chuyen

trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.. Số thực khác 0 là đơn thức bậc không. Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.. Đơn [r]

Chuyên đề: BIỂU THỨC

Chuyên đề: BIỂU THỨC

Trong chương trình sách giáo khoa:

Trong chương trình sách giáo khoa:

Toán 7- tập

Toán 7- tập

:

:

Biểu thức đại số:

1 Biểu thức đại số:

- Khái niệm biểu thức đại số.- Khái niệm biểu thức đại số

- Giá trị biểu thức đại số- Giá trị biểu thức đại số Đơn thức:

2 Đơn thức:

- Định nghĩa đơn thức- Định nghĩa đơn thức

- Đơn thức đồng dạng - Đơn thức đồng dạng Đa thức :

3 Đa thức :

- Định nghĩa đa thức- Định nghĩa đa thức

- Cộng trừ đa thức- Cộng trừ đa thức

- Đa thức biến- Đa thức biến

- Cộng trừ đa thức biến- Cộng trừ đa thức biến

Toán - tập 1

Toán - tập 1

1 Phép nhân phép chia đa thức:

1 Phép nhân phép chia đa thức:

- Nhân đơn thức với đa thức

- Nhân đơn thức với đa thức

- Nhân đa thức với đa thức

- Nhân đa thức với đa thức

- Chia đơn thức cho đơn thức

- Chia đơn thức cho đơn thức

- Chia đa thức cho đơn thức

- Chia đa thức cho đơn thức

2 Những đẳng thức đáng nhớ

A

A

KIẾN THỨC CƠ BẢN

KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Khái niệm biểu thức đại số

I Khái niệm biểu thức đại số

:

:

1.

1.

Khái niệm biểu thức đại số

Khái niệm biểu thức đại số

Những biểu thức mà ngồi số, kí

Những biểu thức mà ngồi số, kí

hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ

hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ

thừa, cịn có chữ( đại diện cho số) Người ta

thừa, cịn có chữ( đại diện cho số) Người ta

gọi biểu thức biểu thức đại số.

gọi biểu thức biểu thức đại số.

Ví dụ

Ví dụ

: Các biểu thức: 4x ; 2.(5 + a) ; 3.(x+ y) ; ; ;

: Các biểu thức: 4x ; 2.(5 + a) ; 3.(x+ y) ; ; ;

; ; biểu thức đại số.

; ; biểu thức đại số.

2

x

2

x

4

x y

0.5

2

2

Giá trị biểu thức đại số:

Giá trị biểu thức đại số:



Để tính giá trị biểu thức đại số giá

Để tính giá trị biểu thức đại số giá

trị cho trước biến, ta thay giá trị cho

trị cho trước biến, ta thay giá trị cho

trước vào biểu thức thực phép tính.

trước vào biểu thức thực phép tính.



Ví dụ

Ví dụ

: Tính giá trị biểu thức x= -1

: Tính giá trị biểu thức x= -1

và x=

và x=

Thay x=1 vào biểu thức ta có:

Thay x=1 vào biểu thức ta có:

Vậy giá trị biểu thức x= -1

Vậy giá trị biểu thức x= -1

9.

9.

Thay x= vào biểu thức ta có:

Thay x= vào biểu thức ta có:

Vậy giá trị biểu thức x=

Vậy giá trị biểu thức x=

2

3

x



5

x



1

2

3.( 1) 5.( 1) 9





  

3

x



5 1

x



1 2 2

1 1

3.( ) 5.( ) 3.( ) 5.( ) 1

2         4

II Đơn thức

II Đơn thức

1.

1. Định nghĩaĐịnh nghĩa đơn thứcđơn thức: :

 Khái niệmKhái niệm::

Đơn thức biểu thức đại số gồm số, Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến

biến, tích số biến.

Ví dụVí dụ: Các biểu thức 9; ;x ; y ; đơn thức.: Các biểu thức 9; ;x ; y ; đơn thức

- Chú ý: Số gọi đơn thức không.- Chú ý: Số gọi đơn thức không

 Đơn thức thu gọnĐơn thức thu gọn

 Định nghĩaĐịnh nghĩa: Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích : Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích

một số với biến,mà biến nâng lên luỹ thừa với

một số với biến,mà biến nâng lên luỹ thừa với

số mũ nguyên dương

số mũ nguyên dương

 Ví dụ: Ví dụ: - Các đơn thức: x ; -y ; đơn thức thu gọn - Các đơn thức: x ; -y ; đơn thức thu gọn

- Các đơn thức : xyx ; đơn thức thu - Các đơn thức : xyx ; đơn thức thu gọn

gọn

3

3

2

x y



5

10xy

2



Bậc đơn thức

Bậc đơn thức

 Định nghĩaĐịnh nghĩa: Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số : Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số

mũ tất biến có đơn thức

mũ tất biến có đơn thức

Số thực khác đơn thức bậc không.Số thực khác đơn thức bậc không

Số coi đơn thức khơng có bậc.Số coi đơn thức khơng có bậc

 Ví dụVí dụ: Trong đơn thức, biến x có số mũ 5; biến y có số : Trong đơn thức, biến x có số mũ 5; biến y có số

mũ 3; biến z có số mũ

mũ 3; biến z có số mũ

Vậy bậc đa thức cho là:5+ 3+ = 9.Vậy bậc đa thức cho là:5+ 3+ =

 Nhân hai đơn thứcNhân hai đơn thức

 Quy tắcQuy tắc: Để nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số với : Để nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số với

nhau nhân phần biến với

nhau nhân phần biến với

 Ví dụVí dụ: Để nhân hai đơn thức , ta làm : Để nhân hai đơn thức , ta làm

sau:

sau:

2

x y

2

9

xy

4

2 4)

2 Đơn thức đồng dạng

2 Đơn thức đồng dạng

 Định nghĩaĐịnh nghĩa::

Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến

có phần biến

 Ví dụVí dụ: ; ; đơn thức đồng dạng.: ; ; đơn thức đồng dạng

 Chú ýChú ý: Các số khác coi đơn thức đồng dạng: Các số khác coi đơn thức đồng dạng  Cộng, trừ đơn thức đồng dạngCộng, trừ đơn thức đồng dạng

 Quy tắcQuy tắc: Để cộng( hay trừ đơn thức đồng dạng, ta cộng : Để cộng( hay trừ đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến

(hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến

 Ví dụVí dụ: - Để cộng hai đơn thức , ta làm sau:: - Để cộng hai đơn thức , ta làm sau:

- Để trừ hai đơn thức ta làm sau:- Để trừ hai đơn thức ta làm sau:

3

2

x y



5

x y

3 14 x y3

2

2

x y

5

x y

2

2 2

2x y 5x y  (2 5)x y 7x y

2

3

xyz

7

xyz

2

2 2

III Đa thức:

III Đa thức:

1.Định nghĩa đa thức 1.Định nghĩa đa thức::

