17 BÀI TOÁN CƠ HẮC NÃO.

LÊ VĂN BÌNH CÁC BÀI TỐN Bài 1: Cho hệ học hình vẽ, biết k = 100 N/m, m1 = 400 g, m2 m2 = 100 g m1 a Giả sử M đứng yên Hỏi hệ gồm (m1+m2) dao động với biên độ để m2 dính với m1 b Với A = cm Hỏi M có giá trị để đứng yên hệ gồm (m1+m2) dao động c Tìm điều kiện A để M nằm mặt phẳng ngang M GIẢI: a Theo ý đề bài, ta coi hệ gồm (m1+m2) dao động điều hòa với tần số góc ω = √m k +m2 = 10√2 (rad/s) - Chọn chiều dương hướng xuống Các lực tác dụng lên m2: ⃗⃗⃗ P2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N12 - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Áp dụng định luật hai newton: ⃗⃗⃗ P2 +N ⃗ (1), với a gia tốc hệ gồm 12 = m2 a (m1+m2) dao động điều hòa Nên a = −ω2 x (2) - Chiếu phương trình (1) lên chiều dương chọn, ta được: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁12 P2 − N12 = m2 a = −m2 ω2 x => N12 = m2 g + m2 ω2 x (3) - Để m2 ln dính m1 q trình dao động m2 phải tạo áp lực lên m1 hay phản lực ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N12 tồn N12 ≥ Theo đó: m2 g + m2 ω2 x ≥ m2 ( g + Aω2 cos(ωt + φ)) ≥ => g + Aω2 cos(ωt + φ) ≥ (4) ⃗⃗⃗⃗ 𝑃2 Xét thấy (4) với t, vậy, cần giá trị nhỏ vế trái lớn khơng bất đẳng thức đúng, cos(ωt + φ) = −1 g => g − Aω2 ≥ A ≤ ω2 10 Thế số: A ≤ 2.102 = 0,05 (m) ⃗⃗⃗⃗M chiều nên trường hợp M ln bền b Khi lị xo bị nén ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Fđh P mặt phẳng ngang, trường hợp ta không xét - ⃗⃗⃗⃗M ngược chiều nên trường hợp M bị Khi lị xo dãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Fđh P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ nhấc lên khỏi mặt phẳng ngang, ta cần tìm điều kiện M trường hợp - Ta quay lại hình hệ dao động: - Điều kiện để M nằm cố định mặt phẳng ngang: PM > Fđh (lò xo dãn) (5) - Từ (5), xét thấy PM > Fđh (ở biên trên) bất đẳng thức (5) ln Trường hợp A >∆l Fđh (ở biên trên) = k(A − ∆l) ⃗⃗⃗⃗⃗𝑀 𝑃 => Mg ≥ k(A − ∆l) M ≥ Thế số: ∆l = (m1 +m2 )g k k(A−∆l) g = 5cm, với A = cm, trường hợp M nằm mặt phẳng ngang c Từ điều kiện M ≥ k(A−∆l) g -A 𝑔 => 𝐴 ≤ 𝑘 (𝑀 + 𝑚1 + 𝑚2 ) ∆𝑙 m2 m1 O A M Bài 2: Con lắc lò xo gồm vật nặng M = 300g, lị xo có dộ cứng k = 200 N/m, lồng vào trục thẳng đứng hình vẽ Khi M vị trí cân bằng, thả vật m = 200g từ độ cao h = 3,75 cm so với M Coi ma sát môi trường không đáng kể, va chạm m M va chạm hoàn tồn mềm Tìm điều kiện biên độ hai vật để q trình dao động m khơng rơi khỏi M - GIẢI: Khi m rơi từ độ cao h xuống va chạm mềm hồn tồn với M sau va chạm tao coi hai vật dao động điều hòa m k Hệ ( M+m) dao động điều hòa với tần số góc ω = √M+m = 20 (rad/s) - h h Chọn chiều dương hướng xuống Các lực tác dụng lên -A ⃗⃗ m: ⃗⃗⃗⃗ Pm , N - ⃗⃗⃗⃗m +N ⃗⃗ = ma⃗ (1), với a Áp dụng định luật hai newton: P gia tốc hệ gồm (M+m) dao động điều