Baøi 10: Moät toå coù 6 hoïc sinh nam vaø 4 hoïc sinh nöõ. GVCN choïn ra 2 em ñi thi vaên ngheä. Choïn ngaãu nhieân 3 em ñi döï ñaïi hoäi. Tính xaùc suaát ñeå :.. Goïi X laø taäp hôïp ca[r]
(1)A TỔ HỢP
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Khơng có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? Bài 2: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả:
a) gồm chữ số
b) gồm chữ số khác
c) gồm chữ số khác chia hết cho
Bài 3: Có 24 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về) Hỏi có trận đấu?
Bài 4: a/ Một bó hoa gồm có: bơng hồng trắng, bơng hồng đỏ bơng hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy hoa?
b/ Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau? Bài 5: a/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số?
b/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? c/ Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn?
d/ Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau? e/ Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5?
Bài 6: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người đó có cách chọn áo – cà vạt nếu:
a/ Chọn áo cà vạt được? b/ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng? Bài 7: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số:
a/ Gồm chữ số? b/ Gồm chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm chữ số? d/ Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e/ Gồm chữ số viết không lặp lại?
f/ Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
Bài 8: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn?
e/ Khác nhau, có số lẻ?
Bài 9: a/ Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400?
b/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500)
II Hoán vị
Bài 1: Giải phương trình:
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
Bài 2: Giải phương trình:
a) P2.x2 – P3.x = b)
1
1 6
x x
x P P
P
Bài 3: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345?
Bài 4: Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bài 5: Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác
nhau Hỏi có cách xếp sách trên:
a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn?
c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa?
(2)a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?
Bài 7: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần?
Bài 8: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau?
Bài 9: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a/ Bạn C ngồi giữa?
b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế?
Bài 10: Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tịch ngồi gần nhau? Bài 11: Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu:
a/ Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có người nhóm khơng muốn ngồi kề nhau?
Bài 12: Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
Bài 13: Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề nhau?
Bài 14: Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau?
III Chỉnh hợp Bài 1: Tìm n N cho:
a)
2
210 .
n n n
P
A P
b) 2(An33An2) = Pn+1 c)
2
2Pn6An P An n 12
Bài 2: Giải phương trình:
a/ A10x A9x 9 Ax8 b/ P Ax. x272 6( Ax22 )Px c/ 2A2x 50A22x d/
1
1 .
72.
y
x x y
x
A P
P
Bài 3: Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn?
Bài 4: Trong không gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ – khơng Hỏi có thể có vectơ?
Bài 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau?
b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau?
c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5? Bài 6: Có số tự nhiên có chữ số với:
a) Chữ số đầu chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu cuối khác nhau?
c) Hai chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống nhau?
Bài 7: Một biển số xe gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, C, …, Z Các chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Hỏi:
a) Có biển số xe có chữ khác chữ O chữ số đôi khác nhau? b) Có biển số xe có hai chữ khác có chữ số lẻ giống nhau?
Bài 8: Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn?
Bài 9: Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu:
(3)b/ Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số
Bài 10: Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có bao nhiêu cách xếp nếu:
a/ Người có tượng khác nhau? b/ Người có tượng khác nhau? c/ Người có tượng khác nhau?
Bài 11: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau:
a/ n số chẵn?
b/ Một ba chữ số phải 1?
(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) Bài 12: a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho 3.
b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số
(HVCN Bưu Viễn thơng, 1999) Bài 13: a/ Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4,
5, 7,
b/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng số
Bài 14: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0).
(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số cho
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) IV Tổ hợp
Bài 1: Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được: a/ viên bi màu? b/ viên bi trắng, viên bi xanh?
Bài 2: Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa đó:
a/ Có bơng hồng đỏ?
b/ Có bơng hồng vàng hồng đỏ?