 Khái niệm:Khái niệm:

Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức

gọi hạng tử đa thức

 Ví dụVí dụ: : Đa thức có hạng tử là:Đa thức có hạng tử là:

 Thu gọn đa thứcThu gọn đa thức::

Là công việc cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng đa

Là công việc cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng đa

thức

thức

 Ví dụVí dụ: Thu gọn đa thức N= : Thu gọn đa thức N=

Ta có: N= = Ta có: N= =

2

3

8

x  y  xz  x

2

5

3

;

;

; 7

8

x



y

xz



x

2

3

3

3

1

5

2

x y



xy



x y





xy



x



2

3

3

3

1

5

2

x y xy x y





  

xy

x



4

2

1

2

2

Bậc đa thứcBậc đa thức



Định nghĩa

Định nghĩa

:

:

Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao

nhất dạng thu gọn đa thức dạng thu gọn đa thức



Chú ý

Chú ý

:

:

- Số coi đa thức khơng khơng có - Số coi đa thức không khơng có bậc

bậc

-Khi tìm bậc đa thức, trước hết ta phải thu gọn -Khi tìm bậc đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức

đa thức



Ví dụ

Ví dụ

: Trong đa thức Hạng tử có : Trong đa thức Hạng tử có

bậc 7, hạng tử có bậc 5, có bậc 6, có bậc bậc 7, hạng tử có bậc 5, có bậc 6, có bậc

khơng Bậc cao bậc Vậy bậc đa không Bậc cao bậc Vậy bậc đa

thức cho bậc thức cho bậc

2

1

x y



xy



y



x y

2

4

xy

2.Cộng, trừ đa thức

2.Cộng, trừ đa thức



Cộng hai đa thức

Cộng hai đa thức

:

:



Quy tắc

Quy tắc

:

:

Để cộng hai đa thức ta thực Để cộng hai đa thức ta thực

các bước sau: bước sau:

- Bước : Viết liên tiếp số hạng hai đa thức - Bước : Viết liên tiếp số hạng hai đa thức với dấu chúng

đó với dấu chúng

- Bước 2: Thu gọn số hạng đồng dạng (nếu có)- Bước 2: Thu gọn số hạng đồng dạng (nếu có)  Ví dụVí dụ: Cho M=: Cho M=

N N Tính M + N

Tính M + N

2

5

x y



5

x



3

2

1

4

5

2

xyz

x y

x

LG: M + N

LG: M + N 2

2 2

2

2

1

(5

5

3) (

4

5

)

2

1

5

5

4

3

4

5

2

1

(5

4

) (5

5 )

( 3

)

2

1

10

3

2

x y

x

xyz

x y

x

x y

x

x y

xyz

x y

x

x y

x y

x

x

xyz

x y

x xyz









































  



Trừ hai đa thức:

Trừ hai đa thức:



Quy tắc

Quy tắc

::

- Bước 1: Viết số hạng đa thức thứ - Bước 1: Viết số hạng đa thức thứ với dấu chúng

cùng với dấu chúng

- Bước 2: Viết tiếp số hạng đa thức thứ hai - Bước 2: Viết tiếp số hạng đa thức thứ hai

với dấu ngược lại với dấu ngược lại

- Bước 3: Thu gọn số hạng đồng dạng (nếu có) - Bước 3: Thu gọn số hạng đồng dạng (nếu có)



Ví dụ

Ví dụ

:

:

Cho hai đa thức: Cho hai đa thức:

P P Và Q Và Q

2

5

x y

4

xy

5 3

x









2

1

4

5

2

xyz

x y xy

x

2

2

2 2

2

(5

4

5 3)

1

(

4

5

)

2

1

(5

4

5 3)

4

5

2

1

9

5

2

2

x y

xy

x

xyz

x y xy

x

x y

xy

x

xyz

x y xy

x

x y

xy xyz













































LG: P - Q

LG: P - Q

3.

3.

Đa thức biến

Đa thức biến

:

:



Định nghĩa

Định nghĩa

: Đa thức biến tổng đơn thức : Đa thức biến tổng đơn thức

của biến biến



Ví dụ

Ví dụ

: A= đa thức biến y: A= đa thức biến y

B= đa thức biến y.B= đa thức biến y



Nghiệm đa thức biến

Nghiệm đa thức biến

::



Định nghĩa

Định nghĩa

: Nêú x=a, đa thức P(x) có giá trị : Nêú x=a, đa thức P(x) có giá trị

ta nói a (hoặc x=a) nghiệm đa thức ta nói a (hoặc x=a) nghiệm đa thức



Ví dụ

Ví dụ

:: nghiệm đa thức P(x) = 2x +1 nghiệm đa thức P(x) = 2x +1

P( ) = =0P( ) = =0

7

y



3

y



2

5

1

3

8 5

7

2

x



x



x



x



1

2

x



1

 2( 1)

2

IV Phép nhân phép chia đa thức

IV Phép nhân phép chia đa thức

1)

1)

Nhân đơn thức với đa thức

Nhân đơn thức với đa thức



Quy tắc

Quy tắc

: Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta : Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta

nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích lại với nhau:

tích lại với nhau:

A(B + C) = AB + AC A(B + C) = AB + AC



Ví dụ

Ví dụ

: Làm tính nhân: : Làm tính nhân:

Ta có:Ta có:

3

1

( ).(

5

)

2

x

x

x







3

3 3

5

1

( ).(

5

)

2

1

( ).

( ).5

( ).(

)

2

2

10

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x







2) Nhân đa thức với đa thức

2) Nhân đa thức với đa thức



Quy tắc

Quy tắc

: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân : Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân

mỗi hạng tử đa thức với hạng tử đa thức hạng tử đa thức với hạng tử đa thức

kia cộng tích lại với nhau: cộng tích lại với nhau:

(A + B)(C + D) = AC + AD +BC +BD (A + B)(C + D) = AC + AD +BC +BD



Ví dụ:

Ví dụ:

2

2

(

2)(6

5 1)

.(6

5 1) 2.(6

5 1)

x

x

x

x x

x

x

x











 





2

.6

.( ) ( 2).6

( 2).( ) ( 2).1

x x x

x x

x

x









 

 



 

3 2

6

x

5

x x

12

x

10 2

x





 





3

6

x

17

x

11 2

x

3) Những đẳng thức đáng nhớ

3) Những đẳng thức đáng nhớ

2 2 2

2 2

2

3 2

3 2

3 2

3 2

(

)

2

(

)

2

(

)(

)

(

)

3

3

(

)

3

3

(

)(

)

(

)(

)

A B

A

AB

B

A B

A

AB

B

A

B

A B A B

A B

A

A B

AB

B

A B

A

A B

AB

B

A

B

A B A

AB

B

A

B

A B A

AB

B























































2 2

1 2

(

)

2

2

2

(

)(

.

.

