SKKN: Giúp học sinh lớp 11 tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng

Mục tiêu của đề tài là rút ra được một số kinh nghiệm nhỏ trong việc hướng dẫn, giúp học sinh giải các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Một thao tác hết sức quan trọng mà học sinh cần phải có đó là xác định đúng hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng cho trước. Vì vậy, trong bài viết này, tôi tập trung vào việc giúp học sinh xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng từ đó tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Tốn lớp 11 nay, phần hình học không gian làm cho phần lớn học sinh cảm thấy chán nản, khó hiểu tiếp xúc với mơn học đòi hỏi nhiều kỹ tư trừu tượng cao Một khó khăn mà học sinh hay gặp phải khác hình phẳng hình học khơng gian Khi xét quan hệ vng góc tốn liên quan, hình học phẳng, hình vẽ mang tính trực quan, hai đường thẳng vng góc cắt Nhưng tốn quan hệ vng góc không gian, học sinh phải dựa định nghĩa, định lí hình biểu diễn để tìm lời giải nên học sinh gặp nhiều khó khăn Một tốn quan trọng quan hệ vng góc khơng gian tốn khoảng cách, xuất hầu hết đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi đề thi THPT quốc gia năm gần Mặc dù vậy, lại phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú, có khả tổng hợp kiến thức quan hệ song song lẫn quan hệ vng góc khơng gian, tốn định tính, định lượng hình học phẳng Xuất phát từ lí lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Giúp học sinh lớp 11 tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy, với số năm kinh nghiệm, rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn, giúp học sinh giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Một thao tác quan trọng mà học sinh cần phải có xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng cho trước Vì vậy, viết này, tơi tập trung vào việc giúp học sinh xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng từ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu tơi cách tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp điều tra giáo dục - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) - Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) kí hiệu là: d(M; (P)) = MH 2.1.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song - Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm đường thẳng a đến mặt phẳng (P) - Kí hiệu khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với là: d(a;(P)) d(a,(P)) = d(M,(P)) ví i M ∈ a 2.1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a,b) = MN 2.1.4 Một số nhận xét - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng cịn lại - Nếu MI ∩ (P) = { N} d(M,(P)) MN = d(I,(P)) IN 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng dạy học hình học khơng gian lớp 11 nói chung khoảng cách nói riêng trường THPT thể số điểm sau: Thứ nhất: Đối với giáo viên, để giúp học sinh nắm vững lý thuyết vận dụng lý thuyết vào giải tốn khoảng cách thường cần nhiều thời gian công sức Trong năm gần đây, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng đề thi THPT quốc gia toán khoảng cách xuất nội dung khó, có tính phân loại cao Trong đó, chiếm từ 5% 10% tổng số điểm thi Vì vậy, nhiều giáo viên cịn có tâm lý xem nhẹ, ngại dạy toán Thứ hai: Đối với học sinh, để làm tốt tốn khoảng cách địi hỏi em phải nắm kiến thức hình học phẳng chứng minh hai tam giác nhau, định lý Pi-ta-go, hệ thức lượng tam giác vuông, định lý cosin khả tư trừu tượng, quan