Bài 3: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, đó chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần
ĐS: 544320. (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
Bài 4: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số:
a/ Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số đứng đầu chữ số 2?
b/ Gồm chữ số khác đôi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ? ĐS: a/ 360. b/ 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001)
Bài 5: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số khơng có chữ số 1)
b/ Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần
ÑS: a/ 33600 b/ 11340 (ÑH QG, Tp.HCM, 2001)
Bài 6: Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần chữ số cịn lại xuất lần Hỏi có số vậy?
ĐS: 1800. (ĐH Sư phạm Vinh, 1998)
Bài 7: Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau:
a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ?
b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ? ĐS: a/ 2974. b/ 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)
Bài 8: Một đồn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có nhất chỗ trống Hỏi:
(4)b/ Có cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách nói ĐS: a/ 99. b/ 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999)
Bài 9: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh
ĐS: 3780. (HVKT Quân sự, 2001)
Tìm số tổ hợp tốn hình học
Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành?
Bài 2: Cho 10 điểm không gian, khơng có điểm thẳng hàng. a) Có đường thẳng qua cặp điểm?
b) Có vectơ nối cặp điểm?
c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên?
d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? Bài 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n 4)
a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh?
b) Giả sử đường chéo qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (khơng phải đỉnh) đường chéo ấy?
Bài 4: Cho đa giác lồi có n-cạnh (n,b3)
a/ Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b/ Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác?
c/ Có giao điểm đường chéo? Bài 5: Tìm số giao điểm tối đa của:
a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng 10 đường tròn trên?
V Nhị thức Newton
Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton
Bài 1: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức:
a)
10 1
x x
b)
12
4 1
x x
c)
5
2 1
x x
d)
6 1
x x
Bài 2: a/ Tìm hệ số x y12 13 khai triển (2x3 ) y 25 b/ Tìm số hạng khai triển (x3 xy) 15 Bài 3: Khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng đa thức:
9 10 14
( ) (1 ) (1 ) (1 )
P x x x x
ta đa thức: P x( )a0a x a x1 2 a x14 14. Hãy xác định hệ số a9? Bài 4: Cho đa thức P x( ) (1 x) 2(1 x)23(1x)3 20(1 x)20
được viết dạng: P x( )a0a x a x1 2 a x20 20. Tìm hệ số a15?
Bài 5: Khai triển P x( ) (3 x)50 a0a x a x1 2 a x50 50. a/ Tính hệ số a46? b/ Tính tổng S a 0a a1 2 a50. Bài 6: a) Tìm số hạng khơng chứa thức khai triển nhị thức:
(5)b) Tìm số mũ n biểu thức 1 12 n b
Biết tỉ số hệ số số hạng thứ thứ khai
triển nhị thức 7:2 Tìm số hạng thứ 6?
Bài 7: Trong khai triển nhị thức:
21 3 a b b a
, tìm số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau?
Bài 8: a/ Tìm số hạng thứ khai triển
15 1 . x x
b/ Tìm số hạng chứa a7 khai triển
12
3 2 .
64 a 3 a
c/ Tìm số hạng khai triển
10
1 x .
x
d/ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức:
12 1 x x .
e/ Tìm hạng tử độc lập với x khai triển
16 x 1 .
x
Bài 9: Số hạng chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau:
a/ (4 x x ) 10 b/
13 1 . x x
Bài 10: a/ Tìm số hạng thứ ba khai triển
13 n a a a
neáu C C n3: n2 4 :1.
b/ Trong khai triển (1x)n theo lũy thừa tăng x, cho biết :
3 4 40 3 T T T T
Tìm n vaø x?
Bài 11: a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai triển
3 1 n.
x x
b/ Cho bieát tổng hệ số 11 Tìm hệ số x2.
Bài 12: a/ Trong khai triển
1 n a a a
cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba thứ hai 44 Tìm n.
b/ Cho biết khai trieån
2 1 ,n
x x
tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba 46 Tìm
hạng tử khôn g chứa x
c/ Cho biết tổng hệ số số hạng khai triển
2 2 3 n x
97 Tìm hạng tử khai
triển chứa x4.
Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp
(6)số hạng ax12 khai triển (HV hành QG, 2000) Bài 2: Tính tổng sau:
a/ S1C116 C117 C118 C119 C1110C1111. (ĐHQG Hà Nội, 97, Khối D) b/ S2 316 0C16 315 1C16314 2C16 C1616. (ĐHBK Hà Nội, 98)
Bài 3: Chứng minh hệ thức sau:
a/ C20nC22n C24n C22nn C21n C23n C25n C22 1nn Tổng hệ số chẵn tổng hệ số lẻ có khơng?
b/ 1 10. C21n10 2 2C2n10 3 3C2n 10 2 1n C2nn 102n 81 n c/ 20 22 23 24 43 22 32 22 1.(22 1)
n n n n
n n n n
C C C C
(ĐH Hàng Hải, 2001)
Bài 4: Tính giá trị biểu thức:
A = 22nC20n22 2n C2n 2 2C2nn B = 22 1n C2n22 3n C2n 2 1C2nn Bài 5: Chứng minh đẳng thức sau:
a) Cn06C1n62 2Cn 6 n nCn 7n b) 317 0C174 1 16 1C17 4 17 17C17 717 I Biến cố xác suất
Bài 1: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất
b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn
Bài 2: Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất
b) Các mặt xuất có số chấm
Bài 3: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh
Bài 4: Hai người săn độc lập với bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ
3 5,
của người thứ hai
1
2 Tính xác suất để thú bị bắn trúng.
Bài 5: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Lần thứ xuất mặt chấm
b) Lần thứ hai xuất mặt chấm c) Ít lần xuất mặt chấm d) Không lần xuất mặt chấm
Bài 6: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Cả đồng xu ngửa
b) Có đồng xu lật ngửa c) Có hai đồng xu lật ngửa
Bài 7: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được: a) bóng tốt b) bóng tốt
Bài 8: Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Tốn, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi 2 môn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi
Bài 9: Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên quả. Tính xác suất để chọn có màu đen
Bài 10: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em đó khác phái
(7)a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình
Bài 12: Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để:
a) Số số lẻ b) Số chia hết cho c) Số chia hết cho
Bài 13: Chọn ngẫu nhiên tú – lơ – khơ :
d) a Tính xác suất cho quân có quân thuộc ( ví dụ : có 4) e) b Tính xác suất cho quân có quân thuộc
Bài 14: Cho hộp đựng 12 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên lần
viên bi Tính xác suất hai trường hợp sau: a) Lấy viên bi màu đỏ
b) Lấy hai viên bi màu đỏ
Bài 15: Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết 30 tập Mỗi đề thi gồm có câu hỏi lý thuyết tập lấy ngẫu nhiên đề cương Một học sinh A học câu lý thuyết 12 câu tập đề cương Khi thi học sinh A chọn đề thị cách ngẫu nhiên Với giả thiết học sinh A trả lời câu lý thuyết tập học Tính xác suất để học sinh A :
a/ không trả lời lý thuyết b/ trả lời câu tập
c/ đạt yêu cầu Biết muốn đạt yêu cầu phải trả lời câu hỏi lý thuyết tập II Biến ngẫu nhiên rời rạc
Bài 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền Mỗi người đá lần với xác suất làm bàn người thứ 0,8. Tính xác suất làm bàn người thứ hai, biết xác suất để hai người làm bàn 0,56 xác suất để bị thủng lưới lần 0,94
Bài 2: Một cặp vợ chồng có người Gọi X số lần sinh trai Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X
Bài 3: Một hộp đựng viên bi xanh viên bi đỏ Chọn ngẫu nhiên viên bi Gọi X số lần lấy bi đỏ. Lập bảng phân phối biến ngẫu nhiên X
Baøi 4: Cho bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhieân X:
X
P 0,3 0,5 0,2
Tìm kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X
Bài 5: Một hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Gọi X số bi đỏ lấy Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X