Xác ñịnh thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng MNE... ðÁP ÁN VÀ THANG ðIỂM Câ u.[r]
(1)ðề thi học kỳ I Môn Toán 11 (Chương trình nâng cao) Thời gian làm bài 90 phút (không kể phát ñề) NỘI DUNG ðỀ Câu I :(3ñ) Giải các phương trình sau : 1) (1ñ) 2) (1ñ) 3) (1ñ) ( ) tan x − + tan x + = 3π cos2 x − + cos x = − cos x + cot x = sin 2 x Câu II :(2ñ) n 1) (1ñ) Tìm số hạng không chứa x khai triển x + , biết: Cn0 − 2Cn1 + An2 = 109 x 2) (1ñ) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thoả mãn ñiều kiện: sáu chữ số số là khác và số ñó tổng ba chữ số ñầu lớn tổng ba chữ số cuối ñơn vị Câu III :(2ñ) Trên giá sách có các sách ba môn học là toán, vật lý và hoá học, gồm sách toán, sách vật lý và sách hoá học Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất ñể : 1) (1ñ) Trong sách lấy ra, có ít sách toán 2) (1ñ) Trong sách lấy ra, có hai loại sách hai môn học Câu IV :(1ñ) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) : ( x − 1) + ( y − ) = Gọi f là 1 3 phép biến hình có ñược cách sau: thực phép tịnh tiến theo vectơ v = ; , ñến phép 2 2 4 1 vị tự tâm M ; , tỉ số k = Viết phương trình ảnh ñường tròn (C) qua phép biến hình f 3 2 Câu V :(2ñ) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành Gọi M và N là trọng tâm tam giác SAB và SAD 1) (1ñ) Chứng minh: MN // (ABCD) 2) (1ñ) Gọi E là trung ñiểm CB Xác ñịnh thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (MNE) HẾT (2) ðÁP ÁN VÀ THANG ðIỂM Câ u Nội dung ðiể m I (3ñ) ( tan x = ⇔ x = tan x = ) tan x − + tan x + = ⇔ tan x = hoÆc tan x = π 0,25 + kπ π ⇔ x = + kπ 3π pt ⇔ + cos x − 0,50 0,25 0,25 + cos2 x = ⇔ − sin x + cos2 x = ⇔ sin x − cos x = 0,25 π π ⇔ sin x − = sin 3 π π π x − = + k 2π x = + kπ π π ⇔ sin x − = sin ⇔ 3 2 x − π = 5π + k 2π x = 7π + kπ 12 ðK: sin x ≠ ⇔ x ≠ k pt ⇔ + 0,25 0,25 π cos2 x − cos x = ⇔ sin 2 x + cos x sin x = − cos x sin x sin x ⇔ ( sin x + 1)( sin x + cos x − 1) = 0,50 sin x = −1 ⇔ sin x + cos x = sin x = −1 ⇔ x = − π + k 2π ⇔ x = − π + kπ (thoả ñiều kiện) x = kπ (lo¹i) π π π ⇔ x = + kπ (thoả ñiều sin x + cos x = ⇔ sin x + = sin ⇔ π x = + kπ 4 4 kiện) II 0,25 0,25 (2ñ) ðK: n ≥ 2; n ∈ ℕ ; Cn0 − 2Cn1 + An2 = 109 ⇔ − n + n ( n − 1) = 109 ⇔ n = 12 0,25 (3) 12 12 x C12k x + = ∑ x k =0 ( ) 12 − k 12 x −4 k = ∑ C12k x 24−6 k 0,25 k =0 24 − 6k = ⇔ k = 0,25 Vậy số hạng không chứa x là C124 = 495 0,25 Gọi số cần tìm là a1a2 a3 a4 a5 a6 Theo ñề ra, ta có: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 + ⇒ ( a1 + a2 + a3 ) = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + 0,25 ⇒ ( a1 + a2 + a3 ) = 21 + ⇒ a1 + a2 + a3 = 11 +Trường hợp 1: {a1 ; a2 ; a3 } = {2;4;5} thì {a4 ; a5 ; a6 } = {1;3;6} nên có (1.2!).