sát hình biểu diễn, tổng hợp, phân tích định nghĩa, định lí hình học khơng gian Trong đó, trường tơi lại nằm vùng kinh tế nơng, hầu hết gia đình em có hồn cảnh khó khăn nên quan tâm gia đình việc học tập em nhiều hạn chế, chất lượng đầu vào thấp Chính vậy, hầu hết học sinh, chí số học sinh giỏi cịn có tâm lý chán nản học tốn khoảng cách Thứ ba: Bài “Khoảng cách” sách giáo khoa lớp 11 chương trình phân phối ba tiết, hai tiết lí thuyết tiết tập Với thời lượng vậy, giáo viên khó vừa giảng dạy lí thuyết vừa giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào giải tập Các ví dụ tốn đưa sách giáo khoa mang tính tổng quan, giới thiệu chưa rõ ràng, chi tiết theo bước cụ thể nên học sinh khó tiếp thu, cảm thấy lúng túng, em hiểu cách giải nên đâu áp dụng để giải toán Qua kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kì lớp 11B3 thấy học sinh thường không làm tập phần Vì điểm kiểm tra thường thấp so với phần học khác Cụ thể kết kiểm tra 45 phút lớp 11B3 trước chưa đưa phương pháp sau: Lớp 11B3: ( Tổng số HS :40) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 12,5 14 35,0 15 37,5 15,0 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Bài toán tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng Bài tốn: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) Tìm hình chiếu điểm A lên mặt phẳng (SBC) Từ suy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Phân tích hướng giải: Để tìm hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (SBC) ta thực sau: - Bước : SA ⊥ (ABC) Chọn mp(ABC) mặt phẳng chứa A cho A hình chiếu điểm S lên mặt phẳng (ABC), với : - Bước : Tìm giao tuyến (ABC) (SBC) Trong mp(ABC) Từ A, kẻ I - Bước : C/m - Bước : Trong mp(SAI), kẻ AH ⊥ SI H - Bước 5: C/m H hình chiếu A lên mp(SBC) d(A,(SBC)) = AH Giải: Trong mp(ABC), kẻ AI ⊥ BC I Ta lại có : SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAI) Trong mp(SAI), kẻ AH ⊥ SI H BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC) Do đó: H hình chiếu A lên mp(SBC) hay d(A;(SBC)) = AH 2.3.2 Các ví dụ a Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a Gọi H trung điểm AI Biết SH ⊥ (ABCD) , tam giác SAC vng S Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Phân tích hướng giải: Vì SH ⊥ (ABCD) nên để tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ta áp dụng tốn Vì SH ⊥ (ABCD) nên ta chọn mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng chứa H cho H hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) với S ∈ (SCD) Giao tuyến (SCD) (ABCD) đường thẳng CD Trong mặt phẳng (ABCD), từ H kẻ HM ⊥ CD M Từ đó, chứng minh CD ⊥ (SHM) Trong mp(SHM), kẻ HN ⊥ SM N Ta chứng minh HN ⊥ (SCD) hay N hình chiếu H lên mp(SCD) Từ suy ra, d(H,(SCD)) = HN Giải Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ HM ⊥ CD M Ta có: SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ CD Suy CD ⊥ (SHM) Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HN ⊥ SM N Ta lại có, CD ⊥ (SHM) (c/m trên) ⇒ CD ⊥ HN Suy ra, HN ⊥ (SCD) hay N hình chiếu H lên mp(SCD) Từ suy ra, d(H, (SCD)) = HN Vì SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ HM Suy ra, tam giác SHM vng H Trong mp(ABCD) có : HM ⊥ CD,AD ⊥ CD ⇒ HM / /AD HM CH = (Đ ịnh líTa-lét) AD CA HM 3 3a ⇒ = ⇒ HM = AD = AD 4 Tam giác SAC vng S có SH đường cao nên : 3 a SH = AH.CH = AC = a ⇒ SH = 16 Ta lại có, tam giác SHM vng H có HN đường cao nên : 1 52 3a 39 3a 39 = + = ⇒ HN = ⇒ d(H,(SCD)) = 2 2 HN SH HM 27a 26 26 · Bài 