13 CDDBDHSG TOAN 6

“Chun đề HSG Tốn 6” Nợi dung CHUN ĐỀ 1: TẬP HỢP VÀ CỦNG CỐ VỀ SỐ TỰ NHIÊN  DẠNG 1: TẬP HỢP TRÊN SỐ TỰ NHIÊN  DẠNG 2: ĐẾM  DẠNG 3: TÌM SỐ TỰ NHIÊN HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ  DẠNG 1: TẬP HỢP TRÊN SỐ TỰ NHIÊN  DẠNG 2: ĐẾM  DẠNG 3: TÌM SỐ TỰ NHIÊN .14 CHUYÊN ĐỀ 2: DẤU HIỆU CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ 20  DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH 21  DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ 22  DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 23 HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ .23  DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH 23 DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ 28 a DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 32 CHUYÊN ĐỀ 3: LŨY THỪA TRONG SỐ TỰ NHIÊN .33 - DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 33 - DẠNG 2: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG .34 - DẠNG 3: SO SÁNH LŨY THỪA VỚI LŨY THỪA .34 - DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ CỦA SỐ TỰ NHIÊN 35 HƯỚNG DẪN – ĐÁP ÁN 35 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN “Chuyên đề HSG Tốn 6” - DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 35 a DẠNG 2: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG 36 b DẠNG 3: SO SÁNH LŨY THỪA VỚI LŨY THỪA 37 c DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ CỦA SỐ TỰ NHIÊN .38 CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ TỰ NHIÊN THEO QUY LUẬT 40 a DẠNG 1: MỘT SỐ DÃY SỐ TỔNG QUÁT 40 b DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 41 HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ 43 CHUYÊN ĐỀ 5: BỘI – ƯỚC – ƯCLN – BCNN 49  DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN LIÊN QUAN VỀ ƯỚC VÀ BỘI: 50  DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ TRONG ĐÓ CÓ CÁC DỮ KIỆN VỀ ƯCLN VÀ BCNN 51  DẠNG 3: TÌM ƯCLN CỦA CÁC BIỂU THỨC SỐ .53  DẠNG 4: VẬN DỤNG THUẬT TOÁN Ơ – CLIT TÌM ƯCLN 53 HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ 55  DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN LIÊN QUAN VỀ ƯỚC VÀ BỘI: 55  DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ TRONG ĐÓ CÓ CÁC DỮ KIỆN VỀ ƯCLN VÀ BCNN 59  DẠNG 3: TÌM ƯCLN CỦA CÁC BIỂU THỨC SỐ .66  DẠNG 4: VẬN DỤNG THUẬT TỐN Ơ – CLIT TÌM ƯCLN 68 CHUYÊN ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG .70 DẠNG 1: TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG .70 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN “Chun đề HSG Tốn 6” DẠNG 2: TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG .75 DẠNG 3: TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG 78 CHUYÊN ĐỀ 7: VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG .82 CHUYÊN ĐỀ 8: BẤT ĐẲNG THỨC 105  DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ 105 a DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: 105 a) DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC 107  DẠNG 4: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỀ TÌM KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA SỐ PHẢI TÌM .109 HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ .109  DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ 109 b DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: 110 b) DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC 117 CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT 130 DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ 130 a DẠNG 2: TÍNH NHANH 130 b DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC .132  DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC 136 HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ .136 a DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ 136 c DẠNG 2: TÍNH NHANH 138 d DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC .142 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN “Chun đề HSG Tốn 6”  DẠNG 4: TÌM X .148  DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ .149  DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC 153 CHUYÊN ĐỀ 10: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 156 CHUYÊN ĐỀ 11: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG .195 PHẦN HÌNH HỌC CƠ BẢN & NÂNG CAO GỒM CHUYÊN ĐỀ 11 VÀ 12 225 CHƯƠNG I – ĐOẠN THẲNG 225 TÀI LIỆU ĐƯỢC SƯU TẦM TỪ INTERNET TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN “Chun đề HSG Tốn 6” NÂNG CAO PHÁT TRIỂN & BỒI DƯỠNG HSG THEO CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP VÀ CỦNG CỐ VỀ SỐ TỰ NHIÊN  DẠNG 1: TẬP HỢP TRÊN SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp đó: a b c d e Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < Tập hợp C số tự nhiên x mà x – = x + Tập hợp D số tự nhiên x mà x : = x : Tập hợp E số tự nhiên x mà x + = x Bài 2: Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó: a Tập hợp A số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị b Tập hợp B số tự nhiên có ba chữ số mà tổng chữ số Bài 3: Cho tập hợp: A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5} Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài 4: Cho tập hợp: A = {1; 2; 3; 4} a Viết tập hợp A mà phần tử số chẵn b Viết tập hợp A TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN “Chuyên đề HSG Toán 6”  DẠNG 2: ĐẾM Bài 1: Trong số tự nhiên từ đến 100, có số: a Chia hết cho mà không chia hết cho 3? b Chia hết cho mợt hai số 3? c Không chia hết cho không chia hết cho 3? Bài 2: Trong số tự nhiên từ đến 1000, có số: a Chia hết cho mợt số 2, 3, 5? b Không chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Bài 3: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích học Tốn, 60 học sinh thích Văn a Nếu có học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn có học sinh thích hai mơn Văn Tốn? b Có nhiều học sinh thích hai mơn Văn Tốn? c Có học sinh khơng thích hai mơn Văn Tốn? Bài 4: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận 2? Bài 5: Có số tự nhiên có ba chữ số có mợt chữ số 5? Bài 6: Để đánh số trang một sách, người ta viết dãy số tự nhiên phải dùng tất 1998 chữ số a Hỏi sách có trang? b Chữ số thứ 1010 chữ số nào? Bài 7: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số: a b c d Chứa một chữ số 4? Chứa hai chữ số 4? Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Bài 8: Viết dãy số tự nhiên từ đến 999 ta một số tự nhiên A a b c d Số A có chữ số? Tính tổng chữ số số A? Chữ số viết lần? Chứ số viết lần? TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6 “Chuyên đề HSG Toán 6” Bài 9: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập tất số tự nhiên mà chữ số có mặt mợt lần Tính tổng số  DẠNG 3: TÌM SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có viết thêm chữ số vào đằng trước số Bài 2: Tìm số tự nhiên có tận 3, biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị Bài 3: Tìm ba chữ số khác khác 0, biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 Bài 4: Hiệu hai số Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai số Bài 5: Tìm hai số, biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, tích chúng gấp 24 lần hiệu chúng Bài 6: Tích hai số 6210 Nếu giảm mợt thừa số đơn vị tích 5265 Tìm thừa số tích Bài 7: Mợt học sinh nhân mợt số với 463 Vì bạn viết chữ số tận tích riêng mợt cợt nên tích 30524 Tìm số bị nhân? Bài 8: Tìm thương mợt phép chia, biết