phương. b) Nếu 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương... Chứng minh rằng: ab + 1 là số chính phương. d) Chứng minh nếu số chính phương có tận cùng [r]
(1)Bài 1: a)Thực phép tính:
A = 292 27 23 221219 217214 2102 9 7 b) Số 232 1
có số nguyên tố không?
Bài 2: Hãy viết số 3599, 889, 9991 dạng tích hai số tự nhiên khác
Bài 3: Chứng minh biểu thức sau viết dạng tổng bình phương hai biểu thức : 2 2 2
2 2 1 3 2 4 3
x x x x
Bài 4: Cho x y z 0;xy yz zx 0.Chứng minh x y z
Bài 5: a) Tính A = 1 22 32 4 99 100 2 2
b) Tính A = 1 22 324 2 n n2 Bài 6: Cho x y a b x; y2 a2 b2
Chứng minh x3y3 a3b3
Bài 7: Rút gọn biểu thức :
a) a b c 2 b c 22ab 2ac; c) 2 2 2 8 641;
b) 3x12 3 x1 3 x5 3x52; d) 3 3 3 2 8 161 3 321;
Bài 8: a) Cho x + y = Tính giá trị biểu thức
A = x3y3 2x2 2y23xy x y 4xy3x y 10.
b) Cho x – y = Tính giá trị biểu thức B = x x 2y y 2 xy37.
c) Cho x + 2y = Tính giá trị biểu thức C = x24y2 2x10 4 xy 4y
Bài 9: a) Cho a2b2c2 3 2a b c Chứng minh rằng: a = b = c = 1. b) Cho a b c 2 3ab ac bc Chứng minh rằng: a = b = c c) Cho a2 b2 c2 ab ac bc
Chứng minh rằng: a = b = c
Bài 10: Cho a b 2 b c 2c a 2 a b 2c2b c 2a2c a 2b2 Chứng minh rằng: a = b = c
Bài 11: Cho a,b,c,d số khác a b c d a b c d a b c d a b c d . Chứng minh rằng: a bc d
Bài 12: Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3abc
Bài 13: Cho a2 b2 c2 m.
Tính giá trị biểu thức sau theo m:
A = 2a2b c 2 2b2c a 22c2a b 2
Bài 14: Chưng minh biểu thức sau ln có gia trị dương với giá trị biến: a) x2 x 1
c)x2xy y 1
b) 2x2 2x 1
d)x24y2 z2 2x 6z8y15
Bài 15: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A x2 3x 5
b) B2x12x22 c) C x 2 2x y 2 4y7
d) Dx1 x2 x3 x6
Bài 16: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A 5 8x x2 b) B 5 x2 2x 4y2 4y
(2)1/ Cho đa thức P(x) = 2x4 7x3 2x2 13x 6
a) Phân tích P(x) thành nhân tử b) CMR P x 6 với x Z
2/ a) Cho
2
3
4
2
a a
A
a a a
b) Cho B =
3
3
2
2
n n
n n n
Rút gọn A Rút gọn B
2.Tìm a Z để A số nguyên Tìm n Z để B số nguyên
3/ Tìm số tự nhiên n để n3 -3n2- 3n -1 chia hết cho n2+n + 1.
4/ Tìm số dư phép chia biểu thức x1 x3 x5 x72002 cho
8 12
x x
5/ Cho x, y, z độ dài cạnh tam giác CMR: a) 4x y2 x2 y2 z22 0
c) a b c b c c a a b b) 2 2 2 3
0 x y y z z x zx yz xy x y z
6/ a) CMR:
(a 11a 6a 6) 6 với a Z
b)CMR: Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho 7/ Cho a, b số nguyên CMR:
a) Nếu a chia cho 13 dư b chia cho 13 dư a2 + b2 chia hết cho 13. b) 10a2 + 5b2 +12ab + 4a – 6b +13 Dấu “=” xảy nào?
8) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: a) ab bc ca a 2b2c22ab bc ca .
b) Nếu a b c 2 3ab bc ca tam giác tam giác
9/ Xác định đa thức bậc ba cho chia đa thức cho nhị thức ( x -1), (x – 2), (x – 3) có số dư x = - đa thức nhận giá trị tương ứng – 18
10/ CMR:a) 2130 + 3921 chia hết cho 45.
b) 8351634 + 8241142 chia hết cho 26. 11/ Cho biểu thức: 4 3 2
2
x x x
A
x x x x
a) Rút gọn A
b) Chứng tỏ A không âm với giá tri x
c) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tương ứng x
12/ Tìm số có chữ số mà bình phương lập phương tổng chữ số 13/ Tìm số tự nhiên liên tiếp, biết tích chúng 57120
14/ CMR: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 +n4 chia hết cho 16 với n số nguyên. 15/ CMR: Với n Z, n chẵn, ta có số n3 + 20n ln chia hết cho 48.
