HSG toan 9

30 1 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 10/06/2021, 17:40

Trên cung nhỏ AB lấy điểm N, tiếp tuyến tại điểm N của đường tròn O cắt MA tại E, MB tại K; đường vuông góc với MO tại O cắt tia MA tại C, tia MB tại D.. Chứng minh : Tam giác CEO và tam[r] (1)ĐỀ luyÖn THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 120 phút ĐỀ SỐ 01 Bài 1: (3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 3  3 a) A = b) B =   3 2 3 14  13  12  11  44  52  b) C = 10  24  40  60   40 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: D = x  2x  b) Giải bất phương trình: 3x   c) Giải phương trình: 16 x 17 8 x  23 Bài 3: (1,5 điểm) a4 a 4  4 a a 2  a ( Với a  ; a  ) Cho biểu thức : P = a) Rút gọn biểu thức P b) Tính P a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 120 phút ĐỀ SỐ 06 (2) Bài 1: (3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 32 5 29  12 3 2 b) B = 17  12  32 17  12 2 Không xử dụng máy tính , So sánh hai số a và b với: a = 2011  2010 và b = 2010  2009 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức Côsi: a b  ab Với hai số a và b không âm, chứng minh rằng: 2 Giải phương trình sau: x    x 3x  12 x  14 Cho A = x    x Chứng minh rằng: A  Bài 3: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : AC = 20 : 21 và AH = 420 Tính chu vi tam giác ABC Cho góc nhọn  a) Biết cos  – sin  = 0,2 Tính cotg  b) Tính sin210 + sin220 + sin230 + ……….+ sin2870 + sin2880 + sin2890 Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H là trực tâm tam giác Gọi D và E là các   điểm trên các đoạn thẳng BH và CH cho ADC  AEB 90 Chứng minh tam giác ADE cân ĐỀ SỐ 07 (3) Bài 1: (3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: A = 13  160  53  90 b2  b b2  b  Cho biểu thức P = b  b  b  b  a) Rút gọn biểu thức P 3 2 b) Tính giá trị P b = Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình :  x   x 3 a) Với a, b tùy ý, chứng minh rằng: a  b a b  x  2009  b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M =   x  2010  Bài 3: (3 điểm) Tìm x, biết sinx.cosx = 0,5 và sin2x +cos2x = Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và C là điểm bên ngoài nửa đường tròn CA, CB cắt nửa đường tròn N và M Gọi H là giao điểm AM và BN a) Chứng CH  AB  b) Giả sử CH = 2R Tính tang ACB Bài 4: (2 điểm) Tử điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B và C là hai tiếp điểm Gọi E là hình chiếu C trên đường kính BD đường tròn (O) AD cắt CE K Chứng minh K là trung điểm CE (4) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 04 Bài 1: (2 điểm)   2 2          Thực phép tính: 1 1      10 100 Chứng minh rằng: 2 Bài 2: (2 điểm) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y 1 z  2Giải phương trình: Bài 3: (2 điểm)  x  y  z x  x 1  x  x 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2  4x   x  2   x  Tìm giá trị lớn biểu thức: B = Bài 4: (2 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB và tiếp tuyến d B Trên d lấy hai điểm C và D (B nằm C và D) CA và DA cắt đường tròn (O) M và N Chứng minh AM AC = AN AD Bài 5: (2 điểm) Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn (A,B là hai tiếp điểm) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC đường tròn Chứng minh PC cắt AH trung điểm I AH === HẾT=== (5) ĐỀ luyÖn THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 09 Bài 1: (3 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A = 80  45  20 3 b) B =  13   13 Rút gọn biểu thức P = x   x   x   x  , với  x 4 Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: a) x  x  2  x 2 b) x  x   x  x   x  x  3  9x  Cho < x < 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =  x x Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm đường cao AD Chứng minh tgB tgC = ==== HẾT===== (6) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 06 Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c) Chứng minh x4 + x3 + 2x2 + x + luôn nhận giá trị dương với x Bài 