LTGT12 toán học

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ .4 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức .6 1.5 Đạo hàm cấp CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 2.4 Quy tắc tìm cực trị MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 10 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax3  bx2  cx  d 10 3.2 Cực trị hàm bậc trùng phương y  ax4  bx2  c,  a �0 13 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 15 4.1 Định nghĩa 16 4.2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN 16 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 17 5.1 Đường tiệm cận ngang 17 5.2 Đường tiệm cận đứng 17 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ .17 6.1 Khảo sát số hàm đa thức hàm phân thức .17 6.2 Một số phép biến đổi đồ thị 19 TIẾP TUYẾN 22 7.1 Tiếp tuyến 22 7.2 Điều kiện tiếp xúc 22 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 22 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 23 9.1 Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong 23 9.2 Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun 23 9.3 Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng 23 9.4 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 24 PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT 27 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 27 1.1 Khái niệm lũy thừa 27 1.2 Phương trình x  b 27 n 1.3 Một số tính chất bậc n 28 1.4 Hàm số lũy thừa 28 1.5 Khảo sát hàm số mũ y  ax ,  a  0,a �1 30 LOGARIT 30 2.1 Khái niệm Logarit 30 2.2 Bảng tóm tắt cơng thức Mũ-loarrit thường gặp .31 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 31 3.1 Bất phương trình mũ 31 3.2 Bất phương trình logarit 32 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 33 4.1 Lãi đơn 33 4.2 Lãi kép 33 4.3 Tiền gửi hàng tháng 34 4.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng 34 4.5 Vay vốn trả góp 34 4.6 Bài toán tăng lương 35 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số 35 4.8 Lãi kép liên tục 35 PHẦN III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 37 NGUYÊN HÀM 37 1.1 Định nghĩa 37 1.2 Tính chất nguyên hàm 37 1.3 Sự tồn nguyên hàm 37 1.4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 38 1.5 Bảng nguyên hàm mở rộng 38 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 39 2.1 Phương pháp đổi biến 39 2.2 Phương pháp nguyên hàm phần 41 TÍCH PHÂN 42 3.1 Cơng thức tính tích phân 42 3.2 Tính chất tích phân 42 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 43 4.1 Phương pháp đổi biến 43 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 4.2 Phương pháp tích phân phần 44 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN .44 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 44 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ 46 5.3 Tích phân hàm lượng giác 50 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 53 6.1 Diện tích hình phẳng 53 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay .54 PHẦN IV SỐ PHỨC 55 SỐ PHỨC 55 1.1 Khái niệm số phức 55 1.2 Hai số phức 55 1.3 Biểu diễn hình học số phức 55 1.4 Số phức liên hợp 55 1.5 Môđun số phức 55 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 56 2.1 Phép cộng phép trừ số phức 56 2.2 Phép nhân số phức 56 2.3 Chia hai số phức 56 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 57 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 57 4.1 Căn bậc hai số thực âm 57 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực 57 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC .58 