x X

min g( F( x )),

 (1.1) trong đó g Y:   R   là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới và

F : X Y Bài toán này tương đương với bài toán tối ưu sau (xem [7]):

g( r, y ) rI ( y ) và F( x ) ( f ( x ),G( x )) ,

trong đó I ( y ) 0K  , nếu yKvà bằng  nếu yK(xem [7]) Cho nên hai cách tiếp cận là tương đương

1.1.2 Các khái niệm và định nghĩa

h ( y,.) trùng với trên đồ thị của h ( y,.)

Khi h ( y,d )' tồn tại và là hữu hạn, ta kí hiệu h ( y ;d , )''  và

h ( y ;d , ) : liminf



h( ytdt) h( y ) th ( y,d )2

h ( y ;d , ) : lim sup

h( ytdt) h( y ) th ( y,d )2

h ( y ;d , ) : liminf

   Nói riêng, điều này đúng, nếu h(.) lồi, hữu

hạn, và liên tục, và do đó là liên tục Lipschitz tại y Kí hiệu *

Y là không gian đối ngẫu của Y và y , y giá trị *y ( y )* của hàm tuyến tính **

y Y tại yY Với ánh xạ tuyến tính liên tục

Df ( x ),D f ( x ) tương ứng là đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai

của hàm f ( x );B :Y yY : y 1 là hình cầu đơn vị trong Y;

 y :ty : tR là không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y (một chiều nếu y  0)

1.2 CÁC TẬP TIẾP TUYẾN CẤP MỘT VÀ CẤP HAI

Giả sử K là tập con đóng của không gian Banach Y Nón tiếp tuyến cấp 1 của K tại điểm yK được định nghĩa như sau:

T ( y ) : K  h Y : dist(y + th, K) = o(t), t 0  (1.3) Nhắc lại [2] các khái niệm giới hạn trên và dưới của hàm đa trị : X  2Y(từ không gian định chuẩn X vào họ các tập con của Y) theo nghĩa

lim supxyY : xx sao cho yx , yy ,liminfxyY : xx , yx , yy

Theo định nghĩa của giới hạn tập hợp dưới, ta có thể viết K 

t 0

 (1.4) Ta biết rằng khi K là lồi thì cũng có

K

t 0

KyT ( y ) lim sup

 ( 1.5) Chú ý rằng nếu K là nón lồi và yK, thì T ( y )K cl K  y , trong đó  y ký hiệu không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y và cl ký hiệu bao đóng theo tôpô chuẩn của Y

Tương tự (1.4) và (1.5), ta xét biến phân cấp hai của tập K tại điểm

yK theo phương d

K2

t 02

K - y - tdT ( y,d ) : liminf

T ( y,d )O ( y,d ), và các tập tiếp

tuyến cấp hai này khác rỗng chỉ nếu dT ( y )K Cả hai tập

O ( y,d ) có thể không lồi

Ví dụ dưới đây chứng minh rằng không giống như các nón tiếp tuyến cấp một, các tập tiếp tuyến cấp hai trong và ngoài có thể khác nhau

Ví dụ 1.1

Ta xây dựng một hàm tuyến tính từng khúc lồi y( x ),xR , dao

động giữa hai parabol 2

yx và y2x2 Ta xây dựng ( x ) thoả mãn:

 

( x )( x ),( 0 ) 0,

và với dãy đơn điệu giảm đến không xk nào đó, hàm ( x ) là tuyến tính

k 1kkk

x  ,x , ( x ) x và đường thẳng đi qua các điểm

( x , ( x )) và xk 1 ,xk 1  là tiếp xúc với đường cong y2x2

Như vậy với điểm xk 0, xét đường thẳng đi qua điểm ( x ,x )kk2 và tiếp xúc với đường cong 2

y2x Đường thẳng này giao với đường cong

T ( 0,d ) x, y : y4 ,

O ( 0,d ) ( x, y ) : y2

Với mỗi R, ''( 0;1, )=2 và +''( 0;1, )=4 và do đó (.) là không khả vi theo phương cấp hai tại điểm 0

Ta nói rằng tập K là khả vi theo phương cấp hai tại yK theo phương d, nếu

trong đó h :Y   R   là hàm lồi chính thường Giả sử h( y ) 0 ,

  (1.8) Nếu giả thiết thêm h(.) là liên tục tại y, thì

h( yt dt) 02 

Khi đó,

1h( yt dt)



Do đó, 2nnn

h( yt dt) 02 

   với n đủ lớn

Vì vậy,

O ( y,d )

Bây giờ giả sử h ( y;d , )=0 

 , và do đó tồn tại tn 0 và n sao cho

h( yt dt)o( t )2 

 ' 1'2'  1'2'' 1'2  

h( yt dt) ( 1t ) ( t ,)t h y

2  2 2 , (1.10) trong đó

1( 1t )