16/ Cho A(x) = 8x2 – 26x + m B(x) = 2x – Tìm m để A(x) chia hết cho B(x).
17/ Cho đa thức bậc 2: P(x) = ax2 + bx + c Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000. 18/ CMR: a) 1110 – chia hết cho 100.
b) 9.10n +18 chia hết cho 27. c) 16n – 15n – chia hết cho 225.
19/ CMR: x3 + y3 – z3 + 3xyz chia hết cho x + y – z Tìm thương phép chia.
(3)Bài 1: Tìm chữ số x,y x y, 0 để xxyy phương
Bài 2: Viết theo thứ tự chữ số liên tiếp nhau, sau đổi chữ số đầu cho nhau, ta số gồm
4 chữ số số phương Tìm chữ số liên tiếp
Bài 3: Tìm số phương có chữ số cho chữ số cuối giống
Bài 4: Một số phương có n + chữ số, có n chữ số chữ số cuối làm
thành số phương khác Hỏi số phương có giá trị lớn bao nhiêu?
Bài 5: CMR: a Số P 70 71 718 717 712 71 1
số phương
b Số Q 75 4 1993 41992 42 5 25
số phương
Bài 5: CMR: Tích số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương
Bài 6: Cho a số gồm 2n chữ số 1,b số gồm n +1 chữ số 1,c số gồm n chữ số n N n , 1
CMR: a + b + c + số phương
Bài 7a) Cho x số nguyên CMR: B x4 4x3 2x2 12x 9
bình phương số nguyên
b) Cho x, y, z, số tự nhiên CMR: C 4x x y x y z x z y z2
số phương
Bài Mỗi số sau bình phương số tự nhiên nào?
a) 99 00 25
n n
A ; b) 99 9800 01
n n
B ; c) 44 488 89
n n
C
; d) 11 122 25
n n
D
Bài 9: Cho a, b, c, d *
N
thỏa điều kiện a2 b2 c2 d2.CMR:S = a + b + c + d hợp số
Bài 10Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau số nguyên tố:
a) n3 n2 n 1
b) n3 6n4 c) n5 2n3 n1 d)n3 n2 n e)n1975n19731
Bài 11Tìm chữ số x, y x y, 0 cho :xxyy xx 2yy2.
Bài 12Tìm chữ số x, y, zx y z, , 0 cho với n nguyên dương ta có đẳng thức sau:
a)
2
n
xx x
n n
yy y zz z
b)
2
2
n n n
xx x yy y zz z
Bài 1: Cho a, b, c số nguyên thoả a2 - b2 = 4c2 CMR biểu thức sau có giá trị số chính
phương A = ( 5a - 3b + 8c )( 5a - 3b - 8c )
Bài 2: Cho a số nguyên CMR: P = ( a + 1)( a + 2)( a + )( a + ) + số phương
Bài 3: Cho x, y, z số nguyên CM Q = 4x( x + y )( x + y + z )( x + z ) + y2z2 số ch phương.
Bài 4: Cho P = ( a+1)(a -2)( a +5 )( a +2 ) + 36
a) Chứng minh rằng: a số nguyên P có giá trị số phương b) Tìm a để P =
c) Tìm giá trị nhỏ P + 1974
Bài 5: Cho a số nguyên Chứng minh P = a4 - 6a3 + 5a2 + 12a + số phương.
Bài 6: Cho P = a4 - 4a3 - 2a2 + 12a + 9
a) Chứng minh: a số nguyên P số phương b) Tìm a để P =
c) Tìm giá trị nhỏ P +
d) Chứng minh a số nguyên lẻ P chia hết cho 16
Bài 7: Chứng minh rằng:
(4)Bài 8: Cho a = 11 … ( có 2n chữ số ) b = 44 … ( có n chữ số ) Chứng minh rằng: a - 2b + số phương Với n N
Bài 9: Chứng minh số sau số phương
a) A = 99 … 900 … 25 ( Có n chữ số n chữ số ).n N
b) B = 99 … 00 … (Có n chữ số n chữ số ) n N
c) C = 44 … 88 … ( Có n chữ số n -1 chữ số ) n N
d) D = 11 … 22 … 25 ( Có n chữ số có n + chữ số ) n N
e) E = 11 … - 22 … ( Có 2n chữ số n chữ số ) n N
f) F = 11 … + 44 … + ( Có 2n chữ số n chữ số ) n N
Bài 10: Cho a = 11 … ( Có n chữ số ) b = 00 … ( Có n - chữ số )
Chứng minh rằng: ab + số phương Với n N
Bài 11: Cho dãy số có số hạng đầu 16, số hạng sau số tạo thành cách viết chèn số 15
vào số hạng liền trước ta dãy: 16; 1156; 111556; … Chứng minh số hạng dãy số phương
Bài 12: Cho a = 11 ( có n chữ số ) b = 11 … ( có n chữ số ) với n N
Chứng minh ab + số phương
Bài 13 : Cho a = 11 … ( có 2n chữ số ) ; b = 11 … ( có n + chữ số ) ;
c = 66 … ( có n chữ số ) với n N Chứng minh: a + b + c + số phương
Bài 14:
a) Chứng minh rằng: Mọi số phương chia cho có số dư b) Hỏi số phương chia cho 4, cho 5, cho số dư ? c) Chứng minh số phương có tận chữ số hàng đơn vị phải d) Chứng minh số phương có tận chữ số hàng chục phải chữ số lẻ
Bài 15: Cho a số nguyên Chứng minh biểu thức sau có giá trị số phương
a) A = ( a2 + a + )( a2 + 5a + ) + 4a2 b) B = ( a2 + 3a + )( a2 + 3a + ) + 4. c) C = ( a2 + 4a + )( a2 + 4a + ) + 9. d) D = ( a + )( a + )( a + )( a + ) +
Bài 16: Tìm số nguyên x cho biểu thức sau có giá trị số phương
a) A = x2 - 4x - 25. e) E = x4 + x3 + 17 x2 + 4x + 6. b) B = x2 + x + 6. f) F = x4 - 8x3 + 14 x2 + 8x - 14.