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số   yf x xác định K ta có:  Hàm số   gọi đồng biến (tăng) K yf x   nếu:   x1, x2 �K , x1  x2 � f x1  f x2  Hàm số   yf x gọi nghịch biến (giảm) K nếu:     x1, x2 �K , x1  x2 � f x1  f x2 Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét:     f x   f x2  f x1 �ι x2  x1   f x2  f x1 �ι x2  x1 0� �x1, x2 K ,� � x1 x2 0� �x1, x2 K ,� � x1 x2  Hàm số đồng biến K Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải   f x    Hàm số nghịch biến K Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải     f �x  0, x � a;b �  Nếu hàm số   f x đồng biến khoảng  a;b f�  x  0, x� a; b �  Nếu hàm số   f x nghịch biến khoảng  a;b        f �x  0, x � a;b � f x hàm số Nếu không đổi khoảng  a;b  Nếu   f x đồng biến khoảng ST&BS: PHẠM LÊ DUY  a;b   � f �x 0, x  a;b Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN  Nếu   f x LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 nghịch biến khoảng  Nếu thay đổi khoảng  a;b  a;b 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm  Tổng, hiệu:  Tích: 0, x  a;b đoạn nửa khoảng phải bở sung thêm giả thiết “hàm số nửa khoảng đó” Quy tắc tính đạo hàm: Cho   � f �x     f x liên tục đoạn hoặc   u  u x ; v  v x ;C : số  u �v � u��v� � v  v� u �  C u   C u�  uv  � u� � �u � u� � v  v� u C � C u�  , v � � �� � �  2 v v u �u �  Thương: � �   Đạo hàm hàm hợp: Nếu      y  f u , u  u x � yx� yu� ux� 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ Đạo hàm hàm hợp cấp � � C 0 x   x 1 (C số)      x  �  x   u  �  u   1  1 u� � �1 � � �  (x �0) x �x � � �1 � u� � �  u �0 u �u �  x  � 21x  x  0  u  � 2u�u  u  0    sinx � cosx cosu  sinu � u�  cosx �  sin x sin u  cosu � u�  tan x � cos1 x  tanu � cosu u  cot x �  sin1 x  cot u �  sinu u 2 ST&BS: PHẠM LÊ DUY � � Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  e  � e  a  � a lna  ln x  � x1 e  e  � u�  a  � u�.a lna  ln u  � uu�  log x  � xln1 a u�  log u  � u.ln a x x x u x u u a u a 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức   � ad  bc � ax  b � � � cx  d � cx  d �   a� � b �2 a� � c � b� � c � x  x  � d� � e � d� � � f e� � � f �ax2  bx  c � � � dx  ex  f � � dx2  ex  f   1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa � � f�  x  �  x � �f � � 1.5.2 Ý nghĩa học Gia tốc tức thời chuyển động    s f t thời điểm t0 là:   �t0 a t0  f � 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f * Một số ý:  Nếu hàm số hàm số    n �   f , n  x  �  x � � � n 1   f x   f x g x   gx   f x đồng biến (nghịch biến) K Tính chất   gx     f x g x hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K hàm số ST&BS: PHẠM LÊ DUY  đồng biến (nghịch biến) K khơng hiệu  Nếu hàm số �, n     f x g x đồng biến (nghịch Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 biến) K Tính chất     f x ,g x không hàm số không hàm số dương K  Cho hàm số   , xác định với uu x   x � a;b     Hàm số u x � c;d   x � a;b f� u x � � �cũng xác định với Ta có nhận xét sau:  Giả sử hàm số f� u x � � �   uu x đồng biến với  Giả sử hàm số     x � a;b � f u   uu x đồng biến với   x � a;b Khi đó, hàm số đồng biến với nghịch biến với x� a; b   u� c; d Khi đó, hàm số   f� u x � � � nghịch biến với x � a; b � f  u nghịch biến với u � c;d Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K         f' x 0 với x �K số hữu hạn điểm x �K hàm số f đồng biến K  Nếu f ' x �0 f' x 0 với x �K số hữu hạn điểm x �K hàm số f nghịch biến K  Nếu f ' x �0 Chú ý: y * Đối với hàm phân thức hữu tỉ dấu đạo hàm y�không xảy   ax  b � d� x � � � cx  d � c� dấu "  " xét   