Dãy số trịnh khắc tuân

CHUN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Mục lục: Xác định giới hạn dãy số thông qua việc tìm cơng thức số hạng tổng qt Dãy số sinh tổng hữu hạn Sử dụng nguyên lý kẹp Sử dụng tính đơn điệu bị chặn (Định lý Weierstrass) Sử dụng định lý Cesaro Giới hạn dãy số truy hồi cấp I TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THƠNG QUA VIỆC XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG Đây dạng toán bản, trước hết ta xác định số hạng tổng qt dãy số sau tìm giới hạn Vì loại tập này, thực chất tốn tìm số hạng tổng qt dãy số Sau đây, giới thiệu số phương pháp thường sử dụng để tìm số hạng tổng quát dãy số Sử dụng hàm lặp Một số tốn dạng tuyến tính phân tính tuyến: un 1   un   , 1.1 un 1   un    un   Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) phương pháp hàm lặp ta thường tìm hàm f ( x) g ( x) cho: f (un )  h((un 1 )) Khi đó: f (un )  h( f (un 1 ))  h2 ( f (un  ))   hn ( f (u1 )) Từ suy un Ví dụ Tìm số hạng tổng qt dãy số (un ) cho sau u1  2; un 1  un  , n  4 * Phân tích: Nhận thấy un 1  3  un  5  (1)  un 1    un  5 Do đó: 4 3 3 un    un 1  5     un   5     4 4 Để làm trước hết biến đổi un 1  k  n 1  u1  5  3.  4 n 1 3  un   3.  4 n 1  un  k    k sau chọn k 4 cho  k   k  4 Ví dụ Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho u1  3; un 1  7un  1, n  1,2, Phân tích: Biến đổi un 1  k   un  k   6k  , chọn k cho 6k    k  un  Khi 1 1 1      un 1     un      n 1  u1   6 6 6    Ví dụ Tìm số hạng tổng qt dãy số  un  cho u1  a; un 1  Phân tích: Ta có un 1  un u 2   n  1 un  un 1 un un Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân un , n  1,2, un  Đặt   1 1  2vn  1, v1  Tương tự cách làm suy a un  a  1 2n 1  a  u a n  a  a  1 2n 1  a Đối với dãy dạng phân tuyến tính ta cịn xử lý theo cách làm khác ý tưởng trên: Xét un 1  k  un k  un  1  k  un  2k un   1  k   un   un  2k   1 k  Chọn k cho  k  2k  k  k  k    1 k  k  1 Với k  : un 1   un  1 un un 1  (2) (1) , với k  1 : un 1   un  un  un  un 1 u  n , n  1,2, un 1  un  Từ (1), (2) suy ra: un u   un  1 Do đó:  n 1        un  un 1    un   2 Ví dụ Cho dãy số  un  xác định u1  5, un 1  n 1 u1 1   u1    n 1 a a  un  a 1  a  1.2n 1  a 5un  , n  1,2, Xác định công thức tổng un  quát  un  Phân tích: Làm tương tự trên, xét: u n 1  k  5un  k  un  Chọn k cho 5un   k  un   un     k  un   k un    2k   5k   un    k   un   k  1  2k  k   2k  5k  k  k  3k     5k k  Từ : un 1  u  1 ; 1  n un  un 1 u  4 4 n un 1  un  4.6n 1  n u1       un 1  n 1 un  un 1  un  u1  1 Tổng quát: Cho dãy  un  : u1  a; un  pun 1  q , n  Để xác định un ta biến đổi sau: run 1  s Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân  p  kr  un 1  q  ks  pun 1  q k  run 1  s run 1  s un  k  Chọn k cho   p  kr   un 1   run 1  s q  ks  p  kr  q  ks  k  rk   s  p  k  q  (*) Giả sử phương trình có nghiệm phân p  kr biệt k1 , k2 , thực bước ví dụ Như vậy, để làm theo cách phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt Còn ngược lại, ta phải sử dụng phương pháp giải hệ phương trình sai phân Ví dụ Cho dãy số  un  xác định sau u1  a  ,  n  1 un 1  n 2un  2n  1, n  1, 2, Tìm