)

n n n n n n n

A B C

A B C

AB

AC

BC

A B

A B A



A B A B

 

A B



B



 





























3 3

(

)(

2

) 3

A B C





  

A B C A B C







AB BC AC







ABC

Một số đẳng thức mở rộng

Một số đẳng thức mở rộng



(với n N, n lẻ)

4)Phân tích đa thức thành nhân tử

4)Phân tích đa thức thành nhân tử

 Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức

thức thành tích đơn thức đa thức

 Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta dùng phương Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta dùng phương pháp :

pháp :

- Đặt nhân tử chung- Đặt nhân tử chung

- Dùng đẳng thức nhớ- Dùng đẳng thức nhớ

- Nhóm hạng tử - Nhóm hạng tử

5) Chia đơn thức cho đơn thức

5) Chia đơn thức cho đơn thức



Quy tắc

Quy tắc

: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B( trường : Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B( trường

hợp A chia hết B) ta làm sau: hợp A chia hết B) ta làm sau:

- Bước 1: Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn - Bước 1: Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B

thức B

- Bước 2: Chia luỹ thừa biến A cho luỹ - Bước 2: Chia luỹ thừa biến A cho luỹ thừacủa biến B

thừacủa biến B

- Bước 3: Nhân kết vừa tìm với nhau.- Bước 3: Nhân kết vừa tìm với



Ví dụ

Ví dụ

: Làm tính chia : Làm tính chia

Ta có: Ta có:

15 : = 3.15 : =

Vậy thương phép chia cho là: 3xVậy thương phép chia cho là: 3x

2 2

15

x y

:5

xy

2

:

x x x



x





2

:

1

6) Chia đa thức cho đơn thc

6) Chia đa thức cho đơn thc



Quy tắc

Quy tắc

: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B( trường hợp : Muốn chia đa thức A cho đơn thức B( trường hợp

các hạng tử đa thức A chia hết cho đơn thức B), ta hạng tử đa thức A chia hết cho đơn thức B), ta

chia hạng tử A cho B cộng kết với chia hạng tử A cho B cộng kết với



Ví dụ

Ví dụ

:

:

Thực phép chia sau Thực phép chia sau

2 3

2 2

3

(15

12

10

) : 3

(15

: 3

) (12

: 3

) ( 10

: 3

)

10

5

4

3

x y

x y

xy

xy

x y

xy

x y

xy

xy

xy

xy

x

y









 

7) Chia đa thức biến xếp

7) Chia đa thức biến xếp

 Đa thức A(x) theo biến x gọi xếp ta viết A(x) Đa thức A(x) theo biến x gọi xếp ta viết A(x) theo số mũ giảm dần x

theo số mũ giảm dần x

 Đa thức A(x) gọi chia hết cho đa thức B(x) tìm Đa thức A(x) gọi chia hết cho đa thức B(x) tìm đa thức Q(x) cho: A(x) = B(x) Q(x)

một đa thức Q(x) cho: A(x) = B(x) Q(x)

A(x) : Đa thức bị chiaA(x) : Đa thức bị chia

B(x) : Đa thức chiaB(x) : Đa thức chia

Q(x) : Đa thức thươngQ(x) : Đa thức thương

 Có thể có trường hợp A(x) khơng chia hết cho B(x), ta nói Có thể có trường hợp A(x) khơng chia hết cho B(x), ta nói A(x) chia cho B(x) có dư: A(x) = B(x) Q(x) + R(x).( R(x): A(x) chia cho B(x) có dư: A(x) = B(x) Q(x) + R(x).( R(x):

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ - ĐA THỨC

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ - ĐA THỨC

TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TOÁN THCS

I Biểu thức đại số:

I Biểu thức đại số:



Loại 1

Loại 1

:

:

Viết biểu thức đại số theo yêu cầu

Viết biểu thức đại số theo yêu cầu

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Xác định phần biến hệ số biểu thức 1) Xác định phần biến hệ số biểu thức

2) Viết biểu thức theo yêu cầu2) Viết biểu thức theo yêu cầu

 Ví dụ: (BT 147 - T129 - Sách 400 tập toán 7)

Viết biểu thức đại số sau:

a) Tổng bình phương ba số hữu tỉ a, b, c b) Tổng nghịch đảo ba số hữu tỉ x, y, z

a) Bước 1: Xác định phần biến hệ số biểu thức + Phần biến biểu thức là: a, b, c

+ Phần hệ số ba biến là: Bước 2: Viết biểu thức theo yêu cầu

Tương tự bước xác định ta kết biểu thức:

b) (x, y, z 0)

c)

2 2

a b c

1 1

x  y  z

2 xy x y z



Loại 2:

Loại 2:

Phân loại biểu thức đại số

Phân loại biểu thức đại số



Phương pháp

Phương pháp

:

:

1)

1) Nắm kiến thức dạng biểu thức Nắm kiến thức dạng biểu thức đại số

đại số

2) Xác định thành phần biểu thức 2) Xác định thành phần biểu thức

xem biến số xuất đâu xem biến số xuất đâu

 Ví dụ: Trong biểu thức đại số sau đâu biểu thức nguyên, đâu biểu thức phân (với x, y biến; a,b hằng):

2 2

2 (x y  2) x  y

2

4( 2)( 1) x y x    ( 1)

LG: a) Biểu thức nguyên b) Biểu thức phân c) Biểu thức phân

II Tính giá trị biểu thức:

II Tính giá trị biểu thức:



Loại 1: Tính giá trị biểu thức giá trị cụ

Loại 1: Tính giá trị biểu thức giá trị cụ

thể biến

thể biến

 Phương phápPhương pháp::

1) Xác định biến hệ số biểu thức.1) Xác định biến hệ số biểu thức

2) Thu gọn biểu thức biến đổi để biểu thức đơn 2) Thu gọn biểu thức biến đổi để biểu thức đơn giản

giản

3) Thay trực tiếp giá trị cho trước biến vào biểu thức 3) Thay trực tiếp giá trị cho trước biến vào biểu thức tính

 Ví dụ: Tính giá trị biểu thức sau m = - n = 2:

a) 3m - 2n; b) 7m + 2n - 6;

LG:

a) Thay m = -1 ; n = vào biểu thức ta được: 3.(-1) - 2.2 = -3 -4 = -7

Vậy giá trị biểu thức 3m - 2n m = - n = -7;

b) Thay m = -1 v n = vào biểu thức ta được: 7.(-1) + 2.2 -6 = -7 + -6 = -9



Loại 2

Loại 2

:

:

Tìm điều kiện biến để biểu thức

Tìm điều kiện biến để biểu thức

đại số có nghĩa

đại số có nghĩa

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thu gọn biểu thức (nếu biểu thức chưa thu gọn)1) Thu gọn biểu thức (nếu biểu thức chưa thu gọn)

2) Xác định điều kiện biến cho chúng thỏa mãn 2) Xác định điều kiện biến cho chúng thỏa mãn

tính chất phép tốn có mặt biểu thức tính chất phép tốn có mặt biểu thức

 Ví dụ: Với giá trị biến số biểu thức sau

khơng có nghiã:

