Một giải pháp cứng hóa phép nhân điểm Elliptic trên trường GF(p)

Bài viết này mô tả thuật toán và cấu trúc mạch cho việc tính toán và thực thi phép tính nhân điểm đường cong Elliptic trên trường nguyên tố hữu hạn GF(p) có độ dài 256 bit. Cấu trúc mạch được mô tả bằng ngôn ngữ VHDL và được thực thi trên nền tảng chip Zynq xc7z030 và xc7z045.

Journal of Science and Technology on Information Security M g ả pháp E Tóm tắt— Bài báo mơ tả thuật tốn cấu trúc mạch cho việc tính tốn thực thi phép tính nhân điểm đường cong Elliptic trường nguyên tố hữu hạn GF(p) có độ dài 256 bit Cấu trúc mạch mô tả ngôn ngữ VHDL thực thi tảng chip Zynq xc7z030 xc7z045 Abstract— This paper describles an algorithm and structure for computing and implementation point multiplications on Elliptic cuvers defined GF(p) with 256 bits length The circuits have been describled in VHDL in implemented on chip Zynq xc7z030 and xc7z045 Từ khóa— FPGA; Đường cong elliptic trường GF(p); nhân điểm Keywords—FPGA; Elliptic cuvers over GF(p); Point multiplication I GIỚI THIỆU VÀ MƠ TẢ THUẬT TỐN NHÂN ĐIỂM P ả ậ ậ ể ố Vệ ứ , ố ề ố ả ự ệ ứ ả ậ T ự ứ ó ể FPGA ú ố ả ự ệ , ứ ợ ầ ự ế Trong ú ì , ự ố ậ ự ố tài ệ ì ứ ế , ể ó ệ ứ ế ế ứ ó ể ệ cong elliptic, ợ ứ ụ ứ ó : ECDH, ECHMQV, ố ECDSA [1][7], ó ECIES [6] x Bài báo ợ ậ ngày 4/9/2018 B ợ ả ệ ứ vào ngày 28/10/2018 ợ ậ ă vào ngày 8/11/2018 Bài báo ợ ậ x ả ệ ứ vào ngày 10/11/2018 ợ ă ngày 21/11/2018 52 Số 2.CS (08) 2018 ậ ậ ó ể GF(p) Nguyễn Văn Long, Hồng Văn Thức P ể ệ ự ệ phép tính k*P, ók ố P ể E ợ ị ĩ GF(p) [2] T ậ ự ệ ể : Thuật toán 1: Đầ : k  (k , , k , k ) , P  E ( F ) t 1 p Đầ : kP Q   cho i t-1 ế 2.1 Q  2Q ự ệ 2 ế ki=1 Q  Q  P T ả ềQ Thuật toán 2: Đầ : k  (k , , k , k ) , P  E ( F ) t 1 p Đầ : kP Q   cho i ế t-1 ự Nế ki=1 Q  Q  P ệ 2.2 P  P ả ềQ Đố T ậ [8], ò ặ 21 22 ề ế ả Q Kế ả ầ 21 ị 22 D ậ ì ự ả ố ế ế ú 21 ế 22 T ó, T ậ ị ặ ế ả 21 Q 2 P, ự ệ ậ ụ ự ệ ó ể ể ố ự T ú ô ự ậ ể ế ế ứ ó ể ả ầ ứ FPGA T ậ ò ặ ụ ị ầ ệ 2, ợ ề ậ ể Nghiên cứu Khoa học Cơng nghệ lĩnh vực An tồn thơng tin ô ệ ể Hai phép tính ợ ể : T ậ ể : ể P( x1 , y1 )  E ( Fp ), P   P : P  ( x3 , y3 ) ợ Nếu c1 = c2 = z := z1 mod 2k; Khơng z := z2 mod 2k; Kết thúc x c1  3x  a  x3     x1  y1   3x12  a  y3     x1  x3   y1  y1  T ậ k – bit Bộ cộng Z1 mod 2k k – bit Bộ cộng z2 mod 2k P  ( x1 , y1 )  E ( Fp ), Q  ( x2 , y2 )  E ( Fp ), Hì ợ : y y  y3     x1  x3   y1  x2  x1  ủ II THIẾT KẾ CỨNG HÓA CÁC PHÉP TÍNH SỐ LỚN CƠ SỞ A Thiết kế cứng hóa phép cộng số lớn trường GF(p) C ố ự x,y: x, y  p 0,1, , p 1 T ầ x GF( ) x y : p x-y ể y x : p ự ố óz ả ằ ị ặ x - y + p Từ x ự ậ tính tốn z : T ậ GF( ) k Tổng := x + (2 -y); z1 := Tổng mod 2k; z2 := z1 + p mod 2k; c1 := Tổng/2k; Nếu c1 = z := z1; Khơng z := z2; Kết thúc 2k – y z   x  y  mod p Ta có  x  y  p ó z ả ằ ặ x+ – Từ z : ú z   x  y  mod p Ta có  p  x  y  p Trong p ầ ế ủ , chúng tơi ũ ẽ ì ậ ế ú ầ ứ ủ ố ố ụ ụ ệ ứ ó ể Mụ II Mụ III Cụ ể ợ ì ụ Mụ IV Kế ả ự ệ ố ù Mụ Kế ậ x y C B Thiết kế cứng hóa phép trừ số lớn trường GF(p) C ố ự x, y: ị x, y  p 0,1, , p 1 T ầ y y  x3     x1  x2  x2  x1  ủ z P  Q ị 2k - p c2 ể : Thì P  Q  ( x , y ) 3 y ị ậ c1 k – bit Bộ cộng x+ z1 p ể k – bit Bộ cộng z2 T ậ z1 := x + y; z2 := (z1 mod 2k) + (2k-p); c1 := z1/2k; c2 := z2/2k; GF( ): z Hì C ú ố GF(p) Số 2.CS (08) 2018 53 Journal of Science and Technology on Information Security C Thiết kế cứng hóa phép nhân số lớn trường GF(p) P GF( ) ợ ị ĩ : ả T ậ GF( ): r := 0; với i in to k-1 lặp: r := (r +r) mod p; if x(k-i-1)=1 r := r + y mod p; kết thúc nếu; kết thúc lặp; kết := r; C  a.b mod p,  a, b  p Để ự ệ ứ GF( ) ầ ó ự ứ ệ , ố a b, ả ứ ứ p ế Có ề ự ó ó ậ ề ặ ầ ầ ứ ụ ứ AND, ứ CLB LUT ó ề ể ự GF( ), ậ ụ ể GF( ), ố ợ ầ ứ , ầ ụ C ậ ụ ầ ế ế ì ầ ả ầ OR, , MU ầ ả FPGA V ế ố ả ệ ậ ó ể ó ố : (multiply and - P then divide) - P x (Interleaving) - P M (nhân Montgomery) H ệ , chúng tơi ự ệ ứ ó x , ễ ự ệ ề ả ầ ứ ụ phép nhân T ắ ú ô ẽ ứ ề ò P x ẽ ợ làm rõ ậ x ẫ tài ệ [4], [5] T ậ x ợ trình bày : C ố ự x, y: T ầ x, y  p  0,1, , p 1 ị ủ x y z  x y mod p : p Ta có x y   xk 1.2k 1  xk 2 2k 2   x0 20  y  ( (0.2  xk 1 y )2  xk 2 y )2   x1 y )2  x0 y , ể ụ ự ệ ằ ô ú 54 Số 2.CS (08) 2018 ( ) ẽ ợ ó ó ế GF( ), z  x y mod p y Step_type p ce_r x y p Bộ cộng modulo p z Shift Thanh ghi dịch 256 - bit Mạch tổ hợp ce Thanh ghi 256-bit clear x(i) load update load load r z Hì C ú ố GF(p) D Thiết kế cứng hóa phép chia/nghịch đảo trường GF(p) P ị ả ợ ủ a/b a=1 T x ợ , ố ự a, b: a, b  p 0,1, , p  1 T ầ ị ủ a b p : z  a / b mod p (1) Để ể ứ (1) ó ề ậ toán khác (thuật toán Euclidean thuật toán nhị phân, thuật tốn cộng-trừ thuật tốn tính nghịch đảo theo định lý Fermat’s Little) ầ ú ô ự ậ ị ể ế ế ị ả GF(p) C ố ự a, b: a, b  p 0,1, , p 1 - Nế ả ố ề , ó ó: GCD(a,b) = 2.GCD(a/2, b/2) - Nế ó ố , ả ì GCD(a, b) = GCD(a, b/2) - Nế ó ố ả ửa≥b Nghiên cứu Khoa học Công nghệ lĩnh vực An tồn thơng tin ì ó GCD(a,b) = GCD(a, a -b) óa–b ố Lặ ì ố m ẽ ì ợ ốx ị GCD(a ,b) = GCD( a p , 0) Từ ó ểx ự ậ a z  mod p : b T ậ ị ị ả GF(p): a := p; b := y; c := 0; d := x; Trong a > lặp Trong (b mod 2) = lặp b := b/2; d := Divide_By_2(d, P); Kết thúc lặp; Nếu b >= a b := b-a; d := (d-c) mod P; Nếu khơng Old_b := b; b := a-b; a := Old_b; Old_d := d; d := (c-d) mod P; c := Old_d; Kết thúc nếu; Kết thúc lặp; Z := c; a b b a a Bộ trừ Bộ trừ b d p d Bộ cộng theo điều kiện c Bộ trừ b0 d+b0p /2 -1 d2 mod p p a a/b ce Thanh ghi k – bit a y b/2 c d d Bộ trừ d-c/c-d b-a/a-b c c 2 ce Thanh ghi k – bit ce Thanh ghi k – bit ce Thanh ghi k – bit b d z.c Hì C ú  y2  y1 x2  x1 ể GF(p) B Thiết kế cứng hóa phép nhân đôi điểm Elliptic trường GF(p) P ô ợ ị ĩ ầ ó ể R  2P ợ x ị : x3    x1 ; y3   ( x1  x3 )  y1 x y3   ( x1  x3 )  y1 3x 21  a  y1 ce Hình C u trúc phép chia/nghị ảo theo thuật toán nhị ng GF(p) III THIẾT KẾ CỨNG HÓA PHÉP NHÂN ĐIỂM ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG GF(p) A Thiết kế cứng hóa phép cộng điểm Elliptic trường GF(p) P ể ợ ị ĩ ầ ó ể R  PQ ợ x ị : x3    x1  x2 Hì C ú ể GF( ) Số 2.CS (08) 2018 55 Journal of Science and Technology on Information Security C Thiết kế cứng hóa phép nhân điểm Elliptic trường GF(p) Vệ ứ ó ể GF( ) ì ố ế ế ứ ó ụ , ú ự ệ ể GF( ) : K+ carry_reg YP0 p-YP0 IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN M ể GF( ) ợ ú ô ợ 02 ề chip xc7z030 x 7z045 ợ ứ ụ ề “N ứ ế ế, ế ả ậ ầ ứ HSM, ứ ụ ệ ố ả ậ x ự ô ” D ế ả ợ ể 02 ề ả ầ ứ khác (K+ carry)/2 Next_k XQ YQ YP0_tp XP0 Cộng Điểm 1 New_XQ XP XP0 YP p-YP New_YQ YP0 T ậ toán nhân ể Tạo cờ trạng thái ặ ứ YP0 XP0 1 NEXT_X Q NEXT_Y Q New_YP New_XP Xc7z030 T ậ toán Q_infinity XQ YQ C Chip FPGA ú Xc7z045 Tầ ố Tài nguyên ế ế (M Hz) (L UTs) 136.1 34472 256 157.3 34486 ể GF( ) ệ C ề dài ỗ bit ậ FPGA Nhân Đôi Initial: Xp, Yp G ả ầ Initial: K Thanh ghi XQ, YQ Hì Kế ề ả Bả ể ự ệ GF( ) ự V KẾT LUẬN ể ô ệ FPGA: T