c) C = x2 + x + 13. g) G = ( x2 - 6x - )( x2 - 6x + ) + 15 d) D = x( x - )( x - )( x - ) h) H = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) +
Bài 17 : Tìm số tự nhiên a cho thêm 64 bớt 35 ta số phương
Bài 18: Tìm số tự nhiên cho thêm 51 bớt 38 ta số phương
Bài 19: Cho a số nguyên dương, biết mệnh đề sau có mệnh đề sai Tìm a
(1) a + 45 số phương (2) a có tận
(3) a - 44 số phương
Bài 20: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
(5)SỐ CHÍNH PHƯƠNG LÝ THUYẾT:
1/ Số phương số bình phương số tự nhiên.
Mười số phương 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81
2/ Một số tính chất số phương:
Số phương tận chữ số: 0; 1; 4; 5; 6; không tận chữ số: 2, 3, 7,
8
Khi phân tích số phương thừa số nguyên tố ta thừa số luỹ thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn Chẳng hạn: 3600 = 24 32 52
Từ suy số phương N chia hết cho chia hết cho 22 = 4; số phương N chia hết
cho 23 chia hết cho 24 = 16.
Tổng quát: Nếu số phương N chia hết cho p2k+1 N chia hết cho p2k+2 (p số nguyên tố)
Số phương chia cho dư Thật vậy, xét trường hợp: + (3k)2 = 9k2
+ (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + chia cho dư 1 + (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + chia cho dư 1
Một số phương chia cho dư dư 1; Chia cho dư dư dư Số phương lẻ chia cho chia cho dư
Giữa số phương liên tiếp khơng có số phương n2 < x2 < (n + 1)2 (1) => khơng tồn x Z thỗ mãn (1) n2 < x2 < (n + 2)2 => x2 = (n + 1)2
Nếu số ngun liên tiếp có tích số phương số ngun số
3/ Nhận biết số phương:
Để chứng minh N số phương ta có thể:
+ Biến đổi N thành bình phương số thự nhiên (hoặc số nguyên)
+ Vận dụng tính chất: Nếu số tự nhiên a b nguyên tố có tích số phương số a b số phương
Để chứng minh N khơng phải số phương ta có thể:
+ Chứng minh N có chữ số tận 2, 3, 7, có số lẻ chữ số tận + Chứng minh n chứa số nguyên tố với số mũ lẻ
+ Xét số dư chia N cho có số dư 2; N chia cho 4, cho có số dư 2; N khơng phải số phương
+ Chứng minh N nằm số phương liên tiếp
4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
(a b)2 = a2 2ab + b2
III/ BÀI T PẬ
BÀI TẬP BÀI GIẢI
Bài 1:
Cho A = 2n n
11 88 8 + 1. Chứng minh A số phương
Bài 1: A =
n n n n
11 100 11 88 8 + Đặt n
11 1 = a thì: n 99 9 = 9a Do đó:
n
99 9 + = 10n = 9a + 1
A = a 10n + a – 8a + = a(9a + 1) + a – 8a + = 9a2– 6a + = = (3a – 1)2 Vậy A số phương.