lim un n   Hướng dẫn: Biến đổi:  n  1 un 1  n 2un   n  1  n , n  1, 2,   n  1 un 1   n  1  n 2un  n , n  1, 2, 2 Do đó: n 2un 1  n   n  1 un   n  1   12 u1  12  a  Suy 2 a   n2 a   n2 un   lim un  lim 1 n  n  n2 n2 Ví dụ Cho dãy số  un  xác định sau u1  a  , un 1  n 1 un  , n  1, 2, Tìm a để n n  un  tồn giới hạn hữu hạn Hướng dẫn: n 1  1 Đặt  un  ta 1  1    , n  1,2, Suy ra: n  n  n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1     v1  nv1 n n n2 n n2 Vậy dãy  un  có giới hạn hữu hạn dãy   có giới hạn hữu hạn, tức v1   u1    a    a  Ví dụ Cho dãy số số  un  xác định sau u  4u2  9u3    n  1 un 1 u1  , un  , n  1, 2, n  n  1 Tìm lim  30n  4n  2011 un n  Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Hướng dẫn: u1  4u2  9u3    n  12 un 1   n 2un n2 n  u  n2u   n3un n2un n n   Ta có: un 1     2 2  n  1 n  n  1 n  n  1 n  n  1 Suy ra:  n  1 un 1  n 2un , từ có: n 2un   n  1 un 1   n   un    1.u1  Vậy lim  30n  4n  2011 un n  Ví dụ Cho hàm số f : *   30n  lim n   n  2011  4n  1  un  4n 15 thỏa mãn điều kiện f (1)  f (1)  f (2)   f (n)  n f (n), n  1,2, (1) Tính lim n2 f (n) n  Hướng dẫn: Từ (1) cho n  f (1)  f (2)  f (2)  f (2)  f (1)  3 Theo (1), với n  3,4, , ta có: f (1)  f (2)   f (n  1)  f (n)  n f (n), f (1)  f (2)   f (n  1)   n  1 f (n  1)  f (n)  n f (n)   n  1 f (n  1), n   f  n   Suy f (n)  n 1 f  n  1 , n  n 1 n 1 n  f (2) f (2)   , n  Do đó: n 1 n n(n  1) n(n  1) 4n 4 n  n( n  1) lim n f (n)  lim n  1.2 Một số toán dạng un 1  un2  a.un  b Ví dụ Cho dãy số  un  xác định sau u1  a  , un 1  un2  14un  56, n  1,2, Xác định công thức tổng quát  un  Phân tích: 2k  14 k 7 Biến đổi k tìm thỏa mãn: un 1  k  un2  14un  56  k   un  k    k  56  k  Lời giải: Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Ta có: un    un 1     un       u1   22 2n 1  a  7 2n 1  un    u1   2n 1 Ví dụ Cho dãy số  un  xác định sau u1  a  , un 1  3un2  4un  , n  1, 2, Xác định công thức tổng quát  un  Phân tích: Ta nhận thấy, làm theo cách bị vướng số 3, ta phải tìm cách để loại bỏ Vì số nằm tích nên ý tưởng tự nhiên đặt un  kvn , đó: kvn 1  3k 2vn2  4kvn  2  1  3kvn2  4vn  , chọn k thỏa mãn 3k   k  3k Như ta có lời giải sau: Lời giải: Đặt un  , dãy số   thỏa mãn v1  3a, 1  vn2  4vn  , n  1,2, Ta có:    1      v1   2n1    3a   2n1   un  3a  2  2n1 2 Nhận xét: Với cách đặt trên, toán xử lý dễ dàng Tuy nhiên, thực theo ví dụ được, song rườm rà Biến đổi: un 1  k  3un2  4un   3k    k   un2  un   3    3k   Tìm k cho  un2  un     un  k    4   2k 2  un  2kun  k   k    3k  k  Khi 2 2   4 2 2  2    un    un21  un     un 1    3  un      31  un    3 9 3   3      22 2   2  2 2 1 1  2  1  22   2n    3  un       un       u1     3 3      32 n 1 2 1  a   3  1.3 2n 1  un  3a   2n 1 2 , n  n 1  32 n 1 2 1   u1   3  2n 1 * Một số toán dạng un 1  un2  a.un2  b.un  c Ví dụ Cho dãy số  un  xác định sau u1  a  , un 1  25un3  15un2  3un , n  1,2, Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Xác định công thức tổng quát  un  Phân tích: Đặt un  kvn , ta có kvn 1  25k 3vn3  15k 2vn2  3kvn  1  25k 2vn3  15kvn2  3vn , chọn k thỏa mãn 25   k  Đến làm tương tự ví dụ mục 1.2 