hòa Nên a = −ω2 x (2) - Chiếu phương trình (1) lên chiều dương chọn, ta được: Pm − N = ma = −mω2 x => N = mg + mω2 x (3) ⃗ 𝑁 M m ∆𝒍𝒎 M O ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑚 A Để m ln dính M q trình dao động m phải ⃗ tồn N ≥ tạo áp lực lên M hay phản lực ⃗N Theo đó: mg + mω2 x ≥ m ( g + Aω2 cos(ωt + φ)) ≥ => g + Aω2 cos(ωt + φ) ≥ (4) Xét thấy (4) với t, vậy, cần giá trị nhỏ vế trái lớn không bất đẳng thức đúng, cos(ωt + φ) = −1 g => g − Aω2 ≥ A ≤ ω2 10 Thế số: A ≤ 202 = 0,025 m = 2,5 cm Bài 3: Cho Hệ học hình vẽ Biết k = 100N/m, m1 = 250g, dây mảnh khơng dãn,,có khối lượng khơng đáng kể Bỏ qua khối lượng ma sát ròng rọc a Giả sử m2 đứng yên m1 dao động Tìm điều kiện biên độ A để m1 dao động điều hòa b Khối lượng m2 để đứng n m1 dao động điều hịa với biên độ A = 1,5 cm GIẢI: a Chọn chiều dương hướng xuống - Các lực tác dụng vào 𝑚1 : ⃗⃗⃗ P1 , ⃗⃗⃗ T1 - ⃗⃗⃗1 = 𝑚1 a⃗ (1), với a Áp dụng định luật hai newton: ⃗⃗⃗ P1 +T gia tốc 𝑚1 dao động điều hòa Nên a = −ω2 x (2) - Chiếu phương trình (1) lên chiều dương chọn, ta được: P1 − T1 = 𝑚1 a = −𝑚1 ω2 x => T1 = 𝑚1 g + 𝑚1 ω2 x (3) Để 𝑚1 dao động điều hịa phải tồn lực căng dây ⃗⃗⃗ T1 T1 ≥ ⃗⃗⃗1 𝑇 ∆𝑙1 Theo đó: 𝑚1 g + 𝑚1 ω2 x ≥ 𝑚1 ( g + Aω2 cos(ωt + φ)) ≥ m1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ => g + Aω2 cos(ωt + φ) ≥ (4) Xét thấy (4) với t, vậy, cần giá trị nhỏ vế trái lớn khơng bất m2 đẳng thức đúng, cos(ωt + φ) = −1 => g − Aω2 ≥ ⃗⃗⃗⃗ 𝑃2 g A ≤ ω2 𝑘 10 Thế số: 𝜔 = √𝑚 = 20 (rad/s) => A ≤ 202 = 0,025 m = 2,5 cm ⃗⃗⃗1 𝑃 ⃗⃗⃗2 𝑇 O x A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b Các lực tác dụng lên 𝑚2 : ⃗⃗⃗ P2 , ⃗⃗⃗⃗ T2 , F đh - Để 𝑚2 đứng yên ⃗⃗⃗ P2 + ⃗⃗⃗⃗ T2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Fđh = (5) - Gọi ∆𝑙1 dộ dãn lị xo m1 vị trí cân bằng, P1 = T1 = Fđh = 𝑘 ∆𝑙1 - Khi vật m1 vị trí li độ x => Fđh = 𝑘(∆𝑙1 + 𝑥) Từ (5): P2 + T2 = 𝑘(∆𝑙1 + 𝑥) => T2 = 𝑘(∆𝑙1 + 𝑥) −𝑚2 𝑔 Điều kiện lực căng T2 ≥ => 𝑘(∆𝑙1 + 𝑥) – 𝑚2 𝑔 ≥ 𝑘(∆𝑙1 + 𝑥) ≥ 𝑚2 𝑔 𝑚1 𝑔 + 𝑘𝑥 ≥ 𝑚2 𝑔 𝑘 𝑘 => 𝑚2 ≤ 𝑚1 + 𝑔 𝑥; Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑚1 + 𝑔 𝑥 => 𝑚2 ≤ 𝑓(𝑥) (6) Từ (6), xét thấy 𝑚2 ≤ 𝑚𝑖𝑛𝑓(𝑥) bất đẳng thức 𝑘 (6) Vì 𝑥 = 𝐴 cos(ωt + φ) nên 𝑥𝑚𝑖𝑛 = −𝐴 => 𝑚2 ≤ 𝑚1 − 𝑔 𝐴 Thế số: 𝑚2 ≤ 0,25 − 100 10 0,015 = 0,1 𝑘𝑔 Bài 4: Một lắc lò xo treo thẳng đứng, gồm vật khối lượng m = 400g gắng vào đầu lị xo có k =250 N/m, đầu lại lò xo treo vào điểm Q Kích thích cho vật dao động điều hịa Tìm điều kiện biên độ A để lị xo khơng bị tuột khỏi điểm Q Biết điểm treo Q chịu lực kéo tối đa F0 = 9N Lấy g = 10 m/s2 GIẢI: Lực tác dụng lên điểm treo Q lực đàn hồi, trường hợp lị xo dãn lực Q kéo điểm treo Khi lị xo dãn cực đại lực kéo điểm Q lớn nhất, 𝐹đℎ𝑚𝑎𝑥 = 𝑘(𝐴 + ∆𝑙) Theo đề bài, 𝐹đℎ𝑚𝑎𝑥 = 𝑘(𝐴 + ∆𝑙) ≤ 𝐹0 => 𝐴 ≤ 𝐹0 𝑘 − ∆𝑙 hay 𝐴 ≤ Thế số: 𝐴 ≤ 𝑐𝑚 𝐹0 −𝑃 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ m Bài 5: Cho hệ học hình vẽ M trượt không sát mặt phẳng nghiêng 300 Hệ số ma sát nghỉ giữ m M 𝜇 = 0,87 Giả sử hệ (M+m) dao động điều hịa mặt nghiêng Tìm điều kiện biên độ A để m khơng trượt khỏi M q trình hệ dao động Biết M = 200 g, m= 50 g, k =100 N/m GIẢI: Cách 1: Xét Hệ qui chiếu quán tính ( Hệ qui chiếu gắng liền với mặt đất): - Chọn chiều dương hình - Trọng lực 𝑃⃗ phân tích thành hai thành phần ⃗⃗⃗ 𝑃1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑃2 - Vì vật nằm m yên trượt M, nên theo ⃗ 𝑁 + x ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑚𝑠 định luật II Newton: M ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝟐 + 𝑁 𝑷𝟏 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑚𝑠 = m𝑎 (1) , a gia tốc dao động điều hòa mặt phẳng nghiêng hệ (M + 𝑝2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑃⃗ m) Chiếu (1) lên chiều dương chọn, ta được: 𝐹𝑚𝑠 − 𝑃1 = 𝑚𝑎 (2) 𝐹𝑚𝑠 − 𝑃1 = −𝑚𝜔2 𝑥 𝐹𝑚𝑠 = 𝑃1 − 𝑚𝜔2 𝑥 Mặc khác: 𝐹𝑚𝑠 ≤ 𝐹𝑚𝑠𝑛 = 𝜇𝑁 = 𝜇𝑚𝑔 cos 𝛼 𝑃1 − 𝑚𝜔2 𝑥 ≤ 𝜇𝑚𝑔 cos 𝛼 => 𝑥 ≥ 𝑚𝑔 sin 𝛼−𝜇𝑚𝑔 cos 𝛼 𝑚𝜔 = 𝑔(sin 𝛼−𝜇 cos 𝛼) 𝜔2 (3) Để m nằm M: 𝑃1 ≤ 𝐹𝑚𝑠 ≤ 𝐹𝑚𝑠𝑛 ≤> 𝑚𝑔 sin 𝛼 ≤ 𝜇𝑚𝑔 cos 𝛼 sin 𝛼 − 𝜇 cos 𝛼 ≤ Từ (3), 𝑥 𝑙ớ𝑛 ℎơ𝑛 𝑚ộ𝑡 𝑠ố â𝑚, 𝑣ậ𝑦 𝑛ế𝑢 𝑥𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝑔(sin 𝛼−𝜇 cos 𝛼) 𝜔2 (3) ln mà – 𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝐴 => 𝑥𝑚𝑖𝑛 = −𝐴 ≥ =>𝐴 ≤ Thế số: 𝐴 ≤ 𝑔(sin 𝛼−𝜇 cos 𝛼) 𝜔2 𝑔(𝜇 cos 𝛼 − sin 𝛼) 𝜔2 𝑔(sin 𝛼−𝜇 cos 𝛼) 𝜔2 =0,634 mm Cách 2: Xét Hệ qui chiếu phi quán tính( Hệ qui chiếu ⃗ 𝑁 gắng liền với M): - m nằm M với chuyển động với gia tốc a chịu tác dụng lực quán tính ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓𝑞𝑡 = −𝑚𝑎 - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑚𝑠 Các lực tác dụng vào m: ⃗⃗⃗ 𝑃1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑚𝑠 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓𝑞𝑡 M Để m không bị trượt khỏi M thì: 𝐹𝑚𝑠 ≥ 𝑃1 + 𝑓𝑞𝑡 =>𝐹𝑚𝑠𝑛 ≥ 𝑃1 + 𝑓𝑞𝑡 −𝑚𝑎 ≤ 𝐹𝑚𝑠𝑛 − 𝑃1 𝑚𝜔2 𝑥 ≤ 𝐹𝑚𝑠𝑛 − 𝑃1 => 𝑥 ≤ 𝜇𝑚𝑔 cos 𝛼−𝑚𝑔 sin 𝛼 𝑚𝜔 = 𝑔(𝜇 cos 𝛼−sin 𝛼) 𝜔2 (4) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 𝑞𝑡 𝑝2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑃⃗ Tương tự cách 1, 𝜇 cos 𝛼 − sin 𝛼) ≥ Từ (4), 𝑥 𝑏é ℎơ𝑛 𝑚ộ𝑡 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔, 𝑣ậ𝑦 𝑛ế𝑢 𝑥𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑔(𝜇 cos 𝛼−sin 𝛼) 𝜔2 (4) ln mà – 𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝐴 => 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 ≤ =>𝐴 ≤ Thế số: 𝐴 ≤ 𝜔2 𝑔(𝜇 cos 𝛼 − sin 𝛼) 𝜔2 𝑔(sin 𝛼−𝜇 cos 𝛼) 𝜔2 𝑔(𝜇 cos 𝛼−sin 𝛼) =0,634 mm Bài 6: Hệ gồm lị xo có độ cứng k = 100N/m gắn với vật A ( mA =400g) , sau gắn vật B với vật A thơng qua sợi dây khơng dãn Tại vị trí cân , dùng