2(A-2013) : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC = 300 SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Phân tích hướng giải : Vì (SBC) ⊥ (ABC),(SBC) ∩ (ABC) = BC nên mp(SBC) ta kẻ đường thẳng vng góc với BC đường thẳng vng góc với mp(ABC) Ta lại có, SBC tam giác nên hình chiếu S lên mp(ABC) trung điểm H BC Vì SH ⊥ (ABC) nên ta tìm cách để tính khoảng cách từ C đến mp(SAB) thơng qua khoảng cách từ H đến mp(SAB) cách tìm mối liên hệ chúng Ta có: CH ∩ (SAB) = { B} nên : d(C,(SAB)) BC d(C,(SAB)) = ⇔ = ⇔ d(C;(SAB)) = 2d(H,(SAB)) d(H,(SAB)) BH d(H,(SAB)) Như vậy, toán lúc chuyển toán Vì SH ⊥ (ABC) nên ta chọn mp(ABC) mặt phẳng chứa H cho H hình chiếu S lên mp(ABC) với S ∈ (SAB) Giao tuyến (SAB) (ABC) đường thẳng AB Trong mp(ABC), kẻ HK ⊥ AB K Ta chứng minh AB ⊥ (SHK) Trong mp(SHK), kẻ HI ⊥ SK I Từ ta chứng minh HI ⊥ (SAB) ⇒ I hình chiếu H lên mặt phẳng (SAB) hay d(H ;(SAB))=HI Từ suy d(C, (SAB)) Giải Gọi H trung điểm BC Tam giác SBC nên SH ⊥ BC Ta lại có, (SBC) ⊥ (ABC),(SBC) ∩ (ABC) = BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Vì CH ∩ (SAB) = { B} nên : d(C,(SAB)) BC d(C,(SAB)) = ⇔ = ⇔ d(C;(SAB)) = 2d(H,(SAB)) d(H,(SAB)) BH d(H,(SAB)) ⇒ Trong mp(ABC), kẻ HK ⊥ AB K Ta lại có: AB ⊥ SH (do SH ⊥ (ABC) ) ⇒ AB ⊥ (SHK) Trong mp(SHK), kẻ HI ⊥ SK I Ta có : HI ⊥ SK,HI ⊥ AB (vì AB ⊥ (SHK) ) ⇒ HI ⊥ (SAB) ⇒ I hình chiếu H lên mặt phẳng (SAB) ⇒ d(H ;(SAB)) = HI a AC = BCsin 300 = Ta có, mp(ABC) : HK ⊥ AB, AC ⊥ AB ⇒ HK / /AC Mặt khác, ∆ABC có HK//AC, H trung điểm BC nên K trung điểm AB Suy HK đường trung bình ∆ABC AC a a ⇒ HK = = , SH = Vì SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ HK Suy ∆SHK vuông H Tam giác SHK vng H có HI đường cao nên: 1 52 a 39 a 39 = + = ⇒ HI = ⇒ d(H,(SAB)) = HI HK SH 3a 26 26 a 39 ⇒ d(C;(SAB)) = 13 Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, BD = 2a, tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a Tính theo a khoảng cách từ B đến mp(SAD) Phân tích hướng giải : Ta có: (SAC) ⊥ (ABCD), (SAC) ∩ (ABCD) = AC, mp(SAC) kẻ SH ⊥ AC H ⇒ SH ⊥ (ABCD) Như vậy, ta tính khoảng cách từ B đến mp(SAD) gián tiếp thông qua khoảng cách từ H đến (SAD) cách tìm mối liên hệ chúng Ta có, BC//AD nên BC//(SAD) ⇒ d(B,(SAD)) = d(C,(SAD)) Ta lại có, CH ∩ (SAD) = { A} nên: d(C,(SAD)) AC AC = ⇒ d(C;(SAD)) = d(H,(SAD)) d(H,(SAD)) AH AH AC ⇒ d(B,(SAD)) = d(H,(SAD)) AH Lúc toán cho chuyển tốn Vì SH ⊥ (ABCD) nên ta chọn mp(ABCD) mặt phẳng chứa H cho H hình chiếu S lên mp(ABCD) với S ∈ (SAD) Giao tuyến (SAD) (ABCD) đường thẳng AD Trong mp(ABCD), kẻ HK ⊥ AD K, ta chứng minh AD ⊥ (SHK) Trong mp(SHK), kẻ HJ ⊥ SK J Chứng minh HJ ⊥ (SAD) Suy ra, J hình chiếu H lên mp(SAD) hay d(H,(SAD)) = HJ suy d(B,(SAD)) Giải: Ta có : (SAC) ⊥ (ABCD), (SAC) ∩ (ABCD) = AC, mp(SAC) kẻ SH ⊥ AC H ⇒ SH ⊥ (ABCD) Vì BC//AD nên BC//(SAD) Suy ra: d(B,(SAD)) = d(C,(SAD)) Vì CH ∩ (SAD) = { A} nên: d(C,(SAD)) AC = d(H,(SAD)) AH AC ⇒ d(C;(SAD)) = d(H,(SAD)) AH AC ⇒ d(B,(SAD)) = d(H,(SAD)) AH SA.SC a a AC SA = AC − SC2 = a,SH = = ,AH = SA − SH = ⇒ =4 AC 2 AH ⇒ d(B,(SAD)) = 4d(H,(SAD)) Trong mp(ABCD), kẻ HK ⊥ AD K Ta có: SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AD Suy AD ⊥ (SHK) Trong mp(SHK), kẻ HJ ⊥ SK J Mặt khác, AD ⊥ (SHK) ⇒ AD ⊥ HJ Do đó, HJ ⊥ (SAD) hay J hình chiếu H lên mp(SAD) ⇒ d(H,(SAD)) = HJ a Vì SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ HK Suy ∆SHK vuông H Tam giác SHK vng H có HJ đường cao nên : 1 28 a 21 a 21 = + = ⇒ HJ = ⇒ d(H,(SAD)) = HJ SH HK 3a 14 14 2a 21 ⇒ d(B,(SAD)) = Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) theo a Phân tích hướng giải : Vì A ' ∈ IC nên A ' ∈ (IBC) Ta lại có: AA ' ⊥ (ABC) nên toán cho chuyển toán Tam giác AHK vuông cân K nên HK=AHsin450 = Vì AA ' ⊥ (ABC) nên ta chọn mặt phẳng (ABC) mặt phẳng chứa A cho A hình chiếu A’ lên mp(ABC) với A ' ∈ (IBC) Giao tuyến (IBC) (ABC) đường thẳng BC Trong mp(ABC), kẻ AJ ⊥ BC J AB ⊥ BC (tam giác ABC vuông B) nên J ≡ B Ta chứng minh BC ⊥ (A 'AB) Trong mp(A’AB), kẻ AH ⊥ A 'B H Chứng minh AH ⊥ (IBC) Từ suy H hình chiếu A lên mp(IBC)) hay d(A ;(IBC)) = AH Giải BC ⊥ AB Ta có: (do tam giác ABC vng B) Ta lại có: AA ' ⊥ (ABC) (do ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) ⇒ BC ⊥ A 'A ⇒ BC ⊥ (A 'AB) Trong mp(A’AB), kẻ AH ⊥ A 'B H Ta cã: AH ⊥ A 'B,BC ⊥ (A 'AB) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (IBC) H hì nh chiếu A lên mp(IBC) ⇒ d(A,(IBC)) = AH Vì AA ' ⊥ (ABC) nên AA ' ⊥ AB Suy ∆A 'AB vuông A Tam giác A’AB vng A có AH đường cao nên: 1 2a 2a = + = ⇒ AH = ⇒ d(A;(IBC)) = 2 AH A 'A AB 4a 5 Nhận xét: Nghiên cứu đề tuyển sinh ĐH – CĐ đề thi THPT quốc gia năm gần đây, nhận thấy dạng toán khoảng cách thường sử dụng kì thi Đặc biệt tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (P) Do đó, ta tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Sau đây, trình bày số tốn mở rộng từ cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo vận dụng nhận xét b Bài toán mở rộng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thơng qua tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu A’ lên mặt đáy (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC, góc (ABB’A’) mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB CC’ Phân tích hướng giải: Gọi I trung điểm AB Khi đó, CI ⊥ AB (do ∆ABC đều) Ta chứng minh · 'IC = 600 A 'I ⊥ AB Suy góc (ABB’A’) (ABC) góc A Để tính khoảng cách hai đường thẳng AB CC’ ta cần xác định phẳng chứa AB song song với CC’ mặt phẳng chứa CC’ song song với AB Vậy để giải toán này, nên chọn hướng giải nào? Vì CC’//BB’ nên CC’//(ABB’A’) Mặt khác, AB ⊂ (ABB'A ') nên d(AB; CC’) = d(CC’; (ABB’A’)) = d(C; (ABB’A’)) Ở ta lại chọn: d(AB; CC’) = d(C; (ABB’A’)) mà d(C’ ;(ABB’A’)) hay khoảng cách từ điểm khác đến mp(ABB’A’)? Vì A 'O ⊥ (ABC),CO ∩ (ABB'A ') = { I} nên ta chọn điểm C, thay cho việc tính khoảng cách từ điểm C đến mp(ABB’A’) ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(ABB’A’) cách tìm mối liên hệ chúng đưa tốn cho toán Giải Gọi I trung điểm AB Ta có: CI ⊥ AB (do ∆ABC tam giác đều) Ta lại A có: 'O ⊥ (ABC) ⇒ A 'O ⊥ AB Do đó: AB ⊥ (A 'OI) ⇒ A 'I ⊥ AB Suy góc · 'IC = 600 (ABB’A’) (ABC) góc A Ta có: CC’//BB’ nên CC’//(ABB’A’) Mặt khác, AB ⊂ (ABB'A ') nên d(AB; CC’) = d(CC’; (ABB’A’)) = d(C; (ABB’A’)) Vì CO ∩ (ABB'A ') = { I} nên : d(C,(ABB'A ')) IC = d(O;(ABB'A ')) IO d(C,(ABB'A ')) ⇒ =3 d(O;(ABB'A ')) ⇒ d(C,(ABB'A ')) = 3d(O,(ABB'A ')) Trong mp(A’OI), kẻ OH ⊥ A 'I H Ta lại có : AB ⊥ (A 'OI) ⇒ AB ⊥ OH Do đó: OH ⊥ (ABB'A ') ⇒ H hình chiếu O lên mp (ABB’A’) ⇒ d(O,(ABB’A’)) = OH ⇒ d(C,(ABB’A’)) = 3OH a a a CI = ⇒ OI = ,A 'O = OI tan 600 = Vì A 'O ⊥ ( ABC ) nên A 'O ⊥ OI Suy ∆A 'OI vuông O Tam giác A’OI vng O có OH đường cao nên : 1 16 a 3a 3a = 2+ = ⇒ OH = ⇒ d(C,(ABB'A ')) = ⇒ d(AB;CC') = 2 OH OI A 'O a 4 Bài (A- 2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60° Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Phân tích hướng giải: Vì SH ⊥ (ABC),BC ⊂ (ABC) nên để tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC, ta xác định mặt phẳng chứa SA song song với BC Tức là, ta phải xác định đường thẳng song song với BC đồng phẳng với SA Tuy nhiên, ta tìm hình vẽ BB’//CC’ hình vẽ chưa xuất đường thẳng song song với BC đồng phẳng với SA Do đó, ta có cách làm sau: Trong mp(ABC), lấy điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Khi đó: BC / /AD ⇒ BC//(SAD) Suy ra: d(SA; BC) = d(BC; (SAD)) Vì SH ⊥ (ABCD) , BH ∩ (SAD) = { A} nên ta chọn d(BC;(SAD)) = d(B;(SAD)) Sau đó, ta chuyển từ tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAD) sang tính khoảng cách từ H đến mp(SAD), để đưa toán toán Giải · Ta có : SH ⊥ (ABCD) nên góc SC mp(ABC) SCH = 600 Trong mp(ABC), ta lấy điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Khi đó: BC / /AD ⇒ BC//(SAD) Suy ra: d(SA;BC) = d(BC; (SAD)) = d(B; (SAD)) = d(H;(SAD)) Trong mp(ABCD), kẻ HK ⊥ AD K Ta lại có : AD ⊥ SH (vì SH ⊥ (ABC) ) Do đó: AD ⊥ (SHK) Trong mp(SHK), kẻ HI ⊥ SK I Ta lại có : AD ⊥ (SHK)(c/m trªn) ⇒ HI ⊥ AD Do đó, HI ⊥ (SAD) Suy I hình chiếu H lên mp(SAD) ⇒ d(H;(SAD)) = HI · · Vì ∆ABC nên tứ giác ABCD hình thoi ⇒ DAB = 1200 ⇒ HAK = 600 2a AH = AB = 3 a 7a a 2 HK = AHsin 60 = ,CH = BH + BC − 2BH.BCcos 60 = ⇒ CH = a 21 SH = CH tan 600 = VìSH (ABC) nên SH HK Suy SHK vuông H Tam giác SHK vuông H có HI đờng cao nên: 1 24 a 42 a 42 = + = ⇒ HI = ⇒ d(H,(SAD)) = HI HK SH 7a 12 12 a 42 ⇒ d(SA;BC) = 2.3.3 Bài tập áp dụng Bài (B-2011): Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD 1A1) (ABCD) 60° Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a a ĐS: d(B1, (A1BD)) = Bài (B-2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) a 21 ĐS: d(A, (SCD)) = Bài (A, A1-2014): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = 3a/2, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) ĐS: d(A; (SBD)) = 2a/3 Bài (A-2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60° Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a 2a 39 ĐS: d(AB, SN) = 13 Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân C, cạnh AB · = 2a góc ABC = 300 Góc mặt phẳng (C’AB) mặt đáy (ABC) 60 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AC’ CB’ a ĐS: d(AC’, CB’) = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với cách làm tơi vừa trình bày trên, giáo viên cần phân tích hướng giải gợi mở vấn đề cho học sinh, học sinh chủ động phát điểm mấu chốt tốn để đưa toán phức tạp toán đơn giản Sau dạy xong chủ đề: “ Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng”, cho học sinh làm kiểm tra 45 phút sau: Đề bài: Bài (5đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc SC mặt phẳng (ABCD) 600, cạnh AC = a Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài (5đ): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 2a, · BAC = 600 , cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi M trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách SB CM Kết kiểm tra thể cụ thể sau: Lớp 11B3: ( Tổng số HS :40) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 7,5 22,5 17 42,5 20,0 7,5 Qua bảng trên, thấy kết học tập lớp 11B3 sau học xong chủ đề có thay đổi rõ rệt Từ chỗ chưa có học sinh đạt điểm giỏi chưa áp dụng cách làm mà tơi trình bày trên, áp dụng cách làm có học sinh đạt điểm giỏi Số lượng học sinh đạt điểm khá, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm yếu, giảm xuống Như vây, thành công bước đầu quan trọng cách làm cải thiện chất lượng học tập học sinh tạo hứng thú, say