Nhằm giúp học sinh học tốt hơn tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số khi giải bài toán tích phân, tôi xin trình bày một số cách biến đổi phù hợp với các hàm số dưới dấu tích phân v[r]
(1)Trang
MỞ ĐẦU 1
Lý chọn đề tài 4
Mục đích nghiên cứu 4
Đối tượng ngiên cứu 4
Giới hạn đề tài 4
Nhiệm vụ đề tài 4
Phương pháp nghiên cứu 4
Thời gian nghiên cứu 4
NỘI DUNG 5
Cơ sở lí luận 5
Cơ sở triết học 5
Cơ sở tâm lí học 5
Cơ sở giáo dục học 5
Thực trạng đề tài 6
Thời gian bước tiến hành 6
Tìm hiểu học sinh 6
Giải vấn đề 6
Phương pháp đổi biến số dạng 1 7
Phương pháp đổi biến số dạng (đổi biến số theo sint tant) 10 Một số trường hợp thường gặp cho ta dấu hiệu để đổi biến hợp lý 14
HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 18
Kết thực tiễn 19
Kết thực nghiệm 19
KẾT LUẬN 19
(2)MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài
Cách khoảng 2.000 năm phép tính tích phân thực Archimedes (287–212 trước Cơng ngun), ơng tính diện tích bề mặt thể tích khối vài hình cầu, hình parabol hình nón Phương pháp tính Archimedes đại dù vào thời chưa có khái niệm đại số, hàm số hay chí cách viết số dạng thập phân
Tích phân, vi phân mơn tốn học phép tính giải tích, thức khám phá Leibniz (1646–1716) Isaac Newton (1642–1727) Ý tưởng chủ đạo tích phân vi phân hai phép tính nghịch đảo Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà tốn học giải số lượng khổng lồ toán quan trọng toán học, vật lý thiên văn học
J B Fourier (1768–1830) nghiên cứu truyền nhiệt tìm chuỗi hàm lượng giác dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi hàm lượng giác ngược lại) biến đổi tích phân ngày ứng dụng rộng rãi không khoa học mà Y học, âm nhạc ngôn ngữ học
Người lập bảng tra cứu tích phân tính sẵn Gauss (1777–1855) Ơng nhiều nhà tốn học khác ứng dụng tích phân vào tốn tốn học vật lý Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức Riemann (1826–1866) Lebesgue (1875–1941) người tiên phong đặt tảng lơ-gíc vững cho định nghĩa tích phân
Liouville (1809–1882) xây dựng phương pháp để tìm xem tích phân vô định hàm lại hàm Hermite (1822–1901) tìm thấy thuật tốn để tính tích phân cho hàm phân thức Phương pháp mở rộng cho phân thức chứa lơ-ga-rít vào năm 1940 A M Ostrowski Vào năm trước thời đại máy tính kỷ 20, nhiều lý thuyết giúp tính tích phân khác không ngừng phát triển ứng dụng để lập bảng tra cứu tích phân biến đổi tích phân Một số nhà tốn học đóng góp cho cơng việc G N Watson, E C Titchmarsh, E W Barnes, H Mellin, C S Meijer, W Grobner, N Hofreiter, A Erdelyi, L Lewin, Y L Luke, W Magnus, A Apelblat, F Oberhettinger, I S Gradshteyn, H Exton, H M Srivastava, A P Prudnikov, Ya A Brychkov, O I Marichev
(3)trong tích phân hàm Phương pháp chưa thể ứng dụng cho hàm cốt lõi phương pháp giải phương trình vi phân khó Những phát triển tiếp nối nhiều nhà toán học khác giúp giải phương trình vi phân cho nhiều dạng hàm khác nhau, ngày hoàn thiện phương pháp Risch Trong năm 1980 có tiến mở rộng phương pháp cho hàm không đặc biệt