4

( 1)( 2) xy x x y

 

 

2

2

( 1)( 4) ( 2)

x x x

x

  



1

(x  1)(x  2)(x  3) (x  2009)

a) Biểu thức khơng có nghĩa khi: Do đó: Hoặc

Hoặc

Vậy biểu thức khơng có nghĩa x=-1, y tùy ý giá trị x tùy ý, y=2

b) Vì với , nên

Vậy khơng có giá trị x để biểu thức khơng xác định Nói cách khác biểu thức xác định với c) Biểu thức nghĩa khi:

Vậy biểu thức có nghĩa x = 1; 2; 3; 4; ; 1999

LG:

x  1 y  2 0

0

1   

 x

x

2

2   

 y

y

0

2



x x Q 2



Loại 3: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

Loại 3: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

chủa biểu thức đại số

chủa biểu thức đại số



Phương pháp:

Phương pháp:

1) Đưa biến dạng bình phương có số mũ chẵn1) Đưa biến dạng bình phương có số mũ chẵn

2) Vận dụng tính chất số mũ chẵn vào phép toán.2) Vận dụng tính chất số mũ chẵn vào phép tốn  Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

(x  3) 

2

(

x



1)



(

y



3)



1

a) b)

LG:



x  3



2 0 x Q



x  3



2  2 x Q

a) Ta có: với

với

nên

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ x  32 0 hay x 3

b) Ta có:

b) Ta có:

x  12 0 với x  Q



y  3



2 0 với y Q nên

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ

x  12  y 32 11

x  12 0 y 32 0 hay x 1và y 

1



x y 

Vậy giá trị nhỏ biểu thức



Loại 4: Một số toán thực tế

Trong thực tế có nhiều tốn khơng cho ta biểu thức đại số mà ta phải tìm biểu thức tính giá trị biểu thức



Phương pháp

:

1) Chọn biến thích hợp xác định điều kiện cho biến thỏa mãn yêu cầu toán

2) Biểu thị số liệu chưa biết qua biến chọn

3) Tìm mối liên hệ số liệu để lập thành biểu thức 4) Tính giá trị biểu thức tìm

 Ví dụ: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x(m),

chiều rộng y(m) (x,y>4)

Người ta mở nối xung quanh vườn ( thuộc đất vườn) rộng 2m

a) Hỏi chiều dài, chiều rộng khu đất lại để trồng trọt (m) ?

LG: LG:

a) Lối rộng 2m nên: chiều dài lại để trồng a) Lối rộng 2m nên: chiều dài lại để trồng trọt là: x - (m)

trọt là: x - (m)

chiều rộng lại là: y - (m).chiều rộng lại là: y - (m)

b) Khi diện tích khu đất trồng là: b) Khi diện tích khu đất trồng là:

(x - 2).( y - 2) ( ).(x - 2).( y - 2) ( )

Thay x = 15m; y = 12m ta có: Thay x = 15m; y = 12m ta có:

Diện tích đất trồng trọt là: 13.10 = 130 ( ).Diện tích đất trồng trọt là: 13.10 = 130 ( )

2

m

2

III Biểu thức đại số nhau

III Biểu thức đại số nhau



Loại 1: Chứng minh biểu thức đại số

Loại 1: Chứng minh biểu thức đại số

bằng nhau

bằng nhau



Phương pháp

Phương pháp

:

:

1) Cho biến nhận giá trị số thực bất kì.

1) Cho biến nhận giá trị số thực bất kì.

2) Tính giá trị biểu thức.

2) Tính giá trị biểu thức.

3) So sánh giá trị tìm hai biểu thức

3) So sánh giá trị tìm hai biểu thức

Kết luận.

Kết luận.

 Ví dụ: Hãy chứng tỏ hai biểu thức sau không nhau:

2

(x 2) 2x2 4

a)

2

(x y ) x2  2xy y

LG: LG: Q x   x     2 2 2         x x

a) Hai biểu thức xác định với Do vậy, lấy , ta được:

Vậy hai biểu thức không

Q y x   , ,   y x 3 3          x y y x

b) Hai biểu thức xác định với Do vậy, lấy được:, ta

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Biến đổi biểu thức1) Biến đổi biểu thức

2) Tìm điều kiện biến thỏa mãn biểu thức cho.2) Tìm điều kiện biến thỏa mãn biểu thức cho



Loại 2: Tìm giá trị biến để biểu thức đại

Loại 2: Tìm giá trị biến để biểu thức đại

số nhận giá trị nhau

số nhận giá trị nhau

Q b

a, 

2 2

(a b ) (a b ) 2(a b )

2

( ) ( )

a a b  b b a a  b

 Ví dụ: Chứng minh với ta có:

b)

a) LG:

a) Ta có:



a b



2 



a  b



2 



a b

 

a b

 

 a  b

 

a  b





a b



Vậy với ta có (a b )2 (a b )2 2(a2 b2)



a b



b



b a



a ab



b ab



a       

2

2

b a

ab b

ab a

 

 

 

Q b

a,  a a b(  )  b b a(  ) a2  b2 b) Ta có:

IV Đơn thức:

IV Đơn thức:



Loại 1:

Loại 1:

Nhận dạng đơn thức

Nhận dạng đơn thức

 Phương pháp: Phương pháp:

1) Xác định tính chất phép tốn biểu

1) Xác định tính chất phép tốn biểu

thức cho

thức cho

2) Nếu biểu thức có hai phép tốn nhân

2) Nếu biểu thức có hai phép tốn nhân

lũy thừa, ta kết luận đơn thức Các

lũy thừa, ta kết luận đơn thức Các

trường hợp cịn lại khơng phải đơn thức.

trường hợp cịn lại khơng phải đơn thức.

 Ví dụ: Trong biểu thức sau đây:

4 3

2a x y z ; 3a  1x3y5z6

a) a, b hằng, x, y, z biến ()?

a) a, b hằng, x, y, z biến ()?

b) x hằng, a, b, y, z biến?

b) x hằng, a, b, y, z biến?

Trong trường hợp cho biết hệ số, phần

Trong trường hợp cho biết hệ số, phần

biến đơn thức.

biến đơn thức.

LG:

a) Các biểu thức cho đơn thức

4 3

2a x y z 2a3

4 y z

x

 1

3 a  x y z 3a  1

6 y z

x

+ Đơn thức có phần hệ số là: phần biến là:

+ Đơn thức có phần hệ số là: phần biến là:

4 3

2a x y z 2x2

4 3 y z

a

b) Biểu thức đơn thức, với phần hệ số là: phần biến là:



Loại 2:

Loại 2:

Thu gọn đơn thức

Thu gọn đơn thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Xác định phần hệ số phần biến

1) Xác định phần hệ số phần biến

đơn thức biểu thức.