Bài 2: Chứng minh rằng: a/ Tổng số phương liên tiếp khơng phải số phương
b/ Tổng:
S = 12 + 22 + 32 + + 302 khơng phải số phương
Bài 2: a/ Gọi số phương liên tiếp (n – 1)2; n2; (n + 1)2 Tổng chúng là: (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 = 3n2 + 2
Tổng chia cho dư nên khơng phải số phương b/ Ta viết S thành tổng 10 nhóm, nhóm số hạng: S = (12 + 22 + 32) + (42 + 52 + 62) + + (282 + 292 + 302)
Mỗi nhóm chia dư nên: S = (3k1 + 2) + (3k2 + 2) + + (3k10 + 2) = = 3k1 + 3k2 + + 3k10 + 18 + = 3k + (k = k1 + + k10 + 6)
S cho dư nên S số chíng phương
(6)Bài 1: CMR 1 1x yz x y z1
số x, y, z có cặp số đối Bài 2: Tìm x biết rằng: 4520 : 225 4209520 :1000795 250 .50 40
27 x
Bài 3: Tìm giá trị k để pt: 2 y k 3y2 3 y12 43 có nghiệm y = Bài 4: Tìm giá trị m để :
a/ Pt:
5 3
m x x m x
x
có no gấp lần no pt: 1 1 1 2 1 3 x 3 x 4 x b/ Pt: 80
3x9x x có no gấp 18 lần no pt: 6m x 2 8 m 3x Bài 5: Giải PT sau:
a/ 2003 2005 2007 2009 2002 2000 1998 1996
2002 2000 1998 1996 2003 2005 2007 2009
x x x x x x x x
b/ 24 25 26 27 2016
1976 1975 1974 1973
x x x x x
c/ 342 323 300 273 10
15 17 19 21
x x x x
Bài 6: Giải PT sau: a/ x3 5x2 4x 20 0
b/ 3x1 x1 2 9 x2 6x1
c/ 9x2 6x 8 0
d/ x3 3x 2
Bài 7: Giải PT sau:
a/ 3x1 2x332x3 x53x 3 x13 0 b/ x 23x 43x 73 3x 2 x 4 x 7 0
Bài 8: Giải PT sau:
a/ x 2 x2x210 72 b/ x1 x2 x4 x5 40.
c/ 2x 52 4x72 d/ 2x23x12 2 x23x324 0 Bài 9: Giải PT sau:
a/ 49 50 49 50
50 49 50 49
x x
x x
b/
2
21
4
4 10 x x
x x
c/ 2 2
1 1 1
5 12 12 11 30
x x x x x x x x d/
2
1
7
x x
x x
Bài 10: Giải PT sau : a) x3 2x2 x 2 0
; b) x32x2 x 0 ; c) x3 x2 21x45 0 ;
d) x3 3x2 4x 2 0
; e) x4x26x 0 ; g)
2
2 1 4 2 1
x x ;
h) x 13 2x 33 27x3 8
; i) 6x4 x3 7x2 x 0;
Bài 11: Giải PT sau : a) x2 5x2 10x2 5x 24 0
; b) x25x2 2x25x24; c) x2 x 1 x2 x 2 12
; d) x2 x 2 x2 x 3 12;
e) x x 1x2 x 1 42; g) x2 x 12 3x4x21;
(7)a) x x 1 x1 x2 24; b) x 4 x 5 x 6 x 7 1680;
c) x2 x3 x 5 x 6 180; d) 2 8x x 1 2 4x1 9;
e) 12x7 2 3x2 2 x13; g) 2x1 x1 2 2x3 18;
Bài 13: Giải PT sau :
a) x2 6x 92 15x2 6x 10 1
; b) x2123x x 212x2 0;
c) x2 92 12x 1
; d) x1 2 x2 x1 2 x 2 12;
Bài 14: Giải PT sau :
a) x34x54 16; b) x 24x 34 1;
c) x14x 34 82; d) x 2,54x1,54 1;
e) 4 x5x 25 32; g) x15x35 242x1 ; h) x13x 23 2x13; i) x 74x 84 15 2 x4; k) x33 x13 56; l) x3x 13 2x13;
m) x 64x 84 16;
Bài 15: Giải PT sau : a)
3
x x x x ; b) 3x413x316x213x 3 ;
c)
6x 5x 38x 5x 6 0; d) x52x43x33x22x 1 0;
e)
6x 7x 36x 7x 6 ; g) 2x4 9x314x2 9x 2 ;
h)
6x 25x 12x 25x 6 ; i) x5 x4 x3x2 x 2;
k)
3
x x x x ; l) x5 x4 3x33x2 x 1 0;
Bài 16: CMR PT sau vô nghiệm: a) x4 x3 2x2 x 1 0
; b) x4x3x2 x 0; c) x4 2x34x2 3x 2 0;
Bài 17: Giải PT sau:
a)
3
1
1 3
x x
x x x x
; b)
2 3
1
1 2
x
x x x x
;
c) 2
4
3 4
x x x
x x x x x x
; d) 2
4
2 2 7
x x x
x x x x x x
;
e) 2
1
1 1
x x
x x x x x x x
; g)
2
1
1
2 x x
x x