Từ thập niên 1990 trở lại đây, thuật tốn để tính biểu thức tích phân vơ định chuyển giao sang tối ưu hố cho tính tốn máy tính điện tử Máy tính giúp loại bỏ sai sót người, tạo nên khả tính hàng nghìn tích phân chưa xuất bảng tra cứu Một số phần mềm máy tính thương mại có khả tính biểu thức tích phân Mathematica, Maple,
Trong chương trình Tốn lớp 12 tốn tích phân những bài tốn khó đại đa số học sinh Thực tế sau học sinh học xong phương pháp tích phân đổi biến số em chưa nắm tất những dạng tập áp dụng phương pháp cách có hệ thống Nhằm giúp học sinh học tốt tính tích phân phương pháp đổi biến số giải tốn tích phân, tơi xin trình bày số cách biến đổi phù hợp với hàm số dưới dấu tích phân cách khai thác giả thiết tốn tích phân liên quan đến cận tích phân thường gặp kỳ thi tốt nghiệp phổ thông thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng
2 Mục đích nghiên cứu:
Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phương pháp đổi biến số tích phân Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học
3 Đối tượng ngiên cứu:
Phương pháp tích phân đổi biến số 4 Giới hạn đề tài:
(4)5 Nhiệm vụ đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt Phương pháp tích phân đổi biến số
Rút kết luận đề xuất số biện pháp tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường THPT
6 Phương pháp nghiên cứu:
Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS)
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…) Phương pháp thực nghiệm
(5)NỘI DUNG I/ Cơ sở lí luận:
1 Cơ sở triết học:
Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình phản ánh cách lơgíc biện chứng quan niệm nội thân em Từ kích thích em phát triển tốt
2 Cơ sở tâm lí học:
Theo nhà tâm lí học: Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư đứng trước khó khăn cần phải khắc phục Vì GV cần phải để học sinh thấy khả nhận thức với điều biết với tri thức nhân loại
Căn vào quy luật phát triển nhận thức hình thành đặc điểm tâm lí từ lớp cuối cấp THCS, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Tốn học, mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương mơn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngồi cịn có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt…
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học Phương pháp tích phân đổi biến số em thường có tâm lí khó hiểu
(6)Để giúp em học tốt GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh
II/ Thực trạng đề tài:
1 Thời gian bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2009 - 2010 2 Tìm hiểu học sinh
Thơng qua tiết dạy học thầy trị tơi nhận thấy học sinh yếu Việc lĩnh hội kiến thức tích phân kĩ giải tốn tích phân học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ: Kiến thức nắm chưa
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội thích hợp
Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán
III/ Giải vấn đề:
Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “Cái dễ đến khó”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh
(7)CƠ SỞ KHOA HỌC (Phương pháp đổi biến số) Định lí:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục K, hàm số y = f(u) liên tục cho hàm số hợp f(u(x)) xác định K ; hai số a b thuộc K
( ) ( )
[ ( )] '( ) ( )
u b b
a u a
f u x u x dx f u du
1 Phương pháp đổi biến số dạng : Sử dụng cho tích phân có dạng
b a
dx x u x u
f[ ( )] '( )
*Phương pháp:
+ Chọn biến t = u(x) dt = u’(x)dx
+ Đổi cận: Khi x = a t = u(a), x = b t= u(b) + Chuyển tích phân theo biến mới
Khi b a
dx x u x u
f[ ( )] '( ) =
) (
) (
) (
b u
a u
dt t f
* Khi đặt t = u(x) cần ý vấn đề sau:
Hàm số t = u(x) có đạo hàm liên tục đoạn a b; Hàm số hợp f(u(x)) xác định đoạn a b;
Khi ta có:
b a
dx x u x u
f[ ( )] '( ) =
) (
) (
) (
b u
a u
dt t f
Ý nghĩa việc đổi biến số tốn:
+ Thay việc tính tích phân khó tích phân dễ + Phát đặt t = u(x) cho thích hợp tốn
(8)Bài 1: Tính tích phân sau : a) (2 1)
I x dx
Giải Đặt t = 2x + dt = 2dx x
2
dt d
Khi x = t =1; x = t =3
3
(2 1)
I x dx =
3 3 1 10 t
t dt
b) ln e e dx J x x Giải Đặt t = lnx dt dx
x
dx = x.dt ; Khi x = e t =1; x = e2 t = ln e e dx J x x = 2 1
ln ln ln1 ln
dt t
t
Bài 2: Tính tích phân: e dx x ln x x ln I Giải Đặt t = 12lnx t2 = + 2lnx tdt =
x
dx 2lnx = 2 t2
với x = t = 1; với x = e t =
e t tdt ) t (
I =
e
2)dt
t
( = 3 12
3 t
t =
3
4
Bài 3: Tính tích phân
4
2x
I dx
1 2x
Giải Đặt t 2x 1 t2 2x 1 2tdt 2dx dx tdt Đổi cận t(4) = 3, t(0) =
4 2
0 1
2x t
I dx dt t dt
1 t t
1 2x
t
I t ln t ln2
(9)Bài 4: Tính tích phân I 073x 2dx x Giải: Đặt t 3x 1 x t3 1 dx 3t dt2
x t 31.Đổi cận t( 0) = ; t (7 ) =
Vậy
2
3 5 2
2 2 4
1
1
t 3t t t 231
I dt t t dt
t 10
Bài 5: Tính tích phân I = 10 dx x x x Giải Đặt t x t2 x dx 2tdt
Đổi cận x = t0; x = t1 dt t t t dt t t
I
2 2 90 10 ) ( 1 3 ln 30 10 t t t t
= 30ln2
3 62 ln 30 62
Bài : Tính tích phân
2 1 x I dx x Nhờ kết quả:
2 2 1
víi x
1
x x
x x
x
; (x x
)’ = 12
x
(x x
)2 =
2 x x
Đặt
2
2
1 1
dt = - ; t = x + +
x x
t x dx
x ; 2; t 5 2 2
1 (t+ 2) ( 2)
2 2 ( 2).( 2)
dt t
I dt
t t t
2
1 (5 2).(2 2)
ln / = ln
2 2 2
t t
(10)Bài 7: Tính tích phânI tan x4 dx
cos2x
Giải
4 tan x
I dx
cos2x
= tan x(1 tan x)4 2 dx
1 tan x
Đặt t = tanx dt 1 tan x dx2 Đổi cận : x = 0, t = 0; x6 t 33
3
2
t
I dt
1 t
=
3 3
3 3
2
2
0
1 1 t
t dt t t ln
3 t
t
3 3 10
ln ln
27 3 27
Bài 8: Tính tích phân
sin
I x tgxdx
Giải:
/ /
2
0
sin x I sin xtgxdx sin x dx
cosx
2 /
0
1 cos x sin x
I dx
cosx
Đặt u cosx du sin xdx Đổi cận u 1,u 0
3
2
1/
1 u du I
u
=
1
1
1/ 1/
1 u du ln u u ln2
u
2 Phương pháp đổi biến số dạng * Giả sử cần tính tích phân: ( )
b a
f x dx
Bước 1: Chọn x = u(t) thích hợp với tốn Bước 2: Lấy vi phân dx = u’(t)dt
Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t dt giả sử g(t)dt sau tính cận
;
(11)Bước 4: Tính tích phân I= g t dt( )
thay cho việc tính tích phân
Như vấn đề toán dạng vận dụng phương pháp đổi biến số việc chọn ẩn phụ dựa vào dấu hiệu gì? Ta phải tìm hiểu tốn cho để phát điều Việc đặt ẩn phụ đa dạng tuỳ thuộc vào hàm số cho dấu tích phân; nhiều cịn phụ thuộc vào cận a b
Dưới số dấu hiệu gợi ý đặt ẩn phụ dạy học sinh giải bài tập tính tích phân.
