Bài 1

Bài 1: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi M điểm thuộc nửa đường trịn, H chân đường vng góc kẻ từ M đến AB Vẽ đường (M;MH) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C, D tiếp điểm khác H) Chứng minh: C, M, D thẳng hàng CD tiếp tuyến (O) Chứng minh: Khi M di chuyển AB tổng AC + BD khơng đổi Giả sử CD AB cắt I Chứng minh: OH.OI không đổi Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường trịn, kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E, F chân đường cao đường vng góc kẻ từ A, B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: CE = CF AC tia phân giác BAE^ CH2=AE.BF Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Từ M điểm nửa đường trịn (O) (M khơng điểm cung AB) vẽ tiếp tuyến cắt Ax, By điểm C, D Chứng tỏ AC + BD = CD Chứng minh tam giác COD vuông Tia BM cắt Ax P, tia AM cắt By Q Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD BC vng góc với xy Chứng minh rằng: MC = MD Chứng minh AD + BC có giá trị khơng đổi điểm M di động nửa đường tròn Chứng minh đường trịn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC AB Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn (O) diện tích tứ giác ABCD lớn Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt Ax, By theo thứ tự C, D Chứng minh đường đường kính CD tiếp xúc AB Gọi E giao điểm BC AD ME cắt AB H Chứng minh: E trung điểm đoạn MH Tìm vị trí M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ Tìm vị trí C, D để hình thang ABDC có chu vi 14cm, biết AB = 4cm Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn (AM < BM) Tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt Ax, By C D Tính số đo góc COD Chứng minh đường có đường kính CD tiếp xúc với AB Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính CD = 2R Từ C D kẻ tiếp tuyến Cx Dy phía nửa đường tròn Từ điểm E nửa đường tròn (E khác C D) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Cx Dy A B Chứng minh: AB = AC + BD Chứng minh tam giác AOB tam giác vuông Gọi F giao điểm AD BC Chứng minh: EF.AB = AC.BD Bài 8: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, E điểm tùy ý nửa đường tròn (E ≠ A, B) Kẻ tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua E kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By M N Chứng minh MN = AM + BN MON^=90o Chứng minh AM.BN = R2 OM cắt AE P, ON cắt BE Q Chứng minh PQ không đổi E chuyển động nửa đường tròn Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R M điểm tùy ý nửa đường tròn (M≠A,B) Kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D Chứng minh CD = AC + BD Chứng minh tam giác COD tam giác vuông Chứng minh AC.BD = R2 OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R Bài 10: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn AB Vẽ bán kính OE Tiếp tuyến nửa đường tròn E cắt Ax, By theo thứ tự C, D Chứng minh CD = AC + BD Tính số đo COD^ Gọi I giao điểm OC AE, gọi K giao điểm OD BE Tứ giác EIOK hình gì? Vì sao? Cho OC=5;OD=7 Tính bán kính đường trịn Bài 11: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường trịn, cắt Ax By C D Chứng minh: tam giác COD tam giác vuông Chứng minh: MC.MD = OM2 Cho biết OC = BA = 2R, tính AC BD theo R Bài 12: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn AB Vẽ bán kính OE Tiếp tuyến nửa đường tròn A cắt Ax, By theo thứ tự C D Chứng minh CD = AC + BD Tính số đo góc DOC Gọi I giao điểm OC AE; K giao điểm OD BE Tứ giác EIOK hình gì? Vì sao? Và IK // MN Xác định vị trí OE để tứ giác EIOK hình vng Bài 13: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường trịn, kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: CE = CF AC tia phân giác BAE^ CH2=AE.BF Bài 