document

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 ĐỀ THI MƠN: TỐN - THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Cho hàm số y  x  x  mx  có đồ thị  Cm  Tìm tất giá trị thực tham số m để  Cm  có điểm cực đại điểm cực tiểu cách đường thẳng y  x  Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  cot x  đồng biến khoảng  cot x  m    0;   4 Câu Giải phương trình: 8sin x   cos x sin x Câu Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  ln  n  2n  , u u  n    * Tính lim Sn biết u n 1 1 1 S n          e e e Câu Giải phương trình: x    x  12  x  x  x   x  Câu Một hộp có 50 cầu đánh số từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để tích số ghi cầu lấy số chia hết cho Câu Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a, AA' = a Hình chiếu vng góc A' mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AB Gọi I trung điểm A'C, điểm S thỏa   mãn IB  SI Tính theo a thể tích khối chóp S.AA'B'B Câu Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng (P) qua trung điểm I AG cắt đoạn AB, AC, AD điểm khác A Gọi hA , hB , hC , hD khoảng cách từ hB2  hC2  hD2  hA2 điểm A, B, C, D đến mặt phẳng (P) Chứng minh rằng: Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Điểm D chân đường phân giác góc A Gọi M, N hình chiếu vng góc D AB, AC Đường tròn (C ) : ( x  2)  ( y  1)  ngoại tiếp tam giác DMN Gọi H giao điểm BN CM, đường thẳng AH có phương trình 3x  y  10  Tìm tọa độ điểm B biết M có hồnh độ dương, A có hồnh độ ngun Câu 10 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  a 3b  b3 a  lớn biểu thức P   ab  Tìm giá trị ab 1   2  a  b  2c HẾT https://toanmath.com/ Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: ……………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI MƠN: TỐN - THPT Thời gian: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Cho hàm số y  x  x  mx  có đồ thị  Cm  Tìm tất giá trị thực tham số m để  Cm  có điểm cực đại điểm cực tiểu cách đường thẳng y  x 1 Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  cotx  đồng biến cotx  m   khoảng  0;   4  cosx sinx có số hạng tổng quát un  ln n  2n ,  n   * Tính lim S n , biết Câu Giải phương trình: 8sinx  Câu Cho dãy số  un  u u   u n 1 1 1 S n           e e e Câu Giải phương trình: x    x  12  x  x  x   x  Câu Một hộp có 50 cầu đánh số từ đến 50 Lẫy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để tích số ghi cầu lấy số chia hết cho Câu Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác cạnh a , AA  a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm cạnh AB Gọi I trung điểm   AC , điểm S thỏa mãn IB  SI Tính theo a thể tích khối chóp S AABB Câu Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng  P qua trung điểm I AG cắt đoạn AB, AC , AD điểm khác A Gọi hA , hB , hC , hD hB2  hC2  hD2  hA2 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Điểm D chân đường phân giác góc A Gọi M , N hình chiếu vng góc D AB, AC Đường tròn  C  : ( x  2)  ( y  1)  ngoại tiếp tam giác DMN Gọi H giao điểm BN CM , đường thẳng AH có phương trình x  y  10  Tìm tọa độ điểm B biết M có hồnh độ dương, A có hồnh độ ngun khoảng cách từ điểm A, B, C , D đến mặt phẳng  P Chứng minh rằng: Câu 10 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  a 3b  b a  trị lớn biểu thức P   ab  Tìm giá ab 1   2  a  b  2c -Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….