* Khi đặt x = u(t) cần ý vấn đề sau:
+ x = u(t) hàm số liên tục có đạo hàm đoạn a b; + Hàm số hợp f(u(t)) xác định đoạn a b;
+ u a ;u b
Khi ta có: ( ) ( ( )) '( ) b
a
f x dx f u t u t dt
* Ý nghĩa việc đổi biến số toán:
+ Thay việc tính tích phân khó tích phân dễ
+ Phát đặt x = u(t) cho vấn đề then chốt phương pháp giải tốn tính tích phân
Giáo viên cho học sinh nhận xét giả thiết để tăng cường khả phát lời giải dựa số gợi ý:
(12)G I Ý V CÁCH CH N BI N S C A M T S HÀM SỢ Ề Ọ Ế Ố Ủ Ộ Ố Ố
Hàm số dấu tích phân
Cách chọn Biểu thức cần tính * a2 x2
* a sin ; ;
2
x t t
2 cos
a x a t * 2
a b x * asin ; ;
2
x t t
b
2 2
cos
a b x a t * a2 x2
* atan ; ;
2
x t t
2
cos
a
a x
t
*
2 2
1
; 1, 2,
n n
a b x *
a
tan ; ; 2
x t t
b
2 2
1
1 tan
n n n
a b x a t
Bài 1: Tính tích phân I =
1
2
1 x dx
(đổi biến số theo sint)
Vấn đề then chốt toán dạng đổi biến số nào? lại nghĩ đến việc đổi biến số?
Giáo viên dẫn dắt học sinh dựa vào đặc điểm hàm số dấu tích phân cụ thể hàm số y=
1 x có tập xác định 1;1 ta liên tưởng đến tập giá trị hàm số lượng giác sinx cosx Chẳng hạn cách đặt ẩn phụ dẫn đến việc đổi biến số tính tích phân sau: Đặt x = sint với ;
2
t
dx = costdt Giải
Đặt x = sint với ; 2
t
dx = costdt Đổi cận: Khi x = t = 0; x = t =
2
I= 2
cos dt t
2
1 cos 2
t dt
= 02
1
sin
2 t t
=4
(13)Bài 2: Tính tích phân I =
1
2
0
4
x x dx
(đổi biến số theo sint) Giải
Đặt sin
x t, với ; 2
t
2 cos
dx t dt ; 4 3x2 2 cost
Đổi cận: Khi x = t = 0; x =
t
I= 3
0
4
sin d cos d
3 3
I t t t t
Bài 3: Tính tích phân J =
1 01
dx x
(đổi biến số theo tant)
Với toán hàm số dấu tích phân ta liên hệ với cơng thức:
2
1 tan
cos
x
x
1
tan '
cos
x
x
Nhờ dấu hiệu ta có suy nghĩ tới việc đổi biến số sau: Đặt x = tant với ;
2
t
dx =
dt
cos t = (1 + tan
2t)dt
Giải Đặt x = tant với ;
2
t
dx =
dt
cos t = (1 + tan
2t)dt
Đổi cận : Khi x = t = 0; x = t =
2 01
dx x
4
2
0
0
1
1 tan
1 tan t t dt dt t|
Bài 4: Tính tích phân
1
0
dx K
x x
(14)Ta có
2
2 1
2
x x x
Đặt tan
2
x t với ;
2
t
2
3
tan
2
dx dt t dt
cos t
Đổi cận : Khi x = t =
; x = 1
t
2
0
dx
x x
= tan tan t dt t = 3 6
2 3
3 dt t
Bài 5: Tính tích phân
1
2
J x x x dx (đổi biến số theo tant) Giải:
Đặt: tan ; ; 2 ; 2
2 cos cos
dt
x t t dx x x
t t
0 0
3
4 4
tan sin
cos cos cos
t t dt
J dt dt
t t t
1
3
1
1 2
3cos t J J
0 sin
1 2 2
1
2
1
1
1 1
t u du u u
J du
u u u u
0 0
2
1 1
2 2
1
4 1 1 1
du du du
u u u u 0 2 2
1 1 1
2ln 2ln
4 1 1
1 1
2 2ln 4ln
4
u u u
u u u u u
(15)3 Một số trường hợp thường gặp cho ta dấu hiệu để đổi biến hợp lý Loại 1: Dùng ẩn phụ t tan x
2 cho hàm số có dạng: m x h x p x b x a x f cos sin cos sin ) (
Ví dụ: Tính tích phân
2 dx I
sinx 2cosx (đổi biến số theo tan x 2) Giải:
Đặt t tan x
2 ; x 2; 2
dx x
dt tan dx t dx
x 2
2cos x t1; x t 1
2 I =
1 1
2
