Bài viết giới thiệu phương pháp ước lượng VaR với tiếp cận Cornish - Fisher bằng cách xấp xỉ giá trị phân vị chuẩn bởi khai triển Taylor thông qua các hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng. Kết quả thực nghiệm trên cổ phiếu DST cho thấy mô hình khá tốt.
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 63 ƢỚC LƢỢNG VaR VỚI TIẾP CẬN CORNISH - FISHER Trần Trọng Nguy n1(1), Nguyễn V n Tuấn1, Nguyễn Tiến Ninh2 Học viện Chính sách Phát triển Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt: Khi đo lường giá trị rủi ro tài sản, người ta thường sử dụng mơ hình VaR với giả thiết chuỗi lợi suất tài sản có phân phối chuẩn Tuy nhiên, thực tế, giả thiết phân phối chuẩn lợi suất tài sản thường không thỏa mãn, đặc biệt mẫu nhỏ Khi đó, rõ ràng phương pháp ước lượng VaR truyền thống khơng cịn xác sử dụng phân vị chuẩn Trong báo này, giới thiệu phương pháp ước lượng VaR với tiếp cận Cornish - Fisher cách xấp xỉ giá trị phân vị chuẩn khai triển Taylor thông qua hệ số nhọn hệ số bất đối xứng Kết thực nghiệm cổ phiếu DST cho thấy mô hình tốt Phương pháp vận dụng đo lường giá trị rủi ro danh mục đầu tư nhiều lĩnh vực đầu tư tài khác Từ khóa: Mơ hình VaR, kỹ thuật Cornish – Fisher, đo lường rủi ro MỞ ĐẦU Đo lƣờng rủi ro thị trƣờng cổ phiếu đóng vai trị quan trọng quản trị rủi ro đầu tƣ chứng khoán Việc nhận diện đo lƣờng rủi ro cổ phiếu gi p nhà đầu tƣ nhƣ quan quản lý có giải pháp phịng ngừa hạn chế rủi ro Trên giới có nhiều thƣớc đo rủi ro đƣợc khuyến nghị sử dụng thƣớc đo giá trị rủi ro (Value at Risk - ký hiệu VaR) lên nhƣ công cụ hữu hiệu (xem [5], [6]) Mơ hình VaR (xem [5], [6]) thƣờng đƣợc sử dụng để đo lƣờng rủi ro thị trƣờng (hoặc danh mục đầu tƣ) tài sản Trong mơ hình ngƣời ta giả thiết chuỗi lợi suất tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn với trung bình μ độ lệch chuẩn ζ Khi đó, với mức tin cậy - α, giá trị rủi ro tài sản đƣợc tính theo cơng thức: Nhận ngày 20.04.2016; gửi phản biện duyệt đăng ngày 10.05.2016 Liên hệ tác giả: Trần Trọng Nguyên; Email: nguyenttc@gmail.com 64 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI VaR z (1) zα phân vị mức α phân phối chuẩn hóa N(0,1) Tuy nhiên, thực tế, giả thiết phân phối chuẩn lợi suất tài sản thƣờng không thỏa mãn, đặc biệt mẫu nhỏ Khi đó, rõ ràng cơng thức tính VaR truyền thống khơng cịn xác Để giải vấn đề này, ch ng sử dụng phƣơng pháp Cornish - Fisher mở rộng cách xấp xỉ giá trị phân vị chuẩn khai triển Taylor thông qua hệ số nhọn hệ số bất đối xứng Cấu tr c báo nhƣ sau: Mục giới thiệu ƣớc lƣợng VaR với kỹ thuật điều chỉnh Cornish – Fisher, mục thử nghiệm đo lƣờng giá trị rủi ro VaR cổ phiếu DST niêm yết Sở giao dịch chứng