sang kien kinh nghiem

Sở giáo dục đào tạo Hng Yên Phòng giáo dục đào tạo huyện Khoái Châu ================ Kinh nghiệm Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Ngời thực hiện: Hoàng Ngọc Thắng Tổ: Khoa học tự nhiên Trờng: THCS Đông Tảo Năm Học: 2004 - 2005 A Đặt vấn đề: Phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng, đợc ứng dụng rộng chơng trình dậy học toán trờng phổ thông Đặc biệt cấp trung học sở đợc áp dụng nhiều vào toán Rút gọn phân thức biểu diễn két phân thức dới dạng đơn giản mà giá trị không thay đổ áp dụng trờng hợp khác nh: - Giải phơng trình - Chứng minh biểu thức dơng âm - Chøng minh cho mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc - T×m mÉu thøc chung cđa mét phÐp quy đồng nhiều mẫu thức Đôi rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử kỹ khác Trong Tôi đề cập đến phơng pháp phân tích thành nhân tử để giúp em phân tích đa thức bậc cao, đa thức có tính chất hoán vị vòng quanh thành nhân tử mà dùng phơng pháp nh: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử không thực đợc Tuy nhiên phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vài phơng pháp khác chơng trình năm có thay đổi không đa vào sách giáo khoa Nhng nhận thức thấy đợc sử dụng nhiều sách nâng cao lớp Do chọn đề tài để bồi dỡng cho häc sinh kh¸, giái c¸c kú thi häc sinh giái cÊp hun, häc sinh thi tèt nghiƯp vµ häc sinh thi cấp III B nội dung phơng pháp: I Tình hình chung: Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng trờng phổ thông, đợc áp dụng nhiều dạng toán khác tiện lợi cho việc giải toán nh: Tìm nghiệm phơng trình bậc cao dạng toán đa dạng phong phú cách giải Ngoài có số dạng toán khác đÃc nói phần mở đầu Song để tìm đợc lời giải toán ta cần phải biết sử dụng linh hoạt phơng pháp để vận dụng cho toán cho phù hợp, tìm đợc lời giải ngắn nhất, đơn giản Để làm đợc điều đó, học sinh cần phải biết khai thác giả thiết đà có để làm sở cho việc phân tích II Những vấn đề cần giải quyết: Phơng pháp phân tách hạng tử Phơng pháp thêm bớt hạng tử, phơng pháp giảm dần số mũ Phơng pháp đổi biến Phơng pháp hệ số bất định Phơng pháp xét giá trị riêng III phơng pháp tiến hành: * Nhắc lại kiến thức cần áp dụng: 1.Nắm vững đẳng thức: Với A, B biể thức tuỳ ý, ta cã: ( A + B )2 = a2 + 2ab + b2 ( A - B )2 = a2 - 2ab + b2 A2 – B2 = ( A + B ) ( A – B ) ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = ( A +B )( A2 – AB + B2 ) A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 ) - Một số đẳng thức tổng quát: ( K1+K2 + + Kn )2 = K12+K22 + + Kn2 +2K1K2+ +2K1Kn+ 2Kn-1Kn (xn –yn ) = (x – y)(xn-1 + xn-2y + xyn-2 + y2k-1) 10.x2k – y2k = (x + y)(x2k-1 – x2k-2y + x2k-3y2 + y2k-1) 11 x2k+1 + y2k+1 = (x + y)(x2k – x2k-1y + x2k-2y2 - + y2k Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đợc giới thiệu sách giáo khoa: 2.1.Phơng pháp đặt nh©n tư chung: AB + AC = A(B + C) Phơng pháp nhớ vận dụng linh hoạt tính chất giao hoán, kết hợp phép toán: Cộng nh©n, tÝnh chÊt ph©n phèi cđa phÐp nh©n víi phÐp cộng 2.2.Phơng pháp dùng đẳng thức: - Học sinh nắm đợc đẳng thức đà giới thiệu - Vận dụng đẳng thức để để biến đổi thành tích nhân tử luỹ thừa đa thức 2.3.Phơng pháp nhóm số hạng: Dùng tính chất giao hoán kết hợp phép cộng đa thức ta kết hợp hạng tử đa thức thành nhóm thích hợp dùng phơng pháp khác phân tích đa thức thành nhân tử theo nhóm phân tích chung nhóm Các phơng pháp khác phân tích đa thức thành nhân tử: 1.Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử: 1.1 Bằng phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử: * Phơng pháp: Học sinh nắm đợc dạng tổng quát là: a2 + bx + c (a 0) - Khi mét tam thức bậc hai ta nhận thấy dạng đẳng thức, không chứa thứa số chung nhóm số hạng tử để áp dụng phơng pháp nhóm nhờ việc thực + Làm xuất số tỉ lệ làm xuất thừa số chung Cụ thể: Để phân tích a2 + bx + c thành nhân tử ta tách bx thành b1x + b2x cho b1/a = c/b2 tøc lµ a.c = b1b2 Trong thùc hµnh ta lµm nh sau: Bớc 1: Tìm tích ac Bớc 2: Phân tích ac thành tích thừa số cách Bớc 3: Chän thõa sè mµ cã tỉng b»ng tÝch thức Ngoài tách a2 + bx + c thành hiệu hai bình phơng áp dụng đẳng + Ví dụ: Bài 1: Phân2 tích đa thức thành nhân tö: a,3x – 8x +4 b, x – 6x + c, 9x2 + 6x +8 Đối với toán em cha dợc giới thiệu phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử thấy khó khăn việc phân tích Tôi hớng dẫn c¸c em t¸ch theo c¸c c¸ch sau: a, 3x2 – 8x +4 Cách 1: Tách số hạng tử thứ ( số hạng bậc 1) theo cách tổng quát: 3x2 – 8x +4 ta t¸ch – 8x = -6x – 2x 3x2 – 8x +4 = 3x2 -6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x 2)(3x-2) Cách 2: Tách số hạng thứ nhÊt 3x2 – 8x +4 ta t¸ch 3x2 = 4x2 - x2 3x2 – 8x +4 = 4x2 - 8x +4 - x2 = (4x2 - 8x +4) - x2 = (2x - 2)2 - x2 = (2x - - x)(2x- + x) = (x – 2)(3x – 2) b, x2 6x + Tách hạng tử thứ hai (hạng tử bậc 1) Tách -6x = -2x 4x Ta đợc x2 6x + = x2 - 2x – 4x + = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x –4) T¸ch hạng tử thứ (hạng tử tự do): Cách1: Tách = Ta đợc: x2 6x + = x2 – 6x + – = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3) 12 = (x – 3) – 1x- +1 = (x – 4)( x- 2) C¸ch 2: Tách = 12 4 Ta đợc x2 – 6x + = x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6(x – 2) = (x –2)(x+2) – 6(x – 2) = (x –2)(x + – 6) = (x-2)(x-4) C¸ch 3: T¸ch = 24 16 Ta đợc: x2 6x + = x2 – 6x + 24 – 16 = ( x2 – 16) – (6x – 24) = (x - 4)(x +4 ) – 6(x - 4) = (x - 4)(x + - 6) = (x – 4)(x- 2) T¸ch đồng thời hạng tử thứ thứ 3: Tách: – 6x = -2x – 4x vµ = + Ta đợc: x2 6x + = x2 - 4x + - 2x + = (x - 2)2 - 2(x-2) = (x –2)(x - - 2) = (x - 2)(x - 4) NhËn xÐt: câu a, b ta tách hạng tử bậc hạng tử tự hạng tử bậc có hệ số chẵn, hạng tử tự viết dới dạng bình phơng Do tách hạng tử bậc hai thành hiệu số bình phơng tách hạng tử tự thành số viết đợc dới dạng phơng Sau tách áp dụng phơng pháp nhóm xuất hiệu bình phơng áp dụng đẳng thức đáng nhớ phân tích thành nhân tử cách dễ ràng c, 9x2 + 6x +8 Đối với câu c hớng dÃn học sinh nên tách theo cách thông dụng Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hạng tử rối dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung tách : Tách : 6x = 12x 6x (hạng tö bËc nhÊt) Ta cã: 9x2 + 6x +8 = 9x2 - 6x + 12x –8 = 3x(3x –2) + 4(3x –2) = (3x –2) (3x + 4) C¸ch 2: Tách hạng tử không đỏi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu bình phơng: 9x2 + 6x +8 = 9x2 + 6x + – = (9x2 + 6x + 1) – = (3x + 1)2 - 32 = (3x +1 –3)(3x +1 +3) = (3x –2)(3x +4) KÕt luËn : Qua việc thực tách hạng tử đa thức ta thÊy cã nhiỊu c¸ch Song cã c¸ch sau thông dụng nhất: Cách 1: Tách hạng tử số (hạng tử bậc nhất) thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Cách 2: Tách hạng tử không đổi (hạng tử thứ 3) thành hạng tử đa đa thức dạng hiệu bình phơng - Chú ý: Trong trêng hỵp a2 + bx + c cã b số lẻ a không bình phơng số nguyên giải theo cách gọn cách * Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x2 7x + 12 b, 4x2 – 3x –1 c, x2 – 4x – d, 6x2 – 11x + e, 6x2 – 11x + f, 2x2 + 3x – 27 g, 9x2 + 6x – h, x2 – 5x – 14 + Ta xÐt mét c©u tập áp dụng trên: Câu d: 6x2 11x + áp dụng phơng pháp tách hạng tử bậc (C¸ch1) 6x2 – 11x + = 6x2 – 9x – 2x + = 3x(2x – 3) – (2x – 3) = (2x – 3)(3x – 1) ¸p dụng phơng pháp phân tích hạng tử không đổi ta nhËn thÊy: - H¹ng tư bËc cã hƯ sè lẻ, hạng tử bậc có hệ số chẵn nhng không bình phơng số nguyên Do cách áp dụng gặp nhiều khó khăn ta lên sử dụng cách (tách hạng tử bậc 1) Bài tập mở rộng: Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 2x2 5xy + 3y2 b 2x2 – 5xy – 3y2 + Híng dÉn: - Ta áp dụng phơng pháp tách hạng tử thứ để phân tích cho tam thức bậc biến - Chọn biến làm biÕn chÝnh Cơ thĨ: a 2x2 – 5xy + 3y2 = 2x2 – 3xy – 2xy + 3y2 = x(2x – 3y) – y(2x – 3y) = (2x – 3y)(x – y) b T¬ng tù: 2x2 – 5xy – 3y2 = 2x2 - 2xy - 3xy- 3y2 = (x – 3y)(2x + y) Bài tập khác từ tập trên: Bài 3: Chứng minh rằng: a x + x +6  x b x2 + x +1  x c x2 + 2x +  x d x2 + 2x +  x e –x2 + 2x –  x f –x + 8x – 17  x g –3x2 + 12x – 19  x Bµi toán đợc suy từ việc phân tích đa thức thành nhân tử: Cụ thể: Từ x2 + x + - Nhận thấy không phân tích đợc thành nhân tử phạm vi số hữu tỉ Vì tách theo cách a.c = Ta thấy b=1 số hữu tỉ mà có tổng tích - Tách theo cách 2: Đa dạng (ax)2 k k lại không bình phơng số hữu tỉ c¶ Cơ thĨ: x2 + x + + 23 Ta thÊy 23 4 = 2 ( ) x+ + 23 không bình phơng cuả số Phân tích đa thức có bậc cao hơn: + Phơng pháp: Học sinh nắm đợc: Dạng tổng quát: a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an Cách làm: - Ta dựa vào cách tìm nghiệm đa thức để làm xuất hệ số tỷ lệ - Nhắc lại khái niệm đa thức a nghiệm đa thøc (x) nÕu (a)= Nh vËy nÕu ®a thức (x) chứa nhân tử chung x a a nghiệm đa thức (x) Từ suy ra: (x) = (x – a) q(x) hay (x): (x – a) Chøng tá hƯ sè tù cđa (x) chia hÕt cho a hay nghiƯm nguyªn nÕu cã đa thức phải ớc hệ số tự đa thức - Tôi củng cố cho kiến thức cho học sinh để áp dụng vào ví dụ sau: Ví dụ 1: Phân tích thõa sè (x) = x3 – x2 – T«i hớng dẫn em giải theo cách trên: Giải: Ước là: 1, 2, Lần lợt thay x = 1, 2, vào (x) để kiểm tra ta cã: (2) = 23 – 22 – = Vậy đa thức có nghiệm x = Do đa thức (x) chứa nhân tử x 2.Nên ta tách số hạng nh sau: Cách 1: Tách -4 = -8 + x3 – x2 – = x - - x2 + = (x3 – 8) – (x2 – 4) = (x – 2)(x2 + 2x +4) – (x –2)(x + 2) = (x – 2)(x2 + 2x + 4) – (x – 2)(x + 2) = (x –2)(x2 + 2x + – x – 2) = (x – 2)( x2 + x +2) * NhËn xÐt: Sau cho häc sinh làm ví dụ này,tôi đa cho học sinh định lý tìm nghiệm nh sau: a Nếu đa thức (x) cã tỉng c¸c hƯ sè b»ng thi nghiện đa thức Do đa thức chứa thứa số x b Nếu đa thức (x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Do ®ã ®a thøc chøa x + Chøng minh: a Gäi (x) = a0xn + a1xn-1 + an-1x + an Theo gi¶ thiÕt a0 + a1 + + an-1 + an = (1) Theo định lý Bơdu số d phép chia b»ng s = (1) = a0 + a1 + + an-1 + an Tõ (1), (2) suy s = Nên nghiệm (x) cho (x – 1) (2) VËy (x) chia hÕt cho x – hay chøa thõa sè chung lµ x – b Gäi (x) = a0x2n + a1x2n-1 + a2x2n-2 a2n - 2x2 + an-1x + a2n Trong ®ã a0 cã thĨ b»ng Theo gi¶ thiÕt a0 + a2 …+ a2n = a1 + a3 + + a2n-1 Nªn (a0 + a2 …+ a2n) – (a1 + a3 + …+ a2n-1) = (3) Theo định lý Bơdu số d phÐp chia (x) cho (x + 1) b»ng s:(-1) = a0 – a1 + a2 + …+a2n-2 + a2n = ( a0 + a2 …+ a2n) – ( a1 + a3 + …+ a2n-1)  Tõ (3) suy ra: s = VËy (x) cã nghiƯm lµ -1 hay (x) chia hÕt cho x + Cơ thĨ vÝ dụ: Ví dụ1: phân tích đa thức sau thành nhân tö x3 – 5x2 + 8x – cã + = Nên đa thức có nghiệm Hay đa thức chứa thừa số chung x Vậy ta tách đa thøc nh sau: x3 – 5x2 + 8x – = x3 – – 5x2 + 5x + 3x – = (x – 1)(x2 + x + 1) – 5x(x – 1) + 3(x – 1) = (x – 1)(x2 + x + – 5x + 3) = (x – 1)(x – 2)2 VÝ dơ 3: ph©n tích đa thức thành nhân tử x3 5x2 +3x + Cã – = + nªn nghiệm đa thức hay đa thức cã chøa thõa sè lµ x + VËy ta t¸ch nh sau: C¸ch 1: x3 –5x2 +3x + = x3 + 3x2 + 3x + –8x2 + = (x + 1)3 – 8(x2 – 1) = (x + 1)3 – 8(x – 1)(x + 1) = (x + 1)(x + 1)2 – 8(x – 1) = (x+1)(x2 – 6x + 9) = (x + 1)(x – 3)2 C¸ch 2: x3 –5x2 +3x + = x3 + x2 – 6x2 – 6x + 9x + = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1) (9x2 – 6x + 9) = (x + 1) (x – 3)2 NhËn xét: Tôi hớng dẫn em không gặp toán dạng ta sử dụng cách loại trừ uớc hệ số tự không nghiệm đa thức nh sau: Nếu a nghiệm nhuyên đa thức (x) (1); (-1) khác f (1) a f ( 1) số nguyên a+1 Chứng minh: Số a nghiệm đa thức f(x) Nên f(x) = (x a)Q(x) (1) Thay x – vµo (1) ta cã f(1) = (1 – a)Q(1) Do f(1)  nªn a Q(1) = f (1) số nguyên a+1 Bài tập áp dụng: Ví dụ 4: phân tÝch ®a thøc f(x) = 4x3 – 13x2 + 9x 18 thành nhân tử Ta có: U(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18 Ta cã ngay: 1 kh«ng nghiệm đa thức vì: f(1) = -18 vµ f(-1) = -44  Ta thÊy: − 18 ; − −1 −18 ; ± −1 −18 ; ± −1 − 18 ± 18 −1 không nguyên nên 3; 6; 9, 18 không nghiệm Ta thấy: 44 thuộc Z nên không nghiÖm 2+ − 44 = - 11; 3+ − 18 = 9; 3−1 − 44 = 44; − 2+1 − 18 =6 − 2− VËy vµ -2 có khả nghiệm Kiểm tra lại : f(3) =  lµ nghiƯm F(-20 = -48 – 13.4 + 9(-2) – 18 = -112  Ta tách số hạng nh sau: 4x3 13x2 + 9x – 18 = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x- 3) = (x – 3)(4x2 x + 6) Nhận xét: Đối với đa thức nghiệm nguyên ớc hạng tử tự nghiệm cuả đa thức Nhng đa thức có có nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỉ có phải có dạng m n m ớc hạng tử không đổi n ớc dơng hạng