2 Khi đó,

( t ,)h( yt dt)( t )2

Bởi vì ''

t 0 ,   ( yy ) và h( y ) 0 , từ (1.10) ta suy ra với mọi  0,

h ( y;d ,  ) h( y ) 0

Vì vậy, 2K

O ( y,d )

  Vì O ( y,d )K2 đóng, cho  0 ta nhận đƣợc

2K

Oy,d khi mà các tập hợp này khác rỗng Hơn nữa, nếu 2

0 T ( y,d ) thì ba tập này trùng nhau:

1.3 ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI Phần này trình bày các điều kiện tối ưu cấp hai cần và đủ cho bài

toán ( P ) Với bài toán ( P ), ta định nghĩa hàm Lagrange như sau:

L( x, ) : f ( x ) ,G( x ) , Y Hàm Lagrangian suy rộng được định nghĩa như sau:

L ( x, , ) : f ( x ) ,G( x ) , ( , )  R Y

Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán ( P ) Khi đó, các

điều kiện tối ưu kiểu cấp một Fritz John có dạng: tồn tại

rộng ( , ) ( 0,0 )   thỏa mãn điều kiện (1.16) Chú ý rằng với không gian Banach Y tập hợp *( x )0 có thể rỗng Điều kiện tối ưu Fritz John ở trên là điều kiện cần cho nghiệm tối ưu địa phương, tức là *

( x )

   Ta chú ý hai trường hợp quan trọng Cụ thể là khi Y là không gian hữu hạn chiều, hoặc khi K có phần trong khác rỗng

Nếu nhân tử  trong (1.16) khác không thì ta có thể lấy  1, và vì vậy điều kiện cần cấp 1 trở thành

D L( x , ) 0,x0   N ( G( x ))K0 (1.17) Với điều kiện chính quy Robinson (1.13), tập hợp ( x )0 các nhân tử Lagrange thỏa mãn (1.17) là khác rỗng và bị chặn (xem [8])

Khi tập K là một nón lồi và yK, nón pháp tuyến N ( y )K có dạng:

N ( y ) y K : y , y  , trong đó

được gọi là nón tới hạn (critical cone) của bài toán ( P ) tại điểm x0 Nón

này biểu diễn các phương tuyến tính hóa cấp một của ( P ) Chú ý rằng khi

tập ( x )0 các nhân tử Lagrange khác rỗng thì Df ( x )h 00  với mọi hX

  , (1.19) trong đó t0 Điều kiện cần này kết hợp với điều kiện đủ trong định lý 1.2 dẫn tới khái niệm chính quy cấp hai

Ta giả sử T (h) và do đó tập 2

O ( G( x ),DG( x )h ) khác rỗng Ta khẳng định rằng giá trị tối ƣu của bài toán:

Thật vậy, nếu  là điểm chấp nhận đƣợc của bài toán này, sử dụng mệnh đề 1.3 ta nhận đƣợc 2

x : xt ht + o(t )

Dãy xk là chấp nhận được của bài toán ( P ) và hội tụ đến cực tiểu địa

phương x0 Do đó, f ( x )k  f ( x )0 với mọi k đủ lớn Sử dụng khai triển Taylor cấp hai ta có

Như vậy, giá trị tối ưu của bài toán (1.21) không âm Bây giờ ta xét

tập T(h) := cl {T (h) T ( G( x ))K0  Tập này là bao đóng tôpô của tổng hai tập lồi và vì thế là lồi Hơn nữa, từ bao hàm thức (1.12) và sự kiện: các tập tiếp tuyến ngoài cấp hai đóng, ta suy ra

T( h )O ( G( x ),DG( x )h )

Rõ ràng nếu ta thay đổi các tập tiếp tuyến cấp hai ngoài trong (1.21)

bằng tập con T( h ) của nó thì giá trị tối ưu của bài toán tối ưu sẽ lớn hơn

hay bằng giá trị tối ưu của (1.21) Do đó, giá trị tối ưu của bài toán: 020

Min Df ( x ) +D f ( x )( h,h )

 , (1.22) DG( x ) +D G( x )( h,h ) T( h )0  20 

Max D L( x , )( h,h )( ,T( h ))

  (1.23) Thật vậy, hàm Lagrange của (1.22) là

Ta nhận đƣợc giá trị tối ƣu của (1.23) không âm Bởi vì T (h)T( h ), ta có ( ,  T (h)) ( ,T( h )) Vì vậy ta suy ra (1.20) và định lý đƣợc chứng minh

