SKKN một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến tích phân

A ĐẶT VẤN ĐỀ Theo A.A.Stoliar: Dạy toán dạy hoạt động tốn học(A.A.Stoliar 1969 tr.5) Ở trường phổ thơng, học sinh giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các tốn trường phổ thơng phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Tốn học mơn học nghiên cứu “ hình số” Mơn tốn chia thành nhiều phân mơn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong giải tích ngành tốn học nghiên cứu khái niệm, tính chất giới h¹n, đạo hàm, ngun hàm, tích phân Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất “động” “tĩnh” Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải tốn giải tích trường THPT khó khăn Qua tài liệu giáo dục toán học, qua thực tiễn sư phạm, qua trình quan sát nhận thấy : học sinh lúng túng, gặp nhiều khó khăn sai lầm đứng trước tốn giải tích nói chung tốn ngun hàm, tích phân ứng dụng nói riêng Trên thực tế dạy tốn giải tích lớp 12, chương : Nguyên hàm, tích phân ứng dụng, phát lúng túng, sai lầm học sinh giải toán liên quan đến tích phân Những khó khăn, sai lầm học sinh thể trình làm tập, làm kiểm tra, thi Tôi nhận thấy để em tự tin gặp tốn liên quan đến tích phân, để em có hứng thú giải tốn tích phân, tơi phải giúp em tháo gỡ khó khăn, sai lầm Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học – cao đẳng hàng năm tốn liên quan đến tích phân thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu : “Một số sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến tích phân” Đúng Polya viết : “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình.” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Thực trạng Khi dạy chương III “ Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ”(Giải tích 12), tơi nhận thấy học sinh thường gặp khó khăn, sai lầm sau: - Tính tích phân máy móc: Khơng để ý hàm số cần tính tích phân có ngun hàm đoạn lấy tích phân khơng, phép biến đổi hàm số, biến số có tương đương khơng - Khơng nắm vững định nghĩa ngun hàm, tích phân - Khơng nắm vững phương pháp đổi biến số; phương pháp tích phân phần - Không nắm vững công thức vận dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay II.Các giải pháp sáng kiến Khi phát khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, thực số giải pháp sau : Hệ thống kiến thức mà học sinh chưa nắm vững - Phân tích khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lý - Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lý - Chỉ sai lầm dễ mắc phải Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp - Kĩ : lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải toán - Tư : Phân tích, so sánh, tổng hợp - Phương pháp : phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đơn vị kiến thức, đối tượng học sinh: vấn đáp gợi mở, thuyết trình… - Sử dụng phương tiện dạy học : bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử… Đổi kiểm tra, đánh giá - Kiểm tra: Kết hợp tự luận, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan nhiều mức độ nhận thức - Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh Phân dạng tập phương pháp giải - Phân tập phương pháp giải theo chủ đề : toán tính tích phân (Tích phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm vơ tỷ, hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác…).Bài tốn tính diện tích( Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị) Bài tốn tính thể tích khối tròn xoay( quay quanh Ox, quay quanh Oy) - Mỗi dạng tập đưa phương pháp giải, hệ thống ví dụ, tập tương tự, tập nâng cao - Sau ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố khái quát( phát triển ) tốn III Những khó khăn, sai lầm phổ biến học sinh THPT q trình giải tốn tích phân Học sinh thường gặp khó khăn, sai lầm sau giải toán liên quan đến tích phân ứng dụng Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ 1: Tính tích phân I =  x  1 dx *Học sinh trình bày sau : I= *Nguyên nhân sai lầm : y  x  1 không xác định x =  [0 ;2] nên hàm số khơng liên tục Hàm số [0 ;2].Do khơng tồn tích phân *Như cần ghi nhớ : b f  x dx Tích phân I = a tồn hàm số y = f(x) liên tục [a;b] Khi hàm số liên tục ta vận dụng phương pháp học dể tính tích phân Cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn Đa số học sinh cho đề yêu cầu tính tích phân mặc định tồn phép tính tích phân Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân Ví dụ 2: Tính tích phân I =  3x  1 dx *Học sinh trình bày sau : I=  3x  1 dx   3x  1 15  *Nguyên nhân sai lầm :học sinh vận dụng công thức bảng x nguyên hàm : n dx  x n 1  C n 1 u Mà lẽ phải vận dụng công thức : n u ' dx  n 1 u C n 1 *Lời giải : Ta có : I =  3x  1 dx  x  1 d  x  1 1   3x  1 3 15  12 Sai lầm biến đổi hàm số Ví dụ : Tính tích phân I =  x  x  4dx *Học sinh trình bày sau : I=  x  x  4dx   x2   x  2 dx  x  2dx   x     *Nguyên nhân sai lầm : Phép biến đổi :  x  