1 1 2
2
2dt
dt dt
1 t 2 2
t 2t
2t 2 t 3 t
1 t t
Đặt t + = 2tanu dt 22 du tan u du
cos u
t u t u
4
I=
4 4
2
0
2 tan u du
du 4 tan u
Loại 2: Dựa vào cận tích phân tính chất hàm số dấu tích phân. Ta xét số toán cụ thể thường gặp sau đây:
Bài toán 1:
Nếu f(x) hàm số liên tục a a; (a > 0) đó: + Nếu f(x) hàm số chẵn a a;
0
( ) ( )
a a
a
f x dx f x dx
+ Nếu f(x) hàm lẻ a a;
0
0
0
a a
a a
f x dx f x dx f x dx
Thật đổi biến t = - x ta chứng minh
0
0 a a
f x dx f x dx
(16)Ví dụ: Tính tích phân
1
2
ln
I x x dx
Giải: Xét hàm số f x lnx 1 x2
liên tục đoạn 1;1 Ta có: f x f x ln 1 ln 1
x x x
x = ln 1 1
x x x
x = ln1
=
ln
x x2 1 ln x x2 1 Vậy f(x) hàm số lẻ đoạn 1;1
1
2 2
1
ln ln ln 1
I x x dx x x dx x x dx K H
Tính tích phân K cách đổi biến t = -x ta có:
0 1
2 2
1 0
ln ln ln ln
K x x dx t t dt t t dt x x dt
Từ (1) (2) suy
1
2
ln
I x x dx
Bài toán 2:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó:
0 ( ) ( ) a a x a f x
dx f x dx
b
(1b>0, a >0)
Thật vậy, xét tích phân ( ) 1 a x a f x I dx b
với phép đổi biến t = - x ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
a a a t a x
x t t x
a a a a
f x f t b f t b f x
I dx dt dt dx
b b b b
Cộng (1) (2) theo vế ta có : ( ) ( )
1
a a x a
x x
a a a
f x b f x
I dx dx f x dx
b b a a a
I f x dx f x dx
Ví dụ: Tính
1 11
(17)1 4
1
(1) 2x 2x 2x
x x x
I dx dx dx
Xét tích phân
0
11 x x I dx
với phép đổi biến t = - x ta có:
4
0 4
1
1 0
.2
1 2 2
t x
x t t x
t
x t x
I dx dt dt dx
(2)
thay (2) vào (1) ta có :
4
1
4
0
1
1
x x
x
I dx x dx
Bài toán 3:
Nếu y = f(x) liên tục 0;
2 ) (cos ) (sin dx x f x f
Thật vậy: Đổi biến t =
- x ta có :
/ / /
0 0
(sin ) (cos ) (cos )
f x dx f t dt f x dx
Ví dụ: Tính tích phân: I=
2
3
7 sin 5cos sin cos x x dx x x Giải 2 3 0 sin cos
7
sin cos sin cos
xdx xdx
I I I
x x x x
Đổi biến: ; ;
2 2
t x dt dx x t x t
2 2
1 3 3
0 0
sin
sin cos cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
t dt
xdx tdt xdx
I I
x x t t t t x x
chứng minh I1=I2 suy ra:
2
1 2
2
0
1
tan
2
sin cos 2cos 0
4
dx dx
I I x
x x x
Vậy ta có: I1= I2 =2
1
(18)Nếu y = f(x) liên tục đoạn 0;1 (sin ) (sin )
x f x dx f x dx
Thật đổi biến x t dxdt ta có (sin ) (sin )
x f x dx f x dx
Ví dụ: Tính tích phân sin cos x x I dx x Giải 2
0 0
.sin sin
sin
4 cos sin
x x x x
I dx xf x dx
x x
đổi biến : x t dxdt ; x = t = ; x = t =
2 2
0
0 0
cos cos
.sin sin cos ln
ln
4 cos cos cos cos 4 cos
d t d t
t t t t
I dt dt I I
t t t t t
Bài toán 5:
Nếu y = f(x) liên tục đoạn a b; f(a + b – x) = - f(x) ( )
b a
I f x dx Thật đổi biến: x a b t dx dt x a; t b x b ; t a
( ) ( ) ( ) ( ) 0
b a b b
a b a a
f x dx f a b t dt f t dt f x dx I I I
Ví dụ: Tính tích phân
0
1 sin x I ln dx
1 cos x
Đổi biến:
2
t a b x x x Đổi cận: ;
2
x t x t
2 2
0 0
1 sin t