(3!) = 12 (số) 0,50 +Trường hợp 2: {a1 ; a2 ; a3 } = {2;3;6} thì {a4 ; a5 ; a6 } = {1;4;5} nên có (1.2!).(3!) = 12 (số) +Trường hợp 1: {a1 ; a2 ; a3 } = {1;4;6} thì {a4 ; a5 ; a6 } = {2;3;5} nên có (1.2!).(3!) = 12 (số) Theo quy tắc cộng, ta có: 12 + 12 + 12 = 36 (số) III 0,25 (2ñ) A là biến cố “Trong sách lấy ra, có ít sách toán” A là biến cố “Trong sách lấy ra, không có sách toán nào” ( ) P A = ( ) P ( A) = − P A = − 0,50 C83 14 = 55 C12 14 41 = 55 55 B là biến cố “Trong sách lấy ra, có ñúng hai loại sách hai môn học” 0,50 0,50 Ω B = C41C52 + C42 C51 + C41C32 + C42 C31 + C52 C31 + C51C32 = 145 P(B) = 145 29 = 44 C12 IV 0,50 (1ñ) Gọi I là tâm (C) thì I(1 ; 2) và R là bán kính (C) thì R = 1 3 3 7 Gọi A là ảnh I qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ; , suy A ; 2 2 2 2 0,25 (4) 4 1 Gọi B là tâm (C’) thì B là ảnh A qua phép vị tự tâm M ; tỉ số k = 3 x = x − x = B A M Vậy 20 nên : MB = MA ⇒ B ; 14 3 y = 2y − y = A M B 0,25 Gọi R’ là bán kính (C’) thì R’ = 2R = 0,25 2 5 20 Vậy (C ') : x − + y − = 16 3 0,25 V (2ñ) S G 0,50 N Q M J A K D P I O F B E C Gọi I, J là trung ñiểm AB và AD, ta có: SM SN = = ⇒ MN // IJ SI SJ 0,50 Mà IJ ⊂ ( ABCD ) nên suy MN // (ABCD) 0,50 + Qua E vẽ ñường thẳng song song với BD cắt CD F, cắt AD K + KN cắt SD Q, KN cắt SA G; GM cắt SB P Suy ngũ giác EFQGP là thiết diện cần dựng HẾT 0,50 (5) ðề thi học kỳ I Môn Toán 11 (Chương trình nâng cao) Thời gian làm bài 90 phút (không kể phát ñề) NỘI DUNG ðỀ Câu I :(3ñ) Giải các phương trình sau : 1) (1ñ) sin x − cos3 x = 2) (1ñ) cos3 x + sin x = 8cos x 3) (1ñ) ( − ) cos x − sin 2x − π4 2 cos x − =1 Câu II :(2ñ) n 1) (1ñ) Tìm hệ số x 31 khai triển x + , biết Cnn + Cnn−1 + An2 = 821 x 2) (1ñ) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; có thể lập ñược tất bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác và năm chữ số ñó có ñúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này không ñứng cạnh Câu III :(2ñ) Có hai cái hộp chứa các cầu, hộp thứ gồm cầu màu trắng và cầu màu ñỏ; hộp thứ hai gồm cầu màu trắng và cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất ñể : 1) (1ñ) Trong cầu lấy ra, có ít cầu màu trắng 2) (1ñ) Trong cầu lấy ra, có ñủ ba màu: trắng, ñỏ và vàng Câu IV :(1ñ) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) : ( x − ) + ( y − 1) = Gọi f là 2 4 1 phép biến hình có ñược cách sau: thực phép ñối xứng tâm M ; , ñến phép vị tự 3 1 3 tâm N ; , tỉ số k = Viết phương trình ảnh ñường tròn (C) qua phép biến hình f 2 2 Câu V :(2ñ) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang (AD // BC, AD > BC) Gọi M là ñiểm trên cạnh AB ( M khác A và M khác B) Gọi ( α ) là mặt phẳng qua M và song song với SB và AD 1) (1ñ) Xác ñịnh thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( α ) Thiết diện này là hình gì ? 