SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 21/10/2020 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Câu I (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y biến khoảng 1;0 Câu II (2,0 điểm) x m 1 x m 3 x m nghịch xy xy 12 x y x 1 x x 1 Giải hệ phương trình sau: 2 x xy x y xy 1 x x Xác định giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x m x x2 1 Câu III (2,0 điểm) Kết thúc đợt Hội học chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam, lớp 12A có 10 bạn trao thưởng có An Bình Phần thưởng để trao cho 10 bạn gồm sách Hóa, sách Tốn, sách Tiếng Anh (trong sách mơn giống nhau) Mỗi bạn nhận sách khác loại Tìm xác suất để An Bình có phần thưởng giống Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B 1 ;4 Gọi D , E 1;2 7 chân đường cao kẻ từ A, B M trung điểm đoạn thẳng AB Biết I ; tâm 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Câu IV (3,0 điểm) 120 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD a) Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SA SB SC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 3a ( SCD) b) Tính thể tích khối chóp S ABC biết góc mặt phẳng ABC , SBC 45 tam giác SAB vuông cân A Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D , đáy ABCD hình thoi cạnh a Gọi N trung điểm DD , M nằm cạnh BB cho MB MB , P giao điểm CC AMN Biết góc ABC AA a Tìm cos để góc hai đường thẳng AP AN 45 Câu V (1,0 điểm) Cho x , y , z số dương nhỏ thỏa mãn x 1 y z x y z x yz x y x z 1 x z x y 1 2( x 3) y z 16 Tìm giá trị lớn biểu thức P x2 y z Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi số 1: Cán coi thi số 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC: 2020 - 2021 Ngày thi: 21/10/2020 Mơn thi: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 07 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn Ta có y x m 1 x x(2 x m 1) 1,0 0,25 Hàm số có ba cực trị m m m 1 m 1 Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A 0;1 , B ;1 , m 1 m m 1 m m 1 m 1 C ;1 AB ; , AC ; 4 Tam giác ABC ln cân A Do đó, tam giác ABC nhọn góc BAC m m 1 m 1 m 1 8 nhọn AB AC I 16 (2,0 m Kết hợp với điều kiện, ta m điểm) m 1 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x m 1 x m 3 x m nghịch biến khoảng 1; Ta có y x m 1 x m 3 có m 1 m m m 0, m nên y 0,25 0,25 0,25 1,0 ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 với m Bảng biến thiên hàm số sau: x x1 y x2 0,25 0,25 y y 1 m Để hàm số nghịch biến khoảng 1; m y 0,25 m Vậy tập hợp tất giá trị m 3; 4 0,25 xy xy 12 x y x 1 x x 1 Giải hệ phương trình sau: 2 2 x xy x y xy 1 x x 1,0 xy xy 12 x y x 1 x x 1 (1) Hệ phương trình: 2 x xy x y xy 1 x x (2) Từ phương trình (1) ta có: xy x y xy x 1 x 1 x 1 1 (3) Đặt f t t t t 1 , t Ta có: f t 3t 2t 0, t nên f t đồng 2 0,25 biến Do (3) xy x Thay vào (2), ta x x 1 x x x x2 x II (2,0 x 1 x x x x x (4) điểm) 0,25 a x x x x a b2 a 2 Đặt b a x x 2 x x b b x x Phương trình (4) trở thành b2 a b2 a2 1 a 1 b 2 0,25 b a a b a b 1 a b (do a 0, b ) Với a b x x x x x y 3 x Vậy nghiệm hệ y Xác định giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x 1 m x x2 1 Điều kiện: x Chia vế cho Đặt t x ta phương trình 5 x 1 x 1 24 m x 1 x 1 0,25 1,0 0,25 x 1 hàm số đồng biến 1; x 1 Ta có t t x 1 1 t x 1 x 1 0,25 Khi ta có phương trình m 5t 2t (1) với t 0;1 Bảng biến thiên hàm số f (t ) 5t 2t [0;1) : x y 5 0,25 3 1 Ycbt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc 0;1 m 0; 5 III Kết thúc đợt hội học hội giảng chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam, lớp 12A có 10 (2,0 bạn trao thưởng có An Bình Phần thưởng để trao cho 10 bạn gồm điểm) sách Hóa, sách Tốn, sách Tiếng Anh (trong 0,25 1,0 sách môn giống nhau) Mỗi bạn nhận sách khác loại Tìm xác suất để An Bình có phần thưởng giống Gọi x, y, z số học sinh nhận phần thưởng là: sách Hóa sách Tốn, x y x sách Hóa sách Tiếng Anh, sách Tốn sách Tiếng Anh x z y y z z Số phần tử không gian mẫu n C102 C83 C55 2520 0,25 0,25 Gọi A biến cố “An