tử cao Điều hớng dẫn em áp dụng không chứng minh Cụ thể: Ví dụ5: Phân tích đa thức f(x) = 2x3 – 5x2 + 8x –  nh ớc 1; : f(10) =  f(-1) = -18  VËy nghiệm Ta có : =1 ; +3 − −1 = ; − −1 − 18 − = ; 3+1 −18 =9 − 3+1 Suy cã thĨ lµ nghiÖm Ta cã f(3) = 3.27 – 5.9 + 8.3 = 30 loạI Do đa thức nghiệm nguyên Vậy nghiệm hữu tỉ có thĨ lµ: ± ; ± Sau thay vµo ta thÊy x = 2 lµ nghiệm nên đa thức chứa nhân tử chung x - hay 2x – Do ®ã ta tìm đợc cách tách hạng tử đa thức : 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1) = (2x – 1)(x2 – 2x +3) * Chú ý: Tách hạng tử cho đa thức phải xuất nhân tử chung 2x Bài tập tơng tự: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a x3 + 2x b x3 – 7x + c x3+ 5x2 + 8x + d x3 – 9x2 + 6x + 16 e x4 + 2x3 + x2 + x + Tôi hớng dẫn làm theo ví dụ ví dụ 2: Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a x3 x2 b x3 – x2 – x – c x3 + x2 – x + d x3 – 6x2 – x + 30 e x3 – 7x - Tôi hớng dẫn làm theo ví dụ Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a 27x3 – 27x2 + 18x – b 2x3 – x2 + 5x + c 3x2 + 17x Tôi hớng dẫn làm theo ví dụ * Kết luận: Khi phân tích đa thức thành nhân tử em cần phải ý dạng tập, phân biệt đợc dạng tam thức bậc hai hay dạng đa thức bậc cao Từ sử dụng phơng pháp để đạt hiệu giải toán nhanh, xác gọn Phơng pháp thêm bớt hạng tử: 3.1 Đa thức có luỹ thừa bậc chẵn: * Phơng pháp : Tôi hớng dẫn học sinh thêm bớt hạng tử vào đa thức để làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phơng pháp khác để phân tích đợc * Các ví dụ cụ thể: a ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử : a4 + Đối với ví dụ em thấy lúng túng phân tích thành nhân tử hớng dẫn nh sau : Ta cã: a4 = (a2)2 suy 2.2.a2 = 4a4 = 22 VËy: a4 + 2a2.2 + –4a2 = (a2 + 2)2 – 4a2 = (a2 – 2a +2)(a2 + 2a + 2) NhËn xÐt: Hạng tử thêm bớt bình phơng ta ghép hạng tử thêm vào tổng ban đầu để xuất đẳng thức, hạng tử bớt mang dấu trừ ngoặc sau để xuất hiệu hai bình phơng b ví dụ 2: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 Có dạng tổng bình phơng ta cần thêm bớt lần tích số 2x ta đợc: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 – 2.2x2.9 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + – 6x)( 2x2 + + 6x) = (2x2 – 6x + 9)(2x2 + 6x + 9) Bài tập áp dụng : 4x2 + 64x4 + y4 x4 + 324 x8 + x4 + (x2 – 8)2 + 36 3.2 Cã mét sè ®a thøc bËc cao sử dụng phơng pháp xét nghiệm ta phân tích đa thức thành nhân tử Do ta áp dụng quy tắc chia hết đa thức cho đa thức để xác định nhân tử: Cách 1: Học sinh cần nắm toán tổng quát: f(x) = x3m+1 + x3n +2 + ( n N) = x3m+1 – x + x2n + – x2 + x2 + x +1 f(x) = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x +1) Ta thÊy: x3m – vµ x3n – chia hÕt cho x3 – Do ®ã chia hÕt cho x2 + x + Hay f(x) = x3m + + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + Cách 2: Ta giảm dần số mũ đa thức có dạng a + a5 + 1, a8 + a4 + đa thức có dạng tổng quát nh giảm dấn số mũ cần phảo ý đến đa thức a6 1, a3 – chia hÕt cho a2 + a + Cụ thể: Ví dụ: Phân tích thành nhân tử : A = a + a4 + Gi¶i: C¸ch 1: A = a5 + a4 + a3 – a3 + = a3(a2 + a + 1) – (a – 1)( a2 + a + 1) = ( a2 + a + 1)(a3 – a +1) C¸ch 2: A = a5 + a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a – a + = (a5 + a4 + a3) – (a3 + a2 + a) + (a2 + a + 1) = a3(a2 + a + 1) - a a2 + a + 1) + a2 + a + 1) = (a2 + a + 1)(a3 – a + 1) NhËn xÐt: Nnãi chung phân tích đa thức thành nhân tử phải vận dụng linh hoạt, sáng tạo phơng pháp trên, phải biết phối hợp cách hợp lí Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử : x7 + x2 + ( víi m = 2, n = 0) Cách 1: Ta thêm bớt x Ta có x7 + x2 + = = x7 – x + x2 +x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1)(x+ 1)(x2 – x +1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) C¸ch 2: híng dÉn cho học sinh tự làm Bài tập tơng tự: Phân tích thành nhân tử : x7 + x5 + x5 + x + x8 + x + x8 + x4 + x4 + x2 + 4.phơng pháp đổi biến: * phơng pháp : - Học sinh biết nhận dạng đa thức cần phải biến đổi dơn giản phơng pháp đổi biến - Đó đa thức bậc cao chứa nhiều số hạng phức tạp mà áp dụng phơng pháp phân tích đợc, có phân tích dợc không triệt để - Do phải hớng dẫn đặt ẩn số phụ (tức đổi biÕn sè) * Cơ thĨ: VÝ dơ 1: Ph©n tÝch thành nhân tử : (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) + Giải :Đặt x2 + 5x + = a, đa thức có dạng: (a –1)(a + 1) + = a2 – + = a2 Thay a = x2 + 5x + ta đợc (x2 + 5x + 5)2 Nhận xét: Nhờ phơng pháp đổi biến ta đà biến đổi đa thức phức tạp biến x thành đa thức bậc đơn giản với biến y phân tích thành nhân tử cách đơn giản Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử : (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 Giải: Đặt y = x2 + 4x + ta cã: y2 + 3xy + 2x2 = (y2 + 2xy + x2) + (xy + x2) = (x + y)2 + x(x + y) = (x + y)( x + y + x) = (x + y)(2x + y) = (x + x2 + 4x + 8)(2x + x2 + 4x + 8) = (x2 + 5x + 8)(x + 2)(x + 4) Ví dụ 3: Phân tích thành nh©n tư : B = 2(x4 + y4 + z4) – (x2 + y2 + z2) – 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4 Đối với em thờng lúng túng cách đặt hớng dẫn em nhận xét đặt nh sau: Giải: Ta thấy x2 + y2 + z2 vµ x + y + z xuÊt nhiều lần nên ta đặt: x + y4 + z = a x + y2 + z = b x+y+z=c Ta đợc: B = 2a – 2b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 – 2bc2 + c4 (t¸ch –b2 = b2 – 2b2) = 2(a – b2) + (b – c2)2 v× a – b2 = -2(x2y2 + y2z2 + z2x2) b – c2 = -2(xy + yz +zx) Do ®ã B = -4(x2y2 + y2z2 + z2x2) + (xy + yz +zx)2 = 8(xy2z + xyz2 + x2yz) = 8xyz(x + y + z) Bài tâp tơng tự: Bài 1: Phân tích thành nhân tử : a (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 b x2 + 2xy + y2 – x – y –12 c (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 d (x+ 2)(x+ 3)(x+ 4)(x + 5) - 24 Bµi 2: Phân tích thành nhân tử : a (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 c (x2 + y2 + z2) (x + y + z) + (xy + yz + zx)2 Hớng dẫn: Đặt a+b = m, a – b = n Lêi b×nh: Cơ sở để thực phơng pháp đổi biến ta chuyển từ đa thức bậc cao, phức tạp đa thức bậc thấp hơn, đơn giản biến Đặc biệt đa thức có nhiều hạng tử khác ta chọn nhiều biến để đặt nh ví dụ 5.Phơng pháp hệ số bất định: Ta đa ví dụ làm mẫu hớng dẫn học sinh làm theo Xét ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 15x 18 (1) Nhận xét: Muốn phân tích đa thức nhân tử phơng pháp ta phải phân tích thành tích đa thức bậc đa thức bậc nh sau: Giả sử đẳng thức đợc phân tích thì: x3 15x 18 = (x + a)(x2 + bx + c)  x3 – 15x –18 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Đồng đa thức hai vế ta đợc: a+ b=0 ab+ c=15 ac=18 {{ Tõ ac = -18 ta cã thÓ chän a =  c = -6; b = -3 VËy x3 – 15x –18 = (x + 3)(x2 – 3x – 6) Nhận xét: Từ cách làm phơng pháp hệ số bất định cho ta cách thực rõ ràng không bị đến bế tắc Bài tập tơng tự: Phân tích đa thức thành nhân tö : 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + x4 – 8x + 63 x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 3x2 + 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 6.phơng pháp xét giá trị riêng: * Cách thực hiện: Ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại * Ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử : f(x) = x3 – x2 – 14x + 24 Híng dÉn gi¶i: Víi x = ta cã f(2) = – – 28 + 24 = Suy f(x) chia hết cho x tìm đợc f(x) = (x 2)(x2 + x 12) Tơng tù víi x = 3, -4  f(3) = 0; f(-4) = Và ta đợc f(x) = (x 2)(x 3)(x- 4) Nhận xét: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp tiện lợi nhanh, có hiệu đôi lúc phân tích đợc toán tởng nh ph©n tÝch nỉi vi dơ: VÝ dơ 2: Ph©n tÝch thành nhân tử : A = x(y2 z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) Híng dÉn gi¶i: Thay x = y vµo A  A = Do ®ã A : (x – y) Ta thÊy vai trò x, y, z nh nên A : (y – z) A : (z – x) Suy A: (x y)(y z)(z x) Mặt khác bậc đơn thức đa thức A cao 3, bậc đơn thức đa thøc (x – y)(y – z)(z – x) cao nhÊt cịng lµ Suy ra: A = k(x – y)(y z)(z x) Xét biến nhận giá trị riªng x = 0, y = 1, z = Ta cã: (12 – 22) + 1(22 – 02) + 2(02 – 12) = k(0 – 1)(1 – 2)(2 – 0)  k = vËy A = (x – y)(y 2)(z 2) * Bài tập tơng tự: Phân tích thành nhân tử M = a(b +ca)2 + b(c+a–b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b– c)(b + c – a)(c +a – b) N = a(m – a)2 + b(m – b) + c(m – c)2 – abc víi 2m = a + b + c E = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) F = (a + b + c) – a3 – b3 – c3 Lời bình: Đối với toán dạng em phải phát đợc vai trò hạng tử đa thức cách linh hoạt, để từ xác định đợc giá trị riêng thừa số đa thức thực việc phân tích rễ ràng * Tiểu kết: Khi sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử em phải biết phân dạng toán sử dụng phơng pháp hợp lí, không lên áp dụng cách máy móc, cần phải có linh hoạt tuỳ theo yêu cầu mà ta ứng dụng phơng pháp cho đạt đợc hiệu cao Đối với toán bậc cao cần phải hạ bậc đa thức mà phải sử dụng đợc phơng pháp phân tích đà biết Tóm lại em phải nắm đợc dạng toán mà đà giới thiệu sâu vào vận dụng cho thành thạo kĩ giải IV Kết quả: Qua việc chọn phân dạng hệ thống tập với phơng pháp giải thấy em hình thành kĩ giải toán nhanh tìm hớng giải toàn tốt nhanh rõ rệt, có đọ xá cao Từ em đam mê, hào hứng với môn to¸n Cơ thĨ qua viƯc kiĨm tra häc sinh líp 8A, 8B nh sau: Giái 2% Sau häc: Giái 16% Khá 11% Trung bình 29% TB yếu 58% Khá 27% Trung bình 50% TB yếu 7% V Vấn đề hạn chế * Với học sinh : Do mức độ nhận thức, kĩ giải toán cha linh hoạt nên em tiếp thu kiến thức mức độ định toán phức tạp em nhiều lúng túng ĐIều phần rèn luyện cho học sinh cha nhiều đặc biệt tập áp dụng Hơn cung cấp cho học sinh phơng pháp phân tích khai thác hết đợc tất toán có dạng phân tích thành nhân tử * Với giáo viên: Do thời gian nên khả tìm tòi vốn kiến thức hạn chế nên khả tổng hợp, phân dạng cha đầy đủ ý tởng đề cha khoa học VI Điều kiện áp dụng: Nội dung bµi viÕt nµy gióp cho häc sinh líp ôn thi học sinh giỏi áp dụng cho học sinh ôn thi thi tốt nghiệp ôn thi vào cấp III Tài liệu giúp cho cã thĨ båi dìng häc sinh giái hun hc gióp học sinh ôn luyện vào trờng chuyên ban Đối với dạng toán phơng pháp giúp em tìm hớng giải toán phân tích thành nhân tử tìm nghiệm cđa mét ®a thøc bËc cao hay chøng minh sù chia hÕt chia cã d cđa ®a thøc VII Híng đề xuất tiếp tục nghiên cứu: Khi đa phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thấy rõ em có hình thành kĩ nhiều em có say mê, yêu thích môn toán hơn, có óc t sáng tạo số cách giải toán có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử Từ phơng pháp nhiều em đà tìm hớng giải toán nhanh xác Tuy nhên vấn đề nhiều hạn chế nh hệ thống tập cha nhièu, cha xếp cách hợp lý khoa học thời gian có hạn Do vấn đề tiếp tục nghiên cứu C Kết luận: Nh đà nói trên, đà giới thiệu số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Đây định hớng chung giúp em giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Từ cac phơng pháp giúp em di sâu vào dạng toán sau có liên quan đến phân tích thành nhân tử nh rút gọn phân thức Để áp dụng tốt em cần nắm vững đợc phơng pháp áp dụng em phải biết phối hợp nhiều phơng pháp với để thực việc giải toán có hiệu cao Do thời gian có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chuyên môn cha nhiều nên trành khỏi thiếu sót viết kinh nghiệm, mong đồng nghiệp giúp đỡ,chỉ bảo thêm để hoàn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy nhà trờng Tôi xin chân thành cảm ơn Đông Tảo, ngày 10 tháng 11 năm 2004 Ngời viết Hoàng Ngọc Thắng Tài liệu tham khảo Một số vấn đề phát triển đại số Tuyển chọn đại số Bốn trăm toán Toán nâng cao chuyên đề Toán nâng cao Những toán hay khó Båi dìng häc sinh giái to¸n 8 45 đề toán 9 Toán học tuổi trẻ 10 Tạp chí giới ta 11 Thực hành giải toán NXBGD NXBGD NXBTR NXBGD NXBGD NXBĐN NXBGD NXBTR NXBGD NXBGD NXBGD Mục lục A đặt vấn đề B Nội dung I Tình hình chung II Những vấn đề cần giải III Phơng pháp tiến hành Nắm vững đẳng thức Các phơng pháp phân tích thành nhân tử đợc giới thiệu SGK Các phơng pháp khác phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Phân tích đa thức có bậc ba cao Phơng pháp thêm bớt hạng tử Phơng pháp đổi biến Phơng pháp hệ số bất định Phơng pháp xét giá trị riêng IV Kết V Vấn đề hạn chế VI Điều kiện áp dụng C Kết luận Tài liêu tham kh¶o Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 15 Trang 17 Trang 19 Trang 20 Trang 22 Trang 23 Trang 23 Trang 24 Trang 25