LTDHPT luong giac 2

- Phương pháp này thường được kết hợp với cung liên k ết.. Gi ải các phương tr ình: 1.[r]

(1)

- Trang 1-

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A LÝ THUYẾT

I Góc cung lượng giác:

1 Giá trị lượng giác số góc:

α

6



4



3



2



sinα

2

3

2

cosα

2

1

2

tanα

3 

cotα  3

3

2 Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo) –x  – x

2



– x + x



+ x

sin –sinx sinx cosx –sinx cosx cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx II Công thức lượng giác:

1 Công thức bản:

2

sin acos a1 tan a.cot a1

2

2 1 tan a

cos a

 

2

2 1 cot a

sin a

 

2 Công thức cộng:

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sins cos cos sin sin( ) sins cos cos sin

tan tan tan( )

1 tan tan tan tan tan( )

1 tan tan

        

        

        

        

  

   

  

  

   

  

3 Công thức nhân đôi, nhân ba:

2 2

cos cos sin cos 1 2sin

(cos sin )(cos sin )

          

      

s in2 2 sin cos 

3

cos 3 4 cos  3cos sin 3 3sin 4 sin  4 Công thức hạ bậc:

2 cos 2x

cos x sin x

2

(1 cos x)(1 cos x)



  

  

2 cos 2x

sin x cos x

2

(1 cos x)(1 sin x)



  

  

5 Công thức biến đổi tổng thành tích:

x y x y

cos x cos y cos cos

2

x y x y

cos x cos y sin sin

2

x y x y

sin x sin y sin cos

2

x y x y

sin x sin y cos sin

2

 

 

 

  

 

  

 

 

6 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:













1

cos cos cos( ) cos( )

2

sin sin cos( ) cos( )

2

sin cos sin( ) sin( )

2

         

          

         

 Một số ý cần thiết:

4 2

sin xcos x 1 2.sin x.cos x

6 2

sin xcos x 1 3.sin x.cos x

8 4 4

2 2 4

4

sin x cos x (sin x cos x) sin x.cos x (1 sin x.cos x) 2sin x.cos x

1

sin 2x sin 2x

   

  

  

Trong số phương trình lượng giác,

ta phải sử dụng cách đặt sau: Đặt ttan x

Khi đó:

2

2t t

sin 2x ; cos 2x

1 t t



 

(2)

- Trang 2-

B BÀI TẬP

1 Dạng bản:

 sin x sin x k2 k

x k2

   



   

     





 cos x cos x k2 k

x k2

   



   

   





 tan xtan  x   k k  cot xcot x   k k

Trường hợp đặc biệt:

 sin x0 x k , k

 sin x x k2 k

2



     

 sin x x k2 k

2



       

 cos x x k k

2 

     

 cos x1 xk2 k

Cách giải:

- Biến đổi đưa dạng phương trình nêu

- Phương pháp thường kết hợp với cung liên kết

Giải phương trình: 1. 2 sin x 30





2.

3

 

 

 

 

 

3. cos x

3



 

 

 

 

4. 3cos 3x

3 

 

  

 

 

5. 6cos 4x 3



 

  

 

 

6. tan 2x 15





7. tan 2x

3 

 

  

 

 

8. 3cot x

2 

 

  

 

 

9. sin 2x cos x

3

 

   

  

   

   

10. sin x





11. sin 3x cos x

4

 

   

   

   

   

12. sin 2x cos x



 

   

 

13. sin 2x cos2x



 

 

 

 

14. tan 2xcot 3x0

15. tan 3x cot 5x

2

 

   

  

   

   

16. tan 3x cot 2x

5

 

   

  

   

   

17. tan 3x cos2x 1







 

  

 

 

18. cos 3x sin x

2

     

   

   

 

   

 

2 Dạng bậc hay bậc n hàm lượng giác:



a sin xb s inx c 0(1)

 a cos x2 b cosx c 0(2)

 a tan x2 b tan x c 0(3)



a cot xa cot x c 0(4) Cách giải:

- Đặt t hàm lượng giác - Giải phương trình theo t dễ dàng tìm

được nghiệm phương trình cho - Nếu đặt t = sinx (hay cosx) nhớ kèm

theo điều kiện   1 t Giải phương trình:

1. 2 sin x 3s inx 52   0 2. 6cos x cosx 02    3. 2cos 2x2 cos2x0

4.





tan x tan x  30

5. cot 2x2 3cot 2x20

6.

6cos x 5s inx 7  0 7. cos2xcosx 1 0

8.

3sin 2x7 cos 2x 3 0 9. cosx 3cosx

2

(3)

- Trang 3- 10. cos2x 3cosx 4cos2 x

2

 

11. cos 2x3sin x2 12. 6sin x2 2 sin 2x2 5 13. 6 sin 3x cos12x2  4

14. cos 2x sin x 2 cos x 0  15. 2cos 2x2 2





16.





