Chuyen deHe phuong trinh On vao lop 10

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I... Tìm giá trị đó.[r]

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Các phương pháp giải hệ phương trình.

Loại 1: Giải hệ phương pháp cộng phương pháp thế: Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

a)

2

3

x y x y      

 b)

4

2 x y x y      

 c)

9

2 x y x y       

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

a)

2

3 x y x y          b)

( 1)

( 1) x y x y            c)

2

2 2

x y x y         

Loại 2: Hệ phương trình gồm phương trình bậc nhất, phương trình khơng phải bậc nhất

a) 2

1

2 12

x y

x xy y x y

   



     

 b) 2

5

3 10

x y

x y xy x y

  



    



Loại 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ

a) 1 x y x y            b) 10 x y x y            c)

1 1 10 1 x y x y            d) 1 2 x y x y                e)

5 29

3 20

x y x y                g) 2

7 13 39 11 33

x y x y        h) 2 2 36 37

x y x y        i) 2 2 x y x y        k)

2 18

x y x y          l)

3

4,5 x y x y          m)

3 2

2

x y x y            

 n)

7

3

7

5

2 x y x y                o) 2 1 1 x y x y x y x y                p) 2 3

3

21

3

x y x y

x y x y

               q)

7

2

3

4

2

x y x y

x y x y

                   r) 10

x y xy

xy x y

x y xy

xy x y

               u) 1 1 x

y x y

y x x y                v) 2 2

x y x y

x y x y

              

Loại 4: Hê hai phương trình hai ẩn, vế phải vế trái phân tích thành nhân tử

Phương pháp: Giải phương trình, vào phương trình cịn lại a) 2

1 22

x y xy

x y x y

    



   

 b)

( 1)( 2)

x y x y

xy y y

            c)

(2 2)( 3)

x y x y

x y

    

 

 

 d) 2

( 2)(2 1) 32

x y x y

x y            e)

( ) 3( )

x y x y

x y

     



  

 f)

2

( 1) ( 1)

g)

2

( ) 4( ) 12 ( ) 2( )

x y x y

x y x y

    

 

   



 h)

2 2

( ) ( ) 2( )

x y x y

x y xy

    



 



Loại 5: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x,y vế phải không chứa x,y Phương pháp: Đặt x =ky

a)

2

2

4

3

x xy y

y xy

   



 

 b)

2

2

21

x xy y

y xy          c) 2 2

3 38

5 15

x xy y

x xy y

         d) 2 2 x y x y      

 e)

2 2 2 36 37

x y

x y

  



 

 f)

2

2

2

2 2

x xy y

x xy y

         g) 2 2

4

2

x xy y

x xy y

   



  

 h)

2 54 115 x xy xy y      

 i)

2 2 2 x y xy x        j)

2 25 2 ( ) 10

x y xy

y x y

    

 

 k)

2 2

2 ( )( ) ( )( )

x y x y

x y x y

   

 

  



 l)

2 2 ( )( ) 45 ( )( ) 85

x y x y

x y x y

   



  



Loail 6: Hệ phương trình đối xứng loại 1

Đặt x+y = S, xy = P, giải hệ thu tìm S, P Lúc ta có

x y S xy P

  

 

 x, y nghiệm phương trình X2 – SX + P =0 giải phương trình này tìm X1, X2 gán x, y tương ứng với nghiệm

a) 2

7 13

x y xy

x y xy

   



  

 b) 2

5

x xy y

x y         c) 2 2

x y x y

x y xy

     

  



d) 2 17 65

xy x y

x y         e) 17 12

x y xy xy

   



 

 f) 2

8 34 x y x y       

g) 2 10 29 xy x y     

 h) 2

15 34 xy x y       i)

2 4

2

x xy y

x xy y

   



   

j) 2

x y xy x y y x

   



 

 k)

2 102

69

x y x y

xy x y

     

  

 l) 2

3( ) 160

x y xy

x y       

m) 2

( 2)( 2) 2( )

xy x y

x y x y

  