đơn thức biểu thức.

2) Cộng, trừ, nhân, chia đơn thức theo

2) Cộng, trừ, nhân, chia đơn thức theo

quy tắc.

quy tắc.

 Ví dụ: Cho đơn thức với x, y, z biến; a, b số

2 3

15 ( )(2 );(2 )( )

3

ax

x  xy xy z y  abx y

a) Thu gọn đơn thức

LG:

LG:

a) Ta có:

2

15 ( 3x  xy )(2xy z) 



15.



 3



.2



.



x.x.x



.



y2.y3



.z

z y x3

90

 

2 3

(2 )( )

3

y  abx y

ax   .



3





1

2  a a b x x y y

             5 y bx a  



Loại 3: Tính giá trị đơn thức

Loại 3: Tính giá trị đơn thức



Phương pháp:

Phương pháp:

1) Thay trực tiếp giá trị biến vào biểu

1) Thay trực tiếp giá trị biến vào biểu

thức cho.

thức cho.

2) Thực phép tính đại số.

2) Thực phép tính đại số.

3 2008

0,07a b c

3 2008

0,07a b c



2

    

0,07.

 

8 9.1 5,04

07 ,

0    2008    

 Ví dụ: Tính giá trị đơn thức: LG:

Với a = -2; b = -3, c = -1, ta có:



Loại 4: Bậc đơn thức

Loại 4: Bậc đơn thức



Phương pháp:

Phương pháp:

1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa

1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa

thu gọn)

thu gọn)

2) Xác định phần hệ số phần biến đơn

2) Xác định phần hệ số phần biến đơn

thức.

thức.

3) Xác định bậc theo biến xác định số mũ

3) Xác định bậc theo biến xác định số mũ

cao biến đó.

cao biến đó.



Ví dụ:

Ví dụ:

Quan sát dãy đơn thức:

Quan sát dãy đơn thức:

2, , , , 3

x x x x

 

LG:

LG:

Ta có nhận xét:

Ta có nhận xét:

+ Đơn thức có hệ số số lẻ có dấu "-"

+ Đơn thức có hệ số số lẻ có dấu "-"

+ Đơn thức có hệ số số chẵn có dấu

+ Đơn thức có hệ số số chẵn có dấu

"+" + Số mũ biến x

"+" + Số mũ biến x

hơn số thhứ tự đơn thức đơn vị

hơn số thhứ tự đơn thức đơn vị

2001

2000x

 1 . . 1

 n n xn



Loại 5:

Loại 5:

Đơn thức đồng dạng

Đơn thức đồng dạng

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa thu gọn)1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa thu gọn)

2) Xác định phần hệ số phần biến đơn thức2) Xác định phần hệ số phần biến đơn thức

3) So sánh phần biến chúng với nhau.3) So sánh phần biến chúng với

4) Khi cộng, trừ đơn thức đồng dạng ta cần cộng 4) Khi cộng, trừ đơn thức đồng dạng ta cần cộng trừ phần hệ số, giữ nguyên phần biến

hoặc trừ phần hệ số, giữ nguyên phần biến

 Ví dụ: Cho biểu thức:

2 3 3

1

; ;( 1) ; a ; a

x y y a x y y x

a ax  x y

a) Gọi a số; x, y biến số biểu thức biểu thức đơn thức đơn thức có đồng dạng khơng?

LG:

a) Các biểu thức: x y2 3;2 3y ;(a 1)x y2 3;

a ax 

đơn thức chúng đơn thức đồng dạng

2 3 3

1

; ;( 1) ; a

x y y a x y y

a ax  x

  3 2

3

3 ;2 ; 1 ;3 ;

1 x y a x ay x y a x ay x y a 





2

2

3 ;2 ; 1 ;

1 x y a x y a x ay x y a  b)

Nếu a, x số, y biến số ta đơn thức đơn thức đèu đồng dạng là:

 Nếu a, y số, x biến số ta viết lại biểu thức sau:

V Cộng, trừ đa thức:

V Cộng, trừ đa thức:



Phương pháp:

Phương pháp:

Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” tính

Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” tính

chất phép tính số, ta cộng, trừ

chất phép tính số, ta cộng, trừ

các biểu thức số Bằng cách tương tự, ta thực

các biểu thức số Bằng cách tương tự, ta thực

hiện phép toán cộng trừ đa thức.

hiện phép toán cộng trừ đa thức.

 Ví dụ: Cho hai đa thức:

2

3

5

M xyz x xy

N x xyz xy y

   

    

Tính M + N; M - N; N - M LG:

2

(3 1) (5 )

M N  xyz  x  xy   x  xyz  xy   y

2

2

(3 ) ( ) (5 ) ( 3)

4 2

xyz xyz x x xy xy y xyz x y

          

2

(3 1) (5 )

M  N  xyz  x  xy   x  xyz  xy   y

2

2

2

3 5

(3 ) (3 ) (5 ) (1 3)

2 19

xyz x xy x xyz xy y

xyz xyz x x xy xy y

xyz x xy y

        

        

    

2

(5 ) (3 1)

N M  x  xyz  xy   y  xyz  x  xy 

2

2

2

5 3

(5 ) ( ) (5 ) (3 1)

8 10

x xyz xy y xyz x xy

x x xyz xyz xy xy y

x xyz xy y

        

        

VI Nhân chia đa thức

VI Nhân chia đa thức

1 Nhân đơn thức với đa thức.

1 Nhân đơn thức với đa thức.

 Phương pháp:

1) Nhân đơn thức với hạng tử đa thức

2) Cộng tích lại với

 Ví dụ: Thực phép nhân

a) b) Giải:

Áp dụng bước ta có: a)

b)

(

5)

x x



(4x x2  8)

2

(

5)

.

.5

5

x x





x x x





x



x

2

2

2

Nhân đa thức với đa thức

Nhân đa thức với đa thức



Loại 1: Các toán nhân đa thức thơng thường

Loại 1: Các tốn nhân đa thức thơng thường

 Phương phápPhương pháp::

1) Nhân số hạng đa thức với số 1) Nhân số hạng đa thức với số

hạng đa thức kiahạng đa thức

2) Cộng tích lại với nhau2) Cộng tích lại với

 Ví dụ: Thực phép nhân:

a)

b)

Giải:

2

(6 )(36 30 25 )

A  x  y x  xy  y

2

(2 )(4 )

b) Ta có:

Vậy

2

(2 )(4 )

B  x y x  xy y

2 2

3 2 2

3

2 (4 ) (4 )

8 4

8

x x xy y y x xy y x x y xy x y xy y x y

     

     

 

3

8

B  x  y

2 2

3 2 2

3

6 (36 30 25 ) (36 30 25 )

216 180 150 180 150 125

216 125

x x xy y y x xy y

x x y xy x y xy y

x y

     

     

 