ó ệ , ể ố ệ ả ì ậ ệ , ự ậ ự ậ ệ ế ế ứ ụ II phép Để ó ó phép tính ể ụ III T ể FPGA ằ n ô ô ả ầ ứ HDL VHDL Đ ế ả ợ ề ế ế, ầ ố ủ 02 FPGA x 7z030 x 7z045 Kế ả ị , ứ ợ ầ ề , ợ ứ ụ ề “N ứ ế ế, ế ả ậ ầ ứ HSM, ứ ụ ệ ố ả ậ x ự ” Hì G ệ ể GF( ) 56 Số 2.CS (08) 2018 Nghiên cứu Khoa học Cơng nghệ lĩnh vực An tồn thơng tin [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] TÀI LIỆU THAM KHẢO American Bankers Association ANSI X9.621998: Public Key Cryptography for the Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) N Koblitz, S Vastone, and A Menezes The State of Elliptic Curve Cryptography, Design, Codes and Cryptography, 19(2/3):173-193, March 2000 J Lutz High Performance Elliptic Curve Cryptographic coM ’ , University of Waterloo, 2003 Đề tài c B “N ứu thiết kế, chế tạo module bảo mậ ặt an tồn, cứng hóa thuật tốn GOST (28147-89, R34.11-2012, R34.10-2012) dựa cơng nghệ FPGA” B C ếu Chính phủ, Thực 2015- 2016 Chủ nhiệm Nguyễ B C SEC1 Elliptic Curve Cryptography: Standards for Eficient Cryptography Group, http://www.secg.org TC03-2:2015, “Thuật tốn chữ ký số ECDSA”, B ếu Chính phủ The FIPS 186-3 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm Validation System (ECDSA2VS), January 17, 2012 Cryptographic Algorithms on Reconfigurable Hardware, Springer SƠ LƯỢC VỀ TÁC GIẢ H FPGA, ô H H Mậ ệ Kỹ ,Vệ K KS Nguyễn Văn Long Đ ị ô :Vệ K – Cô ệ ậ , B C ế ủ Email: longyenkk2@gmail.com Q ì : N ậ ằ ỹ ă 2014 ứ ệ : Cô ệ , ệ ú L x TS Hoàng Văn Thức Đ ị ô tác: V ệ K Cô ệ ậ , B C ế C ủ Email: thuchv@yahoo.com Q ì :N ậ ằ ỹ ă 1998 T ĩ ă 2004 Kỹ ậ ậ , ậ ậ N ậ ằ Tế ĩ T - Cô ệq ự ă 2012 ứ ệ : K - Cô ệ Số 2.CS (08) 2018 57 ... Hình C u trúc phép chia/nghị ảo theo thuật toán nhị ng GF(p) III THIẾT KẾ CỨNG HÓA PHÉP NHÂN ĐIỂM ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG GF(p) A Thiết kế cứng hóa phép cộng điểm Elliptic trường GF(p) P ể ợ ị ĩ... k – bit ce Thanh ghi k – bit b d z.c Hì C ú  y2  y1 x2  x1 ể GF(p) B Thiết kế cứng hóa phép nhân đơi điểm Elliptic trường GF(p) P ợ ị ĩ ầ ó ể R  2P ợ x ị : x3    x1 ; y3   ( x1  x3... 2018 55 Journal of Science and Technology on Information Security C Thiết kế cứng hóa phép nhân điểm Elliptic trường GF(p) Vệ ứ ó ể GF( ) ì ố ế ế ứ ó ụ , ú ự ệ ể GF( ) : K+ carry_reg YP0 p-YP0