de thi hsg Hoajupiter

4 2 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 11/06/2021, 21:58

Thử lại hoặc đối chiếu với điều kiện kết luận nghiệm Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x.. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương hai vế.[r] (1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS TRƯỜNG LONG HÒA KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (3 điểm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình: a x 2+5 x − √ x2 +5 x +4=− b √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ x −3 Bài 3: (4 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I là trung điểm DE Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC H và cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc đường tròn b Chứng minh  ICB =  IDK c Chứng minh H là trung điểm DK Bài 5: ( điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n (2) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (3 điểm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 √ x+2+ √ x − ¿2 Thay ¿ ¿ √¿ √ x +2+ x − 2+ √( x +2)(x − 2) =¿ ¿ √(x +2)(x −2)+ x +2 √ 3+ √ ¿2 ¿ ¿ x=2 √ +3 vào được: √¿ 1 = √2 √ 6+2+3 ¿ Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình: a x +5 x − √ x2 +5 x +4=− x 2+5 x +4 − √ x2 +5 x +4=2 Đặt y=√ x 2+ x + (y  0) được: y2 - y - = Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = Với y = giải √ x2 +5 x+ 4=2 x1 = 0; x2 = -5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc này cần đặt điều kiện bình phương hai vế b √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ x −3 √( x − 1)(x −2)+ √ x +3=√ x −2+ √(x −1)( x +3) 1,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 √ x −1( √ x − 2− √ x+3)− √ x − 2+ √ x +3=0 ( √ x −2 − √ x +3)( √ x −1 −1)=0 0,5 √ x −2 − √ x +3=0 vô nghiệm; √ x −1 −1=0 x = Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,5 Bài 3: (4 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên n =-1: Phương trình có nghiệm Với n  -1  n+10 ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) 2 2 2 = 1+ (n + 3n)(n +3n+2) = (n + 3n) + 2(n + 3n) + =(n + 3n + 1) ’ nên phương trình luôn có nghiệm 0,5 ’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm phương trình là 0,5 số hữu tỉ b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = (3) x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( điểm) 0,5 0,5 B K A M O H D I E C OB  BA; OC  CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI  IA (I là trung điểm dây DE)  B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1) DK // AB (Cùng vuông góc với BO)   IDK = IAB (2) Từ (1) và (2) được:  ICB =  IDK  ICB =  IDK hay  ICH =  IDH  Tứ giác DCIH nội tiếp  HID =  HCD  HCD =  BED (Cùng chắn cung DB (O))  HID =  BED  IH // EB  IH là đường trung bình DEK  H là trung điểm DK Bài 5: ( điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n 1,5 2,5 (4) - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho nên A(n) chia hết cho với n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên A(n) chia hết cho với n - Nếu n chẵn  n2 chia hết cho  A(n) chia hết cho Nếu n lẻ  (n-1) (n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho  A(n) chia hết cho với n - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố cùng nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60 (Mỗi bước cho 0,5 điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 (5)
- Xem thêm -

Xem thêm: de thi hsg Hoajupiter, de thi hsg Hoajupiter