14: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax Từ M Ax, kẻ tiếp tuyến MC tới nửa đường tròn (C∈(O)) Đường thẳng BC cắt tia Ax D Chứng minh : MA = MD Kẻ CH⊥AB, BM cắt CH I Chứng minh: I trung điểm CH Kẻ tia Oy⊥OM, tia cắt MC N Chứng minh: NB tiếp tuyến nửa (O) Bài 15: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn (M khác A,B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông Chứng minh: MC.MD=OM2 Cho biết OC = BA = 2R, tính AC BD theo R Bài 16: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn vẽ từ A C cắt M Trên tia AM lấy điểm D cho AD = BC Chứng minh rằng: Tứ giác ABCD hình bình hành Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy Bài 17: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn điểm D AD có phải đường kính đường trịn (O) không ? Tại ? Chứng minh: BC2=4AH.DH Cho BC=24cm,AB=20cm Tính bán kính đường trịn (O) Bài 18: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm đường trịn (gọi tâm O) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác Tính số đo góc ABD Tứ giác BHCD hình gì? Tại sao? Gọi M trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH Bài 20: Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN Tính số đo góc BMC BNC Chứng minh AH vng góc BC Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH Bài 22: Cho tam giác ABC vng A có AB = 8, AC = 15 Vẽ đường cao Ah Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường trịn đường kính CD, cắt AC E Chứng minh HE tiếp tuyến đường trịn Tính độ dài HE Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H cạnh AB AC Chứng minh AD.AB = AE.AC Gọi M, N trung điểm BH CH Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (M;MD) (N;NE) Gọi P trung điểm MN; Q giao điểm DE AH Giả sử AB = 6cm; AC = 8cm Tính độ dài PQ Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt D theo thứ tự D E Tính DOE Chứng minh DE = BD + CE Chứng minh: BD.CE=R2 (R bán kinh đường tròn tâm O) Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn đường kính DE Bài 25: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Đường trịn (O; r), (O;r1),(O;r2) theo thứ tự đường tròn nội tiếp ΔABC,ΔABH,ΔACH Chứng minh rằng: AB + AC – BC = 2r R+r1+r2=AH r2=r12+r22 Bài 26: Cho tam giác ABC, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm di động D, E cho DOE^=60o Chứng minh tích BD.CE khơng đổi Chứng minh ΔBOD≠ΔOED Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE Bài 27: Gọi O trung điểm AB Vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB chiều Vẽ góc vng zOt cho Oz cắt Ax C Ot cắt By D Chứng minh CO tia phân giác góc ACD Chứng minh CD tiếp xúc với đường trịn đường kính AB AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD Bài 28: Tính cạnh huyền tam giác vng, biết r bán kính đường trịn nội tiếp R bán kính đường trịn bàng tiếp góc vng Bài 29: Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE⊥AC CF⊥AB (E∈AC,F∈AB), BE CF cắt H Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O) Bài 30: Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh OA⊥BC tính tích OH.OA theo R Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD // OA Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE Bài 31: Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh OA⊥BC tính tích OH.OA theo R Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD // OA Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE Bài 32: Từ điểm I bên (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB ICD (không qua tâm O) Gọi M N trung điểm hai dây AB CD Chứng minh: O, I, M, N thuộc đường tròn Đường tròn (OIMN) cắt (O) E F Chứng minh: IE, IF hai tiếp tuyến (O) EF cắt OM K cắt OI H Chứng minh: OM.OK = OH.OI = R2 Bài 33: Từ điểm I ngồi đường trịn (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB ICD (không qua O) Gọi M, N trung điểm dây cung AB, CD Chứng minh: OM⊥AB;ON⊥CD;OM+ON≤2R,CD≤2R,ABCD⇔OM R’) Vẽ đường kính AOB, AO’C Dây DE đường trịn (O) vng góc với BC trung điểm K BC Chứng minh : tứ giác BDCE hình thoi Gọi I giao điểm EC đường tròn (O) Chứng minh: ba điểm D, A, I thẳng hàng Chứng minh: KI tiếp tuyến (O) Bài 58: Cho hai đường tròn (O; R’) (O’; R’) có R = 8, R’ = OO’ = 10 Chứng tỏ (O; R) (O’; R’) cắt điểm A B OO’ đường trung trực AB Chứng minh AO tiếp tuyến (O’) AO’ tiếp tuyến (O) Gọi I giao điểm OO’ AB Tính độ dài IA, IO Xác định tâm tính bán kính đường tròn qua điểm A, O, B, O’ Tìm điều kiện bán kính đường trịn (O) cho đường trịn khơng có điểm chung với (O’; R’) Bài 59: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A B cho đường thẳng OA tiếp tuyến đường tròn (O’; R’) Biết R = 12c, R’ = 5cm Chứng minh: O’A tiếp tuyến đường trịn (O; R) Tính độ dài đoạn thẳng OO’, AB Bài 60: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi với B Vẽ đường kính AB đường trịn (O) đường kính BC đường trịn (O’) Đường trịn đường kính OC cắt (O) M N Đường thẳng CM cắt (O’) P Chứng minh OM // BP Từ C kẻ đường thẳng vng góc với CM cắt tia ON D Chứng minh: Tam giác OCD tam giác cân Bài 61: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung MN với M thuộc (O) N thuộc (O’) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO’, Q điểm đối xứng với N qua OO’ Chứng minh rằng: MNQP hình thang cân PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) MN + PQ = MP + NQ Bài 62: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Gọi CD tiếp tuyến chung hai đường trịn (với C∈(O)và D∈(O′)) Tính số đo góc CAD Tính độ dài CD biết OA = 4,5cm, O’A = 2cm Bài 63: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với B Vẽ đường kính AB đường trịn (O) đường kính BC đường trịn (O’) Đường trịn đường kính OC cắt (O) M N Đường thẳng CM cắt (O’) P Chứng minh: OM // BP Từ C vẽ đường thẳng vng góc với CM cắt tia ON D Chứng minh tam giác OCD tam giác cân Bài 64: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Vẽ hai đường kính AOB AO’C Gọi E tiếp tuyến chung hai đường tròn, D∈(O);E∈(O′) Gọi M giao điểm BD CE Tính DAE^ Tứ giác ADME hình gì? Vì ? Chứng minh: MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Bài 65: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến chung BC tiếp tuyến chung Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’ M Bài 66: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Bán kính (O) R = 5cm, bán kính (O’) r = 3cm Một đường thẳng qua A hợp với OO’ góc 30o cắt (O) B, cắt đường tròn (O’) C Chứng minh: AO′C^=AOB^ O’C // OB Chứng minh: tiếp tuyến (O) B tiếp tuyến (O’) C song song với Tiếp tuyến (O’) C cắt đường thẳng OO’ D Tính CD O’D Đường thẳng CD cắt đường thẳng BO E Tính diện tích ΔABE Bài 67: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung DE, D∈(O),E∈(O′) Kẻ tiếp tuyến chung A, cắt DE I Gọi M giao điểm OI AD, N giao điểm O’I AE Tứ giác AMIN hình ? Vì ? Chứng minh: IM.IO = IN.IO’ Chứng minh: OO’ tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE Biết OA = 5cm, O’A = 3,2cm Tính DE Bài 68: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ cát tuyến chung MAN cho MA = AN Đường vng góc với MN cắt OO’ I Chứng minh I trung điểm OO’ Bài 69: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Dây AC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) A Dây AD đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) A Gọi K điểm đối xứng với A qua trung điểm I OO’ E điểm đối xứng với A qua B Chứng minh: AB⊥KB Bốn điểm A, C, E, D nằm đường tròn Bài 70: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B, O’ nằm (O) Kẻ đường kính O’OC đường tròn (O) Chứng minh: CA, CB tiếp tuyến (O’) Đường vng góc với AO’ O’ cắt CB I Đường vng góc với AC C cắt đường thẳng O’B K Chứng minh O, I, K thẳng hàng Bài 71: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Gọi C D điểm đối xứng A qua O O’ Một đường thẳng (d) qua A cắt (O) (O’) M N Chứng minh: C, B, D thẳng hàng AC cắt (O) E, AD cắt (O’) F Chứng minh: C, D, E, F thuộc đường tròn Chứng minh: trung trực MN qua trung điểm CD (d) thay đổi Suy trung điểm MN di động đường trịn cố định Định vị trí đường thẳng (d) để MN có độ dài lớn Bài 72: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (B∈(O)) Chứng minh: BAC^=90o Gọi D điểm đối xứng C qua O’ Chứng minh: B, A, D thẳng hàng Chứng minh: BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’ Chứng minh: BC=2RR′ Bài 73: Cho góc vng xOy Lấy điểm I K tia Ox Oy Vẽ đường tròn (I; OK) cắt tia Ox M (I nằm O M) Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy N (K nằm O N) Chứng minh hai đường tròn (I) (K) cắt Tiếp tuyến M đường tròn (I) tiếp tuyến N đường tròn (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vng Gọi giao điểm hai đường tròn (I), (K) A B Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Giả sử I K theo thứ tự di động tia Ox Oy cho OI + OK = a (không đổi) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Bài 74: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By với đường tròn (Ax, By thuộc mặt phẳng bờ AB) Qua điểm E (E không trùng với A B) kẻ tiếp tuyến với (O) cắt tia Ax, tai By M N Chứng minh tam giác MON vuông Gọi tia BE cắt tia Ax C Chứng minh M trung điểm AC Gọi tia AE cắt By D Xác định vị trí điểm E để diện tích tứ giác MNDC đạt giá trị nhỏ Bài 75: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi H trung điểm OA Dây CD vuông góc với OA H Tứ giác ACOD hình gì? Vì ? Chứng minh tam giác OAC CBD tam giác Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm D, O, M thằng hàng Chứng minh đẳng thức CD2=4AH.HB Bài 76: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa đường tròn C Gọi D E theo thứ tự hình chiếu A B (d) Chứng minh: C trung điểm DE (A; AD) (B; BE) tiếp xúc điểm H thuộc đường kính AB Bài 77: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc đường trịn Gọi N điểm đối xứng với A qua M, BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM Chứng minh: NE⊥AB Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh: FA tiếp tuyến (O) Chứng minh: FN tiếp tuyến đường tròn (B; BA) Bài 78: Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Từ điểm E đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường trịn gặp Ax By C D Tia CO cắt tia DB F Tính số đo ODA chứng tỏ OD song song với BC Tiếp tuyến A (O) cắt tia OD E Chứng minh: EC tiếp tuyến (O) Đường thẳng BC cắt tiếp tuyến A (O) điểm M Chứng minh OE trung tuyến ΔAOM Bài 79: Cho đườn tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Từ điểm E đường trịn, kẻ tiếp tuyến với đường trịn gặp Ax By C D Tia CO cắt tia DB F Chứng minh góc COD vng tam giác DCF cân Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD Cho AC=R2 Tính diện tích tam giác DCF theo R Bài 80: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 6cm điểm A cách O khoảng 10cm Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB Vẽ cát tuyến ACD, gọi I trung điểm đoạn CD Hỏi C chạy đường trịn (O) I chạy đường ? Bài 81: Cho đường trịn tâm (O; R) đường kính AB điểm M đường tròn cho MAB^=60o Kẻ dây MN vng góc với AB H Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B, BM) Chứng minh MN2=4AH.HB Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng Bài 82: Cho đường trịn đường kính AB Gọi C điểm đường trịn H hình chiếu C AB Từ A B kẻ tiếp