kéo cắt nhẹ sợi dây vật A dao động điều hòa với biên độ ? Lấy g = 10m/s2; mB = 0,75mA GIẢI: - Các lực tác dụng vào vật A chưa cắt dây treo (hình bên) : - Tại VTCB O: lò xo dãn đoạn ∆𝑙 = - Khi cắt dây treo, lúc hệ lắc gồm vật 𝑚𝐴 lò xo, (𝑚𝐴 +𝑚𝐵 )𝑔 VTCB 𝑂′ : lò xo dãn đoạn ∆𝑙𝐴 = - ∆𝑙𝐴 𝑘 𝑚𝐴 𝑔 𝑘 Ta hình dung toán giống ban đầu vật mA ′ ∆𝑙 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ ′ VTCB 𝑂 sau kéo xuống đoạn 𝑂𝑂 = ∆𝑙𝐵 thả nhẹ Vậy mA dao động với biên độ A = 𝑂𝑂′ = ∆𝑙𝐵 = 𝑚𝐵 𝑔 𝑘 Thế số: A = cm 𝑂 A ⃗ 𝑇 ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 ⃗ 𝑇 B ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵 Bài 7: Hai vật A, B nối với sợi dây không dãn khối lượng không đáng kể gắn vào lị xo hình vẽ Vật B có khối lượng để cắt nhẹ dây nối A B vật A dao động điều hòa ? GIẢI: 𝑂′ ∆𝑙𝐵 - Ban đầu chưa cắt dây ta phân tích lực hình vẽ Chọn chiều dương hình vẽ - ⃗ triệt tiêu Áp dụng định lật II Khi cắt dây (bỏ vật B) lực căng 𝑇 Newton cho vật A: ⃗⃗⃗ 𝑇 ′ + ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 = 𝑚𝐴 𝑎 (1) - Chiếu (1) lên chiều dương chọn, ta : 𝑇 ′ − 𝑃𝐴 = 𝑚𝐴 𝑎 ⃗⃗⃗′ 𝑇 𝑇 ′ = 𝑃𝐴 + 𝑚𝐴 𝑎 = 𝑚𝐴 𝑔 + 𝑚𝐴 𝑎 Để vật A dao động điều hịa, q trình dao động dây phải ln căng, ⃗ 𝑇 𝑔 tức 𝑇 ′ ≥ 0: 𝑇 = 𝑚𝐴 𝑔 + 𝑚𝐴 𝑎 ≥ 𝑔 − 𝜔2 𝑥 ≥ 𝑥 ≤ 𝜔2 (2) , mà B Mặc khác cắt dây A dao động với biên độ 𝐴 = ∆𝑙𝐵 = => ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 ⃗ 𝑇 𝑔 −𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝐴, nên 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 ≤ 𝜔2 (2) ln 𝑂 A ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵 𝑚𝐵 𝑔 𝑘 𝑚𝐵 𝑔 𝑔 ≤ => 𝑚𝐵 ≤ 𝑚𝐴 𝑘 𝜔 Bài 8: Hai vật mA mB mắc với lò xo có độ cứng k mắc vào sợi dây khơng dãn Tìm điều kiện biên độ để vật A dao động điều hòa ? GIẢI: - Chọn chiều dương hình vẽ Các lực tác dụng vào vật hình vẽ: - Để vật A dao động điều hịa vật B phải đứng yên 𝑇 = 𝑃𝐵 + ⃗ 𝑇 𝐹đℎ (1) - B Vật A dao động điều hòa với gia tốc a, áp dụng đl II Newton: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 = 𝑚𝐴 𝑎 (2) - Chiếu (2) lên chiều dương chọn, ta được: 𝐹đℎ − 𝑃𝐴 = 𝑚𝐴 𝑎 (3) - Từ (1)và(3): 𝑇 = 𝑃𝐵 + 𝑃𝐴 + 𝑚𝐴 𝑎 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑔 + 𝑚𝐴 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ Mà 𝑎 = −𝜔2 𝑥 nên 𝑇 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑔 − 𝑚𝐴 𝜔2 𝑥 (3) Sử dụng đk T ≥ : (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑔 − 𝑚𝐴 𝜔2 𝑥 ≥ => 𝑥 ≤ mà −𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝐴, nên 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 ≤ (𝑚𝐴 +𝑚𝐵 )𝑔 𝑚𝐴 𝜔 A (𝑚𝐴 +𝑚𝐵 )𝑔 𝑚𝐴 𝜔 (4) (4) ln ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 𝑂 Bài 9: Một lị xo nhẹ có độ cứng k, đầu cố định, đầu nối với sợi dây nhẹ không dãn Sợi dây vắt qua ròng rọc cố định, nhẹ bỏ qua ma sát Đầu lại sợi dây gắn với vật nặng khối lượng m Khi vật nặng cân bằng, dây trục lò xo trạng thái thẳng đứng Từ vị trí cân cung cấp cho vật nặng vận tốc v0 theo phương thẳng đứng Tìm điều kiện giá trị v0 để vật nặng dao động điều hòa ? 