2: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: A =  2010  2011  2011 2010  2010 2011 2011 2010  2010 2011 x   x  x  1 x  4( x  1) B = Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình sau: với x  và x  3x  x 2 x  x   x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x  y  x  10 y  xy  2023 với x, y là các số thực không âm Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm, các đường thẳng BH và CH cắt  AC và AB M và N, NHM 120 MN   Chứng minh AMN  ABC , tính BC AH Tính BC Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = 13cm; BC = 10cm Tính cos A Bài 6: (1 điểm) 2n  1   2n   2n  Cho biểu thức M =  Chứng minh M  16 với n  N ====HẾT==== (7) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 07 Bài 1: (1,5 điểm) 1.Cho x và y là hai số khác cho x2 – y = y2 – x Tính giá trị biểu thức A = x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y 2.Tìm chữ số tận cùng tổng 9994 + 999 Bài 2: (1,5 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:  32  3 2  3 2  32  14  2  5 1,5  2 Bài 3: (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ các biểu thức: A = x  x   x  2011 B =   x  1 2 2 C = x  y  x  y  11  x  y  x  y  Bài 4: (1,5 điểm) Chứng minh bất đẳng thức x y   y x   xy (với x  1; y  1) x2 x  x x  x 3 2 Giải phương trình: Bài 5: (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6; BC = Vẽ AH  BD Gọi M là trung điểm HB; N là trung điểm CD Tính MA2 + MN2 Bài 6: (2,0 điểm) Qua điểm M ngoài đường tròn (O; R) kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn A và B, kẻ qua M đường thẳng khác cắt đường tròn C và D So sánh các tích MA MB và MC MD MDT Kẻ tiếp tuyến MT với đường tròn (T là tiếp điểm) Chứng minh MTC ===HẾT==== (8) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 08 Bài 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức : A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 Chứng tỏ với số nguyên x, giá trị A là số chính phương Tìm số nguyên x cho A = 25 Bài 2: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: 1 1      9  2  3  98  99 99  100 a) 1 1      28 225 b) 2 Cho biểu thức x  x 19  x  x  10 3 Tính giá trị biểu thức : M = Bài 3: (2,0 điểm) x  x  19  x  x  10   a  b2    Với a 0, b , chứng minh a + b x 3 y Tìm giá trị lớn biểu thức S = , biết x + y = Giải phương trình sau: x   10  x x  12 x  40 Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (O; r), cạnh AB tiếp xúc với đường tròn D Gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh : S = r (AD + BC) Bài 5: (2,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC M và N MO MO Chứng minh: CD + AB =1 1 2 Chứng minh: AB + CD =MN Biết S AOB =m2 ; SCOD =n Tính S ABCD theo m và n (với S AOB , SCOD , S ABCD là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD) Bài 6: (1,0 điểm) Chứng minh a3b – ab3 chia hết cho với số nguyên a và b === HẾT==== (9) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 09 Bài 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A = n3 – 4n2 + 4n – 1 Phân tích A thành nhân tử Tìm số tự nhiên n để giá trị A là số nguyên tố Bài 2: (3 điểm)   3   3 3 Rút gọn biểu thức: So sánh hai số: 3 3  3 4 a = 2  3 2  3 ; b =  4 Tính giá trị biểu thức : P = ( x3 + 12x – 9)2010 x = Bài 3: (2,0 điểm)   x Giải phương trình sau:   1   4 2 4  51  x   x  5 x  7 x  x  2 a b   a b b a Chứng minh rằng: a > 0; b > thì Bài 4: (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC Trên tia đối tia DC lấy điểm P Tia PM cắt đoạn thẳng AC Q   Chứng minh : QNM MNP Bài 5: (1,5 điểm) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác mà độ dài các đường cao là 1 1    h1 ; h2 ; h3 Chứng minh hệ thức: r h1 h2 h3 ====HẾT==== (10) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (2,0 điểm) Cho biết a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức :  a  b  c  1  1  1  A =  b  c  a  Bài 2: ( 4,5 điểm) Không xử dụng máy tính, hãy: So sánh hai số: a = 2009  2011 và b = 2010 Rút gọn các biểu