tuyến AD BE đến đường tròn (C;CH) Chứng minh : D, C, E thẳng hàng DE tiếp tuyến đường tròn đường kính BC Xác định vị trí điểm C để diện tích tứ giác ABED lớn Bài 83: Cho đường trịn đường kính 10cm, đường thẳng d cách tâm O khoảng 3cm Xác định vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (O) Đường thẳng d cắt đường tròn (O) điểm A B Tính độ dài dây AB Kẻ đường kính AC đường trịn (O) Tính độ dài BC số đo CAB^ (làm tròn đến độ) Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt tia AB M Tính độ dài BM Bài 84: Cho đường trịn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) Chứng minh CM = DN Giả sử AOB^=90o Tính OM theo R cho CM = MN = ND Bài 85: Cho đường tròn (O; R), H điểm bên (O) (H khác O) CD đường kính qua H (HC > HD), AB dây cung vng góc với CD H  Chứng tỏ CD đường trung trực AB Chứng minh: CAD^=CBD^=90o Chứng minh: HA.HB = HC.HD theo cách: Dùng tam giác đồng dạng  Dùng hệ thức lượng tam giác vuông Trường hợp OH = R/2, chứng minh ΔABC cạnh có độ dài R3 Suy cách vẽ tam giác có đỉnh nằm đường trịn (O; R) cho trước Bài 86: Cho đường tròn (O; R) tiếp tuyến xy điểm A cố định đường tròn Từ điểm B tùy ý (O) (khác A), kẻ BH⊥xy Đường phân giác góc AOB cắt BH C cắt xy M Chứng minh: BA tia phân giác OBH MB tiếp tuyến (O; R) C luôn thuộc đường tròn cố định B thay đổi Bài 87: Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (O) (M, N hai tiếp điểm) ΔAMNlà tam giác gì? Vì ? Đường thẳng vng góc với OM O cắt đường thẳng AN P Chứng minh: AP = PO Gọi H giao điểm AO MN Chứng minh OH.OA = R2 Bài 88: Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định đường trịn Qua A vẽ tiếp tuyến xy Từ điểm M xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) Hai đường cao AD BE tam giác MAB cắt H Chứng minh ba điểm M, H, O thẳng hàng Chứng minh tứ giác AOBH hình thoi Khi điểm M di động xy điểm H di động đường ? Bài 89: Cho đường tròn (O; R) điểm I (O) (I khác O) Hãy vẽ dây cung AB qua I nhận I làm trung điểm Gọi (I) đường tròn tâm I có đường kính AB, đường thẳng OI cắt đường trịn (O) C D, cắt đường tròn (I) E F Chứng tỏ C, D, E F cách A B Chứng minh: AEBF hình vng So sánh tích IE.IF IC.ID   Biết OI = R/2, tính độ dài cạnh diện tích ΔACD hình vng AEBF theo R Bài 90: Cho đường trịn (O; R) điểm I cố định với OI = R/2 AB dây cung quay quanh I Tìm vị trí C, D A (hay B) tương ứng lúc độ dài IA (hay IB) dài nhất, ngắn Chứng tỏ tập hợp trung điểm M dây cung AB đường trịn, tìm tâm bán kính đường trịn Gọi EF vị trí giới hạn dây cung AB lúc M tiến dần đến I Chứng minh: EF⊥CD EF độ dài ngắn dây cung AB CD độ dài lớn AB Bài 92: Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng xy A Trên tia Oz song song với đường thẳng xy lấy điểm I Từ I vẽ tiếp tuyến với (O) cắt xy E F Chứng minh: I tâm đường trịn ngoại tiếp ΔOEF Cho OI=R2, tính chu vi ΔIEF Bài 93: Cho đường tròn (O; R) nội tiếp ΔABC Gọi M, N, P tiếp điểm AB, AC, BC với (O) Chứng minh rằng: PΔABC=2(AM+BP+NC) Bài 94: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC cho CAB^=30o Trên tia đối tia BA, lấy điểm M cho BM = R Chứng minh rằng: MC tiếp tuyến đường tròn (O) MC2=3R2 Bài 95: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Từ trung điểm I bán kính OB vẽ dây cung CD vng góc với OB  So sánh IC ID Tiếp tuyến C (O) cắt đường thẳng AB M Chứng minh: ΔCOM=ΔDOM  MD tiếp tuyến (O) Tính độ dài đoạn MC theo R Bài 96: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Lấy điểm M∈(O) Gọi P Q theo thứ tự hình chiếu M AB tiếp tuyến Ax (O), gọi I trung điểm PQ Chứng minh: A, I, M thẳng hàng Suy I thuộc đường trịn cố định tính theo R bán kính đường trịn Tiếp tuyến M (O) cắt tiếp tuyến Ax N Chứng minh: O, I, N thẳng hàng MA phân giác góc OMQ, NMP