3g m k A v0  g m k B v0  C v0  g 2k m D v0  g m 2k GIẢI: - Chọn chiều dương hình vẽ Các lực tác dụng vào vật gồm: ⃗P , ⃗T - Áp dụng định luật II Newton: ⃗P + ⃗T = 𝑚𝑎 (1) - Chiếu (1) lên chiều dương chọn, ta được: 𝑇 − 𝑃 = 𝑚𝑎 = +𝑥 −𝑚𝜔2 𝑥 ⃗ 𝑇 => T = P − 𝑚𝜔 𝑥 (2) m Để vật dao đơng điều hịa sợi dây phải ln căng Giải điều kiện T g ≥ 0; P − 𝑚𝜔2 𝑥 ≥ 𝟎 => x ≤ ω2 (3) mà −𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝐴, nên 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 ≤ 𝑚𝑔 𝑘 𝑃⃗ (3) ln 𝑚 𝑘 => 𝑣0 ≤ 𝜔𝐴 = 𝑔√ Chọn A Bài 10: Một lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng m, lị xo có độ cứng k dao động điều hịa mặt phẳng nghiêng góc  so với mặt phẳng nằm ngang Khi cầu cân bằng, lò xo giãn đoạn l Biết gia tốc trọng trường g Chu kì dao động lắc là: A 2 gsin  l B 2 k m C 2 l g sin  GIẢI: Tại vị trí cân bằng, ln có: Fdh  Pt  kl  mgsin   m l m l => T  2   2 k gsin  k g sin  D 2 l g Bài 11: Một lị xo nhẹ có k = 100 N/m treo thẳng đứng, đầu treo hai vật nặng m1 = m2 = 100g Khoảng cách từ m2 tới mặt đất h  4,9 m Bỏ qua 18 khoảng cách hai vật Khi hệ đứng yên ta đốt dây nối hai vật Hỏi vật m2 chạm đất m1 quãng đường ? Lấy g = 𝜋 = 10 m/s2 m1 A s = 4,5 cm B s = 3,5 cm C s = 3,25 cm m2 D s = 4,25 cm GIẢI: - Hệ VTCB O, cắt nhẹ dây m1 dao động điều với biên độ ∆l2 , chọn chiều dương hình vẽ vật m1 bắt ∆𝑙1 đầu từ vị trí O ( biên âm) Còn m2 rơi tự do, thời gian 2ℎ chạm đất là: ℎ = 𝑔𝑡 => 𝑡 = √ 𝑔 = 30 s 0,1 𝑇 100 ⃗⃗⃗1 𝑃 ∆𝑙2 ⃗ 𝑇 Vậy m1 quãng đường S = ∆l2 + 0,5 ∆l2 = 4,5∆l2 0,1.10 𝑂 ⃗ 𝑇 Có tỉ số 𝑇 = => 𝑡 = 𝑇 + Thế số: S = 4,5 𝑂′ 𝑚1 Vật m1 dao động với chu kì 𝑇 = 2𝜋√100 = s 𝑡 ∆𝑙 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑃2 = 4,5 cm h Bài 12: Cho hệ hình vẽ, vật m1, m2 nối với nhờ sợi dây nhẹ, khơng dãn có chiều dài ℓ, ban đầu lị xo khơng biến dạng, đầu B lị xo B để tự Biết k = 100 N/m, m1 = 400g, m2 = 600g, lấy g = 10 = π2 (m/s2) Bỏ qua ma sát Ban đầu (t = 0) giữ cho m1 m2 nằm mặt phẳng dây nằm ngang sau thả cho hệ rơi tự do, hệ vật rơi đạt tốc độ v0 = 20π (cm/s) giữ cố định điểm B sau vật m1 thêm đoạn cm sợi dây nối hai vật căng Thời điểm chiều dài lò xo cực đại kể từ lúc t =0 A 0,337 s B 0,314 s C 0,628 s D 0,323 s m1 m2 GIẢI: M M m2 M −𝐴′ m1 t =0, v = -A m1 VTCB O m1 ∆𝑙1; v = v0 = 20π A m2 S = cm v = v0 +gt ∆𝑙2 m2 ∆𝜑 VTCB 𝑂′ 𝐴′ - Lúc t =0 đến lúc vật m1 đạt vân tốc v = v0 = 20π cm/s vật m1 rơi thời gian: 𝑣0 = 𝑔𝑡 => 𝑡 = - 𝑣0 𝑔 𝜋 = 50 Khi vật m1 đạt vân tốc v = v0 = 20π cm/s giữ đột ngột điểm M, nên lúc vật m1 bị dật lại ( đổi