y  f x  ax3  bx2  cx  d � f �x  3ax2  2bx  c Giả sử Hàm số đồng biến � � � a0 � � �  �0 � � � ۳�� f �x 0; x � � a0 � � � b � � � c0 � � �   Hàm số nghịch biến � � � a0 � � �  �0 � � � �x  ۣۣ �f� 0; x � � a0 � � � b � � � c0 � � �     f x d Trường hợp hệ số c khác a  b  c  0thì (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 khoảng có độ dài l ta giải sau: Bước 1: Tính   y� f �x;m  ax2  bx  c Bước 2: Hàm số đơn điệu  x ;x  � y� có nghiệm phân biệt � �  �� a �0 �  * Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l  � x1  x2  l � x1  x2 Bước 4: Giải  * giao với   4x1x2  l � S2  4P  l  * *  * * để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa x �K Giả sử hàm số f xác định tập K Ta nói:  x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng chứa f  x0   x0 x0 cho  a;b �K         f x  f x0 , x � a;b \ x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f  a;b Khi   a;b điểm cực đại hàm số f tồn khoảng chứa x0 cho  a;b �K         f x  f x0 , x � a;b \ x0 Khi   f x0     gọi giá trị cực đại hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số  Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm điểm cực trị đồ thị hàm số f ST&BS: PHẠM LÊ DUY  x ;f  x   0 gọi Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN * Nhận xét:  Giá trị cực đại (cực tiểu) LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12   nói chung khơng phải giá trị lớn f x0   f x0 (nhỏ nhất) hàm số f tập D; giá trị lớn   a;b (nhỏ nhất) hàm số f khoảng chứa x0 hay nói cách khác khoảng (a;b) chứa x0 x0 cho điểm cực đại ( cực tiểu) tồn   giá trị lớn (nhỏ nhất) f x0   a;b hàm số f khoảng  Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1:   đạt cực trị điểm yf x Giả sử hàm số đạo hàm điểm Chú ý: x0 f�  x  Đạo hàm x0 Khi đó,   yf x có   f �x0  điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0  Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm  Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm f ' x0     f �x   Nếu  x ;x x0 h  x0 khoảng x  h;x0    f �x  điểm cực đại hàm số ST&BS: PHẠM LÊ DUY khoảng   f x Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN   f �x   Nếu  x ;x 0  h LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 x khoảng x0  h;x0    f �x  điểm cực tiểu hàm số 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm khoảng   f x   f �x   x i  1;2;  Bước 2: Tìm điểm i mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm  Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu dấu qua Định lí 3: Giả sử Khi đó:   yf x  Nếu xi hàm số đạt cực trị xi có đạo hàm cấp khoảng     �x0  f �x0  0, f �     Nếu f � x f �x đổi x  h;x0  h  với h  x hàm số f đạt cực đại �x0  f� x  x0   0, f �  Nếu hàm số f đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm  Bước 2: Tìm nghiệm  Bước 3: Tính   �x f�    Nếu �xi  f�  Nếu �xi  f�   xi tính   f �x  i  1;2;    phương trình   f �x  �xi f� x hàm số f đạt cực đại điểm i hàm số f đạt cực tiểu điểm xi MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 10 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN  I= I   �  ax   dx adx  �  ln ax  b � a  ax  b a  ax  b   Chú ý: Nếu I = 5.1.2 Dạng LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 dx �  (ax  b) k dx  bx  c  (với a≠0)  1 (ax  b)k adx  (ax  b)k1 � a a(1  k)  a �0 ( ax  bx  c �0 với   x �� ;  � � �) Xét   b  4ac  Nếu   0thì b   b   ;x2  2a 2a x1  � 1 1 �    � � � ax2  bx  c a(x  x1)(x  x2) a(x1  x2) � �x  x1 x  x2 �thì : I    � 1 �  �  dx  ln x  x1  ln x  x2 � � � � � � a(x  x ) � a(x1  x2)  � x  x x  x � 2� x  x1 ln a(x1  x2) x  