Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi và hội tụ đều trên các khoảng.. Kiểm tra tính tuyến tính của..[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ tên thí sinh:………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………
KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2) Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu
a. Cho dãy số thực Chứng minh chuỗi
hội tụ hội tụ b. Cho chuỗi hàm
Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi hàm
Tính tổng chuỗi hàm Câu
Cho không gian mêtric Trên ta định nghĩa
a. Chứng minh mêtric
b. Chứng minh không gian mêtric đầy đủ
không gian mêtric đầy đủ Câu
Cho hai không gian định chuẩn trường sở
là ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với dãy hội tụ dãy bị chặn Chứng minh ánh xạ tuyến tính liên tục Câu
Xét không gian Hilbert phức gồm tất dãy số phức cho
với tích vô hướng
Giả sử dãy số phức bị chặn Cho xác định
a. Chứng minh toán tửtuyến tính liên tục Tính chuẩn
b. Chứng minh dãy số thực toán tử tự liên hiệp -
(2)ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT NĂM 2009 Câu (4đ)
a Ta có
Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel
a Ta có nên ta cần xét chuỗi Với
ta có
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ khoảng
Do nên chuỗi không hội tụ khoảng b Chú ý
Do
Vậy
Câu (2đ)
a (1đ) Kiểm tra tiên đề mêtric (0,5đ) Tiên đề lại chứng minh dựa vào hàm
đơn điệu tăng (0,5đ) b (1đ)
(0,5đ)
(0,5đ) Câu (2đ) Giả sử không bị chặn mặt cầu đơn vị tồn
trên dãy mà Khi dãy
hội tụ
Trái giả thiết
Câu (2đ)
(3)ta có
Vì dãy bị chặn nên Do
Vậy liên tục
Xét dãy ta có nên
Suy b (1đ) ta có