 

   

 n)

2 2 ( 3) ( 3) 9

2( )

x y x y y x

x y xy

            0) 2 3

x y xy

x y x y

   



  

 p)

( 1) ( 1) 17 ( 1)( 1)

x x y y xy

x y           

q) 2

5

x y xy

x y xy

         r) 11 6 11

xy x y xy x y            s) 10

xy x y

x y y x           t)

2 52 1

12 x y x y        

 y) 3 133 x y x y        z) 30 35

x y y x

x x y y

        

Loại 7: Hệ phương trình đối xứng loại 2 Phương pháp: Trừ vế

a)

2

2

2

x y y

y x x

         b) 2 3 y x x y        c) 2 2 7

x y x

y x y

  



 

d)

2

2

2 3

2 3

x xy y x

y xy x y

             e) 2 2 x y y x        f) 3 4 x y y x        g) 2 2

2

2

x x y

y y x

         h) 3 5

x x y

y y x

       i) 3 2

x y x

y x y

       j) 3 13 13

x x y

y y x

   

 

 k)

2

2

4

y x x x

x y y y

         l) 3 2 x y y x       

Loại 8: Hệ phương trình bậc ba ẩn Rút

a)

1 27

x y z

x y z

x y z

              b) 12

2 12

2

x y z

x y z

x y z

              c)

2

3

2

x y z

x y z

x y z

              d) 3

3

x y z

x y z

x y z

              e)

2

3 2

x y z

x y z

x y              f)

2

4

5

x y z

x y z

x y z

              

Tỉ lệ thức đặt t

g)

4 24

x y z

x y z

           h)

5

2 30

x y z

x y z

          i)

4

6 10

x y z

x y z

            j)

3

4

x y z

x y z

           

Cộng vế:

k) x y y z x z            l) 16 28 22 x y y z x z            m) 25 30 29 x y y z x z            n) 1 1 1 x y y z x z                o) 2 2 2 2 x y x y z y z x z                p)

3 2( ) 6( ) 3( )

xy x y

zy y z

zx z x

           q) 2

x y z

x y z

z x             r) 2

3 2

x z

y z

x y z

           

II Phương trình chứa tham số.

Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình có chứa tham số tham số.

Chú ý:

Phương trình ax = b (1)

+ Khi a



0 phương trình (1) có nghiệm

b a

Phương pháp:

- Đưa hệ phương trình phương trình bậc phương pháp - Biện luận phương trình thu để suy nghiệm hệ

Ví dụ 1: Cho hệ pt:

mx y 2x y

  



 

 Giải biện luận hệ theo m.

Ví dụ 2: Cho hệ pt:

nx y 2n nx ny n

  



 

 Giải biện luận hệ theo n.

Dạng 2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phương trình.

Phương pháp: Cho hệ pt:

ax by c (1) a x b y c (2)

  



    

 có nghiệm

0 x x y y   

  Thay x = x0; y = y0 vào (1) Giải Thay x = x0; y = y0 vào (2) Giải

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình

3x 2y (1)

(5n 1)x (n 2)y n 4n (2)

 

 

     



Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

2

2

5m(m 1)x my (1 2m) (1)

4mx 2y m 3m (2)



   

 

    



Tìm m để hệ có nghiệm x = 1; y = Ví dụ 3: Cho hệ pt:

2mx (n 2)y (m 3)x 2ny

  

 

  

 Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1

Dạng 3: Tìm giá trị tham số biết dấu nghiệm hệ phương trình.

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm - Tìm nghiệm tổng quát

- Thay nghiệm vào biểu thức điều kiện cho Ví dụ 1: Cho hệ pt:

x 2y mx y

 

 

 

 Tìm m để x < 0, y < 0

Ví dụ 2: Cho hệ pt:

2 x ay a a ax 3y a 4a

    

 

  



 Tìm a để điểm M(x;y) nhận nghiệm hệ làm tọa độ nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ

Dạng 4: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y.