khoán Hà Nội, mục số thảo luận ƢỚC LƢỢNG VaR VỚI TIẾP CẬN CORNISH - FISHER 2.1 Ƣớc lƣợng VaR truyền thống Xét mô hình VaR đƣợc giới thiệu cơng thức (1) Với giả thiết chuỗi lợi suất {rt} phân phối chuẩn, ta dễ dàng xác định đƣợc phân vị chuẩn zα Để ƣớc lƣợng VaR, ta cần ƣớc lƣợng tham số μ ζ chuỗi lợi suất {rt} Theo thời gian, chuỗi lợi suất khơng dừng, đặc biệt phƣơng sai khơng Do ta phải xét lợi suất rt với điều kiện biết thông tin tới thời điểm (t 1), nói cách khác ta phải xét chuỗi {rt} có điều kiện: (rt/Ft-1), Ft-1 tập thơng tin liên quan rt có đƣợc tới thời điểm (t 1) Khi đó, ngƣời ta thƣờng sử dụng hai phƣơng pháp sau để ƣớc lƣợng VaR Phƣơng pháp RiskMetricsTM Năm 1995, ngân hàng JP Morgan đƣa phƣơng pháp RiskMetricsTM để ƣớc lƣợng VaR với giả thiết nhƣ sau: Chuỗi lợi suất {rt} với điều kiện biết thơng tin tới thời điểm (t1) có phân phối chuẩn: (rt/Ft-1) N(t, 2t) μt tuân theo mơ hình ARMA(1,1) ζ2t tn theo mơ hình GARCH (1,1) Từ đó, đặt ut = rt - μt thì: ut = tt với t i.i.d.N(0,1) 2t = + 2t-1 + (1 )u2t-1 Nhƣ chuỗi {rt} tn theo mơ hình IGARCH (1,1) Trong thực tế tính tốn, RiskMetricsTM cho μt (xem [6]) Phƣơng pháp tốn kinh tế TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 65 Ta sử dụng lớp mô hình kinh tế lƣợng ARMA(m,n) mơ tả lợi suất rt, mơ hình GARCH(p,q) mơ tả phƣơng sai ζ2t với tham số m, n, p, q, phù hợp dạng: m n i 1 i 1 rt 0 i rt i ut i ut i ut = ζtεt p q j 1 j 1 t2 j ut2 j j t2 j với εt ~i.i.d.N(0,ζ2) Trong thực tế, ngƣời ta thƣờng lựa chọn mơ hình GARCH(1,1), GARCH(1,2), GARCH(2,1) cho phƣơng trình phƣơng sai Ngồi sử dụng số dạng khác mơ hình GARCH nhƣ: IGARCH, MGARCH, EGARCH, TGARCH (xem [6]) 2.2 Ƣớc lƣợng VaR nhờ kỹ thuật Cornish-Fisher Nhƣ giới thiệu trên, giả thiết phân phối chuẩn giả thiết mạnh Khi giả thiết chuẩn không thỏa mãn, ý tƣởng Cornish – Fisher sửa chữa sai lệch phát sinh từ phân vị chuẩn cách xấp xỉ moment dựa khai triển chuỗi Taylor Nói cách khác, phƣơng pháp dựa đánh giá moment phân bố sai lệch với đƣờng cong phân phối chuẩn để xác định phân vị phân bố Phƣơng pháp Cornish - Fisher đƣợc phát triển Cornish Fisher (xem [3], [4]) để ƣớc lƣợng phân vị qα biến ngẫu nhiên dựa moment Thơng thƣờng, xấp xỉ Cornish – Fisher sử dụng moment phân phối nhƣ sau: 1 q u (u2 1) E ( X ) (u3 3u ) E ( X ) (2u3 5u ) E ( X ) 24 36 uα phân vị mức α phân phối chuẩn hóa N(0,1) (thƣờng ký hiệu zα), E(X3) hệ số bất đối xứng S E(X4) hệ số nhọn mở rộng (K-3) phân phối Công thức viết lại nhƣ sau: 1 q z ( z2 1)S ( z3 z )(K 3) (2 z3 z )S2 (2) 24 36 Từ tính VaR tài sản cơng thức: VaR q (3) Trong thực nghiệm, moment ƣớc lƣợng thơng qua mẫu liệu lịch sử Khi lợi suất có hệ số bất đối xứng đạt giá trị âm hay