…… …… .…….….….; Số báo danh:……… ……… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh làm theo cách khác, giám khảo ý hướng dẫn chấm điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Trong lời giải câu 7, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung Cho hàm số y  x  x  mx  có đồ thị  Cm  Tìm tất giá trị thực tham số m để  Cm  có điểm cực đại điểm cực tiểu cách đường thẳng y  x  Ta có: y '  x  x  m Hàm số có cực trị  y '  có nghiệm phân biệt  x  x  m  có nghiệm phân biệt x1 ; x2   '   3m   m  3 (*) 1 m 1  2m   Thực phép chia y cho y ' ta được: y   x   y '   2 x     3 3 3    m m  2m    2m   Ta có: y1  y  x1       x1     ; y2  y  x2       x2     3 3       m  2m    Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  : y     2 x  2   3    Các điểm cực trị cách đường thẳng y  x  TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y  x   2m        m   (loại)   TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y  x  y  y2 x1  x2 m  2m    y I  xI    1       x1  x2        x1  x2   2 3    m  2m              m  (thỏa mãn (*)) 3    Vậy giá trị m cần tìm là: m  cotx    Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  đồng biến khoảng  0;  cotx  m  4  m  2 Ta có y  sin x   cot x  m       Hàm số cho đồng biến khoảng  0;   hàm số xác định y   0, x   0;   4  4 m  1;    m     m  Vậy m  hàm số cho đồng biến khoảng  0;   4 Giải phương trình: 8sinx   cosx sinx sin x    sin x   x  k  k    cos x  Điều kiện:  (*) Với điều kiện (*) , phương trình cho  8sin x cos x  sin x  cos x    4cos x  cos x  sin x  cos x  4cos x  4cos x cos x  sin x  cos x  3cos x  2cos x  2cos3x  sin x  cos x  sin x  2cos3x    cos x  sin x  cos3x  cos  x    cos3x 2 3          x x k   k x     (thỏa mãn (*) ) 3x   x    k 2 x     k    12    Vậy nghiệm phương trình cho là: x   k ; x    k k   12 Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  ln  n  2n  ,  n   * Tính lim S n , biết u u u n 1 1 1 Sn           e e e u n 1 11  1 Ta có        ln  n n   n  n    n n   e e 1 1 1 1  Suy S n            2 n n2 1 1  13 1   1          n 1 n    n 1 n   1  3 Vậy, lim S n  lim      n 1 n   Giải phương trình: x    x  12  x  x  x   x  x    Điều kiện: 3  x     x  (*) 2 x    Đặt t  x    x  t    t   12  x  x Phương trình cho trở thành t  t2   x   x   t  2t  x   2 x  Xét hàm số f  u   u  2u với u  Ta có: f   u   2u   0,  u    Hàm số đồng biến  0;   Khi đó: 1  t  x  hay x    x  2x  (1)   12  x  x  x   12  x  x  x  x  1  89 (thỏa mãn (*) )  x 2 12  x  x  x  x  1  89 Vậy nghiệm phương trình là: x  Một hộp có 50 cầu đánh số từ đến 50 Lẫy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để tích số ghi cầu lấy số chia hết cho Có C50 cách lấy cầu từ 50 cầu cho Chia 50 cầu hộp thành nhóm: Nhóm 1: gồm 25 cầu mang số lẻ Nhóm 2: gồm 13 cầu mang số chia hết cho mà khơng chia hết cho Nhóm 3: gồm cầu mang số chia hết cho mà khơng chia hết cho Nhóm 4: gồm cầu mang số chia hết cho Để tích số ghi cầu lấy số khơng chia hết cho có trường hợp sau xảy ra: cách lấy TH1) thuộc nhóm thuộc nhóm 2: có C125 C13 TH2) thuộc nhóm thuộc nhóm 2: có