1 sin x cos t I ln dx ln dx ln dt
1 cos x 1 cos t sin t 2 0
1 sin t sin t
I ln dx ln dx I 2I I cos t cos t
* Chú ý: Nếu y = f(x) liên tục đoạn a b; ( ) ( )
b a
a b
I f x dxf a b x dx
Thật đổi biến: x a b t dx dt x a; t b x b ; t a
Ví dụ: Tính tích phân I = 4
0
ln tan x dx
(19)Giải
Đổi biến:
4
t a b x x x dt dx
x = t = /4 ; x = /4 t = 0
0
I ln tan t dt
=
4
1 tan t ln dt
1 tan t
=
4
2 ln dt
1 tan t
=
4
0
ln 2dt ln tan t dt
0
I ln t I
(20)IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Kết từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải
Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập tích phân phương pháp đổi biến số
2 Kết thực nghiệm:
Sáng kiến áp dụng năm học 2009 - 2010
(21)xếp loại đối tượng
Giỏi Khá Tb Yếu
12A1 20% 40% 30% 10%
12A5 5% 20% 25% 50%
Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải tốn tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề khơng tính rập khn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh
V KẾT LUẬN
Tích phân chủ đề rộng lớn giải tích lớp 12 nên quanh có nhiều vấn đề cần bàn tới Riêng việc tính tích phân có nhiều phương pháp tính mà phương pháp đổi biến số Qua toán cho thấy khai thác tốt giả thiết học sinh dễ tìm lời giải giả thiết chứa gợi ý cho lời giải Vấn đề tìm lời giải điều kiện cần để giải tốn cịn trình bày lời giải điều kiện đủ Như khai thác triệt để giả thiết toán giải biện sư phạm cho việc tăng cường khả giải vấn đề cho học sinh phổ thông Đề tài không tránh khỏi hạn chế, mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn!
Người thực
(22)TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nguyễn Huy Đoan Chủ biên – NXB GD – 2008)
2 Dùng ẩn phụ để giải toán (Nguyễn Thái Hòe – NXB Giáo dục)
3 Kiến thức giải tích 12 (Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002) 4 Phương pháp giải tốn Tích phân Giải tích tổ hợp (Nguyễn Cam – NXB Trẻ )
5 Phương pháp giải tốn Tích phân (Trần Đức Hun – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục)
6 Phương pháp giải tốn Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005)
Archimedes (287 –212 trước Cơng ngun) thểtích đại số, hàmsố hay t vi phân tốn học giải tích, Leibniz (1646 –1716) Isaac Newton (1642 –1727) , vật lý thiên văn học. J B Fourier (1768 –1830) Fourier hàm lượng giác Yhọc , âm nhạc ngôn ngữ học. Gauss (1777 –1855) Cauchy (1789 –1857) (1826 –1866) Lebesgue (1875 –1941) e (1809 –1882) 1822 –1901) 1940 bởi A M Ostrowski. kỷ 20, G N Watson, E C Titchmarsh, E W Barnes, H Mellin, C S.Meijer, W Grobner, N Hofreiter, A Erdelyi, L Lewin, Y L Luke, W Magnus, A Apelblat, F Oberhettinger, I S Gradshteyn, H Exton, H M Srivastava, A P.Prudnikov , Ya A Brychkov , O I Marichev. 1969, R H Risch 1980 1990 à Mathematica , Maple,