phần đuôi rộng (platykurtic) phƣơng pháp Cornish - Fisher đƣa ƣớc lƣợng lớn cho phần mát VaR thông thƣờng 66 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI Ngƣợc lại, lợi suất có hệ số bất đối xứng dƣơng (leptokurtic), mức lỗ dự kiến nhỏ VaR thông thƣờng Khi lợi suất phân phối chuẩn, ƣớc lƣợng hội tụ tham số VaR thông thƣờng ĐO LƢỜNG RỦI RO VaR BẰNG TIẾP CẬN CORNISH - FISHER Trong mục ch ng thử nghiệm đo lƣờng giá trị rủi ro VaR cổ phiếu DST (Công ty cổ phần sách thiết bị giáo dục Nam Định) niêm yết Sở giao dịch chứng khốn Hà Nội Việc phân tích liệu đo lƣờng VaR đƣợc thực với hỗ trợ phần mềm Eviews, Excel 3.1 Phân tích số liệu Thu thập liệu giá đóng cửa cổ phiếu DST từ ngày 01/5/2015 đến ngày 21/4/2016 với 321 phiên giao dịch (Nguồn: fpts.com.vn) Ch ng ta đo lƣờng rủi ro cổ phiếu DST thông qua chuỗi lợi suất LS DST tƣơng ứng: LS _ RDSTt DSTt DSTt 1 DSTt 1 Trƣớc tiên, ta kiểm định tính chuẩn tính dừng chuỗi lợi suất Kết kiểm định đƣợc cho bảng bảng sau Bảng Kết kiểm định tính chuẩn chuỗi lợi suất LS_DST LS_DST Jarque – Bera 147.4845 Probability 0.000000 Bảng Kết kiểm định tính dừng chuỗi lợi suất LS_DST ADF Test Statistic 1% Critical Value LS_DST 7.088784 3.4529 Từ kết kiểm định bảng 1, với mức ý nghĩa nhỏ, theo tiêu chuẩn Jarque - Bera, chuỗi lợi suất LS DST khơng có phân phối chuẩn Nhƣ vậy, dùng công thức (1) để ƣớc lƣợng VaR cổ phiếu Trong bảng 2, với mức ý nghĩa 1%, giá trị quan sát thống kê Dickey - Fuller (ADF Test Statistic) có giá trị tuyệt đối lớn giá trị tuyệt đối mức tới hạn (Critical Value) tƣơng ứng, kết luận chuỗi lợi suất LS DST chuỗi dừng Điều gợi ý phân phối xác suất chuỗi lợi suất TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 67 LS DST tuân theo phân phối xác suất mà khơng phải phân phối chuẩn Các phân tích cho thấy, nên sử dụng kỹ thuật mở rộng Cornish - Fisher để ƣớc lƣợng giá trị rủi ro cổ phiếu DST Tiếp theo, để lựa chọn mơ hình xác cho ƣớc lƣợng VaR, ch ng ta kiểm tra lƣợc đồ tƣơng quan chuỗi LS DST Sử dụng phần mềm Eviews với chuỗi liệu ta có lƣợc đồ sau: Hình Lƣợc đồ tƣơng quan chuỗi LS_DST Nhìn vào lƣợc đồ ta thấy lợi suất cổ phiếu DST phụ thuộc vào lợi suất kỳ trƣớc Từ đó, mơ hình lựa chọn AR(1) MA(1) 3.2 Ƣớc lƣợng VaR với tiếp cận Cornish-Fisher Từ chuỗi số liệu lợi suất cổ phiếu DST, ta ƣớc lƣợng đƣợc hệ số nhọn bất đối xứng thời điểm ngày 21/4/2016 là: S = - 0.135243, K = 6.314843 Áp dụng kỹ thuật mở rộng Cornish – Fisher, ta đƣa đƣợc giá trị điều chỉnh phân vị chuẩn với mức ý nghĩa 5%; 2,5% 1% nhƣ sau: q z ( z2 1) S S ( z z )( K 3) (2 z3 z ) S 24 36 Bảng Kết tính qα tƣơng ứng với mức ý nghĩa 5% 2.5% K zα qα zα qα zα (4) 1% qα 68 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI -0.135243 6.314843 -1.65 -1.616 -1.96 -2.2491 -2.33 -3.1938 Từ ta ƣớc lƣợng đƣợc VaR với tiếp cận Cornish – Fisher Để so sánh, với phƣơng pháp ƣớc lƣợng VaR, ch ng xét hai trƣờng hợp: giả thiết chuỗi lợi suất phân phối chuẩn trƣờng hợp điều chỉnh kỹ thuật Cornish – Fisher Kết thực nghiệm ƣớc lƣợng VaR thời điểm t = 322 (ngày 22/4/2016) với mức ý nghĩa 5%, 2,5% 1% đƣợc tổng hợp bảng bảng Bảng Kết ƣớc lƣợng VaR phƣơng pháp RickMetricsTM thông thƣờng v phƣơng pháp RickMetricsTM với tiếp cận Cornish – Fisher VaR 5% mVaR 5% VaR 2.5% mVaR 2.5% VaR 1% mVaR 1% -0.04737 -0.04654 -0.05644 -0.06477 -0.06699 -0.09197 Bảng Kết ƣớc lƣợng VaR phƣơng pháp Tốn kinh tế thơng thƣờng v phƣơng pháp Tốn kinh tế với tiếp cận Cornish – Fisher VaR 5% mVaR 5% VaR 2.5% mVaR 2.5% VaR 1% mVaR 1% -0.04821 -0.04731 -0.05810 -0.04731 -0.06960 -0.09682 3.3 Hậu kiểm mơ hình VaR Để đánh giá mức độ tin cậy mô hình ch ng tơi tiến hành hậu kiểm mơ hình theo bƣớc sau: Lấy liệu giá đóng cửa cổ phiếu DST 250 phiên giao dịch gần nhất; Tính VaR phƣơng pháp hai trƣờng hợp: giả thiết chuỗi lợi suất phân phối chuẩn trƣờng hợp điều chỉnh kỹ thuật Cornish – Fisher; Tính Lãi – Lỗ (P&L) thực tế 250 phiên giao dịch đó; Tính số lần P&L thực tế vƣợt ngƣỡng VaR phƣơng pháp; Kết luận: Trong 250 phiên quan sát, mức α = 5%, theo quy định BIS (Bank of International Settlement Switzerland, [2]), số lần P&L thực tế vƣợt ngƣỡng VaR khơng q 19 mơ hình đƣợc chấp nhận; tƣơng tự, số lần vƣợt ngƣỡng cho phép mức 2,5% 1% tƣơng ứng 12 Kết hậu kiểm mô hình VaR cho cổ phiếu DST đƣợc cho bảng minh họa hình sau TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 69 Bảng Thống k số lần P&L thực tế vƣợt ngƣỡng VaR phƣơng pháp Mức độ chấp Số quan sát vƣợt Phƣơng pháp Mức VaR nhận mơ hình ngƣỡng VaR 99% Từ chối RiskMetric - áp đặt giả thiết VaR 97,5% Chấp nhận lợi suất phân phối chuẩn VaR 95% Chấp nhận VaR 99% Chấp nhận RiskMetric – điều chỉnh VaR 97,5% Chấp nhận kỹ thuật Cornish – Fisher VaR 95% Chấp nhận VaR 99% Từ chối Toán kinh tế - áp đặt giả thiết lợi suất phân phối VaR 97,5% Chấp nhận chuẩn VaR 95% Chấp nhận VaR 99% Chấp nhận Toán kinh tế – điều chỉnh VaR 97,5% Chấp nhận kỹ thuật Cornish – Fisher VaR 95% Chấp nhận 0,15 0,1 0,05 -0,05 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 127 134 141 148 155 162 169 176 183 190 197 204 211 218 225 232 239 246 -0,1 -0,15 -0,2 -0,25 -0,3 mVaR-RíckMetrics Thực tế Hình Số lần P&L thực tế vƣợt ngƣỡng VaR phƣơng pháp RiskMetric với tiếp cận Cornish – Fisher, mức 1% KẾT LUẬN Phƣơng pháp đo lƣờng giá trị rủi ro VaR tiếp cận Cornish – Fisher cho phép ƣớc lƣợng độ đo rủi ro VaR tốt trƣờng hợp lợi suất tài sản không phân