Bài tập rèn luyện Bài Xác định số hạng tổng quát dãy số sau: a) u1  1; un 1  un2  4un  b) u1  2, un 1  5un2  5un  c) u1  3, un 1  un3  6un2  12un  d) u1  2, un 1  9un3  27un2  3un Bài Cho dãy số  un  xác định sau: u1  2011; un 1  n  un 1  un  , với n  N * , n  Chứng minh dãy số  un  có giới hạn tìm giới hạn 3 n4  Bài Cho dãy số  un  xác định u1  1;u n 1   un   , n  2 n  3n   * Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số theo n Bài Cho dãy số  an   a1  n  1, n  thỏa mãn:   n  2 a  n a   n  1 a a n n 1 n n 1  Tìm lim an Bài Cho dãy số (un) với un + = a.un + b, n  , a, b số thực dương cho trước Với n  2, tìm un theo u1, a, b n Bài Cho f (n)  (n2  n  1)2  Xét dãy số (un ) un  f (1) f (3) f (5) f (2n  1) , n  1, 2,3, f (2) f (4) f (6) f (2n) Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Tính lim n un x   u1  Bài Cho dãy số (un) xác định  5u  4u  4n  14 , n  n 1 n 4n  8n   Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n u1  2012  Bài Cho dãy số (un) xác định  Hãy lập công thức tính un n  4n  u  un , n   n 1 2n  4n  theo n tính lim un Bài Cho hàm số f  x  xác định tập số nguyên thỏa mãn điều kiện f (1)  999 f (1)  f (2)   f (n)  n2 f (n), n  1,2, Bài 10 Cho hàm số f : f (1)  f (2)   f (n)  * Tính f 1998 thỏa mãn điều kiện f (1)   n  n  2 f (n), n  1, 2, 2010 12   (1) Tính lim n2  2009 f (n) n  Bài 11 Cho dãy số  un  xác định sau: u1   u1 u2 u3 u n 1      un , n  1, 2, , với n  N * , n  n 2007 ;  Tính lim n  2010 un n  Bài 12 Cho dãy số  un  xác định sau: u1   ; un 1  n 1 un  , n  1, 2, , với n  N * , n  n n Tìm  dãy số  un  có giới hạn hữu hạn Bài 13 (Gia Lai 2013) Cho dãy số  un  xác định sau: u1   ; un 1   n   un  2013 , n  1, 2, , với n n * , n  Tìm  dãy số  un  có giới hạn hữu hạn tính giới hạn trường hợp Bài 14 Cho dãy số  un  xác định sau: Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân u1   ; un 1  3un2  6un  , n  1,2, , với n  9un2  6un  * , n  Tìm  dãy số  un  có giới hạn hữu hạn tính giới hạn trường hợp Bài 15 Cho dãy số  un  xác định sau: un3  9un  u1   ; un 1  , n  1, 2, , với n  N * , n  3un  6un  Tìm  dãy số  un  có giới hạn hữu hạn tính giới hạn trường hợp Bài 16 (Đề chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh 2010) Cho dãy ( xn ) , với x0  , x n 1  x n ( x n2  3) , với n  Chứng minh dãy (xn) có giới 3x n2  hạn tìm giới hạn Bài 17 Cho dãy số  xn  xác định x1  1, xn 1  xn  , n  1,2, Xác định cơng thức tổng qt  xn  tính lim xn Bài 18 (Chọn ĐT Hịa Bình 2017) Cho dãy số  xn  xác định x1  2, xn 1   xn  xn  , n  1, 2, Xác định cơng thức tổng qt xn  tính lim xn Bài 19 (VMO 2010) Cho dãy số  an  xác định bởi: an  n ann11  2n 1  2.3n 1 , n  a) Tìm số hạng tổng quát  an  b) Chứng minh  an  dãy số giảm Bài 20 Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số Nhắc lại lý thuyết bản: i) Cấp số cộng Định nghĩa Dãy số  un  gọi cấp số cộng với công sai d ,  d   un  un 1  d , n  2,3, Tính chất  un  u1   n  1 d  uk  uk 1  uk 1 , k  2,3, ii) Cấp số nhân Định nghĩa Dãy số  un  gọi cấp số nhân với công bội q un  qun 1 , n  2,3, Tính chất  un  qn 1u1 , n  1,2,  uk2  uk 1uk 1 , k  2,3, 2.1 Dãy số dạng un  