thức sau: 3 2  17  12 32 17  12 A= Tính giá trị biểu thức: x2  x x2  x  B = x  x 1 x  x 1 3 2 với x = Bài 3: ( 4,0điểm) Giải các phương trình sau:  x   x 2 Cho hàm số: y = x   x   x   x  a) Tìm các giá trị x để y có nghĩa ? b) Tìm giá trị nhỏ hàm số đã cho Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi M, N là trung điểm AB và CD Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD và BC theo thứ tự E và F  F  Chứng minh E Bài 5: (4 điểm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, và C là hai tiếp điểm) Gọi E, F là trung điểm AB, AC Từ điểm T bất kì trên cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt đoạn thẳng EF M Chứng minh MA = MT Bài 6: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: 10 a = 21  1200 20 13 b = 39  39 40 2007 2005 c = 2005  2007 2006 ======HẾT===== (11) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (5,0điểm) 3  b  c   c  a   a  b 2 Rút gọn biểu thức: A = a  b  c   b  c  a   c  a  b  Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: P =    + 1 Q = Bài 2: (3,0điểm) 1 1 1         2 3 2005 20062 3 Chứng minh a  b ab(a  b) với a, b 0 Áp dụng kết trên, chứng minh bất đẳng thức : 1   1 a  b3  b3  c  c  a  với a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1 Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình: Bài 4: (3 điểm)  x  3  x  1   x  3 x 1  0 x tan ABC AC  AB  BC Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh Bài 5: (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Gọi O là trung điểm AB Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D  cho COD 90 Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn đường kính AB Bài 6: (3 điểm) Chứng minh 16n – chia hết cho 15 không chia hết cho 17 với n lẻ Chứng minh rằng: x 3m2  x 3n 1   x  x    với số tự nhiên m và n ======HẾT===== (12) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 12 Câu (3,0 điểm) Phân tích x5 + x – thành nhân tử Phân tích số 10 000 000 099 thành tích hai số tự nhiên khác Câu (3,0 điểm) 11       2   14  Rút gọn biểu thức: A = Câu 3: (4 điểm) 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x  2007  x  2008  x  2009  x  2010 Giải phương trình: 1 x  x   x  2 Câu 4: (4 điểm) 2n n n1 Chứng minh 19  chia hết cho 17 với số tự nhiên n Chứng minh : M 4n  3n  n  n  Với số nguyên dương n, giá trị biểu thức không thể là số tự nhiên Câu 5: (6 điểm)   Cho hình thang vuông ABCD ( A B 90 ), tia phân giác góc C qua trung điểm O AB Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn (O; OA) Gọi H là tiếp điểm CD với đường tròn (O; OA) Gọi K là giao điểm AC Và BD Chứng minh KH song song với AD Cho biết AB = 2a Tính tích hai đoạn thẳng AD và BC theo a ==== HẾT====== (13) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 13 Câu ( 3điểm ): Rút gọn các biểu thức sau: √ 10+ √ 20 −3 √ − √ 12 a) A = √5 − √3 b) B = a  b  c  ac  bc  a  b  c  ac  bc (a >0, b > 0, c > , a + b  c) Câu 2: (3điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 2n n A(n) = 7.5  12.6 chia hết cho 19 Tìm các số nguyên x và y cho xy – x – y = Câu 3: (3điểm)  Chứng minh bất đẳng thức:  Giải phương trình: x2 +3 x − √ x + x=1 Câu 4: (3 điểm) x  x  2 0 với x 0 a 0; b 0    a  2b  4c  0 2a  b  7c  11 0  Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức Q = 6a + 7b + 2006c Câu 5: (4 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Gọi d là tiếp tuyến đường tròn, C là tiếp điểm D và E là các hình chiếu A và B trên đường thẳng d Chứng minh hai điểm D và E ngoài đường tròn (O) Kẻ CH  AB (H  AB) Chứng minh AD BE = CH2 Câu 6: (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD) Gọi M và N là trung điểm hai đáy BC và AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD Q · Chứng minh MN là tia phân giác góc PMQ &&&&&&& HẾT&&&&&&& (14) TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 14 Bài 1: (3 điểm) a M 2  b  c   a  b  c    ab  bc  ca  2  a  b  c    ab  bc  ca  Cho phân thức a) Tìm các giá trị