chiều lên) dao động điều hòa quanh VTCB O, lúc bây giờ: 𝑚1 𝑔 ∆𝑙1 = = 𝑐𝑚 𝑘 ∆𝑙1 = 𝑐𝑚 20𝜋 𝑘 => 𝐴 = √42 + ( 𝜔 )2 , 𝜔 = √𝑚 = 5𝜋 ( rad/s) Vậy A = 4√2 cm 𝑣0 = 20π cm/s - Tại { - Vật m1 lên quãng đường S = cm thời tương ứng ∆𝑡1 = - Trong khoảng thời gian m2 đạt vận tốc v = v0 +g∆𝑡1 = 401 20 𝑇1 = 2𝜋 8.5√10 s= 20 s 𝜋 = 63,33 𝑐𝑚/𝑠, lúc sợi dây căng Lúc sợi dây căng nên ta coi hệ vật vật có khối lượng M = m1+ m2 = 1000g vài toán xét coi vật va chạm mềm, với vận tốc trước va chạm vật 𝑣1𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴 = 20√2𝜋 cm/s - Áp dụng bảo tồn động lượng, ta tính vận tốc hệ lúc sau là: 𝑀𝑉 = 𝑚2 𝑣 + 𝑚1 𝑣1𝑚𝑎𝑥 => 𝑉 = - Tại VTCB 𝑂′ , lò xo dãn đoạn ∆𝑙 = 𝑀𝑔 𝑘 𝑚2 𝑣 + 𝑚1 𝑣1𝑚𝑎𝑥 ≈ 73,54 𝑐𝑚/𝑠 𝑀 = 10 𝑐𝑚 - Khi vật M đạt 𝑉 ≈ 73,54𝑐𝑚/𝑠 vị trí li độ 𝑥 ′ = −∆𝑙2 = − cm - Vậy biên độ 𝐴′ = √(−6)2 + ( - Khi hệ vật biên lúc lò xo dãn nhiều nhất, theo ta có khoảng thời giang sau: - Khoảng thời gian lúc vật có 𝑥 ′ = −∆𝑙2 = − cm đến VTCB 𝑂′ 𝑙à ∆𝑡 = - 73,54 ) 𝜔′ 𝑘 , với 𝜔′ = √𝑀 = 10 (rad/s), ta tính 𝐴′ ≈ 9,5 cm Khoảng thời gian từ VTCB 𝑂′ đến biên 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝜔′ 9,5 = 0,068𝑠 𝑇′ Vậy khoảng thơi gian từ lúc t = đến lúc lị xo có chiều dài cực đại t + ∆𝑡1 + ∆𝑡 + 𝑇′ = 0,337s Chọn A Bài 13: Hệ gồm lò xo có độ cứng k, đầu gắn với vật có khối lượng M, đầu gắn vào đĩa có khối lượng 𝑀′ , 𝑀′ < M Hệ đặt thẳng đứng cho M nằm mặt sàn nằm ngang Khi hệ vị trí cân thả vật có khối lượng m từ độ cao h theo phương thẳng đứng Biết sau va chạm m dính vào 𝑀′ dao động điều hịa Tìm điều kiện h để M nằm yên mặt sàn ( m+𝑀 ′ ) dao động ? lấy g = 9,8 m/s2 GIẢI: - Áp dụng công thức rơi tự do, vận tốc vật m trước dính vào 𝑀′ : 𝑣 = √2𝑔ℎ - Áp dụng định luật bảo tồn động lượng, tính vận tốc (m+𝑀′ ) sau va chạm: 𝑚𝑣 + 𝑀′ 𝑉= (m+𝑀′ )𝑉ℎ 𝑚 𝑚 - Vì 𝑀′ đứng yên nên V = => 𝑚𝑣 = (m+𝑀′ ) 𝑉ℎ => 𝑉ℎ = m+𝑀′ 𝑣 = m+𝑀′ √2𝑔ℎ - Do vật m nên lò xo nén thêm đoạn ∆𝑙 = 𝑚𝑔 𝑘 sau hình thành vị trí cân mới, hệ vật 𝑘 dao động điều hòa với 𝜔 = √m+𝑀′ - Khi hệ (m+𝑀′ ) có { 𝑥 = ∆𝑙 𝑚√2𝑔ℎ 𝑉 𝑚𝑔 => 𝐴 = √𝑥 + ( 𝜔ℎ )2 = √( 𝑘 ) + ( )2 𝑘 𝑣 = 𝑉ℎ (m+𝑀′ )√ m+𝑀′ 2 𝑚√2𝑔ℎ 𝑚𝑔 𝑚𝑔 2𝑔ℎ.𝑚 =√( 𝑘 ) + (√m+𝑀′ )2 =√( 𝑘 ) + 𝑘(m+𝑀′ ) (1) √𝑘 - Khi A ≤ ∆𝑙 = (m+𝑀′ )𝑔 𝑘 lị xo khơng biến dạng nén => Fđh hướng PM => M đứng yên (m+𝑀′ )𝑔 - Mục đích khảo sát A≥ ∆𝑙 = - Xét vật biên trên: 𝐹đℎ = 𝑘(𝐴 − ∆𝑙) 𝑘 lị xo dãn => Fđh ngược hướng PM (hình vẽ) Để M nằm yên sàn : PM ≥ 𝐹đℎ =>Mg ≥ 𝑘(𝐴 − ∆𝑙) => 𝐴 ≤ 𝑚𝑔 𝑀𝑔+𝑘.∆𝑙 𝑘 = 𝑀𝑔+(m+𝑀′ )𝑔 𝑘 = (𝑀+m+𝑀′ )𝑔 𝑘 (2) 2𝑔ℎ.𝑚2 𝐴2 = ( 𝑘 ) + 𝑘(m+𝑀′ ) 𝑚𝑔 2𝑔ℎ.𝑚2 (𝑀+m+𝑀′ )𝑔 Vì A>0 ; từ (1)&(2): { => ( ) + ≤ ( ) 𝑘 𝑘(m+𝑀′ ) 𝑘 (𝑀+m+𝑀′ )𝑔 𝐴2 ≤ ( ) 𝑘 2𝑔ℎ.𝑚2 𝑘(m+𝑀′ ) ≤ ( (𝑀+m+𝑀′ )𝑔 𝑘 (𝑀+m+𝑀′ )2 −𝑚2 (m+𝑀′ )𝑔 => h≤ ( 𝑚2 ) 𝑚𝑔 ) −( 2𝑘 𝑘 2ℎ.