aun 1  f (n) Ví dụ Xác định số hạng tổng quát dãy  un  xác định bởi: u1  2; un1  2un  3n  Phân tích: Trong ví dụ ta thấy  un  khơng phải cấp số nhân, có số gắn với un , điều gợi cho ta nghĩ đến biến đổi đưa cấp số nhân Để thực ý tưởng đó, ta đặt: un  k.vn  t.n  l ; k , t , l số k  Khi ta có: kvn 1  t  n  1  l  2kvn  2tn  2l  3n  Hay   2vn  t 3 l t  n  k k t  t  3  k   Ta chọn k , t , l cho:   l  1, ta chọn k = l  t   k    k Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Vậy ta có kết tổng quát sau: Tổng quát: Cho a, b, c số thực khác không; a  4b  dãy  un  xác định u0  p; u1  q bởi:  u  a u  b u n n 1  n 1 Khi đó:  Nếu a  4b  un  yu0  u1 n u1  xu0 n x  y , x, y nghiệm phương trình: yx yx X  aX  b  (1) a  Nếu a  4b  un    2 n 1  pa  ap      q   n     Phương trình (1) gọi phương trình đặc trưng dãy Chú ý Để xác định số hạng tổng quát dãy  un  nói ta trình bày sau: Xét phương trình đặc trưng (1)  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X , X un  x.X1n  y.X 2n , dựa vào u0 , u1 ta tìm x, y  Nếu (1) có nghiệm kép X1  X   un  ( pn  q) n , dựa vào u0 , u1 ta tìm p, q 2.6 Dãy số dạng aun 1  bun  cun 1  f (n) Ví dụ Xác định số hạng tổng quát dãy  un  xác định bởi: u0  1; u1   un  5un 1  6un   2n  2n  1, n  Lời giải: Ta tìm cách làm vế phải công thức truy hồi dãy, cách: Đặt un  xn  an2  bn  c Thay vào công thức truy hồi dãy rút gọn ta xn  5xn1  xn1  2an2  (14a  2b)n  19a  b  2c  2n2  2n   2a  a    Ta chọn a, b, c: 14a  2b  2  b  8 19a  b  2c  c  13    x0  12; x1  23 Khi  xn  :   xn  xn 1  xn   Từ ta tìm được: xn  13.2n  3n  un  13.2n  3n  n2  8n 13 u1  p; u2  q Ví dụ 1.Tìm số hạng tổng quát dãy số:  un  :  aun 1  bun  cun 1  f (n), n  (trong f (n) đa thức theo n a  4ac  0) Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Lời giải: Đặt un  xn  g (n) với g (n) đa thức theo n Thay vào công thức truy hồi dãy ta được: a.xn  b.xn1  c.xn2  a.g (n)  b.g (n  1)  c.g (n  2)  f (n) Ta chọn g (n) : a.g (n)  b.g (n  1)  c.g (n  2)  f (n) (*) Khi đó: a.xn  b.xn 1  c.xn 2  Từ đây, ta có số hạng tổng quát dãy  xn  , từ ta tìm số hạng tổng qt dãy  un  Vấn đề lại giải phương trình (*) Giả sử g (n)  ak nk  ak 1nk 1   a1n  a0 đa thức bậc k Khi hệ số xk xk-1 vế phỉ là: ak (a  b  c)nk  (b  2c)k ak  (a  b  c)ak 1  x k 1 Do : +) Nếu phương trình: aX  bX  c  (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác a  b  c  nên vế trái (*) đa thức bậc k +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x   a  b  c  (b  2c)k.ak  (a  b  c)ak 1  (b  2c)k.ak  nên vế trái đa thức bậc k  +) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x   a  b  c   (b  2c)k.ak  (a  b  c)ak 1  x k 1  nên VT (*) đa thức bậc k  Vậy để chọn g(n) ta cần ý sau:  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, g (n) đa thức bậc với f (n)  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm ta chọn g (n) đa thức lớn bậc f (n) bậc  Nếu (1) có nghiệm kép x = ta chọn g (n) đa thức có bậc lớn bậc f (n) hai bậc u1  p; u2  q , (trong Tổng qt: Để tìm số hạng tổng qt dãy  un  :  a.un 1  b.un  c.un 1  f (n), n  f (n) đa thức theo nbậc k a  4ac  ta làm sau:  Xác định đa thức