Bình có phần thưởng giống nhau” Có khả xảy là: - Khả 1: An Bình nhận sách Hóa sách Tốn, chọn người người lại để nhận sách Hóa sách Tiếng Anh có C83 cách, người cịn lại nhận sách Tốn sách Tiếng Anh có C55 cách, nên Khả có C83 C55 56 cách chọn thỏa mãn biến cố A - Khả 2: An Bình nhận sách Hóa sách Tiếng Anh, cách chọn 0,25 tương tự Khả 1, ta có C8 C7 C5 168 cách chọn thỏa mãn biến cố A - Khả 3: An Bình nhận sách Toán sách Tiếng Anh, cách chọn tương tự Khả 1, ta có C8 C5 C2 560 cách chọn thỏa mãn biến cố A 3 n A C83 C55 C81.C72 C55 C83 C53 C22 784 Vậy xác suất cần tìm là: P A n A C83 C55 C81.C72 C55 C83 C53 C22 14 n C102 C83 C55 45 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B 1 ; Gọi D , E 1; chân đường cao kẻ từ A, B M trung điểm đoạn thẳng AB Biết 7 I ; tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM Tìm tọa độ đỉnh C tam 2 giác ABC 1,0 0,25 Phương trình BE : x Phương trình đường thẳng AC qua E 1 ; vuông góc với BE y c 1 Gọi N trung điểm BC giả sử C c ; AC N ;3 Ta chứng minh: Tứ giác MEND nội tiếp đường tròn tâm I Thật vậy: MEA EM đường trung tuyến tam giác EAB vuông E Ta có MAE MEA vị trí so le (do MN // AC ) NME NME (1) MAE Mặt khác D, E nhìn AB góc vng nên ABDE nội tiếp đường tròn 0,25 ) (2) EDN (cùng bù với BDE MAE EDN MEND nội tiếp đường tròn Từ (1), (2) NME Ta có tứ giác MEND nội tiếp đường tròn tâm I 2 c2 1 1 3 IN IE IN IE 2 2 2 C 1; c c 5 C 5; 2 0,25 0,25 120 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD a) Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SA SB SC khoảng cách từ điểm A đến 3a mặt phẳng ( SCD) 1,0 S K A D M B 0,25 H C IV (2,0 Do ABCD hình thoi canh a có góc BAD 120 nên ABC cạnh a điểm) Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ABCD Do SA SB SC HA HB HC HC AB HC CD Dựng HK SC , K SC HK SCD d H , SCD HK Gọi M trung điểm AB M , H , C thẳng hàng Do AB // SCD suy ra: d A, SCD d M , SCD 3 d H , SCD HK 2 3 a HK a HK 1 1 Ta có SH a 2 SH HK HC a 0,25 3 VS ABCD a a a b) Tính thể tích khối chóp S ABC biết góc mặt phẳng ABC , SBC 45 tam giác SAB vuông cân A 0,25 0,25 1,0 0,25 Do SAB vuông cân A , AB a SA a, SB a Xét hình chóp A.SBC có SA AB AC , suy AO ( SBC ) với O tâm đường tròn ngoại tiếp SBC OM BC Gọi M trung điểm BC , ABC suy AM BC Suy góc mặt phẳng ABC , SBC AMO 45 Xét tam giác ABC cạnh a có AM đường cao AM Xét tam giác AMO vuông cân O nên AO OM AM a 2 a 6a a a 10 OB OM MB 16 4 Gọi N trung điểm SB ON SB ON OB NB sin SBO a ON OM 15 , cos OBM 10 , sin OBM , cos SBO OB 5 OB 5 sin SBO OBM 2 sin SBC S SBC 0,25 0,25 a a a2 SB BC sin SBC 2 5 1 1 a 6 VS ABC VA.SBC S SBC d A, SBC S SBC AO a a 3 60 Cho hình lăng trụ đứng ABCD AB C D , đáy ABCD hình thoi cạnh a Gọi N trung điểm DD , M nằm cạnh BB cho MB 2MB , P giao điểm CC AMN Biết góc ABC AA a Tìm cos để góc hai đường thẳng AP AN 45 0,25 1,0 D' C' A' P B' N I D A M C 0,25 B Đặt AB a, AD b, AA c, BAD Ta có a c b c 0, a.b a cos , a b c a Ta có AN b c, AM a c Gọi O, O tâm hai đáy ABCD, ABC D , I giao điểm OO MN , P giao điểm AI CC Ta có P AMN CC AMPN hình bình hành CP CP Ta có AP AM AN a b c AP AC CP a b c Vậy CC CC a 73 72cos ; Ta có: AP a b c AP a b c 6 a AN b c AN 2 Theo giả thiết, ta có: AP AN 11 12 cos cos 45 288cos 168 cos 123 AP AN 73 72 cos Giải phương trình, tìm cos 7 295 24 295 Vậy cos cos 180 cos 24 Cho x, y, z số dương nhỏ thỏa mãn 3x 1 y z 0,25 0,25 0,25 x y z x yz x y x z 1 x z x y 1 2( x 3) y z 16 Tìm giá trị lớn biểu thức P x2 y z 1,0 V 2 (1,0 Từ giả thiết ta có x y x z điểm) 3x y z 3x z y Sử dụng bất đẳng thức 1 4 ; x, y x y y z x y 3z x y x y x y x z 2x y z Mặt khác x y x z 2 0,25 2x y z t2 Đặt t x y z , ta x y 3z 3t 3t 2t 32 t 3t 4t 16 t x y z y z 2x Ta có y z 2 y z 1 x 2 12 x 12 x 6x 1 6x 1 P 1 1 1 1 2 2 2x y z 2x 2x x 1 x x 1 x Xét hàm số f x Ta có f x 6x 1 với x 0;1 2x 2x 1 12 x x 2x 0,25 x 1 x 1 f x x 0,25 Bảng biến thiên hàm số 0;1 : x f x 0,25 f x Từ bảng biến thiên, ta có f x 9, x 0;1 P f x 10 1 Dấu xảy x , y , z Vậy max P 10 3