x2  Nếu     1  ax  bx  c a(x  x0)2  I =  dx dx  �  � 2 a  (x  x0) a(x  x0)  ax  bx  c  dx I  �2   ax  bx  c  Nếu   0thì Đặt x � b � x0  � � 2a � � b  2a    dx ��  2 �  �� � � b a� x �� � � � �� � � a � � � 4a �� �   tan t � dx   tan2 t dt 2 a 4a   5.1.3 Dạng I   mx  n dx,  bx  c �  ax  a �0 mx  n ;  � � �) ax2  bx  c liên tục đoạn � (trong  Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: f (x)  ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 46 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 mx  n A(ax2  bx  c)' B   2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c  A(2ax  b) B  2 ax  bx  c ax  bx  c  mx  n dx  � ax  bx  c   Ta có I=  Tích phân   A(2ax  b) B dx  � dx � ax  bx  c ax  bx  c   A(2ax  b) dx A ln ax2  bx  c  bx  c = �ax   �  ax Tích phân 5.1.4 Dạng b I  dx  bx  c   thuộc dạng P (x) dx � Q(x) P ( x) Q ( x) đa thức x P ( x) Q ( x)  Nếu bậc lớn bậc dùng phép chia đa thức P ( x) Q ( x)  Nếu bậc nhỏ bậc xét trường hợp: Q ( x)  ,  , , n  Khi có nghiệm đơn đặt a với A1 A2 An P (x)     Q(x) x  1 x   x  n  Khi Q ( x)  có nghiệm đơn vơ nghiệm   Q(x)  x   x2  px  q ,   p2  4q  đặt P (x) A Bx  C   Q(x) x   x  px  q  Khi Q ( x) có nghiệm bội Q(x)  (x   )(x   )2 với    đặt A P (x) B C    Q(x) x   x x   Q(x)  (x   )2(x   )3 với    đặt P (x) A B C D E      3 x (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 47 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ b R(x, f (x))dx � R ( x, f ( x ) ) Trong a có dạng: � ax� �� � R� x, x  acos t , t � 0; � � � ax� � � � 2�  Đặt   R x, a2  x2  Đặt x  a sint x  a cost � ax  b � ax  b R� x, n � tn � cx  d � � �Đặt cx  d       (ax  b) R x, f x   Đặt t   x   x   , Đặt    R x, a2  x2  R  n1 x; n2 t ax  b �  � t ��  ; � x  a tant 2� � Đặt , � � t �[0; ]\ � � � �2 cosx ,  Đặt x; ; x  k = BSCNN ( n ; n ; ; n ) Gọi Đặt x = t x R x, x  a 2 a ni  5.2.1 Dạng I   �ax   bx  c dx � � b�  � � f(x)=ax  - bx  c  a � x � � 2a � 4a2 � � � � � Từ : Khi ta có :  Nếu   x2   x   Với  x   x   '  k  ax  b     0,a  � f (x)  a u2  k2 � i k  a �0 � b x u � � 2a � � K �2a du f (x)  a u2  k2 dx (1) � a0 � b� �   � f (x)  a � x  �� � b � 2a � � f (x)  a x  2a  a u �  Nếu : (2)  Nếu :   ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 48 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN  Với a > : LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12     f (x)  a x  x1 x  x2 �    f (x)  a x  x1 x  x2    (3)   f (x)  a x1  x x2  x � f (x)  a x1  x x2  x  Với a < : (4) Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :  Phương pháp : * Trường hợp :     0,a  � f (x)  a u2  k2 � f (x)  a u2  k2 Khi đặt : ax  bx  c  t  a.x � t2  c x ;dx  tdt � � bx  c  t  ax b a � � b a �� �� x   � t  t0, x   � t  t1 t2  c � � t  a x  t  a � b a �   � a0 � b� �   � f (x)  a � x  �� � b � 2a � � f (x)  a x  2a  a u � * Trường hợp : �1 � b � b x 0 � ln � � : x    2a 1 � a � 2a � I � dx  dx  � � b b � b � b a   � a x x  ln � x :x  0 � 2a 2a � a � 2a � a � Khi :  * Trường hợp :   0,a  Đặt : I   mx  n �ax   bx  c  Phương pháp :  Bước 1: f (x)  Phân tích  Bước 2: mx  n ax  bx  c ST&BS: PHẠM LÊ DUY         �x  x t ax2  bx  c  a x1  x x2  x  � x x t � �2 * Trường hợp :   0,a  Đặt : 5.2.2 Dạng    �x  x t ax2  bx  c  a x  x1 x  x2  � x  x2 t � �  A.d   a �0 dx   ax2  bx  c ax  bx  c  B ax  bx  c  1 Trang 49 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A, B  Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1)  Bước : I  2A Tính  ax2  bx  c  �ax  Trong 5.2.3 Dạng  bx  c I      B� dx  ax2  bx  c  (2)  a �0 dx  �  mx  n   biết