g (n) : a.g (n)  b.g (n 1)  c.g (n  2)  f (n), g (n) là: đa thức theo n bậc k phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1; đa thức bậc k + (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm 1; đa thức bậc k + (1) có nghiệm kép x =  Khi xác định g(n) ta đặt un  xn  g (n), ta có dãy  xn  xác định bởi:  x0  p  g (0); x1  u1  g (1)  a.xn 1  bxn  cxn 1  0, n  Từ ta xác định số hạng tổng quát  xn  , từ ta tìm số hạng tổng quát dãy  un  Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Bài tập rèn luyện Bài Xác định số hạng tổng quát dãy số sau: a) u1  a, un 1  b.un  c.2n (n  1, b  2) b) u1  0, u2  1,2un   3un 1  un  (n  1) c) u1  a, u2  b, un   un 1  2un (n  1) d) u1  1, un 1  3un  6n  1(n  1) e) u1  1, un 1  un  2n2 (n  1) f) u0  1, un 1  5un  3n g) u0  1, un 1  2un  6.2n h) u0  0, un 1  un  2n.3n i) u0  1, un 1  2un  (n  1)2n j) u0  1, un 1  2un  n  3n k) u1  u2  1, 2un   un 1  un  l) u1  u2  1, un   un 1  2un  u1   Bài Cho dãy số  un  xác định bởi: u2  , với n  u  2u  u  n 1 n  n2 Bài Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  1, un 1  lim * Tính lim un n2 un , n  1, 2,3, Tính: un  2017  u1  1 u2  1  un  1 2018n u1   Bài Cho dãy số: (u n ) :  Tìm lim un un 1 u  , n  n n   u n 1  Bài Cho dãy số  un  Bài Cho dãy  un  u1  1, u2   xác định  Tính giới hạn lim un un 1   un  un 1  , n  u1   xác định  un 1  un  4un   , n    * Tìm lim un Bài (Hải Dương 2017) Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  7, un 1  5un  12, n  1,2,3, Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Tính: lim un 5n u1  a  Bài Cho dãy số: (un ) :  Tìm tìm số hạng tổng quát  un  tính un un 1   u , n  1, 2, n  lim un u1  a  Bài Cho dãy số: (un ) :  Tìm tìm số hạng tổng quát  un  tính un u  ,  n  1, 2, n    un  lim2n un Xác định số hạng tổng quát dãy số phƣơng pháp lƣợng giác Ví dụ Cho dãy số xác định sau: x1  2, xn 1  xn   1    xn n   Tính u2014 Lời giải: Ta có: tan  tan   tan      1    tan      12    tan tan   3 Nên từ giả thiết ta có: xn 1  xn  tan  12  xn tan  12 Đặt  tan   x1  tan  , suy x2  tan   tan  12  tan         12    tan  tan 12    Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra: xn  tan     n  1  , n  12   Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân * *      Vậy x2014  tan    2013   tan    168   12  4   tan   tan    1  tan        tan  tan   Ví dụ Cho dãy số thực  xn  xác định sau: x1  2, xn 1   xn n  1,2, Tìm số hạng tổng quát xn Lời giải: Ta có : x1   2cos  2 x2    2(1  , Ta chứng minh xn  2cos  2n 1  )  2cos 2 (1) Với n  mệnh đề (1) Giả sử mệnh đến n  k tức xk  2cos  2k 1 Ta chứng minh mệnh đề (1) đến n  k  Thật : xk 1   xk  2(1  cos Vậy xn  2cos  k 1 )  2cos  2k   2n 1 Ví dụ ( Đề thi Olympic 30.04.2003) Cho dãy số  xn  xác định : x1  , xn 1  xn   n  1, 2,  (1  2)un Tìm x2003 Lời giải: Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Ta có    tan  1   tan   tan  tan      tan  8  tan   1  (L)  8 Suy xn 1  x2  x3   tan  2 xn  tan  tan tan     n  1, 2, Do x1   tan xn  tan  ,   tan(    )   tan tan tan(     )  tan   tan(    )   tan(  ) tan 8   Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh xn  