thêm 15 vào số bị chia thêm vào số chia thương số dư không đổi? Bài 9: Khi chia một số tự nhiên gồm ba chữ số cho một số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, ta thương cịn dư Nếu xóa mợt chữ số số bị chia xốt mợt chữ số số chia thương phép chia số dư giảm trước 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN “Chun đề HSG Tốn 6” HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ  DẠNG 1: TẬP HỢP TRÊN SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp đó: a) Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = x=8:2=4  A ={4} b) Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < x x ≥ 35 Có 35 học sinh thích hai mơn Văn Tốn Bài 4: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận 2? HƯỚNG DẪN: Các số phải đếm có dạng Chữ số a có cách chọn Với cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN 10 “Chuyên đề HSG Toán 6” = 300 = 600 Tia nằm hai tia lại? Vì sao? Tính Gọi Om tia đối tia Oy Tính ? Tia Oy có tia phân giác khơng? Vì sao? ? Kể tên cặp góc kề bù có hình vẽ Bài 13 : Cho hình vẽ H.1 biết  xOy = 300  xOz = 1200 Suy ra: A yOz góc nhọn z B yOz góc vng y C yOz góc tù Bài 14 : Nếu  D yOz góc bẹt A = 350 120 30 x B = 550 Ta nói:  A A B hai góc bù B A B hai góc kề C A B hai góc kề bù D A B hai góc phụ Bài 15 : Với điều kiện sau, điều kiện khẳng định tia Ot tia phân giác t xOy? A  xOt =  yOt B  xOt +  tOy = C  xOt +  tOy = z   xOy 35 x xOy  xOt =  yOt y H.2 D Tất câu sai Bài 16 : Cho hình vẽ H.2, A 1450 B 350 C 900 D 550  tMz có số đo là: Bài 17 : Cho hình vẽ H.3, đường trịn tâm O, bán kính 4cm Mợt điểm A � (O;4cm) thì: A OA = 4cm B OA = 2cm C OA = 8cm D Cả câu sai H.4 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 269 “Chuyên đề HSG Toán 6” A Bài 18 : Hình vẽ H.4 có: A tam giác tam giác B M N C H.4 B tam giác C tam giác D Bài 19 : Đinh nghĩa tam giác ABC Bài 20 : vẽ nêu cách vẽ tam giác ABC có đợ dài AB=3, AC=4, BC=5 Bài 21 : Trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, xác định hai tia Oy Ot cho xOy = 300 xOt = 700 Tia nằm hai tia cịn lại? Vì sao? Tính yOt? Tia Oy có tia phân giác xOt khơng? Vì sao? Gọi Om tia đối tia Ox Tính mOt? Bài 22 : Cho hai điểm M N nằm phía A, nằm phía B Điểm M nằm A B Biết AB = 5cm, AM = cm, BN = cm Chứng tỏ rằng: Bốn điểm A, B, M, N thẳng hàng Điểm N trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ đường tròn tâm N qua B đường tròn tâm A qua N, chúng cắt C Tính chu vi tam giác CAN Bài 23: Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ điểm N nằm M B Cho biết MN = a(cm), NB = b (cm) Tính AB Lấy điểm O nằm đường thẳng AB Giả sử = 1000; = 600 ; = 200 Hỏi tia ON có phải tia phân giác góc MOB khơng? Vì sao? TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 270 “Chuyên đề HSG Tốn 6” PHẦN 2: CHUN ĐỀ 13: GĨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài 1: Cho ba điểm A, B, C không nằm đường thẳng a, đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB AC Đường thẳng a có cắt đoạn thẳng BC không? Bài 2: Cho n tia chung gốc tạo thành tất 190 góc Tính n? Bài 3: Bốn điểm A, B, C, D không nằm đường thẳng a Chứng tỏ đường thẳng a không cắt cắt ba cắt bốn đoạn thẳng đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD Bài 4: Cho hai tia Ox, Oy đối Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Om, On cho Chứng tỏ Om, On hai tia đối Bài 5: Cho góc , tia OC nằm góc Gọi OM, ON theo thứ tự tia phân giác góc AOC, BOC Tính Bài 6: Cho góc tia OD, OE cho ? OC tia phân giác góc Trong góc vẽ Chứng tỏ tia OC tia phân giác góc Bài 7: Cho 10 điểm thuộc đường thẳng a mợt điểm nằm ngồi đường thẳng Có tam giác có đỉnh ba 11 điểm trên? Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C, điểm E nằm A B Các đoạn thẳng BD CE cắt K Nối DE Tính xem có tam giác hình vẽ? Bài 9: Cho tam giác ABC Chứng tỏ vẽ một đường thẳng không qua ba đỉnh tam giác cắt ba tia AB, AC, BC TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN 271 “Chun đề HSG Tốn 6” Bài 10: Cho điểm O nằm tiam giác ABC Hãy chứng tỏ rằng: Tia BO cắt đoạn thẳng AC một điểm D nằm A C Điểm O nằm hai điểm B va D Trong ba tia OA, OB, OC không coa tia nằm hai tia lại Bài 11: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD tạo thành góc AOB, BOC, COD, DOA khơng có điểm chung Tính số đo góc biết rằng: Bài 12: Cho góc góc Tính khơng có điểm chung có số đo Bài 13: Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia OA, vẽ cá tia OB OC cho Tìm giá trị để OA tia phân giác góc Bài 14: Cho góc tù xOy Bên góc xOy, vẽ tia Om cho góc xOm 900 vẽ tia On cho góc yOn 900 Chứng minh góc xOn góc yOm Gọi Ot tia phân giác góc xOy.Chứng minh Ot tia phân giác góc mOn Bài 15: Cho hai góc kề bù xOy yOz Trên tia Oy lấy điểm A, tia Ox lấy điểm B, tia AD lấy điểm C cho AB < AC Tia Ox có nằm hai tia OA OC khơng? Vì sao? Cho góc yOz = 1300; góc zOc = 1500 Tính số đo góc AOC Bài 16: Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy Bài 17: Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 272 “Chuyên đề HSG Tốn 6” Góc xOy = góc xOz = góc yOz Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại Bài 18: Cho góc AOB = 1350 C mợt điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 Tính góc AOC Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD Bài 19: Cho tam giác ABC có AB=AC M một điểm nằm A C, N một điểm nằmg A B cho CM=BN Chứng minh đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN, Chứng minh góc B = góc C, BM=CN Bài 20: Vẽ tam giác ABC biết BC = cm; AB = 3cm ;AC = 4cm Lấy điểm O tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC H, tia B0 cắt AC I,tia C0 cắt AB K Trong hình có có tam giác Bài 23: Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ Bài 24: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B A1; A2; A3; ; A2004 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B Tính số tam giác tạo thành Bài 25: Cho tam giác ABC BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm Tình đợ dài BM Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM Vẽ tia Ax, Ay tia phân giác góc BAC CAM Tính góc xAy Lấy K thuộc đoạn thẳng BM CK = cm Tính đợ dài BK Bài 26: Trên đoạn thẳng AB = 5cm, lấy điểm M Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AM = AN Tính đợ dài đoạn thẳng BN BM = 2cm Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, Ay cho �  400 , BAy �  1100 Chứng tỏ Ay tia phân giác NAx � BAx TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 273 “Chuyên đề HSG Toán 6” Hãy xác định vị trí M đoạn AB để BN có đợ dài lớn HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ PHẦN 2: CHUYÊN ĐỀ 13: GÓC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài 1: Cho ba điểm A, B, C không nằm đường thẳng a, đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB AC Đường thẳng a có cắt đoạn thẳng BC không? Giải: Đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB không qua A, B nên A B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a Tương tự vậy, A C thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ a TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN 274 “Chun đề HSG Tốn 6” Vậy B, C tḥc mợt nửa mặt phẳng có bờ a, chúng lại khơng nằm a, đoạn thẳng a không cắt đoạn thẳng BC Bài 2: Cho n tia chung gốc tạo thành tất 190 góc Tính n? HD: = 190 n 20 Bài 3: Bốn điểm A, B, C, D không nằm đường thẳng a Chứng tỏ đường thẳng a không cắt cắt ba cắt bốn đoạn thẳng đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD Giải: Đường thẳng a chia mặt phẳng hai nửa mặt phẳng Xét trường hợp: Nếu bốn điểm A, B, C, D thuộc một nửa mặt phẳng a khơng cắt đoạn thẳng đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD Nếu có mợt điểm (chẳng hạn A) thuộc một nửa mặt phẳng, ba điểm (B, C, D) thuộc nửa mặt phẳng đối đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD Nếu có hai điểm (chẳng hạn A B) thuộc một nửa mặt phẳng, hai điểm (C, D) tḥc nửa mặt phẳng đối đường thẳng a cắt đoạn thẳng AC, AD, BC, BD Bài 4: Cho hai tia Ox, Oy đối Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Om, On cho Chứng tỏ Om, On hai tia đối Giải: Các góc , kề bù: = 1800 - Các góc , = 1800 – 700 = 1100 kề bù nên Om, On hai tia đối TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 275 “Chuyên đề HSG Tốn 6” Bài 5: Cho góc , tia OC nằm góc Gọi OM, ON theo thứ tự tia phân giác góc AOC, BOC Tính ? HD: = + = Bài 6: Cho góc + = = = = 550 OC tia phân giác góc Trong góc tia OD, OE cho vẽ Chứng tỏ tia OC tia phân giác góc HD: Chứng tỏ = = 300 Bài 7: Cho 10 điểm thuộc đường thẳng a mợt điểm nằm ngồi đường thẳng Có tam giác có đỉnh ba 11 điểm trên? HD: Có đoạn thẳng nằm đường thẳng a có nhiêu tam giác Đáp số: 45 tam giác Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C, điểm E nằm A B Các đoạn thẳng BD CE cắt K Nối DE Tính xem có tam giác hình vẽ? Đ/s: Có tam giác “đơn”, có tam giác “đơi”, có tam giác “ba”, có tam giác “năm”, tất cos12 tam giác Bài 9: Cho tam giác ABC Chứng tỏ vẽ một đường thẳng không qua ba đỉnh tam giác cắt ba tia AB, AC, BC HD: TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 276 “Chuyên đề HSG Tốn 6” Lấy A’ tḥc tia đối tia CB không trùng C, Lấy B’ nằm A C => A’B’ đường thẳng phải tìm Bài 10: Cho điểm O nằm tam giác ABC Hãy chứng tỏ rằng: Tia BO cắt đoạn thẳng AC một điểm D nằm A C Điểm O nằm tam giác ABC nên O nằm góc B, tia BO nằm hai tia BA, BC Ta lại có A C điểm không trùng B thuộc tia BA, BC, suy tia BO cắt đoạn thẳng AC một điểm D nằm A C Điểm O nằm hai điểm B D Điểm O nằm tam giác ABC nêm O nằm góc C, tia CO nằm hai tia CA, CB Ta lại có B D điểm khơng trùng C thuộc tia CB CA, suy tia CO cắt đoạn thẳng BD một điểm (là điểm O) nằm B D Trong ba tia OA, OB, OC khơng có tia nằm hai tia cịn lại Tia OB khơng cắt đoạn thẳng AC đường thẳng OB có mợt điểm D chung với đoạn thẳng SC D không thuộc tia OB (theo câu b) tia OB khơng nằm hai tia OA OC Lập luận tương tự, tia OC không nằm hai tia OA OB, tia OA không nằm hai tia OB OC Bài 14: Cho góc tù xOy Bên góc xOy, vẽ tia Om cho góc xOm 900 vẽ tia On cho góc yOn 900 Chứng minh góc xOn góc yOm Gọi Ot tia phân giác góc xOy.Chứng minh Ot tia phân giác góc mOn Giải: Hình vẽ a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy  xÔn = yÔm b) Lập luận : xÔt = tÔy xÔt = xÔn + nÔt tÔy = m + mƠt TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN 277 “Chun đề HSG Tốn 6”  nƠt = mƠt  Ot tia phân giác góc mOn m t y n O x Bài 16: Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy Giải: Hình vẽ t y z 970 x' 400 540 x O a)Theo đề ta có góc x’Ox = 180 mà góc x’Oy góc yOx kề bù Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b)Theo câu a ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 278 “Chuyên đề HSG Tốn 6” Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 43 ( góc xOt = 970 góc xOy = 1400) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 430 ( góc xOt = 970 góc xOy = 540) Suy góc tOy = góc zOt = 430 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy Bài 17: Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: Góc xOy = góc xOz = góc yOz Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại Giải: Ta có: góc x ’ Oy = 60o , góc x'Oz = 600 tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên góc yOz = yOx ' + x'Oz = 120o Vậy Góc xOy = góc xOz = góc yOz Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz góc x 'Oy = góc x'Oz nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy Bài 18: Cho góc AOB = 1350 C mợt điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 Tính góc AOC Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD Giải: a) Theo giả thiết C nằm góc AOB nên tia OC nằm hai tia OB OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 279 “Chuyên đề HSG Tốn 6” => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) Vì OD tia đối tia OC nên C, O, D thẳng hàng, Do góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD Bài 19: Cho tam giác ABC có AB=AC M mợt điểm nằm A C, N một điểm nằmg A B cho CM=BN Chứng minh đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN, Chứng minh góc B = góc C, BM=CN Bài 20: Vẽ tam giác ABC biết BC = cm; AB = 3cm ;AC = 4cm Lấy điểm O tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC H, tia B0 cắt AC I,tia C0 cắt AB K Trong hình có có tam giác Giải: A a Vẽ đoạn thẳng BC=5cm Vẽ cung tròn (B;3cm) I K O Vẽ cung tròn (C;4cm) Lấy giao đIểm A hai cung B H C Vẽ đoạn thẳng AB, AC ta tam giác ABC b Có tam giác” đơn” AOK; AOI; BOK; BOH; COH; COI TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN 280 “Chun đề HSG Tốn 6” Có tam giác “Ghép đơi” AOB; BOC; COA Có tam giác “Ghép ba” Là ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH Có mợt tam giác “Ghép 6” tam giác ABC Vậy hình có tất 6+3+1+6 = 16(Tam giác) Bài 23: Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ Giải: a) Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc Nhưng góc tính lần có tất 5.6 15 góc b) Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có n( n ) (góc) Bài 24: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B A1; A2; A3; ; A2004 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B Tính số tam giác tạo thành Giải: Trên đoạn thẳng AB có điểm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý MA kết hợp với MA1 để tam giác MA kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1) TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN 281 “Chun đề HSG Tốn 6” Do số tam giác thực có là: 4022030 : = 2011015 Bài 25: Cho tam giác ABC BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm Tình đợ dài BM Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM Vẽ tia Ax, Ay tia phân giác góc BAC CAM Tính góc xAy Lấy K thuộc đoạn thẳng BM CK = cm Tính đợ dài BK Giải: A B x C M y a M, B thuộc tia đối CB CM => C nằm B M => BM = BC + CM = (cm) b C nằm B,M => Tia AC nằm tia AB, AM => c Có = = 200 = + = ( = + + )= 2 = 800 = 400 d +) Nếu K  tia CM => C nằm B K1 => BK1 = BC + CK1 = (cm) +)Nếu K  tia CB => K2 nằm B C TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 282 “Chuyên đề HSG Toán 6” => BK2 = BC = CK2 =4 (cm) TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 283 ... đó, 9999 có tận 99  66 66 Ta có 65 có tận 76 Một số tận 76 dù nâng lên mợt số tự nhiên khác tận 76 Do 66 66 = (65 )133 .6 = (… 76 )133 .6 = (… 76) .6 = (… 56) Vậy 66 66 có tận 56  b DẠNG 3: SO SÁNH... 5 265  62 10 – 7.b = 5 265  7.b = 62 10 – 5 265  7.b = 945  b= 945 : = 135 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TỐN 16 “Chun đề HSG Tốn 6? ??  a= 62 10 : 135 = 46 Vậy hai thừa số cần tìm 46; 135 Bài 7: Mợt học... HSG TOÁN 26 “Chuyên đề HSG Toán 6? ?? = 100a - 84a +10b - 42b + c + 63 c +84a + 42b -63 c = 16a - 32b + 64 c + 84a + 42b -63 c = 16( a-2b+4c) + 84a + 42b -63 c chia hết cho 21, 84a + 42b -63 c chia hết