2 x  , x   0;3 không tương đương *Lời giải : 3  x2   I    x  2 dx  x  dx    x dx   x  dx  x    0 2   2 *Học sinh cần ghi nhớ : b Do :  2n f 2n  x2     x      x  f  x , n   * b 2n f 2n a  x  dx   f  x  dx a , ta xét dấu f(x) [a;b]  Ví dụ : Tính tích phân I =   sin x dx *Học sinh trình bày sau :    0  I    sin x dx    sin x cos x dx    cos x  sin x  dx   cos x  sin x  dx   sin x  cos x   1  2 *Nguyên nhân sai lầm : Phép biến đổi :  cos x  sin x  cos x  sin x , x   0;   không tương đương *Lời giải :   3 0 I    cos x  sin x  dx  cos x  sin x dx  cos x  sin x dx   sin x  3 cos x     sin x  cos x  3   cos x  sin x dx 3 2  Sai lầm dùng công thức khơng có SGK hành Ví dụ : Tính tích phân I = x 1 dx  4x  *Học sinh trình bày sau : dx arctan x  2  x    1 I     0       4 *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh dùng cơng thức khơng có SGK hành: *Lời giải : Đặt x  tan t  dx 1  tan t dt x 1  t   Đổi cận : x 2  t 0 1  tan t dt  I  Khi :   dt t tan t        y *Học sinh cần ý tích phân hàm số : x  x0   a ta đặt : x  x0 a tan t Sai lầm vận dụng phương pháp đổi biến số 6  2x   x dx Ví dụ : Tính tích phân I = *Học sinh trình bày sau : Đặt u   x  u 1  x  dx   5u u  u2 5 I  du     12   udu 67 *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh đổi biến không đổi cận *Lời giải : Đặt u   x  u 1  x  dx  udu x 2  u 3 Đổi cận : x 6  u 5  5u u  u2 5 I  du     12  Khi : x3  1 Ví dụ : Tính tích phân I = 128  12 x2 dx *Học sinh trình bày sau : Đặt x sin t  dx cos tdt x 0  t 0 1 x   t arcsin 4 Đổi cận : arcsin arcsin  cos t  I  sin tdt  cos t  d cos t   cos t    0 Khi :   ar sin Học sinh lúng túng khơng tính kết số lẻ *Nguyên nhân sai lầm : 2 Khi hàm số cần tính tích phân có chứa a  x học sinh thường sử dụng cách đặt x = asint x = acost Tuy nhiên giáo viên cần ý em đổi 2 biến số theo cách đặt thông thường u  a  x *Lời giải : 2 Đặt u   x  u 1  x  xdx  udu x 0  u 1 15 x  u 4 Đổi cận : 15  u3  I  u  du   u    Khi :   15 33 15   192 Sai lầm vận dụng phương pháp tích phân phần  Ví dụ : Tính tích phân I = x sin xdx *Học sinh trình bày sau :  u x   ' v  sin x Đặt  I  x cos x   u ' 1   v  cos x   cos xdx 1 *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh hiểu sai chất phép đặt cơng thức lấy tích phân phần *Lời giải :  u x  du dx    Đặt  dv sin xdx  v  cos x  I  x cos x Khi :   cos xdx sin x  1 Sai lầm sử dụng sai cơng thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y x  ; x = 2; trục tung trục hoành *Học sinh trình bày sau  x3  S  x  dx   x       (đvdt) *Nguyên nhân sai lầm : Cơng thức tính diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a ; b x = b : S  f  x  dx a Do đó, tính S phải xét dấu f(x) [a ;b] *Lời giải : 2  x3   S x  dx 1  x dx  x  dx  x    0      x3     x    2 (đvdt) Sai lầm xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích Ví dụ 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y  x ; y = x – trục hoành *Học sinh trình bày sau : Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị :  x 4 x 6  x  x   x   x  13x  36 0    x 9 9  x2  S  x  x  dx  x  x  dx  x   x  3  4    91 (đvdt) *Nguyên nhân sai lầm : - Phép biến đổi x 6  x  x   x  khơng tương đương - Hình phẳng mà học sinh xác định giới hạn hai đồ thị y  x ; y = x – (miền AOB) miền cần tính miền AOC *Lời giải : Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị : + +   x 0 x 6  x    x 4  x   x  x 0  x 0 10 +  x 0  x 6 Khi : S  x dx    x dx  x  x2     x     22 (đvdt) Sai lầm vận dụng công thức tính thể tích khối trịn xoay Ví dụ 11 : Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng sau quay quanh Oy : y = lnx ; y = ; x = ; x = *Học sinh trình bày sau : y Ta có : y ln x  x e  VOy  e y dy  e2y 2   e4  e2   (đvtt) *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau : d + Trong công thức chưa đổi cận VOy  x dy c cận giá trị biến y, học sinh + Thể tích khối trịn xoay tạo thành hiệu thể tích hai khối tròn xoay đường cong y = lnx đường x = quay quanh Oy [0;ln2] *Lời giải : y Ta có : y ln x  x e x 1  y 0 Đổi cận : x 2  y ln y 11 y=lnx ln2 o ln  VOy  2 2   e y dy  (4 y  x e2y ) ln 3    ln   2  (đvtt) IV Bài tập đề nghị 1.Tính tích phân sau :  a  x  3 dx b,   sin x dx d, x  cot x  2dx  c, tan   x3  1 x dx 2.: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : a, y  x ; y  3x  10; y 1 (miền x > 0) b, y  x ; y 2  x  3.Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng sau quay quanh Ox , Oy : a, y  x ; x 2 ; trục tung trục hoành b, y = lnx; x = e ;trục Ox V Hiệu sáng kiến đem lại 12 Năm học 2012 – 2013 phân công giảng dạy hai lớp 12C8 12C10 năm học đề tài nghiên cứu áp dụng, trải nghiệm thực tế Học sinh gặp phải khó khăn định việc giải dạng tốn tích phân nêu Chẳng hạn với tập : Tính tích phân I =  x  1 dx Với lớp 12C8: Sau học xong định nghĩa tích phân tơi đưa ví dụ để học sinh tự làm Rồi từ kết tốn tơi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đưa ghi nhớ cuối Với lớp 12C10: Tơi hướng dẫn, phân tích sai lầm thường gặp làm tập tích phân, sau tơi đưa ví dụ để học sinh áp dụng Kết thu sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải 12C8 40 8(20%) 25(62,5%) 7(17,5%) 35(83,3%) 5(12%) 2(4,7%) 12C10 42 Kết cho thấy điểm lớp thực nghiệm 12C10 cao so với lớp đối chứng 12C8 Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy thấy kết đạt khả quan Thời gian cuối năm dạy ôn tập, hệ thống lại kiến thức nghiên cứu sai lầm thường mắc phải kiến thức, kĩ năng, tư làm cho học sinh số tập ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học – cao đẳng kết thu khả quan Chẳng hạn :  Bài : Tính tích phân I= x1  cos x dx (Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009) Kết thu sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải 12C8 40 36(90%) 3(7,5%) 1(2,5%) 13 12C10 42 35(83,3%) 6(14,3%) 1(2,4%) Bài :Cho hình phẳng H giới hạn đường: y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox (Trích đề thi đại học khối B năm 2007 ) Kết thu sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải 12C8 40 32(80%) 6(15%) 2(5%) 33(78,5%) 5(12%) 4(9,5%) 12C10 42 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Đề tài nghiên cứu tơi phân tích số khó khăn, sai lầm thường gặp học sinh giải tốn liên quan đến tích phân Với lượng kiến thức định nguyên hàm, tích phân ứng dụng học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm mắc phải giải toán Từ rút kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho Bài viết tơi cung cấp tới thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo.Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng thực tiễn góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán Bản thân giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chưa nhiều, song với thực tế lớp sâu nghiên cứu đề tài Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy thu kết đáng khích lệ, em khơng tự tin giải tốn liên quan đến tích phân mà cịn có phần hứng thú với loại tốn Kính mong hội đồng khoa học, bạn đồng nghiệp em học sinh có nhiều góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, áp dụng rộng rãi trường THPT Hiện thư viện trường THPT Hoằng Hóa có số lượng chất lượng sách tham khảo hạn chế Kính mong ban giám hiệu quan tâm nhiều đến tài liệu học tập ôn thi cho em, quan tâm đến công tác nghiên cứu khoa học giáo viên để góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường 14 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Đình Thị Mai 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK giải tích 12 nâng cao Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán (Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội - 2004) Sai lầm phổ biến giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang – NXB giáo dục) Các đề thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng hàng năm (Sưu tầm) 16 MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………………………….1 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………………………………….2 I Thực trạng……………………………………………………………………2 II Các giải pháp sáng kiến……………………………………………… Hệ thống kiến thức mà học sinh chưa nắm vững……… 2 Rèn luyện kĩ năng, pháp……………………………… tư duy, phương Đổi phương học…………………………………………….2 pháp Đổi kiểm giá……………………………………………… tra, đánh pháp giải………… Phân dạng …………………… tập phương dạy III Những khó khăn, sai lầm phổ biến học sinh THPT q trình giải tốn tích phân……………………………………………………….….3 1.Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân…………………………….… 2.Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân…………….….4 Sai lầm biến đổi hàm số……………………………………………… 4 Sai lầm dùng công thức khơng có SGK hành………….….5 Sai lầm vận dụng phương pháp đổi biến số……………………….… 6 Sai lầm vận dụng phương pháp tích phân phần……………… 7 Sai lầm sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng………….…8 17 Sai lầm xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích ……… … 9 Sai lầm vận dụng cơng thức tính thể tích khối trịn xoay……… ….10 IV Bài tập đề nghị……………………………………………………… … 11 V Hiệu sáng kiến đem lại………………………………………… 12 C KẾT LUẬN VÀ XUẤT…………………………………………… 13 ĐỀ TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………….… 14 18 ... khó khăn, sai lầm phổ biến học sinh THPT q trình giải tốn tích phân Học sinh thường gặp khó khăn, sai lầm sau giải tốn liên quan đến tích phân ứng dụng Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân Ví... phân (Tích phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm vơ tỷ, hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác…) .Bài tốn tính diện tích( Diện tích hình... dx Tích phân I = a tồn hàm số y = f(x) liên tục [a;b] Khi hàm số liên tục ta vận dụng phương pháp học dể tính tích phân Cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn Đa số học sinh cho đề u cầu tính tích