𝑚2 ) (m+𝑀′ ) ≤ 𝑀+m+𝑀′ h ≤ (( 𝑚 (𝑀+m+𝑀′ ) 𝑘 ) − 1) 𝑔 − (m+𝑀′ )𝑔 2𝑘 𝑀 𝑚2 𝑘 𝑔 𝑀+𝑀′ => h≤ (( 𝑚 + 1) − 1) (m+𝑀′ )𝑔 2𝑘 𝑚𝑔 Trường hợp 𝑀′ = cơng thức bỏ 𝑀′ h ≤ ((𝑚 + 1) − 1) 2𝑘 Bài 14: Một cầu có khối lượng M = 0,2 kg gắn lị xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 20N/m, đầu lò xo gắn với đế vật có khối lượng Mđ Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,1 kg rơi từ độ cao h = 0,45m xuống va chạm đàn hồi xuyên tâm với M Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2 Sau va chạm vật M dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục lò xo Để Mđ khơng bị nhấc lên q trính M dao đơng động Mđ khơng nhỏ ? A 300 g B 200 g C 600 g GIẢI: - Chọn chiều dương, Gọi O VTCB hình vẽ - Vận tốc m trước chạm M: v0 = m/s gh = 18 = D 120 g - Gọi V v vận tốc M m sau va chạm, trước va chạm M đứng yên nên v =0 - BTĐL: MV + mv = mv0 (1) (với v0 = - m/s, chiều chuyển động ngược chiều dương.) - mv02 mv MV BTNL: + = (2) - Từ (1) (2) V = x m 𝐴 v0 = - 2 m/s => Vmax = 2 m/s k = M - Tần số góc dao động :  = - Độ nén lò xo vật VTCB: ∆l = h ∆𝑙 20 = 10 rad/s 0,2 M O Mg 0,2.10 = = 0,1m 20 k −𝐴 = 10 cm - Biên độ dao động: A = - { Vmax 2 =  = 0,2 m = 20 cm 10 Mđ 𝑡ℎấ𝑦 𝐴 > ∆𝑙 để 𝑣ậ𝑡 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑏ị 𝑛ℎấ𝑐 𝑙ê𝑛 𝑡ℎì 𝐹đℎ 𝑏𝑖ê𝑛 𝑡𝑟ê𝑛 ≤ 𝑃 Với: 𝐹đℎ 𝑏𝑖ê𝑛 𝑡𝑟ê𝑛 = k (A - ∆l) = 20.0,1 = N => Mđ  = 0,2 kg = 200g g Chọn đáp án B Bài 15: Một lắc lò xo treo thẳng đứng , gồm vật nặng khối lượng m = 1,0 kg lị xo có độ cứng k = 100N/m Ban đầu vật nặng đặt giá đỡ nằm ngang cho lò xo không biến dạng Cho giá đỡ chuyển động thẳng đứng hướng xuống không vận tốc đầu với gia tốc a = g / = 2,0m/s2 Sau rời khỏi giá đỡ lắc dao động điều hòa với biên độ ? A cm B cm C 10cm GIẢI: - Chọn chiều dương chuyển động hình vẽ - Có 𝜔 = √𝑚 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠; ∆𝑙 = - Khi vật tiếp xúc với giá đỡ, lực tác dụng lên vật gồm có : 𝑘 𝑚𝑔 𝑘 = 10 𝑐𝑚 P, Fđh, N - Khi lò xo dãn vật nằm giã đỡ chuyển động với gia tốc a : - ⃗ = 𝑚𝑎 (1) Theo đl II Newton: 𝑃⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹đℎ + 𝑁 D cm - Chiếu (1) lên chiều dương chọn, ta được: P – Fđh – N = ma - Khi vật rời giá đỡ : N = P – Fđh = ma => Fđh = mg Fđh - ma = 8N - N Độ giãn lị xo : 𝑋 = 100 = 0,08m = 8cm ∆𝑙 => |𝑥| = l - X = cm P - Từ lúc thả giá đỡ chuyển động không vận tốc đầu với gia tốc a đến O vật rời giá đỡ có vận tốc là: 𝑞𝑢ã𝑛𝑔 đườ𝑛𝑔 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 độ𝑛𝑔 𝑙à 𝑆 = 𝑋 {𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑙𝑖ê𝑛 ℎệ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑟ơ𝑖 𝑡ự 𝑑𝑜 𝑣ớ𝑖 𝑔𝑖𝑎 𝑡ố𝑐 𝑎 = 40√2 cm/s => 𝑣 = 2𝑎𝑋 => 𝑣 = √2𝑎𝑋 Vậy biên độ vật 𝐴 = √82 + ( 40√2 ) 10 = 𝑐𝑚 Câu 16: Một lắc đơn có chiều dài sợi dây 60 cm vật nặng khối lượng m1 treo vào điểm P Một vật nặng Q P khối lượng m2 nối với m1 sợi dây vắt qua rịng rọc điểm Q