a, b, c để M có nghĩa ? b) Rút gọn phân thức M Bài 2: (4 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a) A 4 B  21  80 10  x2 x  x x x  x   x  x  với x 2 b) Bài 3: (3 điểm) n2 n 1 a) Chứng minh 11  12 chia hết cho 133 với số tự nhiên n b) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình xy – 4x = 35 – 5y Bài 4: (3 điểm) a) Giải phương trình √ x + x+1− √ − √5=0 b) Cho a, b, c  Chứng minh a + b + c  ab  bc  ca Bài 5: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB, M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn Vẽ tiếp tuyến M cắt các tiếp tuyến với nửa đường tròn A và B theo thứ tự C và D Điểm M vị trí nào trên nửa đường tròn thì tứ giác ACDB có diện tích nhỏ ? Tính theo R diện tích nhỏ đó Bài 6: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB AC và BD là hai dây cung nửa đường tròn cắt điểm M bên nửa đường tròn (O) Chứng minh AM AC + BM BD = AB2 ********************** HẾT*************************** (15) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 15 Bài 1: (3 điểm) a) Tìm số dư phép chia S : 101 đó: S = 1n + 2n + 3n + …………… + 97n + 98n + 99n với n là số tự nhiên lẻ n 3 n 1 b) Chứng minh : Nếu n là số tự nhiên lẻ thì  chia hết cho 25 Bài 2: (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a)A = 12  140 12  140    7 12  140 32  28 12  140 b) B = x  x   x  x  Bài 3: (3 điểm) Giải phương trình : a) x   x x 3 10  x x  x  12  b)  Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, kẻ dây CD tùy ý không vuông góc với AB và cắt AB I Gọi M và N là hình chiếu A và B trên CD Chứng minh CM = DN Bài 5: (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CE  AB, CF  AD Chứng minh : AB AE + AD AF = AC2 Bài 6: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: ( với a, b, c > 0) 1    a b b c c a a b c *******HẾT****** (16) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 16 Bài 1: (3 điểm) a) Tìm các chữ số x, y để 1234 xy72 b) Với n là số tự nhiên, chứng minh 9.10n + 18 chia hết cho 27 Bài 2: (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a) A =  3   3 4  4 b) B =     Bài 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: x   x   x    100 x  100 165 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y 2 xy  11 Bài 4: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: 1 a b c d    2 a b  d a b c b c  d a c d (với a, b, c, d > 0) Bài 5: (3 điểm) Cho hình thang ABCD đáy AB = cm, đáy CD = cm, AD = cm , BC = cm Tính diện tích hình thang Bài 6: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và E là điểm di chuyển trên nửa đường tròn ( E khác A và B) Tiếp tuyến E nửa đường tròn cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B nửa đường tròn C và D Gọi H là hình chiếu E trên AB  a) Chứng minh HE là phân giác CHD b) Chứng minh CD EH không đổi E di chuyển trên nửa đường tròn HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút (17) ĐỀ SỐ 17 Câu 1: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A 12  18 2  6 52 b) Chứng minh bất đẳng thức: 2010 2011   2010  2011 2011 2010 Câu 2: (3 điểm) a) Tìm giá trị x để biểu thức x  2 x  có giá trị lớn b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức :  x  1995 P=   x  1996  Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình sau: x  x  20 2 x  10 Câu 4: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, CD là dây cung song song với AB và khoảng cách từ O tới CD dài CD a) Tính CD theo R b) Gọi H là hình chiếu C đến AB và I là giao điểm AB với tiếp tuyến vẽ từ C Với nửa đường tròn O Chứng minh HI = HO, từ đó tính HI và CI theo R Câu 5: (4 điểm) Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC lấy các điểm C1, A1, B1 tương ứng cho AA1 , BB1 , CC1 đồng qui O Đường thẳng qua O song song với AC cắt A1B1 và C1B1 K và M Chứng minh OK = OM Câu 6: (2 điểm) Chứng minh rằng: Nếu n là số tự nhiên chia hết cho thì 2n – chia hết cho 15 === HẾT=== ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút (18) ĐỀ SỐ 18 Câu 1: (3 điểm) a) Rút gọn biểu thức sau: x  y  z  xyz A =  x  y 2   y  z   z  x x  yz y  xz  b) Chứng minh rằng: Nếu x(1  yz ) y (1  xz ) với x  y ; yz 1 ; xz 1 ; 1 x yz    x y z x 0 ; y 0 ; z 0 thì Câu 2: (4 điểm) 2   14    14            a)  14  15      : 1    1 b) Câu 3: (3 điểm) Giải các phương trình sau: a)   x  4 1  x  b)  x  2 5  x 9  x   4 x    0 x  Câu 4: (3 điểm) a) Tìm số dư chia 31993 cho b) Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 3x – 2y – = Câu 5: (3 điểm)  Cho hình thoi ABCD có A 120 Tia Ax tạo với tia AB góc BAx 150 và cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng DC N 1   2 Chứng minh AM AN AB Câu 6: (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB Hai dây cung AC và BD cắt H Chứng minh AH AC + BH BD có giá trị không đổi HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 19 Câu 1: (3 điểm) (19) a) Tìm số dư chia 31998 + 51998 cho 13 b) Tìm tất các số tự nhiên n để n4 + là số nguyên tố Câu 2: (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a) A = 14  2  5 1,5   b) B =  15    15 :  1   2007 2008  2007 Câu 3: (3 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x  x  2010 b) Giải phương trình: Câu 4: (3 điểm) 2x  5 2x  1 1 a) Chứng minh đẳng thức:  n 1 b) Chứng minh bất đẳng thức: 1   n  n n 1 n n 1 với n nguyên dương 1 1     1 1   100 99  99 100 Câu 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB và dây cung CD Vẽ AP và BS cùng vuông góc với CD (P  CD, S  CD) Chứng minh: a) P và S bên ngoài đường tròn (O) b) SAPSB S ACB  S ADB Câu 6: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF S DEF 1  cos A  cos B  cos 2C Chứng minh rằng: SABC HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 20 Bài 1: (5 điểm) (20) a 1 : a) Cho biểu thức P = a a  a  a a  a (với < a  1)  2 3 Rút gọn P và tính giá trị P a =  b) Chứng minh biểu thức A = a2 + b2 – 2ab + a – b + luôn dương với a và b Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình sau: 1   1 x 3  x 2 x   x 1 x 1  x b) Tìm giá trị lớn biểu thức B = + x  x  Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB = a, hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với Tính hai cạnh AC, BC theo a Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC P và Q cho HP = HQ Qua điểm H vẽ đường thẳng vuông góc với PQ cắt BC M Chứng minh rằng: M là trung điểm đoạn thẳng BC Bài 5: (4 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – 2y – = 3x – x2 b) Tìm số dư phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91 hết - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 21 Bài 1: (4 điểm) Rút gọn các biểu thức sau (21) 14   14  5 a) A = a c  b) Cho a, b, c, d là các số dương và b d a b c d Trục thức mẫu biểu thức Bài 2: (4 điểm) a) Với a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng: Nếu a  b  c  ab  bc  ca thì a = b = c b) Cho A = Bài 3: (2 điểm) x 1 x  Tìm các giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 2 Giải phương trình: 3x  3x  x  12 48  x Bài 4: (3 điểm)   Cho tam giác ABC Gọi P là điểm nằm tam giác cho PAC PBC L và M theo thứ tự là chân đường vuông góc vẽ từ P đến BC và AC Chứng minh D là trung điểm AB thì DL = DM Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt Ax, By theo thứ tự C và D a) Chứng minh đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí C để hình thang để tứ giác ABCD có chu vi 14 cm Biết AB = cm Bài 6: (3điểm) Chứng minh với n là số tự nhiên thì: n2 n n 1 a)  26.5  59 2n n b) 7.5  12.6 19 HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 22 Bài 1: (3,0điểm) Rút gọn biểu thức sau: (22) bc  b  c   ac  c  a   ab  a  b  2 a  b  c   b  c  a   c  a  b   4abc P= Bài 2: (4,0 điểm) a) Rút gọn các biểu thức sau: 45  27  45  27 A= 53  5 a) 3  3 3  a b b) a > 0; b > Chứng minh Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình: x  20   3 a b  b a x  x  45 4 2 x  2 x  2 2 x 2 x  b) Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC Gọi M, N , P là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB tam giác ABC cho các đường thẳng AM, BN, CP đồng qui O AP BM CN 1 Chứng minh : PB MC NA Bài 5: (3,,5 điểm) Từ điểm A ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN = 2ON Đường AM trung trực đoạn thẳng CN cắt OA M Hãy tính tỉ số AO Bài 6: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2(x + y) + 16 = 3xy HẾT - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 23 Bài 1: (4điểm) Rút gọn các biểu thức sau: (23) a) 21 2 1   2 2 2 2  2  3 b)   Bài 2: (6điểm) a) Giải phương trình: x  25 x 125 16 x  80   9 12 16 y x y x   b) Chứng minh  x  y  x  y x  45  c)Tìm giá trị nhỏ và lớn biểu thức: Q =  x  x  Bài 3: (3điểm) Cho điểm P nằm đường tròn (O; R) Hai dây cung di động AB và CD cùng qua P và vuông góc với P Chứng minh AB2 + CD2 có giá trị không đổi Bài 4: (4điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt 1 = 2 AE 4AF đường thẳng CD F Chứng minh AB Bài 5: (3điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + 2x2 – y2 + = -HẾT - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 24 Bài 1: (2 điểm) Biết a + b + c = và abc  Chứng minh rằng: (24) 1   0 2 2 b  c  a c  a  b a  b2  c 2 Bài 2: (4 điểm) a) Không xử dụng máy tính, hãy rút gọn các biểu thức sau: A=   1  1  1  2  x b) Cho x, y thỏa mãn: x  2010  y    y  2010 2010 Tính giá trị biểu thức B = x + y Bài 3: (4 điểm) a) Giải phương trình sau: x x2   x  x2  4 b) Với x, y không âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x  xy  y  x  2011, Bài 4: (3 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Đường trung trực AB cắt nửa đường tròn I Trên tia đối tia IO lấy điểm C cho IO = IC Từ C vẽ hai tiếp tuyến CD và CE với nửa đường tròn (D và E là hai tiếp điểm) Trên cung DE lấy điểm S (S khác I) , tiếp tuyến S nửa đường tròn cắt CD và CE H và K Tính số đo góc HOK Bài :(3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD 1   Chứng minh rằng: AB AC AD Bài 6: (4 điểm) a) chứng minh : n 1 n 1 Với số tự nhiên n ta có: 21  17  15 không chia hết cho 19 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = – 3xy + 8y2 -hết ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ 25 Bài 1: (3 điểm) (25) x a) Rút gọn phân thức sau: x 2  x  x  x  12       x  x  x   12 x  yz P x  y2 b) Tính giá trị biểu thức: biết x 0; y 0 và 3x – y = 3z ; 2x + y = 7z Bài 2: (6 điểm) a) Rút gọn biểu thức: Q = b) Giải phương trình: 3 4   10  27  36  45 x  x  x   0 c) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b  c ; a  b  c và  b  a a b  c c  a b  a b c  2  a b c c Chứng minh đẳng thức: Bài 3: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A Một đường tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với AB và AC Kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) cắt hai cạnh AB và AC P và Q Chứng minh : BC2 = 4BP CQ Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC Kẻ đường thẳng bất kì qua trọng tâm G tam giác cắt các cạnh AB và AC P và Q AB AC  3 AP AQ Chứng minh rằng: Bài 5: (4 điểm) 19  2  2   2  10 a) Chứng minh rằng: 2 3  x  y   x  1  y  1 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: ======= HẾT ======= ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ 26 Bài : (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a) A =  15   15   (26)  23 22  22 23 66  22  22  23  22.23 4 b) B = Bài 2: (4 điểm)  2x a) Với giá trị nào x thì phân thức x  x  15 nhận giá trị dương ? 4x  b) Tìm giá trị nhỏ và lớn biểu thức P = x  Bài 3: (4 điểm)  1  a 1 b 1 a) Chứng minh bất đẳng thức:  ab b) Giải phương trình: x  x  2 x  Bài 4: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm D, trên cạnh AB lấy điểm E cho AD = AE Các đường thẳng vuông góc với EC vẽ từ A và D cắt cạnh BC K và L Chứng minh BK = KL Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H là trực tâm tam giác Gọi D và E là các   điểm trên các đoạn thẳng BH và CH cho ADC  AEB 90 Chứng minh tam giác ADE cân Bài 6: (2 điểm) Tìm số dư phép chia 23232299 cho 23 = === HẾT===== ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ 27 Câu 1: (4 điểm) a)Rút gọn biểu thức: A 2  6 12  18 52 ; B= 14   14  5 (27) b) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b  c ; a  b  c và  b  a Chứng minh đẳng thức: Câu 2: (4 điểm) a b   x  c c a b c  2  a b c c  x   x  5 x  7 x  x a)Giải phương trình sau:  a b  2 a b   a b b a b)Chứng minh rằng: a > 0; b > thì Câu 3: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC Trên tia đối tia DC lấy điểm P Tia PM cắt đoạn thẳng AC Q   Chứng minh : QNM MNP Câu 4: (4 điểm) Từ điểm A ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN = 2ON Đường AM trung trực đoạn thẳng CN cắt OA M Hãy tính tỉ số AO Câu 5: (4 điểm) n2 n n 1 a) Chứng minh với n là số tự nhiên thì:  26.5  59 b) Chứng minh với số tự nhiên n  3: 1 1      n 12 B= ======== hết ========== UBND HUYỆN THĂNG BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO Câu 1: (4 điểm) Tính: 3  1) A =  1   ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN – (Thời gian 150 phút) 3  31 5 (1,5 điểm) 2) B =     20 (1,5 điểm) 3) C =     40 (1 điểm) (28) Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình: 1) 4x    9x   (1,5 điểm) 2) x  x   x 10 Câu 3: (1 điểm) Cho 2x2 + 2y2 = 5xy (1,5 điểm) x y Tính D = x  y Câu 4: (4 điểm) 1)_Tìm số dư phép chia 888 885100 chia cho 13 (1,5 điểm) 2) Giải phương trình nghiệm nguyên: a) xy + 2y = 3x + 11 (1,5 điểm) b) x – x y + 3x – 2y = (1 điểm) Câu 5:Cho tam giác ABC có góc B = 76 và AB < AC < BC Trên cạnh BC lấy E cho AB = CE Gọi M là trung điểm AC, I là trung điểm BE MI cắt AB H.Tính số đo góc BHI (3 điểm) Câu 6: Cho hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc ngoài A Tiếp tuyến chung ngoài CD ( C thuộc (O); D thuộc (O1)) Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn đường kính OO1 (5 điểm) ======== hết===== UBND HUYỆN THĂNG BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO Câu 1: (4điểm) Thực phép tính: a) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN – (Thời gian 150 phút) 5 5 2  6  1 5 21 b)      15 (1điểm) (1điểm) (29) c) 5 3   3 2 51 1 2  2 3 (1điểm) d) Câu 2: ( 3điểm) Giải phương trình: a) x    x  20  (1điểm) (1,5điểm) b) x  x   x 8 Câu 3: (1điểm) Rút gọn biểu thức: P (1,5điểm) 1   2 2 b  c  a c  a  b a  b2  c2 biết a +b + c = (1điểm) Câu 4: (4điểm) a) Tìm số dư phép chia 3444444444028 chia cho 31 (1,5điểm) b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x – 2y = 11 – xy (1,5điểm) 5 c) Chứng minh : x y – xy chia hết cho 30 ; với x ; y  Z ( 1điểm) Câu 5: (4điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD H Gọi E; K là trung điểm DH và BC Chứng minh AE  EK Câu 6: (4điểm) Từ điểm M ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A; B là hai tiếp điểm) Trên cung nhỏ AB lấy điểm N, tiếp tuyến điểm N đường tròn (O) cắt MA E, MB K; đường vuông góc với MO O cắt tia MA C, tia MB D Chứng minh : Tam giác CEO và tam giác DOK đồng dạng *** HẾT*** PGD  ĐT THĂNG BÌNH SỞ GD QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC : 2008-2009 Môn : TOÁN Thời gian : 150 phút Câu 1: ( điểm ) a) Tìm số dư phép chia (20082008 -1 ) : b) Chứng minh : 42n+2 -1 chia hết cho 15 (  n  N ) Câu 2: ( điểm ) Tính (2điểm) (2điểm) (30) 2  2 a) A = B 7  2  2 2 10 5 2  20 (2 điểm) b) (2 điểm) c) Chứng minh a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng a và c thì ta có : 1   a b b c c a (1 điểm) Câu 3: ( điểm ) a) Chứng minh : a + b + c = thì a3 + b3 + c3 = 3abc b) Cho a  ; b  ; c  ; d  Chứng minh : E a b c d    1 b c  d a c  d a b  d a b c Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm M Chứng minh rằng: BM2 + CM2 =2AM2 Câu :(4 điểm ) Gọi M , N là trung điểm các cạnh AD và BC hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia DC lấy điểm P bất kì Giao điểm AC và đường thẳng PM là Q   Chứng minh : QNM MNP Hết (31)
- Xem thêm -

Xem thêm: HSG toan 9, HSG toan 9