C225 C13 cách lấy TH3) thuộc nhóm thuộc nhóm 3: có C225 C16 cách lấy TH4) thuộc nhóm 1: có C25 cách lấy Vậy xác suất cần tính là: P = - 2 C125 C13 C16 + C25 + C225 C113 + C25 C50 = 193 392 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a , AA  a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm cạnh AB Gọi I trung điểm   AC , điểm S thỏa mãn IB  SI Tính theo a thể tích khối chóp S.AABB B' C' A' S I C B H A Gọi H trung điểm AB  AH   ABC   CH   AABB  Ta có: CH  a 1 a a a3  VC AABB  CH S AABA   3 2   3 Do IB  2SI  d  S ,  AABB    d  I ,  AABB    d  C,  AABB   3 3a Suy VS AABB  VC AABB  16 Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng  P  qua trung điểm I AG cắt đoạn AB, AC, AD điểm khác A Gọi hA , hB , hC , hD  P khoảng cách từ điểm A, B, C , D đến mặt phẳng Chứng minh rằng: hB2  hC2  hD2  hA2 Gọi B, C , D giao điểm  P với AB, AC , AD A Ta có: VA.BCD  VA.CDI  VA BCI  VA BDI ; S GBC  S GCD  S GBD  S BCD VA.BCI AB AC AI 3V AB AC   A.BCI  VA.BCG AB AC AG VA.BCD AB AC 3VA.BDI AB AD 3VA.CDI AC AD ;   VA.BCD AB AD VA.BCD AC AD D' B' I C' B D G C 3VA.BCD  AB AC AC AD AB AD        AB AC VA.BCD AC AD AB AD  AB AC AD  AB AC  AC  AD AB AD  DD BB CC        3  AB AC AD  AB AC AC AD AB AD  AD AB AC  BB hB CC  hC DD hD  ,  ,   hD  hC  hB  3hA Mặt khác ta có: AB hA AC  hA AD hA Suy ra: hB2  hC2  hD2 Hơn nữa:  hD  hC  hB    h  h  h    hA2 (đpcm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Điểm D chân đường phân giác góc A Gọi M , N hình chiếu vng góc D AB, AC Đường trịn  C  : ( x  2)2  ( y  1)2  ngoại tiếp tam giác DMN Gọi H 2 D C B giao điểm BN CM , đường thẳng AH có phương trình x  y  10  Tìm tọa độ điểm B biết M có hồnh độ dương, A có hồnh độ ngun Vì AMDN hình vng nên A   C  A Tọa độ A nghiệm hệ phương trình:  y  x  10  3 x  y  10    x  2      2 ( x  2)  ( y  1)    x   19     N I M E B H F D  x  2   A  2;  y  Đường tròn  C  có tâm I (2;1) , AMDN hình vng nên I trung điểm AD  D (2; 2) Gọi E giao điểm BN DM ; F giao điểm DN CM C Ta có AMDN hình vng nên MF AN MD ME ME      EF / /CD  EF / / BC MC AC AC AN MD NF NF ND AN     ANF DBAN đồng dạng AN AM AB AB  ABN   NAF  BN  AF Tương tự CM  AE  H trực tâm DAEF  AH ^ EF  AH ^ BC Đường thẳng BC vuông góc AH , qua D nên có phương trình x  y   Đường thẳng MN vng góc AD, qua I nên có phương trình : y   Tọa độ M , N nghiệm hệ phương trình:  x   y 1      x  5  2 ( x  2)  ( y  1)  y 1  Vì M có hồnh độ dương nên M (1;1) Đường thẳng AB qua A, M nên có phương trình : x  y   10 Do B  AB  BC nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: x  y   x    B(7; 5)  x  3y    y  5 Vậy B (7; 5) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  a 3b  b3 a   ab  ab 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P    2  a  b  2c Theo BĐT Cơ–si ta có: a 3b  ab3  2a 2b  ab   2a 2b  ab 1 Đặt t  ab  t  0  t   2t   2t  t  2t     t  t 1 Với a , b  0; ab  ta chứng minh (*)   2 1 a 1 b  ab 1 1 Thật vậy: (*)  (  )(  )0 2  a  ab  b  ab a(b  a ) b( a  b)     (a  b) (ab  1)  (đúng) (1  a )(1  ab) (1  b )(1  ab) 3t P     ab   t t  ab 3t 1  ; f 't      0 Xét t   ;1 ; f  t   2 1 t t  2  1  t   t   1    11 Từ f  t  nghịch biến  ;1  Max f  t   f      2    15  ;1   1 ;b  ;c  Dấu "  " xảy t   a  2 Hết