Đường trung trực đường kính AB cắt MB K Chứng minh: NK = R Xác định vị trí M để ΔAMN Bài 97: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Lấy điểm C ngồi đường trịn cho B trung điểm OC Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM CN đến đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Chứng minh: ΔAMN tam giác cân Tính CM AM theo R Chứng minh: tứ giác AMCN hình thoi Tính SAMCN theo R Gọi I trung điểm CM, AI cắt OM K Chứng minh: K trung điểm AI Tính diện tích ΔAKB theo R Bài 98: Cho đường trịn tâm (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường trịn đường kính AB) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 30o Tính diện tích hình chữ nhật CDEF Bài 99: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dãy CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? Giả sử R=6,5cm,MA=4cm Tính CD Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh: MH.MK=MC32R Bài 100: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Lấy điểm M (O), vẽ tiếp tuyến thứ ba M cắt Ax, By C D Chứng minh: CD = AC + BD Chứng minh COD^=90o tích AC.BD khơng thay đổi M di chuyển (O) CD cắt AB E Tính ME MAB^=60o Tìm vị trí M (O) để tổng AC, BD đạt giá trị nhỏ Bài 101: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB dây AC = R Vẽ đường kính CD (O) Tính theo R độ dài đoạn AD SΔACD Gọi xy tiếp tuyến B (O) Tia AC AD cắt xy E F Gọi M trung điểm EF, đường thẳng (d) qua C song song với AM Đoạn thẳng AM cắt CD I Chứng minh (d) tiếp xúc (O) Chứng minh: điểm I, O, M, B thuộc đường tròn Bài 102: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB điểm C nằm đường tròn Đường thẳng song song với AC kẻ từ O cắt tiếp tuyến C (O) D Chứng minh: COD^=BOD^ DB tiếp tuyến B (O) AC.OD=2R2 Bài 103: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB (d) tiếp tuyến (O) A M điểm di động (d) Kẻ tiếp tuyến MC đến (O) (C tiếp điểm khác A) Tia BC cắt (d) K kẻ CH vng góc với AB H Chứng minh: OM // BK BM cắt CH I Chứng minh: I trung điểm CH Gọi N trực tâm ΔAMC Chứng minh: tứ giác AOCN hình bình hành Từ suy N di động đường cố định, rõ đường cố định ? Cho OM = 2R Chứng minh: ΔAMC tính AM, SΔAMC theo R Bài 104: Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB, AC BD hai dây cung song song với Chứng minh: AC = BD, suy CD đường kính (O) Chứng tỏ ACBD hình chữ nhật Chứng tỏ dây cung AC=R2 ACBD hình vng ngược lại Tính diện tích ACBD trường hợp BAC^=30o Bài 105: Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB, gọi (I) đường trịn tâm I, đường kính OA  Chứng tỏ (O) (I) tiếp xúc Cho C điểm ∈(O) (C khác A, B), AC cắt (I) K Chứng minh ΔABC ΔAOK vuông  K trung điểm AC OK = BC/2  ΔIOK ΔOBC đồng dạng Gọi EF đường kính (O) qua K, chứng tỏ B, C, E, F đỉnh hình thang cân Cho BOC^=60o Tính cạnh, diện tích ΔABC hình thang cân BCEF Bài 106: Cho đường trịn (O; 5cm) có đường kính AB dây cung CD Kéo dài AB CD cắt M Gọi N trung điểm dây cung CD Chứng minh: ΔMNO tam giác vuông Tiếp tuyến B (O) cắt đường thẳng CD Q Chứng minh: MN.MQ = MO.MB Tia ON cắt (O) E Tính độ dài dây cung EC độ dài dây cung CD = 6cm Bài 107: Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = 6cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Tính độ dài OH Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE Tính số đo góc DOE^ Bài 108: Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Qua A B vẽ hai tiếp tuyến (d) (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vng góc vơi MP cắt đường thẳng (d’) N Chứng minh OM = OP ΔNMP cân Hạ OI⊥MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến (O) Chứng minh AM.BN = R2 Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Vẽ hình minh họa Bài 109: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB điểm M đường tròn (M khác A B) Tiếp tuyến A B (O) cắt tiếp tuyến M theo thứ tự C D Chứng tỏ ACDB hình thang vng Chứng tỏ AM // OD AM cắt OC E BM cắt OD F Chứng tỏ: OE.OC = OF.OD Biết MAB^=60o Tính theo R diện tích tứ giác OMDB Biết x=MBA^=30o Tính cos⁡x,tan⁡x,cot⁡x Bài 110: Cho đường trịn (O), điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B C hai tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt AB AC D E Chứng minh Chu vi ΔMPQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M BOC^=2DOE^ DE r, AB tiếp tuyến chung (A tiếp điểm (O), B tiếp điểm (O’)) Từ O’ vẽ O’C⊥OA Chứng tỏ ABO’C hình chữ nhật Chứng tỏ O’C tiếp tuyến đường trịn tâm O bán kính R’ = R – r Suy cách dựng đường trung tuyến chung ngồi AB cho trước đường trịn (O; R) (O’; r) Tương tự, dựng tiếp tuyến chung đường tròn (O; R) (O’; r) Tính độ dài tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung khoảng cách hai tâm d = OO’ theo hai bán kính Bài 134: Cho (O; R) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By nằm nửa mặt phẳng Từ E thuộc (O) Ta vẽ tiếp tuyến với (O) cắt Ax, By M N Chứng minh: AB tiếp tuyến đường tròn đường kính MN AN.NB=R24 Kẻ EQ⊥AB (H thuộc AB) Chứng minh AN cắt EQ I Chứng minh M, I, B thẳng hàng I trung điểm EQ Tìm AM, AN để hình thang AMNB có chu vi 14cm, biết AB = 6cm Bài 135: Cho (O; R) (O’; r) tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (B∈(O);C∈(O′)) Tiếp tuyến chung (O) (O’) cắt BC I Chứng tỏ góc BAC^ OIO′^ góc vng Kẻ đường kính BD (O) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng Tính theo R r độ dài BC, BA, CA Kẻ đường kính CE (O’) Chứng minh: SΔABC=SΔADE Bài 136: Cho (O; R) (O’; R’) tiếp xúc E Gọi AB tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (A∈(O),B∈(O′)) Tính diện tích tứ giác AOO’B theo R R’ Gọi D điểm đối xứng A qua O Chứng minh : B, E, D thẳng hàng Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng AB đường trịn đường kính OO’ Bài 137: Cho (O) đường kính AB, điểm C nằm A O Vẽ đường trịn (O’) có đường kính CB Hai đường trịn (O) (O’) có vị trí tương đối với nhau? Kẻ dây DE đường trịn (O) vng góc với AC trung điểm H AC Tứ giác ADCE hình gì? Vì sao? Gọi K giao điểm DB (O’) Chứng minh: ba điểm E, C, K thẳng hàng Chứng minh: KH tiếp tuyến (O) Bài 138: Cho (O; R) điểm A cho OA=R2, kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự D E Tứ giác ABOC hình gì? Vì Tính số đo góc DOE^ Đoạn OA cắt (O) K Chứng minh: K tâm đường tròn nội tiếp ΔABC Tính bán kính đường trịn này? Tính độ dài BK theo R Bài 139: Cho (O; 3cm) điểm A cho OA = 5cm Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC Tính độ dài OH Qua điểm M thuộc cung ngỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự D E Tính chu vi ΔADE Bài 140: Cho ΔABC vng A Vẽ đường tròn (B, BA) đường tròn (C; CA), chúng cắt điểm D (khác A) Chứng minh CD tiếp tuyến (B) Bài 141: Cho ΔABC vng A Vẽ đường trịn (O) (I) qua A tiếp xúc với BC điểm B C Gọi M trung điểm BC Chứng minh: Các đường tròn (O) (I) tiếp xúc với AM tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (I) ΔOMI vng BC tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp ΔOMI Bài 142: Cho ΔABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A; AH) Kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E tiếp điểm khác H) Chứng minh: Ba điểm D, A, E thẳng hàng DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC Bài 143: Cho ΔABC vng A, có AB = a, BC = 2a Các đường trịn đường kính AB, AC cắt điểm thứ hai D Chứng minh: B, C, D thẳng hàng Gọi E F điểm đối xứng D qua AB, AC Chứng minh: E, A, F thẳng hàng Tính theo a khoảng cách từ trung điểm O BC đến EF Tính theo a diện tích tứ giác BCEF Bài 144: Cho