tan( Vậy x2003  tan(    (n  1) ), n  1, 2,         2002 )  tan   (250  )   tan(  )  (2  3)  3 Ví dụ Tìm số hạng tổng quát dãy số  xn  cho   x1      xn 1  xn  xn  2, n  1,2, Lời giải: Đặt xn  yn Khi yn 1  16 yn4  16 yn2  n  1,2,  yn 1  yn4  yn2  Ta có Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân n  1,2, y1  2  1   cos  cos   2 12 Áp dụng công thức lượng giác cos 4  8cos4   8cos   Ta suy y2  8cos  12 y3  8cos (4  8cos  12  12   cos(4 )  8cos (4  12  12 ) )   cos(42  12 ) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh yn  cos(4n 1 Vậy xn  2cos(4 n 1  ), 12  12 ), n  1, 2, n 1,2, Ví dụ ( Đề nghị Olympic 30.4.2012) Cho dãy số  xn  định bởi:   x1    25 x x  15 x  15 x  10  25 x  30 x  10 n 1 n n 1 n n n  n  1, 2, Xác định số hạng tổng quát xn Lời giải: Ta có 25xn 1 xn  15xn 1  15xn  10  25xn2  30 xn  10  (5xn 1  3)(5xn  3)  (5xn  3)   Xét dãy số yn  5xn  Vậy ta có Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân  y1   y1  x1       yn 1 yn  yn    yn 1   Ta chứng minh yn  tan  yn2   yn n  1, 2, 2n 1 Với n  mệnh đề Giả sử mệnh đề với n  k , tức yk  tan  k 1 Ta chứng minh mệnh đề với n  k  Thật yk 1  Vậy xn  tan  2k 1 yn2    yn tan  2k 1 tan 1 1   tan 2k 1  2k  3 Bài tập rèn luyện Bài Cho dãy số  xn  xác định   x1     x  xn    n 1  (  2)un n  1, 2, Tìm số hạng tổng quát xn Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số xn cho trước sau  x0    xn   xn 1   3u n  n  1, 2, Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  xn  cho Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân   x1    x  16 x5  20 x  x , n n n  n 1 n  1, 2, Tìm số hạng tổng quát dãy số cho Bài ( Đề nghi Olympic 30.4.2012) Cho dãy  xn  xác định  x1  a   xn 1  xn (1  xn ) n  1, 2, Tìm giá trị a để x2012  Bài Cho hai dãy số  xn  ,  yn  xác định sau: x1  y1  3; xn 1  xn   xn2 , yn 1  yn   yn2 Chứng minh xn yn   2;3 , n  2,3, 4, lim yn  Bài (Quảng Bình 2014) Cho a số thực dương t y ý Xét dãy số ( xn ) xác định sau: x1  a ; xn1  xn    , (tử số có n dấu c n); n  1, 2,3 xn  Tính giới hạn dãy số ( xn ) Bài II GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ SINH BỞI TỔNG HỮU HẠN Phƣơng pháp sai phân Phương pháp sai phân thường sử dụng cho toán dạng sau: Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện chẳng hạn un1  f (un ), n  Yêu cầu tính giới hạn n dãy số  an  an   g (ui ) i 1 Thơng thương ta giải tốn phương pháp sai phân ta thường thực sau: Đầu tiên ta tìm cách viết g (ui )  ti  ti 1 , sau viết ta thu Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân n n i 1 i 1 an   g (ui )    ti  ti 1   t1  tn 1 Đến việc tính giới hạn trở nên đơn giản nhiều Tìm giới hạn theo phương pháp thường gọi phương pháp sai phân Sau ta đưa số ví dụ minh họa cho phương pháp Ví dụ (Thanh Hóa 2014) Cho dãy số ( xn )(n  1, 2, ) xác định n x1  3; xn1  xn2  3xn  4, n  1, 2, Tìm lim  i 1 xi  Lời giải: Ta có: xn1  xn  ( xn  2)2  0, n   xn1  xn , n   xn  3, n  Mặt khác xn 1   xn2  xn   ( xn  1)( xn  2)  1 1    xn 1  ( xn  1)( xn  2) xn  xn   1   xn  xn  xn 1  n  i 1 n  1  1      1 (1)  xi  i 1  x1  xi 1   x1  xi 1  xi 1  n Từ đẳng thức ta thấy để tìm lim  i 1 ta cần đánh giá giới hạn dãy  xn  xi  Theo chứng minh ta có xn1  xn , n  Giả sử dãy  xn  bị chặn suy dãy  xn  có giới hạn hữu hạn giả sử lim xn  a  a  Từ xn1  xn2  3xn  chuyển qua giới hạn ta a  a  3a   a  4a    a  n Do dãy số  xn  không bị chặn suy lim xn   kết hợp với (1) ta lim  i 1 xi  Nhận xét Đối với toán bước quan trọng để xử lí tốn viết 1   xn  xn  xn 1  Để viết đẳng thức ta xuất phát từ chi tiết không tự nhiên xn1   xn2  3xn   ( xn 1)( xn  2) Tại ta lại phải trừ hai vế cho mà số khác số số lấy từ suy luận nào? Đây câu hỏi khó để trả lời cho học sinh Tuy nhiên sau trình nghiên cứu số tập loại nhận thấy điểm chốt để tìm dạng sai phân tốn loại là: Số tìm nghiệm phương trình x  f ( x) Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Ta trở lại toán lúc ban đầu đề cập đến Cho dãy số  un  thỏa mãn điều kiện chẳng hạn un1  f (un ), n  Yêu cầu tính giới hạn n dãy số  an  an   g (ui ) i 1 n Để tìm sai phân cho tổng  g (u ), i 1 i ta tìm nghiệm phương trình x  f ( x), giả sử nghiệm a Sau ta xét un1  a  f (un )  a  f (un )  f (a) Từ đẳng thức ta biểu diễn n n i 1 i 1 an   g (ui )    ti  ti 1   t1  tn 1 Ta xét ví dụ Ví dụ Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  a  1; xn 1  n xn2  xn  , n  1, 2, Tìm lim  xn i 1 xi  Lời giải: x2  x 1  x  Chọn nghiệm x  Khi để tìm sai phân tổng ta Xét phương trình x  x xét xn 1   xn2  xn  1 xn  xn 1     xn 1   xn2  xn xn x 11 1  n2   x 1 xn  xn  xn  n 1   x  xn  xn 1  n n  i 1 n  1  1 1      (1)    xi  i 1  xn  xn 1   xn  xn 1  a  xn 1  Đầu tiên quy nạp xn  1, n   xn 1  xn  xn   0, n   xn 1  xn , n  xn Giả sử dãy  xn  bị chặn suy dãy  xn  có giới hạn hữu hạn giả sử lim xn  u  u  a  Từ xn 1  xn2  xn  u2  u 1  u 1 chuyển qua giới hạn ta u  u xn Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân  xn  Do dãy số n lim  i 1 khơng bị chặn suy lim xn  , kết hợp với (1) ta 1  x 1 a 1 i Ví dụ Bài tập vận dụng u1    Bài Cho dãy số (un) biết:  2018un 1  un  2017un , n  Bài Cho dãy số  un  n Hãy tính lim n  ui i 1  u i 1 u1   xác định sau:  un 1 2017  u   un , n  , n   n  u 2017 u 2017 u 2017  Tính lim     n  u3 un 1   u2 Bài Cho dãy số (un) xác định sau: Tìm lim( u1  2018 (n  *)  un 1  2018un  un u1 u2 u3 u     n ) u2 u3 u4 un 1 Bài Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định n x1  a  1;2016 xn1  xn2  2015xn , n  1, 2, Tìm lim  i 1 xi xi 1  Bài (VMO 2009) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định xn  xn21  xn 1  xn 1 ; n  2,3, n Chứng minh dãy ( yn ) (n  1, 2, ) với yn   i 1 có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn xi2 Bài (T9/342 THTT) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  xn1  xn  xn  1 xn   xn  3  1, n  1, 2, n Đặt yn   i 1 , n  1, 2, Tìm lim yn xi  Bài (T11/372, THTT) Cho hàm số f ( x) xác định 1;   thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) f (1)  4.2008  f (1) f (2) f ( n)     (ii) f ( x)  2007  f ( x)   f ( x  1), x  1;   Tìm lim   f (n  1)   f (2) f (3) Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân xn2  Bài Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  2; xn 1  , n  1, 2, n Đặt yn   i 1 , n  1, 2, Tìm phần nguyên  y2012  lim yn xi  Bài Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  a  1; xn1  xn2 , n  1, 2, Tìm n lim  i 1 xi xi 1  Bài 10 Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  1; xn 1  n dãy số  un  un   i 1 xn24  xn , n  1, 2, Tìm giới hạn 24 xn23 ui 1 Bài 11 Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  1; xn1   x1 x2 xn , n  1, 2, Tìm n lim  i 1 xi Bài 12 Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  1; xn 1  xn  lim an n , n  1, 2, Chứng minh xn   x1   ( x ) ( n  1, 2, ) Bài 13 Cho dãy số n xác định  xn 1  ( xn2  xn  25), n  1, 2,   n Tìm lim  i 1 xi   x1  2012 Bài 14 Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định   xn 1  xn ( xn  1), n  1, 2, n Tìm lim  i 1 xi  Bài 15 (Quảng Bình, vịng 1) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định  x1  2012  2012 xn (1  xn2 )  x   n 1 2012 x  x  2012 , n  1, 2, n n   n x2  Tìm lim   i  n  i 1  xi  Bài 16 Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân x1  2; xn 1  xn4  xn  , n  1, 2, xn3  xn  n Chứng minh dãy số  yn  xác định y  lim  i 1 có giới hạn tìm lim yn xi3 Bài 17 (KHTN Hà Nội, vòng 1) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định  x1  6; x2  14  n  xn   xn 1  xn  24.(1) , n  1, 2, n Tính giới hạn lim  i 1 xi Bài 18 (Hà Nội, vòng 1) a) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  1; xn 1  xn  n, n  1, 2, Tìm lim xn xn 1 b) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định x1  2015; xn 1  xn2  2, n  1, 2, xn21 Chứng minh lim 2  2011 x1 x2 xn Bài 19 (Hà Nam, vòng 2) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định 3xn x1  ; xn 1  , n  1, 2, xn  Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Tìm công thức tổng quát dãy số Bài 20 (Bình Định, vịng 1) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định  x1     x   xn2   xn  3  2, n  1, 2,   n2  n Tìm lim  k 1    xk  Bài 21 (Vĩnh Long, vòng 1) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định  x1     xn 1   xn  xn   , n  1, 2, n Tìm lim  k 1 xk  Bài 22 (Quảng Bình, vịng 1) Cho dãy số ( xn ) (n  1, 2, ) xác định Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân x1  1; xn 1   xn2011n  1, 2, xn a2 Bài 23 (Đồng Tháp 2014) Cho dãy an thoả a1  , an 1  an  n , n  2013 a Chứng minh dãy t ng không bị chặn n b Đặt S n   i 1 Tìm lim Sn   2013 Bài 24 (Chọn ĐT Nam Định 2017) Cho dãy an thoả x1  4, x n 1  an  a Chứng minh lim xn   n b Với số nguyên dương n ,đặt yn   i 1 Tìm lim yn x 3 n Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân xn4  , n  xn3  xn  * ...  a) Tìm số hạng tổng quát  an  b) Chứng minh  an  dãy số giảm Bài 20 Trịnh Khắc Tuân – GV Trƣờng THPT Thọ Xuân Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số Nhắc lại... minh dãy số  un  có giới hạn tìm giới hạn 3 n4  Bài Cho dãy số  un  xác định u1  1;u n 1   un   , n  2 n  3n   * Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số theo n Bài Cho dãy số. .. HẠN CỦA DÃY SỐ THƠNG QUA VIỆC XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG Đây dạng toán bản, trước hết ta xác định số hạng tổng qt dãy số sau tìm giới hạn Vì loại tập này, thực chất tốn tìm số hạng tổng qt dãy số Sau