Phương pháp:

+ Tìm điều kiện để hệ có nghiệm (dạng 1) + Tìm nghiệm tổng qt

+ Tìm nghiệm thay vào pt cịn lại



Giải pt chứa ẩn tham số Ví dụ 1: Cho hệ phương trình

3x 2y (1)

3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)

  



    

 (I)

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = - Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

mx y (1) 2mx 3y (2)

  



 

 (I)

Ví dụ 3: Cho hệ pt:

(m 3)x y mx 2y

  

 

 

 Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) cho điểm M nhận (x;y) làm tọa độ nằm đường phân giác góc phần tư thứ

Dạng 5: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm ngun Chú ý: +)

a Z

m



m



Ư(a) (a, m



Z)

+) a

Z m

b Z m

     







m



Ư(a,b) Phương pháp:

+ Tìm điều kiện để hệ có nghiệm + Tìm nghiệm tổng quát

+ Cho biểu thức nghiệm có giá trị ngun Ví dụ 1: Cho hệ pt:

(m 2)x 2y mx y

  

 

 

 Tìm m



Z để hệ có nghiệm nguyên

Ví dụ 2: Cho hệ pt:

(m 3)x y mx 2y

   



 

 Tìm m để hệ có nghiệm ngun.

Dạng 6: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Cho hệ pt:

2 mx y m

2x my m 2m

   



   





a) CMR hệ pt ln có nghiệm với m

b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị đó. Ví dụ 2: Cho hệ pt:

2

3mx y 6m m (1) 5x my m 12m (2)

    

 

  





Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó

Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào tham số.

Ví dụ 1: Cho hệ pt:

2mx 3y x 3my

 

 

  



1 CMR hệ ln có nghiệm

2 Tìm hệ thức liên hệ x, y khơng phụ thuộc vào m Ví dụ 2: Cho hệ pt:

(m 1)x y m x (m 1)y

  

 

  

 Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m.

Ví dụ 3: Cho hệ pt:

2 5x ay a 12a 3ax y 6a a     



    

 Chứng tỏ trường hợp hệ có nghiệm điểm M(x;y) {với (x;y) nghiệm hệ} chạy đường thẳng cố đinh

Dạng 8: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm.

Nhắc lại: Hệ phương trình

ax by c a 'x b'y c'

 

 

 

 (a, b, c, a’, b’, c’ khác 0) + Hệ có vô số nghiệm

a b c

a ' b' c' 

+ Hệ vô nghiệm

a b c a ' b' c'  + Hệ có nghiệm

Ngồi ra: Ta dùng phương pháp đưa phương trình bậc để giải theo phương trình.

Ví dụ Cho hệ pt:

(m 2)x y mx 3y

   



 

 Tìm m để hệ + Có nghiệm

+ Vô nghiệm + Vô số nghiệm BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 1: Giải hệ phương trình:

( 1) m n

1 ( 1) m n

 

 



 





  

  

Bài 2: Cho hệ phương trình

2x 3y

3mx (m 3)y m 6m

 

 

    

 Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)

Bài 3: Cho hệ pt:

(m 1)x 2ny 3mx (n 2)y

  

 

  



a) Giải hệ pt với m = 1; n = -

b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = -

Bài 4: Cho hệ phương trình

3x 2y

mx (3m 1)y m

  



   

 (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = -6 Bài 5: Cho hệ phương trình

x my 2x 3my

 

 

 



Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (m2 – 1)x – 10my = 4m + Bài 6: Cho hệ pt:

(m 2)x y mx 3y

   



 



a) Giải hệ pt với m = -1 b) Tìm m để x > 0, y > Bài 7: Cho hệ pt:

mx my m mx y 2m

 

 

  

Tìm m để nghiệm hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y > Bài 8: Cho hệ pt:

(m 1)x 2y mx y

  

 

 



1. Giải hệ pt với m =

2. Tìm m



Z để hệ có nghiệm nguyên. Bài 9: Cho hệ pt:

(m 3)x y mx 2y

  