Loại 2: Các toán chứng minh dựa phép

Loại 2: Các toán chứng minh dựa phép

nhân đa thức

nhân đa thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thực nhân đa thức1) Thực nhân đa thức

2) Thu gọn đa thức 2) Thu gọn đa thức

3) So sánh đa thức thu được3) So sánh đa thức thu

 Ví dụ: Chứng minh giá trị biểu thức sau không

phụ thuộc vào giá trị biến:

Giải:

Ta có:

( 5)(2 3) ( 3)

A  x  x   x x   x

( 5)(2 3) ( 3)

2

2

(2 3) 5(2 3) ( 3)

2 10 15

(2 ) (3 10 ) 15

15

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

       

       

       

  



Loại 3: Các tốn tìm x

Loại 3: Các tốn tìm x

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thực nhân đa thức theo quy tắc1) Thực nhân đa thức theo quy tắc

2) Giải tốn tìm x thơng thường 2) Giải tốn tìm x thơng thường

 Ví dụ: Tìm x biết:

Giải:

Ta có:

(12x  5)(4x  1) (3 x  7)(1 16 ) 81 x 

(12x  5)(4x  1) (3 x  7)(1 16 ) 81 x 

2

12 (4 1) 5(4 1) (1 16 ) 7(1 16 ) 81

48 12 20 48 112 81

83 81

83 83

1

x x x x x x

x x x x x x x

x x

        

        

  

 



Loại 4: Nhân đa thức xếp

Loại 4: Nhân đa thức xếp

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Đặt đa thức theo cột dọc1) Đặt đa thức theo cột dọc

2) Nhân hạng tử với phép nhân số thực2) Nhân hạng tử với phép nhân số thực

 Ví dụ: Thực phép tính:

a)

b)

3

(

x



1)(

x



x

 

x

1)

3

Giải:

a)

Vậy

b) Với cách làm tương tự ta có:

 Chú ý: Nhưng với toán nhân đa thức ta

không thiết phải đặt chúng theo cột dọc Ta nhân theo hàng ngang nhân đa thức với đa thức bình

3

(x 1)(x  x  x 1) x 1

3

4

1

x x x

x

x x x x

  



  

3 1

x x x

   

1 

x

4

x

  1

3

VII Những đẳng thức đáng nhớ

VII Những đẳng thức đáng nhớ



Loại 1: Khai triển đẳng thức cho trước

Loại 1: Khai triển đẳng thức cho trước



Phương pháp:Phương pháp:

1)Nhận dạng đặc điểm biểu thức xem dạng1)Nhận dạng đặc điểm biểu thức xem dạng

đẳng thức nào.hằng đẳng thức

2) Áp dụng công thức khai triển đẳng 2) Áp dụng công thức khai triển đẳng

thức tương ứngthức tương ứng

 Ví dụ: Tính:

a) b)

c) d)

2

(2  xy) (0.1x  0.2)2

2

Giải:

a)

+ Bước 1: Nhận dạng đẳng thức:

Ta thấy biểu thức có dạng đó: A = B = xy

+ Bước 2: Áp dụng công thức khai triển dẳng thức để tính:

Áp dụng công thức: Ta có:

Hay

Tương tự với bước làm ta tính biểu thức lại

2

(2 xy)

2

(A B )

2 2

(A B ) A  2AB  B

2 2

(2  xy) (2)  2.2.xy  (xy)

2



Loại 2: Thành lập đẳng thức

Loại 2: Thành lập đẳng thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Nhận xét hạng tử biểu thức.1) Nhận xét hạng tử biểu thức

2) Tìm số hạng thỏa mãn yêu cầu2) Tìm số hạng thỏa mãn yêu cầu

3) Từ dạng khai triển đẳng thức thu gọn dạng tổng quát 3) Từ dạng khai triển đẳng thức thu gọn dạng tổng quát

 Ví dụ: Điền vào chỗ trống:

a) b)

c) d)

2

9x  25 ( x  ) 36x2  ( 5)  

3 15 ( )3

Giải:

a)

+ Bước 1: Nhận xét hạng tử biểu thức: Ta thấy: vế phải có:

vế trái dạng bình phương tổng

+ Bước 2: Tìm số hạng phù hợp

Để vế phải trở thành dạng bình phương tổng theo cơng thức khai triển số cần tìm vế trái là: 2.5.3x

+ Bước 3: Từ dạng khai triển thu gọn đẳng thức đáng nhớ

* Tương tự với cách làm ta làm tốn cịn

2

9x  25 (   x  )

2 25 5

2

9x (3 )x

2



Loại 3: Tính giá trị biểu thức

Loại 3: Tính giá trị biểu thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thu gọn biểu thức dạng đẳng thức tổng quát1) Thu gọn biểu thức dạng đẳng thức tổng quát

2) Thay giá trị biến số2) Thay giá trị biến số

 Ví dụ: Tính giá trị biểu thức sau:

a) với x = 6; b) với x = 22

3 12 48 64

x  x  x 

3 6 12 8

Giải: a)

Bước 1: Thu gọn đẳng thức

Bước 2: Thay số

Với x = ta được:

 Chú ý: Với toán học sinh thay trực

tiếp giá trị biến vào số hạng ban đầu để tính b) Tương tự

3 12 48 64 ( 4)3

x  x  x   x 

3



Loại 4: Rút gọn

Loại 4: Rút gọn

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Xác định hạng tử lập thành đẳng thức hay1) Xác định hạng tử lập thành đẳng thức hay

đẳng thứccác đẳng thức

2) Đặt thừa số chung để thu gọn biểu thức ghép 2) Đặt thừa số chung để thu gọn biểu thức ghép

hạng tử thành đẳng thứccác hạng tử thành đẳng thức

 Ví dụ: Rút gọn biểu thức

a) b)

2 2

(x  2x 2)(x  2)(x 2x 2)(x 2)

3 3

Giải: a)

+ Bước 1: Xác định hạng tử lập thành đẳng thức Ta thấy lập thành đẳng thức

lập thành đẳng thức + Bước 2: Gép thừa số để lập thành đẳng thức:

Vậy

2

(x  2) (x2 2)

2

(x  2x2) (x2 2x2)

2 2

(x  2x2)(x  2)(x 2x2)(x 2)

2 2

(x 2)(x 2)(x )(x x )x

      

4 2

(x 4) ( x 1) (2 )x 

     

4

(x 4)(x 2x 1)

   

4 2

(x 4)(x 1)

  

2 2

b) (x 1)3 (x 1)3 x3 3 (x x 1)(x 1)

      

2

(x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1) x (x x 1)(x 1)

           

Tách hạng tử thành số hạng ghép đôi với ba số hạng lại ta được:

3 (x x  1)(x 1)

2

(x1)(x  x1) x x(  1)(x1)

+

2

( 1) ( 1)

( 1)

x x x x x

x

 

       

 

+ (x  1)(x2  x 1)  x x(  1)(x 1)

2

( 1) ( 1) ( 1)

( 1)

x x x x x

x

 