17.

18. 42 t anx

cos x 

19. tan xcot x2

20. cos x cos x

3

 

   

   

   

   

3 Dạng 3: a.sin xb.cos xc Cách giải:

- Nếu 2

a b c : phương trình vơ nghiệm - Nếu 2

a b c : Ta chia hai vế phương trình cho a2b2 Pt trở thành:

2 2 2

a b c

sin x cos x

a b a b a b

 

  

2

c cos sin x sin cos x

a b

    



2

c

sin(x )

a b

   

 - Ta dễ dàng giải Lưu ý:

2 2

b a

sin ;cos

a b a b

 

   

 

 

 

Dạng biến thể:

a.sin xb.cos xc sin y d cos y Trong đó: 2 2

a b c d

a.sin xb.cos xc sin y(có thể c.cos y ) Trong đó: a2b2 c2

Giải phương trình: 1. sin 3x cos 3x

2

 

2. sin 5xcos 5x0 3. sin x cos x1

4. sin xcos x4 5. sin 2xcos 2x1 6. sin 3xcos 3x 7. sin x2 sin 2x3cos x2 8. sin xcos x2 sin x cos x 9. 4(sin x4 cos x)4  3 sin 4x2

10. tgx

cos x

 

11. cos x sin 2x2 cos x sin x





 

12. sin 8x cos 6x  sin 6x





13. cos 2x sin 2x sin 2x 2

6 

 

    

 

14. sin 2x cos 2x2 cos 2x2  1

15. sin17xsin 5x cos 5x0

4 Dạng 4:

2

a.sin xb.sin x.cos xc.cos xd Cách giải:

Cách 1:

- Xét cos x x k2 , k



     

Pt trở thành: a = d.(kiểm tra sai két luận

có nhận nghiệm cos x0hay không?) - Xét cos x x k2 , k

2



     

Chia hai vế phương trình cho cos x2 Pt trở thành: a.tan x2 b.tan x c d(1 tan x) Đặt ttan x ta dễ dàng giải được pt Cách 2:

Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình dạng

- Chú ý:đối với dạng phương trình thuần bậc hay bậc sin cos ta có cách giải hồn tồn tương tự

Giải phương trình:

1. 2 cos x 5sin x cos x2  6 sin x 02   2. cos x2  3 sin 2xsin x 12  0

3. 2

cos x sin x cos x 2 sin x 0  4. cos x2  sin x cos x 1 0

(4)

- Trang 4- 6. sin x 3 sin 2x2  2 cos x2 4

7. 3sin x cos x2  2 cos 2x4 sin 2x 8. 3sin x2  3 sin x cos x2 cos x2 2 9. tan xcot x2 sin 2x





10.

11.

12. 2

cos x4 sin x sin x 3 cos x sin x 13. cos x sin x3  cos x sin x 14. sin x 3sin x cos x 02    15. cos x sin x 3sin x cos x3   0

16. sin x 3cos x 3sin x3   sin x cos x2 17. 2 cos x3 sin 3x

5 Dạng 5:

a(sin xcos x) b.sin x.cos x  c Cách giải:

Đặt tsin xcos x

Điều kiện: t Do t sin x

   

     

 

Ta có: t2 sin x2 cos x2 2 sin x.cos x

t

sin x.cos x



 

Pt trở thành:

2

t

a.t b c

2 

  

Ta dễ dàng giải

Chú ý: dạng phương trình a(sin x cos x) b.sin x.cos x c   0 Bằng cách đặt t sin x cos x sin x

4



 

     

 

ta giải với cách giải hoàn toàn tương tự

Giải phương trình:

1. sin x





2.

3.





4.





5.

6.





7. sin 2x 3 sin x cos x





8.

2

  

6 Dạng 6: A.B0 Cách giải:

- Dùng công thức biến đổi đưa dạngA.B0

A

A.B

B

 

  

 

Giải phương trình: (dạng tích) 1. sin xs in2xs in3x0 2. cos xcos 3xcos 5x0

3. sin x cos 3x2 cos x.cos 2x 4. cos 2xcos8xcos 6x1 5. sin x.cos 2x2 cos 2x 1 sin x 6. sin 2x4 s inx cos x2 2 sin x 7. 4 sin x s in2x3  8s inx 8. 7 cos x4 cos x3 4 sin 2x 9. sin x sin x









10. sin x2 cos xcos 2x2 sin x cos x0 11. sin x3 2 cos x 2 sin x2 0

12. sin 2x cos 2x 3sin x cos x Giải phương trình: (hạ bậc)

1. sin x sin 2x sin 3x2 2

  

2. sin x4 5cos x4

 