ΔABC vng A có đường cao AH Gọi I K tâm đường trịn có đường kính HB HC Chứng tỏ đường tròn (I) (K) tiếp xúc tiếp xúc với đường tròn qua điểm A, B, C Đường tròn (I) cắt AB D, đường tròn (K) cắt AC E Chứng minh ADHE hình chữ nhật AD.AB = AE.AC Suy ΔABCđồng dạng với ΔAED Chứng tỏ tứ giác BDEC có góc đối bù Cho AH = HB = Tính diện tích tứ giác BDEC cách: i) Diện tích nhiều tam giác ii) Diện tích tam giác Bài 145: Cho ΔABC vng A có B^=60o BC = 2a Vẽ đường kính AB đường trịn (F) đường kính AC Hai đường trịn cắt điểm thứ hai H Chứng minh: B, H, C thẳng hàng Chứng minh: AC tiếp xúc (E) vàEF⊥AH K Tính theo a diện tích ΔAKF Gọi M trung điểm BC Chứng minh: A, E, H, M, F thuộc đường tròn Tứ giác DMCN hình gì? Vì Chứng minh: DM.DA = DN.DB Chứng minh: MN tiếp tuyến chung nửa đường trịn có đường kính AC CB Điểm C vị trí AB MN có độ dài lớn nhất? Bài 146: Cho ΔABC vuông A (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) có đường kính BC Kẻ dây AD vng góc với BC Gọi E giao điểm DB CA Qua E kẻ đường thẳng vng góc với BC, cắt BC H, cắt AB F Chứng minh: ΔEBF cân ΔHAF cân HA tiếp tuyến (O) Bài 147: Cho ΔABC vng A (AB < AC) có đường cao AH Vẽ đường trịn tâm B, bán kính BA, đường tròn cắt AH điểm thứ hai D Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn (B; BA) Gọi I đối xứng B qua AH, đường thẳng AI cắt CD E Chứng minh: A, H, E, C thuộc đường tròn Suy AB tiếp tuyến đường tròn Bài 148: Cho ΔABC đường cao AH Gọi E F điểm đối xứng H qua AB AC Đường thẳng EF cắt AB I cắt AC K Chứng minh: A tâm đường tròn bàng tiếp ΔHIK BK CI đường cao ΔABC Bài 149: Cho ΔABC có I tâm đường trịn nội tiếp O tâm đường trịn bàng tiếp góc A Gọi D F tiếp điểm (I) (O) BC Chứng minh BD = CF Pages Bài 150: Cho ΔABC có góc nhọn Đường trịn tâm I đường kính BC cắt AB F, cắt AC E BE cắt CF H Trong ΔABC điểm H gọi ? Gọi K điểm đối xứng H qua I M điểm đối xứng H qua BC Chứng minh điểm A, B, K, M, C thuộc đường tròn Xác định râm bán kinh đường tròn Gọi O’ trung điểm AH Chứng minh O’OIM hình thang cân G trọng tâm ΔABC So sánh diện tích ΔAOG ΔAHG Bài 151: Cho ΔABC có A^=90o (AB < AC) nội tiếp (O; R), có đường cao AH Gọi M trung điểm AC Chứng minh: A, M, O, H thuộc đường tròn Xác định tâm I đường tròn Chứng minh: (O) (I) tiếp xúc Đường tròn (I) cắt AB N Chứng minh: I, M, N thẳng hàng Bài 152: Cho ΔABC cân A, có O trung điểm BC BC = 2a Đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC H K Qua D cung nhỏ HK, kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB AC M N Chứng minh: A, H, O, K thuộc đường trịn Chứng minh: MON^=ABC^ Tính tích BM.CN theo a Định vị trí MN cho BM + CN đạt giá trị nhỏ Bài 153: Cho ΔABC cân A, đường cao AD BE cắt H Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH Chứng minh: Điểm E nằm đường tròn (O) DE tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 154: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB điểm M đường trịn cho MAB^=60o Kẻ dây MN vng góc với AB H Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B, BM) Chứng minh MN2=4AH.HB Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng 23456789 ... p.r (với S diện tích p nửa chu vi ΔABC AE = p – a; BF = p – b; CD = p – c 1r=1h1+1h2+1h3 (với h1;h2,h3 đường cao ΔABC) Bài 12 8: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax By song song... AC Chứng minh MC.OE = EM.OF Bài 11 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB I Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh: CH=DK Bài 11 8: Cho đường tròn (O) đường... DE Bài 25: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Đường trịn (O; r), (O;r1),(O;r2) theo thứ tự đường tròn nội tiếp ΔABC,ΔABH,ΔACH Chứng minh rằng: AB + AC – BC = 2r R+r1+r2=AH r2=r12+r22 Bài