         

+ x3  x x(  1)(x 1)

2

2

( 1)( 1) ( 1)

x x x x

x x x

x                

3 3

(x 1) (x 1)  x  (x x 1)(x 1) ( 1) ( 1)

3

x x x

x

    





Loại 5: Các toán chứng minh dựa vào

Loại 5: Các toán chứng minh dựa vào

các đẳng thức

các đẳng thức

Đây dạng toán cần sử dụng hợp lý đẳng Đây dạng toán cần sử dụng hợp lý đẳng thức, việc khai triển kết hợp đẳng thức thức, việc khai triển kết hợp đẳng thức

sử dụng linh hoạt để tìm lời giải cho tốn sử dụng linh hoạt để tìm lời giải cho toán

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Viết dạng khai triển đẳng thức1) Viết dạng khai triển đẳng thức

2) Thu gọn hạng tử thức sau khai 2) Thu gọn hạng tử thức sau khai triển

triển

3) Làm xuất đẳng thức dạng đơn 3) Làm xuất đẳng thức dạng đơn giản biểu thức

 Ví dụVí dụ : Chứng minh rằng: : Chứng minh rằng:

Áp dụng tính biết a + b = -5 ; a.b = 6;Áp dụng tính biết a + b = -5 ; a.b = 6; Giải:

Giải:

3 ( )3 3 ( )

a b  a b  ab a b

3 ( )3 3 ( )

a  b  a b  ab a b

3

a  b

3

3 2 2

3

( ) ( )

3 3

a b ab a b

a a b ab b a b ab a b

   

     

  (đpcm)

Thay số ta có:

3 ( )3 3 ( ) ( 5)3 3.6.( 5)

a b  a b  ab a b    

( 125) 80 45

  

 Loại 1:Phương pháp đặt nhân tử chungLoại 1:Phương pháp đặt nhân tử chung  Phương pháp:Phương pháp:

1) Tìm nhân tử chung1) Tìm nhân tử chung

2) Đặt nhân tử chung2) Đặt nhân tử chung

 Ví dụ:Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: Phân tích đa thức thành nhân tử:

(Toán 8-tập1-tr 18)(Toán 8-tập1-tr 18)

Giải:Giải: Ta thấy Ta thấy

;

;

VIII Phân tích đa thức thành nhân tử

VIII Phân tích đa thức thành nhân tử

2

2

x



4

x

2

2

x



2

x x

4

x



2 2

x

Vậy:

2

x

2



4

x



2

x x



2 2

x

2 (

x x

2)

 Một số dạng tập:Một số dạng tập:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a)

b)

Bài 2: Tính giá trị biểu thức: a)

b) x(x-1) - y(1-x) x =2001 y=1999 Bài 3: Tìm x, biết:

a) b)

Bài 4: Chứng minh chia hết cho 54(với n số tự nhiên)

3

x  x  x

10 (x x  y) ( y y x ) 15.91, 150.0,85

5 (x x  2000)  x2000 0

3 13 0

x  x 

1



Loại 2:Phương pháp dùng đẳng thức

Loại 2:Phương pháp dùng đẳng thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Phân tích hạng tử đa thức 1) Phân tích hạng tử đa thức

2) Áp dụng đẳng thức học phân tích đa 2) Áp dụng đẳng thức học phân tích đa

 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2

4

4

x



x



2 2

x 

3 8 x

2 4 4

x  x  x2  2.2x  22

2

(x 2)

 

2 2 ( 2)2

x  x 

(x 2)(x 2)

  

3 3

1 8 x  1 (2 )x

2

(1 )(1 2x x )x

   

a)

a)

b) c)

LG:

b)

Tương tự trên, áp dụng đẳng tức đáng nhớ

Tương tự trên, áp dụng đẳng tức đáng nhớ

được học ta giải toán tương tự sau:

được học ta giải tốn tương tự sau:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Toán8 - Tập -tr20)

2 6 9

x  x 

a) b) c)

2 10x  25 x

3

8

8

x 

Bài 2: Tìm x,biết: (Tốn8 - Tập -tr20)

2

2 25 x 0

2 0

4

x  x  

a) b)

Bài 3: Tính nhanh: (Tốn8 - Tập -tr21)

a) 2 2

73  27 b) 20022 22



Loại 3: Phương pháp nhóm hạng tử:

Loại 3: Phương pháp nhóm hạng tử:

 Phương pháp:Phương pháp:

1)Ta nhóm hạng tử đa thức cho 1)Ta nhóm hạng tử đa thức cho

hạng tử nhóm có nhân tử chung có hạng tử nhóm có nhân tử chung có dạng đẳng thức để phân tích đa thức dạng đẳng thức để phân tích đa thức

thành nhân tử thành nhân tử

2) Phân tích nhóm 2) Phân tích nhóm

 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

(Toán8- Tập1 –tr21)

2 3 3

x  x xy  y

2

3

3

x



x xy y

 

(x2  ) (x  xy  )y Ta có:

( 3)

( 3)

( 3)(

)

x x

y x

x

x y









 



Tương tự ta giải sau:

Tương tự ta giải sau:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Toán8- Tập1 –tr22) a)

b)

2

x  xy x  y

5(

)

xz yz





x y



Bài 2: Tính nhanh: (Tốn8- Tập1 –tr22)

37,5.6,5 7,5.3, 6,6.7,5 3,5.37,5  

a)

b) 452  402  152 80.45

Bài 3: Tìm x, biết: (Tốn8- Tập1 –tr22) a)

b)

( 2)

x x   x 



Loại 4: Phương pháp tách hạng tử

Loại 4: Phương pháp tách hạng tử

 Phương pháp:Phương pháp:

Bước 1: Tìm tích ac Bước 1: Tìm tích ac

Bước 2: Phân tích ac tích hai thừa số nguyên Bước 2: Phân tích ac tích hai thừa số nguyên

bằng cách cách

Bước 3: Chọn thừa số mà tổng b Bước 3: Chọn thừa số mà tổng b

 Chú ý:.Chú ý:. Tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác Tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích:

thường nhằm mục đích:

- Làm xuất hệ số tỉ lệ, nhờ mà xuất - Làm xuất hệ số tỉ lệ, nhờ mà xuất

hiện nhân tử chung nhân tử chung

 Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (NC phát

triển toán8- tập1- tr39)

2

3x  8x 

Giải:

Cách 1: ( Tách hạng tử thứ hai)

2

3

3

3 ( 2) 2( 2) ( 2)(3 2)

x x

x x x

x x x

x x

 

          

Cách (Tách hạng tử thứ nhất)

2

2

4 (2 2)

(2 )(2 )

x x

x x x

x x

x x x x

 

      



Loại 5: Phương pháp thêm bớt

Loại 5: Phương pháp thêm bớt

hạng tử

hạng tử

1) Thêm bớt hạng tử làm xuất hiên hiệu

1) Thêm bớt hạng tử làm xuất hiên hiệu

của hai bình phương

của hai bình phương

 Phương phápPhương pháp::