phối chuẩn Các kết hậu kiểm cho thấy mơ hình VaR với phƣơng pháp tiếp cận Cornish – Fisher 70 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI đƣợc chấp nhận Phƣơng pháp vận dụng đo lƣờng giá trị rủi ro danh mục đầu tƣ nhiều lĩnh vực đầu tƣ tài khác TÀI LIỆU THAM KHẢO Angelidis, T., Benos, A., and Degiannakis, S (2004), “The Use of GARCH Models in VaR Estimation”, Statistical Methodology Basel committee on Banking Supervision (1996), Amendment to the Capital Accord to Incorporate Market Risks, Bank of International Settlement Switzerland: Basel Charles-Olivier Amédée-Manesme, Fabrice Barthélémy, Donald Keenan (2014), “CornishFisher Expansion for Real Estate Value at Risk”, The Journal of Real Estate Finance and Economics, May 2015, Volume 50, Issue 4, pp.439-464 Ưzlem Akta¸s and Maria Sjöstrand (2011), Cornish-Fisher Expansion and Value-at-Risk method in application to risk management of large portfolios, Master‟s Thesis in Financial Mathematics, School of Information Science, Computer and Electrical Engineering, Halmstad University Romain Berry (2008), Value-at-risk: An over view of analytical VaR, Investment analytics and consulting, J.P.Morgan, USA, pp.7-9 Hồng Đình Tuấn (2012), Mơ hình phân tích định giá tài sản tài chính, Nxb Đại học Kinh tế Quốc dân ESTIMATE VAR WITH CORNISH-FISHER APPROACH Abstract: When measure value at risk of an asset, one now usually used VaR model with assume the distribution of the return rate is normally distribution In fact, the distribution of the return rate is usually not normally, especially with small samples Therefore, the methods to measure of VaR are no longer exactly because they were used normal quantile In this paper, we introduce an new approach to estimate of VaR by using Cornish-Fisher expansion with its kurtosis coefficient and skewness coefficient The experiment with stock DST show that the model is well This method can also be applied when risk measurement in one or many fields financial investments deference Keywords: VaR model, Cornish-Fisher expansion, measure of risk ... pháp Tốn kinh tế với tiếp cận Cornish – Fisher VaR 5% mVaR 5% VaR 2.5% mVaR 2.5% VaR 1% mVaR 1% -0.04821 -0.04731 -0.05810 -0.04731 -0.06960 -0.09682 3.3 Hậu kiểm mơ hình VaR Để đánh giá mức độ... VaR 5% mVaR 5% VaR 2.5% mVaR 2.5% VaR 1% mVaR 1% -0.04737 -0.04654 -0.05644 -0.06477 -0.06699 -0.09197 Bảng Kết ƣớc lƣợng VaR phƣơng pháp Toán kinh tế thơng thƣờng v phƣơng pháp Tốn kinh tế với. .. vƣợt ngƣỡng VaR phƣơng pháp RiskMetric với tiếp cận Cornish – Fisher, mức 1% KẾT LUẬN Phƣơng pháp đo lƣờng giá trị rủi ro VaR tiếp cận Cornish – Fisher cho phép ƣớc lƣợng độ đo rủi ro VaR tốt trƣờng