T( y,d ) : :dist(y+t dt,K)= (t )2

T ( y,d ) theo tất cả s là T (y,d)K2 , và hợp của T ( y,d )K2,s lấy theo

s  là O ( y,d )K2 Một cách chọn T (h) là 2,s

T ( G( x ),DG( x )h ) với bất kỳ s

(v) Ta có thể phát biểu điều kiện cần cấp hai (1.20) dưới dạng

2xx0 O(h)( x )

infsupD L( x , )( h,h )( ,T( h ))0

T (h)

trong đó O(h) kí hiệu tập tất cả các tập con lồi của

y O ( G( x ),DG( x )h )

infsupD L( x , )( h,h ), y0

  (1.25) Nếu ( x )0 là tập một phần tử, chẳng hạn ( x )0  0 , thì điều kiện (1.25) trở thành

D L( x ,xx20 0)( h,h ) (0,O ( G( x ),DG( x )h )) 0K200  (1.26)

Định nghĩa 1.1

Giả sử S là tập các điểm chấp nhận được của bài toán ( P ) thoả mãn f ( x ) f0 với mỗi xS Ta nói rằng điều kiện tăng trưởng cấp hai đúng tại S nếu tồn tại hằng số c0 và lân cận N của S sao cho

  20

f ( x )fc dist(x,S)với mọi x  N (1.27)

Nói riêng, nếu S  x0 là tập một phần tử, điều kiện tăng trưởng cấp hai (1.27) sẽ có dạng

f ( x ) f ( x ) c x0  x02 với mọi x  N (1.28)

Điều này rõ ràng kéo theo x0 là một nghiệm tối ưu địa phương của

( P ) Hơn nữa, với giả thiết điều kiện Ronbinson (1.13) đúng, khi đó với

bất kỳ h C( x ) 0 giá trị tối ưu của (1.21) là lớn hơn hay bằng 2c h2 Vì

thế điều kiện cần cấp hai (1.20) trở thành bất đẳng thức chặt với mọi

h C( x ) khác không

Điều kiện cần cấp hai (1.20) được dựa trên đánh giá ước lượng trên của hàm mục tiêu dọc theo đường cong parabol chấp nhận được có dạng (1.19) Để đánh giá ước lượng dưới, và do đó để nhận được điều kiện đủ cấp 2 ta đưa vào khái niệm sau

trong đó tk 0 và rk Mk ak với  ak là dãy hội tụ trong Y và

 k  X thỏa mãn tkk 0, điều kiện dưới đây đúng: kK ,M

lim dist( r ,A( y,d )) 0

  (1.29) Nếu điều kiện trên đúng với bất kỳ X và M, tức là (1.29) thỏa mãn với bất kỳ dãy

kk k

yt dt rK2

sao cho t rk k 0, thì ta bỏ qua M và nói rằng tập A ( y,d )K là tập xấp xỉ trên cấp hai của K tại điểm y theo phương d

Định nghĩa trên nhằm mục đích cho ta tập đủ lớn A ( y,d )K sao cho

nếu y td ( t ) là đường cong trong K mà tiếp xúc với d với

( t )( t )

  , thì số dƣ cấp hai

( t )r( t ) :

O ( y,d ) nằm trong các tập xấp xỉ trên cấp haiK( y,d )

Định lý 1.2

Giả sử x0 là điểm chấp nhận được của bài toán ( P ) thỏa mãn điều kiện tối ưu cấp một ( kiểu Fritz John) (1.16) Giả sử mỗi h C( x ) 0 tương ứng với một tập xấp xỉ trên cấp hai trên ( h ) :K ,M( y ,d )0 của tập Ktại điểm y : G( x )0  0 theo phương d : DG( x )h 0 và theo ánh xạ tuyến tính

M : DG( x ) Giả sử rằng điều kiện cấp hai dưới đây thỏa mãn:

2*xx0(, )( x )

supD L ( x , , )( h,h )( , ( h ))0

  (1.30) với mọi h C( x )\ 0 0   Khi đó, điều kiện tăng trưởng cấp hai (1.28) đúng tại x0, và vì vậy x0 là nghiệm tối ưu địa phương chặt của ( P )

f ( x )k  f ( x ) o( t )0  k2 , (1.31) trong đó t :k  xk x0 Bởi vì không gian X là hữu hạn chiều, các tập con đóng bị chặn trong X là compact Vì vậy ta có thể giả sử rằng

xxh :

Df ( x )h 0 Vì vậy h C( x ) 0

Khai triển Taylor cấp hai của G( x )k tại x0, ta có

DG(x ) D G( x )( h,h )( h ) o( 1)B (1.32) Ta cũng có

Vì vậy, sử dụng (1.31) và (1.32) ta tìm được dãy k 0 sao cho



Nếu tập ( x )0 của các nhân tử Lagrange khác rỗng thì điều kiện đủ (1.30) là tương đương với: