(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric

(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN VĂN CHIỂU ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN TRONG KHÔNG GIAN METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN VĂN CHIỂU ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN TRONG KHÔNG GIAN METRIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Phan Văn Chiểu Xác nhận trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Bùi Thế Hùng Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt trình học tập thực luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Phan Văn Chiểu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Định lý điểm bất động Kannan 1.1 Định lý điểm bất động Banach 1.2 Định lý điểm bất động Kannan 1.3 Định lý điểm bất động số co ánh xạ điều khiển 15 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Kannan 21 2.1 Một số khái niệm mở đầu 21 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan 23 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iii Một số ký hiệu viết tắt N tập số tự nhiên N∗ tập số tự nhiên khác không R tập số thực R+ tập số thực không âm {xn } dãy số lim sup giới hạn ∅ tập rỗng A∪B hợp hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B (X, d) không gian metric O(x; ∞) quỹ đạo ánh xạ T điểm x ✷ kết thúc chứng minh iv Mở đầu Lý thuyết điểm bất động ứng dụng lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn toán học đại Đây lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước Lý thuyết điểm bất động công cụ quan trọng để nghiên cứu tượng phi tuyến tính Nó có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học tồn nghiệm phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng hệ động lực, Hơn nữa, cịn có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế, Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết điểm bất động nói bắt nguồn từ ứng dụng rộng rãi Nguyên lý ánh xạ co Banach [1] trung tâm lý thuyết điểm bất động không gian metric Sự đời nguyên lý ánh xạ co Banach với ứng dụng mở phát triển lý thuyết điểm bất động metric Như ta biết ánh xạ co Banach ánh xạ liên tục Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Liệu có tồn ánh xạ co khơng liên tục có điểm bất động hay không? Năm 1968, Kannan [7] chứng minh lớp ánh xạ co khơng liên tục ln có điểm bất động nhất: Định lý Giả sử (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn tồn K < cho d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X Khi T có điểm bất động Năm 2017, J Górnicki [4] chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ liên tục co kiểu Kannan không gian metric compact Năm 2018, H Garai, L K Dey, T Senapati [3] thiết lập số định lý điểm bất động cho ánh xạ liên tục theo quỹ đạo co kiểu Kannan không gian metric compact bị chặn không gian metric compact theo quỹ đạo Các kết H Garai, L K Dey, T Senapati [3] hồn tồn khác biệt kết J Górnicki [4] Mục đích luận văn giới thiệu lại số kết nghiên cứu tác giả J Górnicki [4] H Garai, L K Dey, T Senapati [3] định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Kannan Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương chúng tơi trình bày ngun lý ánh xạ co Banach số mở rộng dạng đơn giản, định lý điểm bất động ánh xạ Kannan số mở rộng Ngồi chúng tơi cịn trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ co với số hàm điều khiển Chương dành cho việc trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Kannan không gian metric compact, không gian metric compact theo quỹ đạo, không gian metric compact bị chặn không gian metric đầy đủ với điều kiện kiểu Meir- Keeler Một đặc trưng ánh xạ co kiểu Kannan trình bày Chương Định lý điểm bất động Kannan Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Kannan, định lý điểm bất động ánh xạ tiệm cận quy định lý điểm bất động số co ánh xạ điều khiển Các kết chương chúng tơi trích từ tài liệu [?], [4]-[6] 1.1 Định lý điểm bất động Banach Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X tập hợp khác rỗng Hàm d : X × X → R gọi metric X thỏa mãn (i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi cặp (X, d) gọi không gian metric Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, d) không gian metric, {xn } dãy phần tử X , ta nói {xn } hội tụ đến x ∈ X lim d(xn , x) = n→∞ Ta kí hiệu lim xn = x xn → x n → ∞ n→∞ Định lý 1.1.3 Giả sử (X, d) khơng gian metric Khi (i) Giới hạn dãy (nếu có) (ii) Nếu lim xn = a; lim yn = b lim d(xn , yn ) = d(a, b) n→∞ n→∞ n→∞ Chứng minh (i) Trong X giả sử lim xn = a; lim yn = b Ta có n→∞ n→∞ d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b) với n Cho n → ∞ ta thu d(a, b) = Điều kéo theo a = b (ii) Với n ta có d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b) Suy d(a, b) − d(xn , yn ) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b) Tương tự ta có d(xn , yn ) − d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b) Kết hợp hai bất đẳng thức ta |d(xn , yn ) − d(a, b)| ≤ d(a, xn ) + d(yn , b) Theo giả thiết, lim d(xn , a) = lim d(yn , b) = Từ suy n→∞ n→∞ lim d(xn , yn ) = d(a, b) n→∞ Định lý chứng minh Định nghĩa 1.1.4 Giả sử (X, d) không gian metric Dãy {xn } phần tử X gọi dãy Cauchy (cơ ) lim d(xm , xn ) = m,n→∞ Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy phần tử X hội tụ Định nghĩa 1.1.6 Không gian metric (X, d) gọi compact dãy X chứa dãy hội tụ T2 x = 2x với x ∈ X n ≥ Khi (X, d) T1 - compact theo quỹ đạo không T2 - compact theo quỹ đạo Ví dụ 2.1.6 Xét X = [0, 1) với metric cảm sinh metric tự nhiên R Xét ánh xạ T : X → X công thức Tx = x với x ∈ X Khi (X, d) T - compact theo quỹ đạo khơng khơng gian đầy đủ Ví dụ 2.1.7 Xét X = [0, +∞) với metric cảm sinh metric tự nhiên R Xét ánh xạ T : X → X công thức T x = 2x với x ∈ X Khi (X, d) compact bị chặn không T - compact theo quỹ đạo 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan Định nghĩa 2.2.1 Giả sử (X, d) khơng gian metric Ta nói ánh xạ T : X → X co kiểu Kannan d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X; x = y Định lý 2.2.2 Giả sử (X, d) không gian metric compact T : X → X ánh xạ liên tục co kiểu Kannan Khi T có điểm bất động z ∈ X với x ∈ X , ta có lim T n x = z n→∞ 23 Chứng minh Xét hàm số f : X → [0, +∞) f (x) = d(x, T x) Vì d, T liên tục X nên f liên tục X Vì X compact nên hàm f đạt giá trị nhỏ X , tức tồn z ∈ X cho f (z) = inf x∈X f (x) Ta chứng minh z = T z Thật vậy, giả sử z = T z Khi d(T z, T z) < {d(z, T z) + d(T z, T z)} Từ suy d(T z, T z) < d(z, T z) Do f (T z) = d(T z, T z) < d(z, T z) = f (z) Điều mâu thuẫn với f (z) = inf x∈X f (x) Vậy z = T z Hiển nhiên z điểm bất động T Mặt khác, với x ∈ X , ta định nghĩa dãy {xn } công thức xn = T n x với n ∈ N∗ Nếu x = z xn = z với n ∈ N∗ Do lim T n x = z Bây ta giả sử x = z Khi giả thiết, n→∞ d(T n+1 x, T n x) < {d(T n x, T n+1 x) + d(T n−1 x, T n x)} với n ∈ N∗ Điều kéo theo d(T n+1 x, T n x) < d(T n−1 x, T n x) với n ∈ N∗ Vậy dãy {d(T n+1 x, T n x)} đơn điệu giảm chặt số thực không âm Do tồn b ≥ cho lim d(T n+1 x, T n x) = b Ta chứng minh b = Thật n→∞ vậy, giả sử b > Bởi tính compact X nên tồn dãy {T ni x} dãy {T n x} cho lim T ni x = v ∈ X Vì T liên tục, i→∞ < b = lim d(T ni +1 x, T ni x) = d(T v, v) n→∞ Điều chứng tỏ v = T v Hơn nữa, ta lại có < b = lim d(T ni +2 x, T ni +1 x) = d(T v, T v) < d(T v, v) = b i→∞ 24 Điều xảy Do lim d(T n+1 x, T n x) = b = Từ bất n→∞ đẳng thức d(T n+1 x, z) = d(T n+1 x, T z) ≤ {d(T n x, T n+1 x) + d(z, T z)} = d(T n x, T n+1 x) → n → ∞, ta suy lim T n x = z Định lý chứng minh n→∞ Định lý 2.2.3 Giả sử (X, d) không gian metric compact bị chặn, T : X → X ánh xạ co kiểu Kannan liên tục theo quỹ đạo Khi T có điểm bất động z ∈ X với x ∈ X , ta có lim T n x = z n→∞ Chứng minh Lấy x0 ∈ X cố định Ta định nghĩa dãy {xn } X xác định xn = T n x0 với n ∈ N Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp Tồn k ∈ N cho xk = xk+1 Khi xk = xk+1 = T xk Điều chứng tỏ xk điểm bất động ánh xạ T Trường hợp xn = xn+1 với n ∈ N Đặt dn = d(xn , xn+1 ) với n ∈ N Khi ta có dn = d(T xn−1 , T xn ) < {d(xn−1 , T xn−1 ) + d(xn , T xn )} = {d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )} = (dn−1 + dn ) với n ∈ N∗ 25 Điều kéo theo dn < dn−1 với n ∈ N∗ Vậy {dn } dãy giảm ngặt số thực dương Từ suy tồn b ≥ cho lim dn = b Mặt khác, với m, n ∈ N∗ , ta có n→∞ d(xn , xm ) = d(T xn−1 , T xm−1 ) < {d(xn−1 , T xn−1 ) + d(xm−1 , T xm−1 )} = {d(xn−1 , xn ) + d(xm−1 , xm )} = (dn−1 + dm−1 ) < d0 (2.1) Vậy dãy {xn } bị chặn X Vì X compact bị chặn nên tồn dãy {xnk } dãy {xn } cho lim xnk = z Bởi tính liên tục theo quỹ đạo k→∞ T nên b = d(z, T z) = d(T z, T z) Ta chứng minh b = Thật vậy, giả sử b > Khi z = T z Theo giả thiết ta có d(z, T z) < {d(z, T z) + d(T z, T z)} Điều kéo theo d(z, T z) < d(T z, T z) Bất đẳng thức mâu thuẫn với d(z, T z) = d(T z, T z) Vậy b = Chứng tỏ lim dn = Mặt khác theo (2.1), ta có n→∞ d(xn , xm ) < (dn−1 + dm−1 ) với n, m ∈ N∗ Cho n, m → ∞ ta thu lim d(xn , xm ) = Vậy dãy {xn } Cauchy n,m→∞ X Ta lim xn = z Thật vậy, ta có n→∞ d(xn , z) ≤ d(xn , xkn ) + d(xkn , z) → n → ∞ Từ suy lim xn = z Mặt khác, ta lại có n→∞ d(z, T z) ≤ d(z, xn+1 ) + d(xn+1 , T z) 26 = d(z, xn+1 ) + d(T xn , T z) < d(z, xn+1 ) + {d(xn , T xn ) + d(z, T z)} = d(z, xn+1 ) + {d(xn , xn+1 ) + d(z, T z)} với n ∈ N Từ suy d(z, T z) < 2d(z, xn+1 ) + d(xn , xn+1 ) với n ∈ N Cho n → ∞ ta thu d(z, T z) = Điều kéo theo z = T z Chứng tỏ z điểm bất động T Bây ta z điểm bất động T Thật vậy, giả sử z ∗ = z điểm bất động T Khi theo giả thiết ta có d(z, z ∗ ) = d(T z, T z ∗ ) < {d(z, T z) + d(z ∗ , T z ∗ )} = Điều xảy Vậy z điểm bất động T Vì x0 tuỳ ý nên lim T n x = z với x ∈ X n→∞ Ta biết tính compact bị chặn tính T - compact theo quỹ đạo hồn tồn khác Kết cho ta điều kiện đủ cho tồn điểm bất động giả thiết tính T - compact theo quỹ đạo Định lý 2.2.4 Giả sử (X, d) không gian metric T - compact theo quỹ đạo, T : X → X ánh xạ co kiểu Kannan liên tục theo quỹ đạo Khi T có điểm bất động z ∈ X với x ∈ X , ta có lim T n x = z n→∞ Chứng minh Lấy x0 ∈ X cố định Ta định nghĩa dãy {xn } X xác định xn = T n x0 với n ∈ N 27 Chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 2.2.2, tồn b ≥ cho lim dn = b, dn = d(xn , xn+1 ) Vì X T - compact theo quỹ đạo n→∞ nên tồn dãy {xnk } dãy {xn } cho lim xnk = z ∈ X Bởi k→∞ tính liên tục theo quỹ đạo T nên b = d(z, T z) = d(T z, T z) Ta chứng minh b = Thật vậy, giả sử b > Khi z = T z Theo giả thiết ta có d(z, T z) < {d(z, T z) + d(T z, T z)} Điều kéo theo d(z, T z) < d(T z, T z) Bất đẳng thức mâu thuẫn với d(z, T z) = d(T z, T z) Vậy b = Chứng tỏ lim dn = Mặt khác, ta có n→∞ d(xn , xm ) < (dn−1 + dm−1 ) với n, m ∈ N∗ Cho n, m → ∞ ta thu lim d(xn , xm ) = Vậy dãy {xn } Cauchy n,m→∞ X Ta lim xn = z Thật vậy, ta có n→∞ d(xn , z) ≤ d(xn , xkn ) + d(xkn , z) → n → ∞ Từ suy lim xn = z Mặt khác ta lại có n→∞ d(z, T z) ≤ d(z, xn+1 ) + d(xn+1 , T z) = d(z, xn+1 ) + d(T xn , T z) < d(z, xn+1 ) + {d(xn , T xn ) + d(z, T z)} = d(z, xn+1 ) + {d(xn , xn+1 ) + d(z, T z)} với n ∈ N Từ suy d(z, T z) < 2d(z, xn+1 ) + d(xn , xn+1 ) với n ∈ N Cho n → ∞ ta thu d(z, T z) = Điều kéo theo z = T z Chứng tỏ z điểm bất động T Bây ta z điểm bất động 28 T Thật vậy, giả sử z ∗ = z điểm bất động T Khi theo giả thiết ta có d(z, z ∗ ) = d(T z, T z ∗ ) < {d(z, T z) + d(z ∗ , T z ∗ )} = Điều xảy Vậy z điểm bất động T Vì x0 tuỳ ý nên lim T n x = z với x ∈ X n→∞ Ví dụ 2.2.5 Trên tập X := (1, 2] ∪ {−1, 0} với metric tự nhiên, xét ánh xạ T : X → X xác định Tx = −1, x = 2, 0, x = Với x = 2, ta có d(T x, T 2) = |T x − T 2| = |0 + 1| = 1 {d(x, T x) + d(2, T 2)} = {|x − T x| + |2 + 1|} > 2 Từ suy d(T x, T 2) < {d(x, T x) + d(2, T 2)} với x ∈ X, x = 2 Mặt khác, với x, y ∈ X\{2} x = y , ta có d(T x, T y) = 1 {d(x, T x) + d(y, T y)} = {|x − T x| + |y − T y|} > 2 Từ suy d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X\{2}, x = y 29 Vậy d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X, x = y Hơn nữa, dễ thấy X không gian metric không đầy đủ, T - compact theo quỹ đạo ánh xạ T không liên tục Tuy nhiên ánh xạ T có điểm bất động z = Định lý đặc trưng ánh xạ co kiểu Kannan Định lý 2.2.6 Giả sử (X, d) không gian metric ánh xạ T : X → X co kiểu Kannan có điểm bất động Khi (X, d) đầy đủ Chứng minh Giả sử (X, d) không đầy đủ Khi tồn dãy Cauchy {xn } X khơng hội tụ X Khơng tính tổng quát ta giả sử xn = xm với n, m ∈ N, n = m Ta đặt A := {xn : n ∈ N} Vì dãy {xn } không hội tụ X nên d(x, A) > với x ∈ X\A Lấy x ∈ X tùy ý Nếu x ∈ X\A tồn nx ∈ N cho d(xm , xnx ) < d(x, A) với m ≥ nx Từ suy d(xm , xnx ) < d(x, xn ) với m ≥ nx n ∈ N (2.2) Nếu x ∈ A tồn n0 ∈ N cho x = x0 Khi tồn n0 ∈ N cho d(xm , xn0 ) < d(xn0 , xn0 ) với m ≥ n0 > n0 Ta định nghĩa ánh xạ T : X → X công thức Tx = xnx , x ∈ X\A, xn0 , x ∈ A x = xn0 30 (2.3) Ta chứng minh d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X; x = y Thật vậy, lấy tùy ý x, y ∈ X; x = y Ta xét trường hợp sau Trường hợp 1: x, y ∈ X\A Khi T x = xnx T y = xny Khơng tính tổng qt ta coi ny ≥ nx Từ (2.2) ta có 1 d(T x, T y) = d(xnx , xny ) < d(x, xnx ) = d(x, T x) 2 Điều kéo theo d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} Trường hợp 2: x, y ∈ A Khi tồn n0 , m0 ∈ N cho x = xn0 y = ym0 Theo định nghĩa ánh xạ T , ta có T x = xn0 T y = xm0 Ta coi m0 ≥ n0 Từ (2.3), ta có 1 d(T x, T y) = d(xn0 , xm0 ) < d(xn0 , xn0 ) = d(x, T x) 2 Điều kéo theo d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} Trường hợp 3: x ∈ X\A y ∈ A Khi tồn n0 ∈ N cho y = xn0 Theo định nghĩa T , T x = xnx T y = xn0 Nếu n0 ≥ nx từ (2.2) ta suy 1 d(T x, T y) = d(xn0 , xnx ) < d(x, xnx ) = d(x, T x) 2 Điều kéo theo d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} Nếu nx > n0 từ (2.3) ta suy 1 d(T x, T y) = d(xn0 , xnx ) < d(xn0 , xn0 ) = d(y, T y) 2 31 Điều kéo theo d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} Vậy d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X; x = y Theo giả thiết suy T có điểm bất động Điều mâu thuẫn với định nghĩa ánh xạ T Vậy (X, d) không gian metric đầy đủ Nhận xét Górnicki [4] đưa câu hỏi mở: Ánh xạ liên tục T : X → X xác định không gian metric đầy đủ (X, d) không compact thỏa mãn điều kiện co kiểu Kannan d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X; x = y, có điểm bất động hay khơng? Ví dụ trả lời cho câu hỏi Ví dụ 2.2.7 Xét X = N∗ hàm d : X × X → R cơng thức d(x, y) = + | x1 − y1 |, x = y, 0, x = y Khi (X, d) khơng gian metric Vì dãy Cauchy X dãy dừng nên (X, d) không gian metric đầy đủ Hơn nữa, dãy {n} không chứa dãy hội tụ X nên (X, d) không gian metric không compact Ta định nghĩa ánh xạ T : X → X T x = 3x với x ∈ X Khi T liên tục khơng có điểm bất động X Với x, y ∈ X, x < y ta có 1 − | 3x 3y 1 =1+ − 3x 3y 1+ 3x Từ suy d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X, x < y Vì bất đẳng thức vai trò x y nên d(T x, T y) < {d(x, T x) + d(y, T y)} với x, y ∈ X, x = y Vậy T ánh xạ co kiểu Kannan liên tục không gian metric đầy đủ không compact (X, d) T khơng có điểm bất động X Bây giờ, giả sử X tập đóng Rn với metric tự nhiên Khi X khơng gian metric đầy đủ không compact Tuy nhiên ánh xạ co kiểu Kannan X có điểm bất động (Định lý 2.2.2) Trong trường hợp tổng quát, để đảm bảo tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan không gian metric đầy đủ ta cần thêm điều kiện kiểu Meir- Keeler Định lý 2.2.8 Giả sử (X, d) không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện (i) T ánh xạ co kiểu Kannan; (ii) (Điều kiện kiểu Meir- Keeler) Với x ∈ X > tùy ý, tồn δ > cho d(T i x, T j x) < + δ kéo theo d(T i+1 x, T j+1 x) ≤ với i, j ∈ N Khi T có điểm bất động z ∈ X với x ∈ X , ta có lim T n x = z n→∞ 33 Chứng minh Lấy x0 ∈ X cố định Ta định nghĩa dãy {xn } X xác định xn = T n x0 với n ∈ N Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp Tồn k ∈ N cho xk = xk+1 Khi xk = xk+1 = T xk Điều chứng tỏ xk điểm bất động ánh xạ T Trường hợp xn = xn+1 với n ∈ N Đặt dn = d(xn , xn+1 ) với n ∈ N Khi ta có dn = d(T xn−1 , T xn ) < {d(xn−1 , T xn−1 ) + d(xn , T xn )} = {d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )} = (dn−1 + dn ) với n ∈ N∗ Điều kéo theo dn < dn−1 với n ∈ N∗ Vậy {dn } dãy giảm ngặt số thực dương Từ suy tồn b ≥ cho lim dn = b Ta chứng minh b = Thật vậy, giả sử b > Khi n→∞ tồn δ > n ∈ N cho dn < b + δ Theo giả thiết (ii), ta suy dn+1 ≤ b Từ suy dk < b với k > n + Điều mâu thuẫn với {dn } dãy giảm ngặt số thực dương hội tụ b Vậy b = Mặt khác, với m, n ∈ N∗ , ta có d(xn , xm ) = d(T xn−1 , T xm−1 ) < {d(xn−1 , T xn−1 ) + d(xm−1 , T xm−1 )} = {d(xn−1 , xn ) + d(xm−1 , xm )} = (dn−1 + dm−1 ) 34 Cho n, m → ∞ ta thu lim d(xn , xm ) = Vậy dãy {xn } Cauchy n,m→∞ X Vì X đầy đủ nên tồn z ∈ X cho lim xn = z Mặt khác n→∞ ta lại có d(z, T z) ≤ d(z, xn+1 ) + d(xn+1 , T z) = d(z, xn+1 ) + d(T xn , T z) < d(z, xn+1 ) + {d(xn , T xn ) + d(z, T z)} = d(z, xn+1 ) + {d(xn , xn+1 ) + d(z, T z)} với n ∈ N Từ suy d(z, T z) < 2d(z, xn+1 ) + d(xn , xn+1 ) với n ∈ N Cho n → ∞ ta thu d(z, T z) = Điều kéo theo z = T z Chứng tỏ z điểm bất động T Bây ta z điểm bất động T Thật vậy, giả sử z ∗ = z điểm bất động T Khi theo giả thiết ta có d(z, z ∗ ) = d(T z, T z ∗ ) < {d(z, T z) + d(z ∗ , T z ∗ )} = Điều xảy Vậy z điểm bất động T Vì x0 tuỳ ý nên lim T n x = z với x ∈ X n→∞ 35 Kết luận luận văn Trong luận văn này, trình bày số nội dung sau đây: Trình bày định lý điểm bất động Banach (Định lý 1.1.8), định lý điểm bất động Kannan (Định lý 1.2.3), định lý điểm bất động ánh xạ tiệm cận quy (Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.7) định lý điểm bất động ánh xạ số co hàm điều khiển (Định lý 1.3.1, Định lý 1.3.2, Định lý 1.3.4) Trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan (Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.4 Định lý 2.2.8) Trình bày đặc trưng ánh xạ co kiểu Kannan (Định lý 2.2.6) 36 Tài liệu tham khảo [1] Banach S, "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales”, Fund Math, (1922), 133-181 [2] Fisher, B., (1978), “A fixed point theorem for compact metric spaces”, Publ Inst Math, 25, 193- 194 [3] Garai, H., Dey, L K., Senapati, T., (2018), “On Kannan-Type Contractive Mappings”, Numerical Functional Analysis and Optimization, 13, 1466- 1476 [4] Górnicki, J., (2017), “Fixed point theorems for Kannan type mappings”, J Fixed Point Theory Appl, 19, 2145- 2152 [5] Górnicki, J., (2018), “Various extensions of Kannan’s fixed point theorem”, J Fixed Point Theory Appl, 20 [6] Górnicki, J., (2019), “Remarks on asymptotic regularity and fixed points”, J Fixed Point Theory Appl , 21 [7] Kannan, R., (1968), “Some results on fixed points”, Bull Calcutta Math Soc, 60, 71- 76 [8] Khan, M S., (1978), “On fixed point theorems”, Math Japonica, 23, 201- 204 [9] Subrahmanyam, V., (1975), “Completeness and fixed points”, Monatsh Math, 80, 325- 330 37 ... định lý điểm bất động Kannan (Định lý 1.2.3), định lý điểm bất động ánh xạ tiệm cận quy (Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.7) định lý điểm bất động ánh xạ số co hàm điều khiển (Định lý 1.3.1, Định lý. .. trưng ánh xạ co kiểu Kannan trình bày Chương Định lý điểm bất động Kannan Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Kannan, định lý điểm. .. có điểm bất động Vậy định lý chứng minh 20 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Kannan Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan không gian