cách tính ax2  bx  c dx  a �0  Phương pháp :  Bước 1:  mx  n  ax2  bx  c Phân tích :  Bước 2:  � n� m� x  � ax  bx  c � m� (1) � � n� y t  �� dy   dx � � xt n � x  t � m� x �� y m �1 � �1 � � x   t � ax  bx  c  a �  t � b�  t � c � y y �y � � � � Đặt :  Bước 3: ' Thay tất vào (1) I có dạng : biết cách tính 5.2.4 Dạng dy I  ��  ' Ly  My  N � x   I � R x;y dx  � R� x; m �   � x       Tích phân � � dx � � R ( x; y ) ( Trong : hàm số hữu tỷ hai biến số x,y  ,  ,  ,  số biết )  Phương pháp :  Bước 1: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 50 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN t m LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 x    x   (1) Đặt :  Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có  x t dạng  Bước 3: Tính vi phân hai vế :  Bước 4: � x   R x; m �� � x    � Tính :   dx   ' t dt � � dx  � � đổi cận ' R    t  ;t   '  t  dt � ' 5.3 Tích phân hàm lượng giác 5.3.1 Một số cơng thức lượng giác 5.3.1.1 Công thức cộng cos(a �b)  cosa.cosb� msina.sinb sin(a �b)  sina.cosb �sinb cosa tana �tanb mtana.tanb 5.3.1.2 Công thức nhân đôi tan(a �b)  cos2a  cos2 a �sin2 a  2cos2 a �1  1�2sin2 a  sin2a  2sina.cosa  2tana  tan2 a cos3  4cos   3cos  tan2 a  tan2 a tan2a  ; ; 2tana  tan2 a sin3  3sin  4sin3  5.3.1.3 Công thức hạ bậc sin2 a   cos2a  cos2a  cos2a cos2 a  tan2 a  2  cos2a ; ; sin3   3sin  sin3 ; 5.3.1.4 Cơng thức tính theo t Với t  tan a Thì sina  cos3   cos3  3cos 2t 2t  t2 tana  cos a  2 1 t ; 1 t ;  t2 5.3.1.5 Cơng thức biến đởi tích thành tổng ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 51 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 � cos(   )  cos(   )� � 2� sin sin   � cos(   )  cos(   )� � 2� sin cos   � sin(   )  sin(   )� � 2� 5.3.1.6 Công thức biến đổi tởng thành tích cos cos      cos 2    cos  cos   2sin sin 2    sin  sin   2sin cos 2    sin  sin   2cos sin 2 sin(   ) tan  tan   cos cos  sin(   ) tan  tan   cos cos  Công thức thường dùng:  cos4 cos4   sin4    3cos4  cos6   sin6   Hệ quả: cos  cos   2cos � � � � cos  sin  2cos�   � 2sin �  � � 4� � 4� � � � � cos  sin  2cos�   �  2sin �  � � 4� � 4� 5.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác b  Nếu gặp I � f  sin x cosxdx a ta đặt t  sin x b  Nếu gặp dạng I � f  cos x sin xdx a b  Nếu gặp dạng I � f  tan x a b  Nếu gặp dạng 5.3.2.1 Dạng I � f  cot x a ST&BS: PHẠM LÊ DUY ta đặt t  cos x dx cos2 x ta đặt t  tan x dx sin2 x ta đặt t  cot x Trang 52 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN I1 = LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 n n     sinx dx ; I cosx dx 2� � * Phương pháp  Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc  Nếu n = sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi  Nếu 3n lẻ ( n = p +1) thực biến đổi: I1 =  sinx  dx = �  sinx  � n 2p+1  sin x  dx  � 2p   cos2 x  d  cosx  sin xdx   � p k p k p �0 �  � C p  C p1 cos2 x    1 C pk  cos2 x     1 C pp  cos2 x  � d cosx  � k p � �  1 k  1 p 2k1 2p1 1   � � c   C p cosx  C p cos x   C p cosx   C p  cosx  2k  2p  � � I2 = 2p   sin2 x  d  sin x   cosx  n dx = �  cosx  2p+1 dx  �  cosx  cosxdx  � � p k p k p �0 � � C p  C p1 sin2 x    1 C pk  sin2 x     1 C pp  sin2 x  � d sin x  � � �  1 k k  1 p p 2k1 2p1 1 � c � C p sin x  C p sin x   C p  sin x    C p  sin x  2k  2p  � � 5.3.2.2 Dạng I =� sin m x cos n xdx ( m, n �N ) * Phương pháp  Trường hợp 1: m, n số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ ( n = p +1) biến đổi: I=  sinx   cosx  � m 2p+1  sin x  cosx  dx  � m 2p  sin x  cosxdx  � m   sin2 x  p d  