2) (1ñ) Chứng minh SC // ( α ) HẾT (6) ðÁP ÁN VÀ THANG ðIỂM Nội dung Câu ðiểm I (3ñ) 0,50 π π sin x − cos3 x = ⇔ sin x − = sin 2 3 π π π 2π 3 x − = + k 2π x = + k ⇔ ⇔ 3 x − π = 5π + k 2π x = 7π + k 2π 18 ( 0,25 0,25 ) pt ⇔ cos3 x + sin x cos x = cos x ⇔ cos x cos2 x + sin x − = cos x = ⇔ sin x − sin x + = (*) cos x = ⇔ x = π 0,25 + kπ π x = + k 2π sin x = ⇔ sin x = ⇔ (*) ⇔ 2 x = 3π + k 2π sin x = (lo¹i) ðiều kiện: cos x ≠ 0,25 π ⇔ x ≠ ± + k 2π 0,25 0,25 0,50 π pt ⇔ − cos x − + cos x − = cos x − ⇔ sin x − cos x = ⇔ tan x = 2 ( ) tan x = ⇔ x = π 0,25 + kπ ðối chiếu ñiều kiện, ta có nghiệm pt là: x = 4π + kπ II 0,25 (2ñ) ðK: n ≥ 2; n ∈ ℕ n −1 n C +C n n n ( n − 1) + An2 = 821 ⇔ + n + = 821 ⇔ n + n − 1640 = ⇔ n = 40 2 0,25 40 40 k 40 − k −2 k k 40 −3 k x + = ∑ C40 x x = ∑ C40 x x k =0 k =0 0,25 40 − 3k = 31 ⇔ k = 0,25 Vậy hệ số x31 là C40 = 9880 0,25 40 (7) + Số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác và có ñúng hai chữ số lẻ có: 0,25 5C52 C42 4!− 4C52 C31 3! = 6480 (số) + Số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác và có ñúng hai chữ số lẻ ñứng cạnh có: 0,50 × A52 × × A42 − × A52 × × = 3120 (số) 0,25 Suy có: 6480 - 3120 = 3360 (số) III (2ñ) 0,25 Ω = C52 × C72 = 210 Gọi A là biến cố “Trong cầu lấy ra, có ít cầu màu trắng” A là biến cố “Trong cầu lấy ra, không có cầu màu trắng” 0,50 C22 C42 = P A = 210 35 ( ) ( ) Suy ra: P ( A ) = − P A = − 0,25 34 = 35 35 Gọi B là biến cố “Trong cầu lấy ra, có ñủ ba màu: trắng, ñỏ và vàng” ( ) +Trường hợp 1: trắng, ñỏ hộp một; vàng hộp hai có C21C31 C42 (cách) ( ) +Trường hợp 2: ñỏ hộp một; vàng, trắng hộp hai có C22 C31C41 (cách) 0,75 +Trường hợp 3: ñỏ, trắng hộp một; vàng, trắng hộp hai có C31C21 C41C31 (cách) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Suy ra: Ω B = C21C31 C42 + C22 C31C41 + C31C21 C41C31 = 120 Suy ra: P ( B ) = 120 = 210 IV 0,25 (1ñ) Gọi I là tâm (C) thì I(2 ; 1) và R là bán kính (C) thì R = 1 4 1 2 Gọi A là ảnh I qua phép ñối xứng tâm M ; , suy A ; − 3 3 3 0,25 1 3 Gọi B là tâm (C’) thì B là ảnh A qua phép vị tự tâm N ; tỉ số k = 2 2 x x x = − = B A N 13 Vậy nên : NB = NA ⇒ B ;− 6 y = y − y = − 13 B A N 0,25 Gọi R’ là bán kính (C’) thì R’ = 2R = 0,25 (8) 2 5 13 Vậy (C ') : x − + y + = 36 6 0,25 V (2ñ) S N P 0,50 A D Q M B C (α ) // SB ⇒ (α ) ∩ ( SAB ) = MN // SB, ( N ∈ SA ) SB ⊂ ( SAB ) (α ) // AD ⇒ (α ) ∩ ( SAD ) = NP // AD, ( P ∈ SD ) AD ⊂ ( SAD) 0,50 (α ) // AD ⇒ (α ) ∩ ( ABCD ) = MQ // AD, ( Q ∈ CD ) AD ⊂ ( ABCD) Vậy thiết diện là hình thang MNPQ (MQ // NP) Ta có: DP AN AN AM AM DQ DP DQ = ; = ; = ⇒ = ⇒ SC // PQ DS AS AS AB AB DC DS DC Mà PQ ⊂ (α ) nên suy SC // (α ) (ñpcm) HẾT 1,00 (9)