1) Phân tích hạng tử thành dạng bình phương

1) Phân tích hạng tử thành dạng bình phương

một số

một số

2) Thêm , bớt để xuất dạng hiệu hai bình

2) Thêm , bớt để xuất dạng hiệu hai bình

phương

 Ví dụ:Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tửPhân tích đa thức thành nhân tử

( NC phát triển toán8 - tập1 - tr44 )

( NC phát triển toán8 - tập1 - tr44 )

Giải:

4

4x  81

Ta có:

4

x

4



81



4

x

4



36

x

2



81 36



x

2

2 2

2

(2

9)

(6 )

(2

9 )(2

9 )

x

x

x

x x

x







2) Thêm bớt hạng tử làm xuất

2) Thêm bớt hạng tử làm xuất

hiện nhân tử chung

hiện nhân tử chung

 Ví dụVí dụ

:

:

Phân tích đa thức thành nhân tử

(NC phát triển toán8- tập1- tr43)

5 1

x  x 

Giải:

Cách 1: Ta có:

Cách 2: Ta có:

5 1

x  x   x x x x x x x x5  3     

3 2 2

2

( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x x x x

x x x x

             

5 1

x  x   x x x x5   

2

2

2

( 1) ( 1) [ ( 1) 1) ( 1)( 1)

](x

x x x x

x x x

x x x x

    

    



Loại 6: Phương pháp đổi biến

Loại 6: Phương pháp đổi biến

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Biến đổi đa thức để làm xuất phần 1) Biến đổi đa thức để làm xuất phần

biểu thức giống biếnbiểu thức giống biến

2) Đặt phần giống biến mới2) Đặt phần giống biến

3) Thay biến vào đa thức cho ta đa 3) Thay biến vào đa thức cho ta đa thức đơn giản

thức đơn giản

4) Phân tích đa thức thành nhân tử4) Phân tích đa thức thành nhân tử

 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: (NC phát triển

toán8- tập1- tr44 )

( 4)( 6)( 10) 128

x x  x  x  

Giải:

Ta có:

Đặt: Đa thức cho có dạng:

Thay ta được:

( 4)( 6)( 10) 128

x x  x  x  

2

(x 10 )(x x 10x 24) 128

    

2 10 12

y x  x 

2

( 12)( 12) 128 16

( 4)( 4)

y y

y

y y

  

 

  

2 10 12

( 4)( 6)( 10) 128

x x  x  x  

2

2

( 10 16)( 10 8) ( 2)( 8)( 10 8)

x x x x

x x x x

    

    

Tương tự ta phân tích đa thức sau thành nhân tử:

4 6 7 6 1

A x  x  x  x 

2 2

( ) 3( )

B  x  x  x  x 

( 1)( 2)( 3)

C x x  x  x  

2 2

( 1)( 1)



Loại 7: Phương pháp hệ số bất định

Loại 7: Phương pháp hệ số bất định

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Xác định hệ số hai đa thức nhân tử.1) Xác định hệ số hai đa thức nhân tử

2) Thực hiên phép nhân hai đa thức đồng 2) Thực hiên phép nhân hai đa thức đồng hệ thức

hệ thức

 Ví dụ:Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử (NC phát Phân tích đa thức thành nhân tử (NC phát

triển toán8- tập1- tr45) triển toán8- tập1- tr45)

Giả sử đa thức cho phân tích thành tích hai Giả sử đa thức cho phân tích thành tích hai đa thức khác

đa thức khác

4 6 11 6 1

Giải:

Giả sử đa thức phân tích thành đa thức dạng:

Thực phép nhân ta được:

Đồng đa thức cho ta được: Vậy

Tương tự ta phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2

(x ax 1)(x bx 1)

2

(x ax 1)(x bx 1) x4 (a b x ) (2 ab x) (a b x ) 1

6

3

a b

a b ab

  

  



 

4 6 11 6 1

x  x  x  x  (x2 3x 1)2

2

3x  22xy  4x 8y  7y 1 6 12 14 3



Loại 8: Bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Loại 8: Bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

 Trong phân tích đa thức thành nhân tử, nhiều ta Trong phân tích đa thức thành nhân tử, nhiều ta phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để phân phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để phân tích có nhiều cách để phân tích tích có nhiều cách để phân tích

 VV

í dụ:

í dụ:

Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử

2

2

x



4

x

 

2 2

y

Giải: Ta có: 2x2  4x  2 2y2 (2x2  4x  2) 2 y2

2

2 2

2( 1) 2( 1)

2[(x+1) ] =2(x+1-y)(x+1+y)

x x y

x y

y

   

  

• Nhận xét: Ta thấy tốn không sử dụng phương pháp giải mà áp dụng kết hợp phương pháp: nhóm nhiều hạng tử, sử dụng đẳng thức, phương pháp đặt nhân tử chung

• Tương tự ta giải tốn:

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử nhiều cách

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3

7

6

x



x



2

IX Chia đa thức cho đơn thức; chia

IX Chia đa thức cho đơn thức; chia

đa thức cho đa thức

đa thức cho đa thức



Loại 1: Bài toán áp dụng phương pháp chia đa

Loại 1: Bài toán áp dụng phương pháp chia đa

thức

thức

 Phương phápPhương pháp::

1) Áp dụng quy tắc chia học để thực yêu

1) Áp dụng quy tắc chia học để thực yêu

cầu toán

cầu tốn

 Ví dụVí dụ: Thực phép chia:: Thực phép chia:

Giải:

Giải:

Ta cTa c

ó:

ó:

4 3 4

4 3 4

(30x y  25x y  3x y ) : 5x y

4 3 3 4

2

(30

:5

) ( 25

:5

) ( 3

:5

)

3

6

5

5

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x y



 

 



 

Vậy thương phép chia là: 5

x   x y

Tương tự ta thực phép chia:

5

( 2



x



3

x



4 ) : 2

x

x

4 2



Loại 2: Loại toán chia hết

Loại 2: Loại toán chia hết

 Phương phápPhương pháp:: Áp dụng điều kiện chia hết hai đa Áp dụng điều kiện chia hết hai đa thức

thức

 Ví dụVí dụ:: Khơng làm tính chia, xét xem đa thức A Khơng làm tính chia, xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B khơng?

có chia hết cho đơn thức B khơng?

2

15 17 18

A  xy  xy  y B 6y2 Giải:

Ta thấy hạng tử A chia hết cho B nên đa thức A chia hết cho đa thức B

Bài 1

Bài 1: Tìm n để phép chia sau phép chia hết: Tìm n để phép chia sau phép chia hết

3

(5

x



7

x



x

) : 3

x

n

2 2

(5

xy



9

xy x y



) : 5

x y

n n

4

5( ) 17( ) 2( ) : ( )

[ a b  a b  a b ] b a n