sin x  k p k p  sin x  m � � C p0  C p1 sin2 x    1 C pk  sin2 x     1 C pp  sin2 x  � d  sin x   � � �  sin x  m1   m3  sin x  2k1m  sin x  2p1m � k p sin x k p � � c Cp Cp    1 C p    1 C p m1 m 2k   m 2p   m � � ( m = p +1) , n chẳn biến đổi: c Nếu m lẻ I= 2p+1 n n 2p n   cos2 x  d  cosx            sinx cosx dx  cos x sin x sin xdx   cos x � � � p k p k p  cosx  n �  � C p0  C p1 cos2 x    1 C pk  cos2 x     1 C pp  cos2 x  � d  cosx   � � �  cosx  n1   n   2k1n   2p1n � k p cosx k cosx p cosx     � c � C Cp   1 C p   1 C p n3 2k   n 2p   n � �p n  ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 53 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 d Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé  Nếu m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u = sinx  sin x  m  cos2 x  B � sin x cos xdx  � m n n 1 cosxdx  � u   u2  m n 1 du (*) m1 n 1 mk ; ; 2 số nguyên Tích phân (*) tính  số 5.3.2.3 Dạng I1 =  tan x  � n dx ; I =  cot x  � n dx ( n �N )    tan x  dx  �dx  � d  tan x   tan x  c � cos x    cot x dx  �dx  � d  cot x    cot x  C � sin x  tan xdx  � dx   � � cosx cosx  cot xdx  � dx  � � sin x sin x 2 2 d  cosx  sin x d  sin x  cosx   ln cosx  C  ln sin x  C ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hình phẳng 6.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) liên tục � a;b� đoạn � � , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b xác định: b S f (x) dx � a y y  f (x) O a c1 c2 c3 b x �y  f (x) � �y  (H ) � �x  a � �x  b S b f (x) dx � a 6.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) , y  g(x) liên tục đoạn � a;b� � � hai đường thẳng x  a, x  b xác định: b SST&BS: � f (x) PHẠM g(x) dx LÊ DUY a Trang 54 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 b S �f (x)  g(x) dx a y � (C1) : y  f1(x) � (C ) : y  f2 (x) � (H ) � x a � � x b � (C1) (C2 ) O - Nếu b b a a c2 a c1 [a;b] , đoạn b hàm S  x b f (x)  f (x) dx � a số f (x) khơng đổi dấu thì: f (x)dx �f (x) dx  � - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  g(y) , x  h(y) hai đường thẳng y  c , y  d xác định: S d g(y)  h(y) dy � c 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay 6.2.1 Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a �x �b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] (V ) O x a b b x V � S(x)dx a S(x) 6.2.2 Thể tích khối trịn xoay - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 55 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 đường y  f (x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) O a b � (C ) : y  f (x) � b (Ox) : y  � Vx   �  f ( x ) dx � x � x a a � x b � - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g(y) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c � (C): x  g(y) � (Oy): x  � � �y  c � �y  d d Vy  �  g( y ) dy c - Thể tích khối trịn xoay đượcx sinh quay hình phẳng giới O y  f (x) , y  g(x) hai đường thẳng x  a , x  b quanh hạn đường b trục Ox: V  � f 2(x)  g2(x) dx a ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 56 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 PHẦN IV SỐ PHỨC SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức   Trong : a phần z  a  bi ; a,b ��  Số phức (dạng đại số) : thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i  1  Tập hợp số phức kí hiệu: �   b  z số thực � phần ảo z   a0  z số ảo (hay gọi ảo) � phần thực  Số vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức     z  a  bi a, b �� z  c  di c, d ��  Hai số phức bàng phần thực phần ảo chúng tương đương � ac � z1  z2 � a  bi  c  di � � bd �  