Trờng THCS trần mai ninh đề thi học sinh giỏi năm học 2011-2012 Môn: Toán lớp Thời gian làm 120 phút Bài 1: a) Cho x, y thoả m·n: 2x + y3 = 3x2y, x ≠ y Tính giá trị biểu thức: x2 y2 A = (15 )(15 ) y x 4x 2 12 b) Giải phơng trình: x ( x 2) Bài 2: a) Tìm x, y nguyên thoả mÃn: ( x y 1)(2 x y x x) 105 b) Tìm tất số tự nhiên cã ba ch÷ sè abc cho abc = n2 cba =(n+2)2-1 Bài 3: a) Cho a,b,c dơng, a + b + c ≤ Chøng minh : 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab b) Cho: 1 S 1 5 1 S 1 5 1 S n 1 n 5 1 1 35 Chøng minh : 5S12 S 22 53 S 32 n S n2 36 S1 Bài : Cho tam giác ABC vuông A đờng cao AH I, K lần lợt giao điểm ba phân giác tam giác ABH tam giác ACH Đờng thẳng IK cắt AB M c¾t AC ë N Chøng minh : a) AM = AN b) Diện tích tam giác ABC lớn lần diện tích tam giác AMN Bài : Cho tam giác MNP vuông M, MP = 3MN Trên cạnh MP lấy hai điểm D E cho: MD = DE = EP Chøng minh: MPN +MEN = 450 Đáp án thang điểm: Bà i 1 ý Néi dung §iĨ m 1.a Từ 2x3 + y3 = 3x2y 2x3 + y3 - 3x2y = (2x + y) ( x- y)2 = Mà x ≠ y => 2x = - y suy 2x = -y Khi ®ã x y ; y x (15 7,0 4,0 1,5 1,5 1,0 x2 y2 1159 )( 15 ) (15 )(15 4) 289,75 2 4 y x 1.b 3,0 x2 4x 12 §KX§: x≠-2 ( x 2) 2 (x 0,5 2 2x 4x x 4x ) 12 ( ) 12 x2 ( x 2) x2 ( x 2) x t Ta có phơng trình: t2 + 4t -12 =0 (tx2 2)(t+6) = t = hc t = -6 x2 Víi t =2 th× 2 x2 -2x – 4= ( x-1)2 = x2 x 1 ; x Đặt 1,0 x2 x2 + 6x +12= ( x + x2 3) = -3 phơng trình vô nghiệm Vậy nghiệm phơng trình là: x ; x 1 0,5 0,5 Víi t = - th× 2a 0,5 1,5 Ta cã 105 số lẻ nên 2x+5y+1 số lẻ => 5y chẳn => y chẳn Mà x2 + x = x( x+1) chẳn nên y + x(x+1) chẳn => 0,5 2/x/ lẻ => x=0 Với x=0 ta đợc (5y +1)(y+1) =105.=> 5y2+ 6y -104 0,5 =0 =>(y- )(5y +26) =0 Mà y nguyên => y= Vậy x=0; y=4 nghiệm phơng trình 0,5 2,0 Ta có abc = n2 =>100a +10b + c = n2 2 cba =(n+2) - => 100c +10b + a = n +4n +3 0,5 2b => 99(c - a) =4n +3 => 4n +3 99 Mµ 100 ≤ n2 ≤ 999 => 10 ≤ n ≤ 31.=> 43≤ 4n +3 ≤127 => 4n +3 = 99 => n = 24 => abc = 576 0,5 0,5 0,5 2,5 a 1,5 2 Đặt x = a + 2bc; y=b + 2ac; z = c +2ab Ta cã: x +y +z =(a + b+ c)2 ≤ a+ b+ c ≤ ( v× a +b +c ≤ 1) 0,75 1 1 1 ( )( x y z ) 9 (®pcm) x y z x y z 0,75 b 1,0 Ta cã S n S n S n S1 S n2 S n2 S12 1 1 1 1 2 n n 5S1 S S Sn 5 5 1 1 n Đặt A = => 5A= 5 5 1 1 n 5 5 1 35 => 5A – A = 4A < =>A< 5n 36 (®pcm) 4 a 0,5 0,5 3,0 1,5 Ta cã ∆ABC vu«ng ë A; AH BC AE phân giác < BAC 0,75 Trong ∆AIK cã IQ AK; KP AI => E trực tâm 0,75 AIK => AE IK hay AE MN Trong AMN có AE đờng cao đồng thời phân giác nên AMN cân A => AM = AN.(®pcm) b 1,5 ∆AMN cã ¢= 900; AM = AN=> S AMN AM vµ < AMN =45 XÐt ∆AMI vµ ∆AHI cã: AI chung; < MAI = BC ≥ 2AH => SABC AH BC AH S ABC 2 S AMN 0,75 4,0 2 2 Ta cã ∆MNP vu«ng M nên ND = MN +MD = 2MN Mà MN= MD= DE=DP/2 =>ND2 = DE DP => ND DP DE ND 2,0 L¹i cã < NDE =