3. sin x sin 2x sin 3x sin 4x2    2 4. 2 sin x6 cos x cos 2x4  0

5. sin x6 cos x6 sin x4 cos x4 6. sin x tanx

2

  

7. s in2xcos 2xtan x2 8. cos x sin x6  cos 2x0

 Một sốlưu ý giải toán lượng giác đềthi đại học:

 Xuất 3nghĩ đến phương trình III

(5)

- Trang 5-

 Ngoài hai trường hợp nhận dạng từ giả thiết cố gắng đưa tốn chung góc

 Xuất góc lớn dùng cơng thức tổng thành tích đểđưa góc nhỏ

 Xuất góc có cộng thêm k , k , k , k ,

4

  

 dùng cơng thức tổng thành tích, tích thành tổng cung liên kết, cơng thức cộng để làm

k , k , k , k ,

4

  



 Xuất 2thì nghĩ đến phương trình III có khảnăng vế cịn lại nhóm (sin x cos x) để triệt

t sin x cos x sin x

4 

 

     

 

 Khi đơn giản góc, mà chưa đưa phương trình quen thuộc nghĩ đến khảnăng “nhóm nhà, nhóm cửa” Lưu ý, khảnăng tách phương trình bậc hai theo sin (hoặc cos) tích hai phương trình bậc

Chú ý: Góc lớn góc có sốđo lớn 2x Ta sử dụng công thức nhân ba đưa toán sinx,

sin x cosx, cos x

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Đề 2002:

1. sin x cos 3x sin 3x cos 2x

1 sin 2x 

 

  

 



 

2. 2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x. 3. cos 3x4 cos 2x3cos x 4 0 4.

2

4

(2 sin 2x) sin 3x tan x

cos x 

 

5.

4

sin x cos x 1

cot 2x

5sin 2x 8sin 2x



 

6. tan x cos x cos x2 sin x tan x tanx

 

     

 

7. 12 sin x

8 cos x 

Đề 2003:

8. cos 2x

cot x sin x sin 2x

1 tan x

   



9. cot 2x tan x sin 2x sin 2x

  

10. sin2 x tan x2 cos2 x 0

2



   

  

   

   

11. tan x tan x





12.





13.

14.





2 x cos x sin

2

1 cos x



 

    

  



15.









2

cos x cos x

2 sin x cos x sin x



 



Đề 2004:

16. cot x tan x sin 4x sin 2x

 

17.





5sin x 2 sin x tan x

18.







19.

20. sin x  cos x 1

21.







22. sin x





23.





Đề 2005:

24. cos 3x cos 2x cos x2   0

25.1 sin x cos xsin 2xcos 2x0

26. cos x4 sin x4 cos(x ) sin(3x ) 0

4

 

     

27. sin2 x cos 2x cos2 x

2



 

     

 

28. 2 cos3 x 3cos x sin x



 

   

 

 

29. tan x tan x2 cos 2x 12

2 cos x

 

 

  

 

 

30. sin x cos 2xcos x tg x 12





31.

32.

2 cos x



 

  

 



(6)

- Trang 6- Đề 2006:

33.

6

2(sin x cos x) sin x cos x 2 sin x

 

 

34. cot x sin x(1 tan x tan )x

  

35. cos 3xcos 2xcos x 1 0

36. cos 3x cos x sin 3x sin x3 3 

 

37. sin 2x sin x

6 

 

   

 

 

38.









39.







40. 3

cos xsin x2 sin x1

41. 4 sin x3 4 sin x 3sin 2x2  6 cos x0 Đề 2007:

42.









43.

2 sin 2x sin 7x s inx   44.

2

x x

sin cos 3cosx=2

2

 

 

 

 

45. sin 2x sin x 1 cot g2x sin x sin 2x

   

46. 2 cos x2 2 sin x cos x 1





3 sin x cos x

 

47. sin 5x cos x cos3x

2 4

 

   

   

   

   

48. sin 2x cos 2x tgx cot gx cos x  sin x  

49. 2 sin x cos x 12



 

 

 

 

50.







Đề 2008:

51. 1 sin x

3

sin x



 

    



    

 

 

52. 3

sin x cos x

2

sin x cos x sin x cos x

 

53. sin x cos 2x





54.

55. sin 2x sin x

4

 

   

   

   

   

56. sin x sin 2x

3

 

   

   

   

   

57. 3sin x cos 2x sin 2x 4sin x cos2x

  

58. 4

4(sin xcos x)cos 4xsin 2x0

Đề 2009:

59.











1 sin x cos x

3 sin x sin x





 

60. sin xcos x sin 2x cos 3x





2 cos 4x sin x

 

61. cos 5x - sin 3x cos 2x - sin x0 Đề 2010:

62.

(1 sin x cos 2x) sin x

1

cos x

1 tan x



 

    

  