Khi ta viết 1.3 Biểu diễn hình học số phức Số phức   M a;b   z  a  bi a, b �� hay r u  a;b   biểu diễn điểm mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy 1.4 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z z;   z  a  bi a, b �� z �z '  z �z ' ;  z  a  bi �z � z z.z '  z.z '; �1 � ; �z � z �2 � z.z  a2  b2  z số thực � z  z ; z số ảo z  z ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 57 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 1.5 Mơđun số phức uuuu r OM Độ dài vectơ gọi môđun số phức z kí hiệu uuuu r uuuu r z  OM z  a  bi  OM  a2  b2 z Vậy hay Một số tính chất: uuuu r z  z 2 z  a  b  zz  OM  ;  z �0, z ��; z  � z  z1   z1.z2  z1 z2  z1  z2 �z1 �z2 �z1  z2 z2 ; z1 z1 z2 z2 ;  z1z2 z2 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức    z1  a  bi a, b ��      Khi đó: z2  c  di c, d �� z1 �z2  a  c � b  d i  Số đối số phức z  a  bi z  a  bi  Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z  a  bi, z  z  2a 2.2 Phép nhân số phức  Cho hai số phức Khi đó:    z1  a  bi a, b ��        z2  c  di c, d ��  z1z2  a  bi c  di  � ac �bd  ad  bc i  Với số thực k số phức    , ta có z  a  bi a, b ��  k.z  k a  bi  ka  kbi Đặc biệt: 0.z  với số phức z  Lũy thừa i : i  1, i 4n  1, i 4n1  i, i 4n 2  1, ST&BS: PHẠM LÊ DUY i  i, i  1, i 4n 3  i, i  i 2.i  i n �� Trang 58 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 2.3 Chia hai số phức z1  Số phức nghịch đảo z khác số z z z' z '.z z '.z  z 'z1   z z.z z Phép chia hai số phức z ' z �0 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:  ax  by  c  � tập hợp điểm đường thẳng  x  � tập hợp điểm trục tung Oy  y  � tập hợp điểm trục hoành Ox  x  a   y  b   R2 � tập hợp điểm hình trịn tâm   I a;b , bán kính R     �x  a  y  b  R � � � x2  y2  2ax  2by  c   � tập hợp điểm đường trịn có tâm   I a;b , 2 bán kính R  a  b  c  x  � tập hơp điểm miền bên phải trục tung  y  � tập hợp điểm miền phía trục hoành  x  � tập hợp điểm miền bên trái trục tung  y  � tập hợp điểm phía trục hồnh  y  ax  bx  c � tập hợp điểm đường Parabol x2 y2   1� b  a tập hợp điểm đường Elip x2 y2   1� b  a tập hợp điểm đường Hyperbol PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm z2  z z z  Cho số z , có số phức cho ta nói bậc hai z  Mọi số phức z �0 có hai bậc hai ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 59 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  Căn bậc hai số thực z âm �i z �i a Tổng quát, bậc hai số thực a âm 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a,b,c  �,a Xét biệt số   b2  4ac phương trình Ta thấy:  Khi   0, phương trình có nghiệm thực x b 2a  Khi   0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt  Khi   0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2  x1,2  b �  2a b �i  2a BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC � max z  � � � � z  � z z  z2  r ,  r  0 �  Cho số phức z thỏa mãn z2 z1 z2 z1   r z1 r z1 z z  z2  r1, r1  0  Cho số phức z thỏa mãn max P  z2 z1  z3   Cho số phức z thỏa mãn max z  ST&BS: PHẠM LÊ DUY r1 z1 z2 z1  z3   r1 z1  z1.z  z2  z1.z  z2  k, k  k z1 P  z  k2  z2 2 z1 Trang 60 ... tiền gửi hàng tháng 34 4.5 Vay vốn trả góp 34 4.6 Bài toán tăng lương 35 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số 35 4.8 Lãi kép liên tục ... 31 3.1 Bất phương trình mũ 31 3.2 Bất phương trình logarit 32 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 33 4.1 Lãi đơn 33 4.2 Lãi kép ... 55 1.1 Khái niệm số phức 55 1.2 Hai số phức 55 1.3 Biểu diễn hình học số phức 55 1.4 Số phức liên hợp 55 1.5 Môđun số phức