 

 



Tìm m để hệ có nghiệm ngun Bài 10: Cho hệ pt:

2

3mx y 6m m (1) 5x my m 12m (2)

    

 

  





Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó Bài 11: Cho hệ pt:

2

3mx y 3m 2m x my 2m

    

 

 

Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 67:

1)Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m

¿

mx+2y=m+1(1)

2x+my=3(2)

¿{

¿

2) Cho hệ phương trình

(I)

2x+y=4(1) (a −1)x −2y=3(2)

¿{

(a tham số) a) Giải hệ phương trình a = -

b) Tìm a để hệ phương trình có vơ số nghiệm

c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn x - y = (4) 3) Cho hệ phương trình

¿

(m−1)x −my=3m−1(1)

2x − y=m+5(2)

¿{

¿

(m tham số) a) Giải hệ phương trình m=2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. 4) Cho hệ phương trình

¿

2009x+y=a

ax− y=b

¿{

¿

(a,b tham số) a)Giải hệ phương trình a=b=1

b) Tìm b cho với giá trị a h phương trình ln có nghiệm 5) Cho hệ phương trình

¿

ax+y=3

|x+1|+y=2

¿{

¿

a) Giải hệ phương trình a=

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm 6) Cho hệ phương trình

¿

mx− y=2

3x+my=5

¿{

a) Giải biện luận hệ cho

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thoả mãn: x+y=1− m

m2 +3

7)7Cho hệ phương trình

¿

1

x − y+

1

x+y=m

1

x − y−

1

x+y=n

¿{

¿

(m, n tham số)

Gọi k số cho trước Tìm điều kiện m n để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn x = ky 8) Cho hệ phương trình

¿

mx+4y=10− m

x+my=4

¿{

¿

( m tham số) a) Giải hệ phương trình |m|=2

b) Giải biện luận theo m

c) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) với x,y số nguyên dương

9) Tìm m để HPT sau có nghiệm

¿

5(x+y)−4 xy=4

x+y −xy=1− m

¿{

¿

11) Tìm m để HPT sau có nghiệm

¿

y2−(x − y)=2m

x2−

(x+y)=2m

¿{

¿

(m tham số) Bài 68:

1) Giải hệ phương trình

x x − y+

y y − z+

z

z − x=0(1) x − y¿2

¿

y − z¿2 ¿

z − x¿2 ¿ ¿0(2)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

x

¿

2) Cho hệ phương trình

¿

x=y+2(1)

xy+a2=−1(2)

¿{

¿

(a số) a) Giải hệ a=2003

3) Tìm x, y thỏa mãn hệ

¿

x2+y2=1

2

4x(x3− x2+x −1)=y2+2 xy−2(2)

¿{

¿

4)Giải phương trình

√

4−

√

4+x=x

6)6Giải phương trình a) 2− x2

=

√

2− x HD: đặt y=

√

2− x

b)

√

3

2+x+

√

2− x=1 HD: đặt

¿

u=

√

3

2+x

v=

√

1

2− x

¿{

¿

7)Giải hệ phương trình

2

2 2

1

1 14

) ) )

6 14

14

x y

x y z

x y

a xy yz zx b y z c

x y

x y z z x

      

     

 

    

  

   

  

    

 

8) Cho hệ phương trình

x+y¿4+13=6x2y2+m

¿

xy(x2+y2)=m

¿ ¿ ¿

a) Giải hệ phương trình m = -10

b) Chứng minh không tồn m để hệ phương trình có nghiệm 9: Tìm giá trị m để hệ phương trình ;

{

(m+1)x − y=m+1

x+(m−1)y=2 Có nghiệm thoả mãn

điều kiện x+y nhỏ 10: Giải hệ phương trình a)

{

|x|+1=y

2y −5=x b)

{

x −|y|=2

x

4+

y

4=1

c)

{

|y+1|=x −1

y=3x −12

11: Cho hệ phương trình :