mê học sinh học phần kiến thức KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Bài tập tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo chương trình hình học 11 nói chung đa dạng, phong phú phức tạp Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thân có hiệu vào đối tượng học sinh yêu cầu người dạy người học phải không ngừng học hỏi tìm kiếm tri thức Riêng em học sinh phải cố gắng, chăm rèn luyện phát triển tư suy luận logic, phân tích vấn đề khái quát hố vấn đề, từ giải vấn đề cách khoa học, nhanh gọn bắt kịp với xu hướng học Trong khuôn khổ viết mình, tơi xin mạnh dạn đưa số tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo với cách phân tích hướng giải giúp học sinh đưa tốn cho tốn Từ đó, giúp em giải toán cách dễ dàng Kiến thức khoa học nói chung kiến thức tốn học nói riêng phong phú đa dạng Do đó, viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất kính mong ủng hộ nhiệt tình bạn đồng nghiệp góp ý cho tơi 3.2 Kiến nghị Đối với giáo viên : Trong học, cần thường xuyên kiểm tra học sinh định nghĩa, định lí, tính chất trọng tâm chương II chương III sách giáo khoa hình học 11 Trong học sinh làm tập, giáo viên cần quan sát đến chỗ ngồi em, đọc nháp em để định hướng, giúp đỡ, tháo gỡ khó khăn chỉnh sửa sai lầm làm Đối với nhà trường: Trong buổi họp tổ chuyên môn, giáo viên tổ chọn chủ đề mà giáo viên cịn gặp khó khăn giảng dạy học sinh lúng túng, chưa biết cách để làm tập để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy hệ thống tập hay lớp buổi họp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên Vũ Thị Phượng TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 11 NXB Giáo dục 2 Bài tập hình học 11 NXB Giáo dục 3.Giải tốn hình học 11 Nhà xuất Hà Nội Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Mơn Phương pháp giải tốn hình khơng gian 11 NXB Đà Nẵng Nguyễn Văn Dự Trần Quang Nghĩa - Nguyễn Anh Trường Tổng hợp đề thi đại học mơn tốn từ năm 2010 đến năm 2014 Nguồn internet MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1 1 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.1.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 2.1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.1.4 Một số nhận xét 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Bài tốn tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng 2.3.2 Các ví dụ a Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng b Bài tốn mở rộng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thơng qua tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.3.3 Bài tập áp dụng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2 2 2 4 6 11 13 14 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 11 TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG BẰNG CÁCH TÌM HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG Người thực hiện: Vũ Thị Phượng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2016 ... lí luận 2.1.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) - Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) kí... ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 11 TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG BẰNG CÁCH TÌM HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG Người thực hiện: Vũ Thị Phượng... thẳng a đến mặt phẳng (P) Do đó, ta tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Sau đây, tơi trình bày số tốn mở rộng từ cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng