Goïi S’, R’, r’ laàn löôït laø dieän tích, baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp cuûa Δ A 'B'C'. Δ ABC coù ba caïnh a, b, c taïo moät caáp soá coäng.[r]
(1)CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I ĐỊNH LÝ HAØM SIN VAØ COSIN
Cho ΔABC có a, b, c ba cạnh đối diện A, B, C, R bán kính
đường trịn ngoại tiếp ΔABC, S diện tích ΔABC
= = =
= + − = + −
= + − = + −
= + − = + −
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2R
sin A sin B sin C
a b c 2bc cos A b c 4S.cotg
b a c 2ac cos B a c 4S.cotgB
c a b 2ab cos C a b 4S.cotg
A C
Bài 184 Cho ΔABC Chứng minh:
2
A 2B= ⇔a = b +bc
Ta coù: a2 = b2 +bc ⇔ 4R sin A 4R sin B 4R sin B.sinC2 = 2 +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) )
( )
⇔ − =
⇔ − − − =
⇔ − =
⇔ − + − =
⇔ + − =
⇔ − = + = >
⇔ − = ∨ − = π −
⇔ =
2
sin A sin B sin B sin C
1 1 cos 2A 1 cos 2B sin B sin C
2
cos 2B cos 2A sin B sin C
2 sin B A sin B A sin B sin C sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B sin A B sin C A B B A B B loại
A 2B
Caùch khaùc:
− =
⇔ − + =
+ − + −
⇔ =
2
sin A sin B sin B sin C
(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C
A B A B A B A B
2 cos sin sin co s sin B sin C
2 2
( ) ( )
( ) ( ( ) )
( )
⇔ + − =
⇔ − = + = >
⇔ − = ∨ − = π −
⇔ =
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B sin A B sin C
A B B A B B loại
(2)Bài 185: Cho ΔABC Chứng minh: sin A B( ) a2 2b2
sin C c
− = −
Ta coù a2 −2b2 = 4R sin A 4R sin B2 2 − 2 2
c 4R sin C
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
− − −
−
= =
− + −
−
= =
+ − −
= =
+ = >
2
2
2
2
1 1 cos 2A 1 cos 2B
sin A sin B 2 2
sin C sin C
2 sin A B sin B A cos 2B cos 2A
2 sin C sin C sin A B sin A B sin A B
sin C sin C
do sin A B sin C
Bài 186: Cho ΔABC biết tgA tgB
2 ⋅ = ⋅3
Chứng minh a b+ = 2c
Ta coù : tgA ⋅tgB 1= ⇔3sin sinA B =cos cosA B
2 2 2
A B
do cos 0,cos
2
⎛ > > ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
A B A B A
2sin sin cos cos sin sin
2 2 2
A B A B A B
cos cos cos
2 2
A B A B
cos 2cos *
2
⇔ = −
+ − +
⎡ ⎤
⇔ −⎢ − ⎥ =
⎣ ⎦
− +
⇔ =
B
Mặt khác: a b 2R sin A sin B+ = ( + )
( )
( )
( )
+ −
=
+ +
=
= +
= =
A B A B
4R sin cos
2
A B A B
8R sin cos *
2
4R sin A B 4R sin C 2c
Caùch khaùc:
( )
+ =
⇔ + =
a b 2c
(3)+ −
⇔ =
− + ⎛ + ⎞
⇔ = = ⎜ = ⎟
⎝ ⎠
A B A B C C
2 sin cos sin cos
2 2
A B C A B A B
cos sin cos sin cos
2 2
C
⇔ + = −
⇔ =
A B A B A B A
cos cos sin sin cos cos sin sin
2 2 2 2
A B A B
3sin sin cos cos
2 2
B
⇔ tgA ⋅tgB 1=
2
Bài 187: Cho ΔABC, chứng minh cotgA,cotgB,cotgCtạo cấp số cộng 2
a , b ,c cấp số cộng
Ta có: cot gA, cot gB, cot gC cấp số cộng⇔ cot gA cot gC cot gB *+ = ( ) Caùch 1:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2 2
2 2
sin A C 2cosB
Ta coù: * sin B 2sin A sin C cos B
sin A sin C sin B
sin B cos A C cos A C cos A C
sin B cos A C cos A C cos A C
1
sin B cos B cos 2A cos 2C
2
sin B sin B 2sin A 2sin C
2 2sin B sin A sin C
+
⇔ = ⇔ =
⇔ = −⎡⎣ + − − ⎤ ⎡⎦ ⎣− + ⎤⎦
⇔ = + − − +
⇔ = − +
⎡ ⎤
⇔ = − − ⎣ − + − ⎦
⇔ = +
⇔ 22 22 22
2 2
2 2
2b a c
4R 4R 4R
2b a c
a , b ,c câùp số cộng
= +
⇔ = +
⇔ •
Cách 2:
( )
= + −
⎛ ⎞
⇔ = + − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ = + −
+ − =
+ − + −
= =
+ − + − + −
⇔ + = ⋅
⇔ = +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
Ta coù: a b c 2ab cos A
a b c bc sin A cotgA
a b c 4S cot gA b c a
Do cotgA
4S
a c b a b c
Tương tự cotgB , cotgC
4S 4S
b c a a b c a c b
Do đó: *
4S 4S 4S
(4)Bài 188: Cho ΔABC có sin B sin C 2sin A2 + = Chứng minh BAC 60 ≤
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
Ta coù: sin B sin C 2sin A
b c 2a
4R 4R 4R b c 2a *
+ =
⇔ + =
⇔ + =
A
Do định lý hàm cosin nên ta có
2 2
a = b +c −2bc cos
( ) ( )
( )
+ − −
+ −
⇔ = =
+
= ≥ =
≤
2 2
2 2
2
0
2 b c b c
b c a
cos A ( * )
2bc 4bc
b c 2bc do Cauchy
4bc 4bc
Vaïây : BAC 60
Cách khác:
định lý hàm cosin cho
= + − ⇒ + = +
2 2 2
a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A
Do
(*) a bc cos A a
a b c
cos A ( Cauchy)
bc bc
⇔ + =
+
⇔ = = ≥
2
2 2
2
1
2
Bài 189: Cho ΔABC Chứng minh :
( 2 2)
R a b c
cotgA+cotgB+cotgC
abc
+ +
=
+ −
=
+ − + −
= =
+ + + +
+ + = =
+ +
=
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
b c a
Ta coù: cotgA
4S
a c b a b c
Tương tự: cot gB , cot gC
4S 4S
a b c a b c
Do cot gA cot gB cot gC abc
4S 4
4R
a b c
R
abc
2
Bài 190: Cho ΔABC có góc A, B, C tạo thành cấp số nhân có cơng bội q = Giả sử A < B < C
Chứng minh: = 1+
(5)Do A, B, C laø cấp số nhân có q = nên B = 2A, C = 2B = 4A
2
Mà A B C nên A ,B ,C
7 7
π π π
+ + = π = = =
Caùch 1:
+ = +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ π + π⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π + π
=
π π
π π
π π
⎛ ⎞
= ⋅ ⎜ = ⎟
π π ⎝ ⎠
π
= ⋅ =
π π
=
1 1
Ta coù:
b c 2R sin B 2R sin C
1 1
2
2R sin sin
7
4
sin sin
1 7 7
2
2R sin sin
7
3 sin cos
1 7 7 dosin4 sin3
2
2R sin .sin 7
7
cos
1 7
R 2 sin cos 2R sin A
7
1 a Caùch 2:
= + ⇔ = +
+
⇔ = + =
⇔ = = =
π π
= = = •
1 1 1
a b c sin A sin B sin C
1 1 sin 4A sin 2A sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A
1 sin 3A.cos A cos A cos A sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin A cos A
3
do : sin 3A sin sin sin 4A
7
Bài 191: Tính góc ΔABCnếu
sin A sin B sin C
1 = =
Do định lý hàm sin: a b c 2R sin A = sin B = sin C =
neân : sin A sin B sin C *( )
(6)a b c
2R 2R 4R
b c b a
a
2
3 c 2a
⇔ = =
⎧ = ⎪
⇔ = = ⇔ ⎨
= ⎪⎩
( )
( )
2
2
2 2
0
Ta coù: c 4a a a
c b a
Vạây ABC vuông tạiC
Thay sin C vào * ta
sin A sin B
1
1 sin A
2 sin B
2 A 30 B 60
= = +
⇔ = +
Δ
=
= =
⎧ =
⎪⎪ ⇔ ⎨
⎪ =
⎪⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨
= ⎪⎩
2
Ghi chú:
Trong tam giác ABC ta coù
a b= ⇔ = ⇔A B sin A sin B= ⇔cos A cos B=
II ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cho UABC có trung tuyến AM thì:
2
2 2 BC
AB AC 2AM
2
+ = +
hay : 2 2 a
a
c b 2m
2
+ = +
Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến, AMB = α, AC = b, AB = c, S diện tích
UABC Với < < α 900
a/ Chứng minh: cotg b2 −c2 4S
α =
b/ Giả sử α =450, chứng minh: cotgC – cotgB =
a/ UAHM vuoâng cotg HM MB BH
AH AH
−
⇒ α = =
( )
a BH
cotg
2AH AH
(7)Mặt khác: ( )
2
2 a c 2ac cosB c
b c
4S 2AH.a
+ − −
− =
Đặt BC = a
2
b c a c cos B a BH
4S 2AH AH 2AH AH
−
⇒ = − = − (2)
Từ (1) (2) ta : cotg b2 c2 4S
− α = Caùch khaùc:
Gọi S1, S2 diện tích tam giác ABH ACH
p dụng định lý hàm cos tam giác ABH ACH ta có:
+ −
α = 2
1
2
AM BM c
cotg
4S (3)
+ −
− α = 2
2
2
AM CM b
cotg
4S (4)
Lấy (3) – (4) ta có : −
α = b2 c2
cotg
4S ( S1=S2 =
S
2)
b/Ta coù: cotgC – cotgB = HC HB HC HB
AH AH AH
−
− =
= (MH MC) (MB MH)
AH
+ − −
= 2MH 2cotg= α = 2 cotg 450 =2
AH
Cách khác:
p dụng định lý hàm cos tam giác ABM ACM ta coù:
+ −
= 2
1
BM c AM
cotg B
4S
2
(5)
+ −
= 2
2
CM b AM
cotg C
4S
2
(6) Laáy (6) – (5) ta coù :
− − = b2 c2 =
cotg C cot gB cot g
2S α=2 ( S1=S2 =
S
(8)Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B C m ,mb c thỏa
b c
m
c 1
b = m ≠ Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC
Ta coù: 2b
2
c
m c
b = m
( )
( ) ( )(
( )
)
⎛ ⎞
+ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ =
⎛ ⎞
+ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ + − = + −
⇔ − = −
⇔ − = − +
⎛ ⎞
⇔ = + ⎜ ≠ ⎟
⎝ ⎠
2
2
2
2
2
4
2 2 2 2
2 2 4
2 2 2 2
2 2
1 a c b
2
c
b b a c
2
c b
b c a c a b b c
2
1
a c a b c b
1
a c b c b c b
2
c 2a c b
b
Thay b2 +c2 = a2 +2bc cos A vào (1), ta có (1) thành a2 =2bc cos A
( ) ( )
( )
⇔ = =
+
⇔ = =
2 2
a 4R sin A
cos A
2bc 2R sin B 2R sin C
sin B C
cos A sin A
2
sin A sin B sin C sin B sin C
+
⇔2 cotgA = sinBcosC sinCcosB = cotgC cotgB+
sin B sin C
Bài 194: Chứng minh UABC có trung tuyến AA’ vng góc với trung tuyến BB’ cotgC = (cotgA + cotgB)
UGAB vuông G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’ Vậy AB 2C
3 ′
= C
2
c
2
2 2
2 2
9c 4m
c 9c b a
2 5c a b
⇔ =
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ + − ⎟
⎝ ⎠
⇔ = +
2
5c c 2abcosC
⇔ = + (do định lý hàm cos)
( ) ( )( )
2
2
2c ab cosC
2 2R sin C 2R sin A 2R sin B cosC
⇔ =
(9)⇔ =
⇔ =
2
2 sin C sin A sin B cos C
2 sin C cos C
sin A sin B sin C
( + )
⇔ sin A B =cotgC
sin A sin B
( )
( )
+
⇔ =
⇔ + =
2 sin A cos B sin B cos A
cotgC sin A sin B
2 cotg B cotgA cotgC
III DIỆN TÍCH TAM GIÁC Gọi S: diện tích UABC
R: bán kính đường trịn ngoại tiếp UABC
r: bán kính đường trịn nội tiếp UABC p: nửa chu vi UABC
thì
( )( )( )
a b c
1 1
S a.h b.h c.h
2 2
1 1
S absin C ac sin B bc sin A
2 2
abc S
4R S pr
S p p a p b p c
= = =
= = =
= =
= − − −
Bài 195: Cho UABC chứng minh: sin 2A sin 2B sin 2C 2S2 R
+ + =
Ta coù:
( )
sin2A+ sin2B + sin2C
= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) = 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) = 2sinA[cosA + cos(B - C)]
= 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] = 2sinA.[2sinB.sinC]
= 3
a b c abc
=
2R 2R 2R R = =
1 4RS 2S
2 R R
Bài 196 Cho UABC Chứng minh :
S = Diện tích (UABC) = a sin2B b sin2A( 2 )
(10)Ta coù : S = dt ABC( ) 1absin C
Δ =
= ab sin A B1 ( + )
2
= ab sin A cos B sinB cos A1 [ + ]
2
( )
⎡⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎤
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎣ ⎦
+
2
2
1 a b
= ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)
2 b a
1
= a sin B cos B+ b sin A cos A
1
= a sin 2B b sin 2A
Bài 197: Cho ΔABC có trọng tâm G vaøGAB = α,GBC = β,GCA = γ.
Chứng minh: ( )
2 2
3 a b c
cotg + cotg +cotg =
4S
+ +
α β γ
Goïi M trung điểm BC, vẽ MH ⊥ AB AH
AMH cos
AM
BH 2BH BHM cos B
MB a
Δ ⊥⇒ α =
Δ ⊥⇒ = =
Ta coù: AB = HA + HB
( ) a
c AM cos cos B
1 a
cos c cos B
AM
⇔ = α +
⎛ ⎞
⇔ α = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Mặt khác áp dụng định lý hàm sin vào ΔAMB ta có :
MB AM sin MBsin B a sin B (2)
sinα = sin B ⇔ α = AM = 2AM
Lấy (1) chia cho (2) ta :
− −
α =
a
c cos B 2c a cos B
2 cotg =
asin B a. b
2 2R
( − ) ( − )
+ − + −
2
2 2 2
R 4c 2ac cos B
R 4c 2a cos B
= =
ab abc
3c b a 3c b a
= abc =
(11)Chứng minh tương tự :
2
2
3a c b cotg
4S 3b a c cotg
4S + − β =
+ −
γ =
2
2
Do đó:
( )
α + β + γ
+ − + − + −
= + +
+ +
2 2 2 2
2 2
cotg cotg cotg
3c b a 3a c b 3b a c
4S 4S 4S
3 a b c
=
4S
2
Caùch khaùc : Ta coù 2 ( 2 2)
a b c
3
m m m a b c (*)
4
+ + = + +
Δ
+ − + −
α = =
2
2
2 2
a
a ABM
a
c m 4c 4m a
4
cotg (a)
4S 8S
Tương tự cotg 4a2 4mb2 b2(b),cotg 4b2 4m2c c2 (c)
8S 8S
+ − + −
β = γ =
Cộng (a), (b), (c) kết hợp (*) ta có: ( + + ) α + β + γ =
2 2
3 a b c cotg cotg cotg
4S IV BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN
Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp ΔABC
và r bán kính đường trịn nội tiếp ΔABC
( ) ( ) ( )
= =
=
= − = − = −
a abc R
2 sin A 4S S
r p
A B C
r p a tg p b tg p c tg
2 2
Bài 198: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
(12)2
A B C
a/ r 4R sin sin sin
2
b/ IA.IB.IC 4Rr
=
=
2
a/ Ta coù : IBH cotgB BH
2 IH
Δ ⊥⇒ =
B BH rcotg
2
⇒ =
Tương tự HC r cotg= C
2
Maø : BH + CH = BC neân
( )
⎛ + ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
B C
r cotg cotg a
2
B C r sin
2 a
B C
sin sin
2
A B C
r cos 2R sin A sin sin
2 2
A A A B C
r cos 4R sin cos sin sin
2 2 2
A B C A
r 4R sin sin sin (do cos >0)
2 2
b/ Ta coù : sin IK
IA
Α
Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ =
2
r
IA A
sin
⇒ =
Tương tự IB = rB
sin
; IC= rC
sin
Do : IA.IB.IC A r3B C sin sin sin
2
=
2
r3 4Rr (do kết câu a)2
r 4R
= =
(13)⎛ ⎞
+ = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
=
a' b ' C A B
a/ sin sin sin
a b 2
S' A B C
b/ sin sin sin
S 2
a/ Ta coù : C'A 'B' 1C'IB' 1( A) 1(B C)
2 2
= = π − = +
AÙp dụng định lý hình sin vào ΔA 'B'C'
a ' 2r
sin A ' = (r: bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC)
B C
a ' 2r sin A ' 2r sin (1)
2
+
⇒ = =
ABC
Δ coù : a BC BA ' A 'C= = +
B C
a r cot g r cot g
2
B C sin
2
a r B C (2) sin sin
2
⇒ = +
+ ⇒ =
Laáy (1)
(2) ta
a 2sin sinB
a
′
= C
2
Tương tự b' 2sin sinA C
b = 2
Vaäy a ' b' 2sinC sin A sinB
a b 2
⎛ ⎞
+ = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
b/ Ta coù: A 'C'B' 1.B'IA ' 1( C) 1(A B)
2 2
(14)Vaäy sin C' sinA B cosC
2
+
= =
Ta coù: ( )
( )
1 a'b'sinC' dt A 'B'C'
S' 2
1
S dt ABC absin C
Δ
= =
Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋅
⋅ ⋅
2
S ' a ' b ' sin C '
S a b sin C
C cos
B C A 2
= sin sin sin C C
2 2 2sin cos
2
B C A
= sin sin sin
2 2
Bài 200: Cho ΔABC có trọng tâm G tâm đường trịn nội tiếp I Biết GI vng góc với đường phân giác BCA Chứng minh:
a b c 2ab
3 a b
+ + =
+
Veõ GH AC,GK⊥ ⊥ BC,ID AC⊥
IG cắt AC L cắt BC N Ta có: Dt( CLN) 2Dt( LIC)Δ = Δ
=ID.LC = r.LC (1) Mặt khác:
( )
Dt( CLN) Dt( GLC) Dt( GCN) GH.LC GK.CN (2)
2
Δ = Δ + Δ
= +
Do ΔCLN cân nên LC = CN Từ (1) (2) ta được:
( )
1
rLC LC GH GK
2 2r GH GK
= +
⇔ = +
Gọi h , ha b hai đường cao ΔABC phát xuất từ A, B
Ta coù:
a
GK MG
h = MA = vaø b GH
h =
Do đó: 2r 1(ha h (3)b)
(15)Maø: ( ) a b
1
S Dt ABC pr a.h b.h
2
= Δ = = =
Do đó: ha 2pr a
= vaø hb 2pr b
= Từ (3) ta có: 2r 2pr 1
3 a b
⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
+
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + +
⇔ = ⋅
+ +
⇔ =
+
1 a b
1 p
3 ab
a b c a b
2 a
2ab a b c
a b
b
(16)BÀI TẬP
1 Cho ΔABC có ba cạnh a, b, c R r bán kính đừơng tròn ngoại tiếp nội tiếp ΔABC Chứng minh:
a/ (a b cotg) C (b c cotg) A (c a cotg) B
2 2
− + − + − =
b/ r cos A cos B cosC
R
+ = + +
c/ Neáu cotg ,cotg ,cotgA B
2
C
2 laø cấp số cộng a, b, c cấp số cộng
d/ Diện tích ΔABC R r sin A sin B sin C= ( + + )
e/ Nếu : a4 = b4 +c4 ΔABC có góc nhọn 2sin A tgB.tgC2 = Nếu diện tích (ΔABC) = (c + a -b)(c + b -a) tgC
15
=
3 Cho ΔABC có ba góc nhọn Gọi A’, B’, C’ chân đường cao vẽ từ A, B, C Gọi S, R, r diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp
ABC
Δ Gọi S’, R’, r’ diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp ΔA 'B'C' Chứng minh:
a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC b/ R ' R
2
=
c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC
4 ΔABC có ba cạnh a, b, c tạo cấp số cộng Với a < b < c Chứng minh :
a/ ac = 6Rr
b/ cosA C 2sinB
2
− =
c/ Coâng sai d 3r tgC tgA
2 2
⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
5 Cho ΔABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo cấp số nhân có cơng bội q = Chứng minh:
a/ 1
a = b c+
b/ cos A cos B cos C2 2
4