{

2bxx−+byay=−4

=−5

a) Giải hệ phương trình a=|b|

b) Xác định a b để hệ phương trình có nghiệm : * (1;-2)

* (

√

2−1;

√

2 )

*Để hệ có vơ số nghiệm

12:Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m:

{

mx4x −− ymy=2m

=6+m

13: Với giá trị a hệ phương trình :

{

x+ay=1 ax·+y=2

14 :Giải hệ phương trình sau:

{

x2+xy+y2=19

x −xy+y=−1

15*: Tìm m cho hệ phương trình sau có nghiệm:

{

|x −1|+|y −2|=1

(x − y)2+m(x − y −1)− x+y=0

16 :GiảI hệ phương trình:

{

2x

2

−xy+3y2=13

x2−4 xy−2y2=−6 17*: Cho a b thoả mãn hệ phương trình :

{

a

3

+2b2−4b+3=0

a2+a2b2−2b=0 .Tính a

+b2 18:Cho hệ phương trình :

{

(a+1)x − y=3

a.x+y=a

a) Giải hệ phương rình a=-

√

2

b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 Bài 69 Cho hệ phương trình:

{

mx2x+my=1(1)

+2y=1(2)

1) Giải biện luận theo tham số m

2) Tìm số nguyên m hệ có nghiệm (x;y) với x,y số nguyên Bài 70 Cho hệ phương trình

{

mx+x4 y=10−m

+my=4 (mlµ tham sè)

1) Giải biện luận theo tham số m

2) Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x;y) với x,y số nguyên dương

Bài 71 Cho hệ phương trình

{

(m−1)x −my=2m−1 2x − y=m+5

Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ

Bài 72 Cho hệ phương trình

{

(m+1)x+my=2m−1 mx− y=m2−2

Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn

Bài 73 Cho hệ phương trình:

{

mxx +y=2m

+my=m+1

a) Giải m = -1

b) Tìm m để hệ có vơ số nghiệm, có nghiệm: x = 1, y =

Bài 74 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m: Hệ phương trình:

{

mx+2y=m+1(1)

2x+my=3(2) (Thi học sinh giỏi TP HCM 1991 – 1992 ( vòng 1)

Bài 75 Cho hệ phương trình:

{

x+my=1(1) mx−3 my=2m+3(2)

a) Giải hệ m = -3

b) Giải biện luận hệ cho theo m Bài 76 Cho hệ phương trình:

{

mxx+−my2y=2

=1

a) Giải hệ m =

Bài 77 Cho hệ phương trình

{

2x+y=m

3x 2y=5(mlà tham số nguyên)

Xỏc nh m để hệ có nghiệm (x;y) mà x>0, y<0 Bài 78 Cho hệ phương trình:

{

mx3x− y=2

+my=5

a) Giải biện luận hệ cho

b) Tìm điều kiện m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức x+y=1- m

2

m2+3

Bài 79 Cho hệ phương trình

{

mx+2 my=m+1

x+(m+1)y=2

a) Chứng minh hệ có nghiệm (x;y) điểm M(x;y) ln ln thuộc đường thẳng cố định m thay đổi

b) Xác định m để điểm M thuộc góc vng phần tư thứ

c) Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính

√

5 Bài 80 Với giá trị số nguyên m, hệ phương trình:

Hệ phương trình

{

mxx+4 y=m+2

+my=m Có nghiệm (x;y) với x;y số nguyên

Bài 81 Cho hệ phương trình

{

2x+my=1

mx+2y=1 Giải biện luận

Bài 82 Giải biện luận phương trình a)

{

2m

2

x+3(m−1)y=3

m(x+y)−2y=2 b)

{

x −2y=m+1

x+y=2− m c)

{

x −my=1

x − y=m

Bài 83 Cho hệ phương trình hai ẩn x,y:

{

−mx2 mx+y=5

+3y=1

1) Giải hệ phương trình lúc m =

2) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số

Bài 84 Cho hệ phương trình (m tham số):

{

mx− x− y=1

+y=− m