hình vẽ Ban đầu hệ cân vật đứng yên độ cao so với mặt đất,sau đốt sợi dây m1 m2 để vật m1 dao động điều hòa m1 m2 Cho m1 =5m2, PQ=60 cm PQ nằm ngang Bỏ qua ma sát, lực cản, khối lượng dây, rịng rọc kích thước rịng rọc Lấy g = 𝜋 =10 m/s2 Khi tốc độ vật m1 lần đạt cực đại khoảng cách hai vật có giá trị gàn với giá trị sau ? A 96,1 cm B 95,5 cm C 74,3 cm D 75,2 cm GIẢI: Xét hệ cân bằng: - Q P Với m1: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇1𝑚 + ⃗⃗⃗ 𝑇2 + ⃗⃗⃗ 𝑃1 = Theo tổng hợp lực: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇1𝑚 + 𝐹 = 𝛼0 ⃗⃗⃗2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇1𝑚𝑖𝑚𝑇 => 𝐹 = 𝑇1𝑚 = 𝑚1 𝑔 cos 𝛼0 (1) - ⃗⃗⃗2 𝑇 Với m2: 𝑇2 = 𝑃2 (2) Ta có: 𝑇22 = 𝑃12 + 𝐹 − 2𝑃1 𝐹.cos𝛼0 m2 (𝑚2 𝑔)2 = (𝑚1 𝑔)2 + (𝑚1 𝑔 cos 𝛼0 )2 − 𝑚1 𝑔 𝑚1 𝑔 cos 𝛼0 cos𝛼0 (𝑚1 𝑔)2 −(𝑚2 𝑔)2 => cos𝛼0 = √ (𝑚1 𝑔)2 = ∆𝑙 m1 𝐹 𝑶 𝑝2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑝1 ⃗⃗⃗⃗ 2√6 𝑴 S Khi cắt dây nối vật: - m1 dao động điều hịa với biên độ góc 𝛼0 - m2 rơi tự với không vận tốc đầu - Theo đề bài, tốc độ vật m1 lần đạt cực đại, vật khoảng thời gian t = - 𝑇1 𝜋 0,6 = √ 10 (s) Vật m2 rơi tự khoảng thời gian tương ứng với quãng đường S = 𝑔𝑡 = 0,74 𝑚 = 74 cm - Lại có ∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙 cos 𝛼0 = 1,2 cm - 𝑉ậ𝑦 𝑂𝑀 = √𝑃𝑄 + (𝑆 − ∆𝑙)2 = √602 − (74 − 1,2)2 = 94,34 𝑐𝑚 Chọn B Câu 17: Cho hệ hình vẽ Vật m khối lượng 100 g chuyển động tịnh tiến, khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang dọc theo trục lò xo có k = 40 N/m Vật M khối lượng 300 g trượt m với hệ số ma sát μ = 0,24 Ban đầu, giữ m đứng yên vị trí lị xo dãn 4,5 cm, dây D (mềm, nhẹ, khơng dãn) song song với trục lị xo Biết M m mặt tiếp xúc hai vật nằm ngang Lấy g = 10 m/s2 Thả nhẹ cho m chuyển động Tính từ lúc thả đến lị xo trở trạng thái có chiều dài tự nhiên lần thứ tốc độ trung bình m A 16,7 cm/s B 12,9 cm/s C 29,1 cm/s D 20,1 cm/s GIẢI: - Do có lực ma-sát M m, nên kéo M m đoạn OA thả lị vật m hình thành vị trí cân 𝑂′ : - - k m Do đó: Fms = Fđh 𝜇𝑀𝑔 = 𝑘 𝑂𝑂′ => 𝑂𝑂′ = 𝜇𝑀𝑔 𝑘 Sợi dây không dãn vật m chuyển động từ phải sang trái, trình xuất ma-sát m M, nên m phần D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑚𝑠 -A O 𝑂′ d A lượng, lẽ mà hình thành vị trí cân 𝑂′ tới vị trí x = -A (hình vẽ) - Ở trình ngược lại sợi dây thùn lại, M nằm m chuyển động, lúc coi vật có M+m Ở trình ta coi vật có khối lượng m+m từ biên vị trí cân - Theo u cầu tốn, tính từ lúc thả đến lị xo trở trạng thái có chiều dài tự nhiên lần thứ 2: S = OA + 2.d = OA+2(𝑂′ 𝐴-𝑂𝑂′ ) , ∆𝑡 = Thế số: 𝑂𝑂′ = 𝜇𝑀𝑔 𝑘 𝑇𝑚 + 𝑇𝑀+𝑚 = 1,8 𝑐𝑚 => S = 4,5+2(2,7-1,8) = 6,3 cm 𝑚 𝑘 2𝜋√ ∆𝑡 = 𝑚+𝑀 𝑘 2𝜋√ + = 0,1 40 2𝜋√ + 𝑆 Vậy tốc độ trung bình: 𝑣𝑇𝐵 = ∆𝑡 = Chọn D 0,1+0,3 40 2𝜋√ 6,3 𝜋 10 𝜋 = 10 s = 20,05 cm/s ... lực kéo điểm Q lớn nhất,