Định nghĩa. Hạng của hệ vec tơ M là số k0 nếu tồn tại k0 vec tơ độc lập tuyến tính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k0 vectơ thì phụ thuộc tuyến tính.. Hạng của hệ vec tơ M là[r]
(1)KHÔNG GIAN VECTƠ CHƯƠNG 3
KHÔNG GIAN VECTƠ Định nghĩa ví dụ
2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Hạng họ vectơ
4 Cơ sở số chiều Khơng gian vectơ
KHÁI NIỆM KHƠNG GIAN VEC TƠ TÍNH CHẤT
1 .0 0
x x
VÍ DỤ KHƠNG GIAN R3 KHƠNG GIAN R3
Phép cộng hai vec tơ:
Phép nhân vec tơ với số:
Sự hai vec tơ:
V1 không gian vec tơ Ký hiệu: R3 1, ,2 | 1, ,2
V x x x x x x R
1, ,2 1, ,2 1, 2, 3
x y x x x y y y x y x y x y
1 3
, , , ,
x x x x x x x
1
2
3
x y
x y x y
(2)KHÔNG GIAN P2[X]
Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức
Phép nhân vec tơ với số: phép nhân đa thức với số
Sự hai vec tơ: hai vec tơ hai đa thức (các hệ số tương ứng nhau)
V2 không gian vec tơ Ký hiệu: P2[x] Tương tự ta có không gian Pn[x]
2
2 ax bx c | , ,
V a b c R
KHÔNG GIAN M2[R]
Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận
Phép nhân vec tơ với số: phép nhân ma trận với số
Sự hai vec tơ: hai vec tơ hai ma trận
V3 không gian vec tơ Ký hiệu: M2[R] Tương tự ta có khơng gian Mn[R]
3 : , , ,
a b
V a b c d R
c d
VÍ DỤ
Phép cộng, phép nhân hai vec tơ ví dụ
V4 khơng gian vec tơ
Chú ý Có nhiều cách khác để định nghĩa hai phép toán cộng nhân V1, V2, V3 để chúng không gian vec tơ
4 1, ,2 : i 3
V x x x x R x x x
VÍ DỤ
Phép cộng, phép nhân hai vec tơ ví dụ
V5 khơng phải khơng gian vec tơ Ta có:
5 1, ,2 : i 2
V x x x x R x x x
1 5
1
1, 0, 0,1,
1,1,
v V v V
v v V
MỐI QUAN HỆ TUYẾN TÍNH GIỮA CÁC VEC TƠ
Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính) Độc lập tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính
(3)VÍ DỤ
1 (1,3, 2); (0,1, 1); (2,0,
( 2,1
)
, 1)
3
ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
VÍ DỤ
Các hệ vec tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
1
1
a) (1, 2,3); (2,1,0); (0,1, 2) b) (2, 4); ( 1, 2)
VÍ DỤ
Trong không gian R3 cho hệ vec tơ:
1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính qua hệ M khơng?
1,1,1 ; 2,1,3 ; 1, 2,0 M
(4)XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH
XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN Trong Rncho hệ vec tơ
•Hệ M độc lập tuyến tính rank A=m (số véc tơ hệ)
•Hệ M phụ thuộc tuyến tính rank A<m
1, 2, , m
M
1 11 12 11 12
2 21 22 21 22
1
1
( , , , )
( , , , )
( , , , )
n n
n n
m m mn
m m m mn
a a a a a a
a a a a a a
A
a a a
a a a
VÍ DỤ
Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ sau không gian
3
1
4
1
a) (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1 R b) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (2,3,1,0) R
VÍ DỤ
Trong không gian vec tơ V cho họ: M={x,y,2x+3y,z}
A) Vecto 2x+3y có tổ hợp tuyến tính x, y, z B) M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
VÍ DỤ
Trong khơng gian vec tơ V cho họ M={x,y,z} độc lập tuyến tính
Chứng tỏ hệ vec tơ sau độc lập tuyến tính ,2 ,
(5)ĐÁP ÁN VÍ DỤ
Trong khơng gian vec tơ V cho họ M={x,y} độc lập tuyến tính
Các tập hợp sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
1 ) ,
) ,
) , ,
a M x y
b M x y x y
c M x y x y x y
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
1) Nếu M chứa vecto M phụ thuộc tuyến tính
2) Hệ M phụ thuộc tuyến tính tồn vec tơ tổ hợp tuyến tính vecto lại hệ
3) Thêm số vec tơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu họ phụ thuộc tuyến tính
4) Bỏ số vec tơ họ độc lập tuyến tính ta thu họ độc lập tuyến tính
5) Cho hai họ vec tơ M, N Nếu vec tơ họ N tổ hợp tuyến tính M số vec tơ N nhiều N họ phụ thuộc tuyến tính
VÍ DỤ
Trong khơng gian vec tơ V cho họ M={x,y} tùy ý Hỏi hệ vec tơ sau độc lập hay phụ thuộc?
1 , ,
M x y x y x y
GIẢI VÍ DỤ
Trong khơng gian vec tơ V cho hai họ vec tơ:
A) CMR M độc lập tuyến tính M2 độc lập tuyến tính
B) Chứng minh M2 độc lập tuyến tính M1 độc lập tuyến tính
1
, ,
, ,
M x y z
(6)HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ Cho hệ vec tơ không gian V
Hệ hệ véc tơ hệ véc tơ gồm số (hoặc tất ) véc tơ hệ
Hệ N hệ M gọi hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ N độc lập tuyến tính thêm véc tơ khác hệ M vào hệ ta nhận hệ hệ phụ thuộc tuyến tính
1, , ,2 n
M x x x V
HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ
Một hệ véc tơ có nhiều hệ độc lập tuyến tính tối đại khác số véc tơ hệ độc lập tuyến tính tối đại ln Số ta gọi hạngcủa hệ M, ký hiệu rank(M)
Định nghĩa.Hạng hệ vec tơ M số k0 tồn k0 vec tơ độc lập tuyến tính M tập M chứa nhiều k0 vectơ phụ thuộc tuyến tính
Hạng hệ vec tơ M số tối đại vec tơ độc lập tuyến tính M.
CÁCH TÌM HỆ CON ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TỐI ĐẠI, HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ TRONG Rn
Trong Rn cho hệ gồm m vec tơ sau:
Để tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại ta làm sau: 1) Lập ma trận A có hàng vec tơ xi 2) Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng đưa A dạng ma trận bậc thang A’
3) Khi hạng hệ M hạng ma trận A hệ độc lập tuyến tính tối đại M gồm véc tơ ứng với dòng khác ma trận bậc thang A’
1, , ,2 n
M x x x
VÍ DỤ
Trong R4cho hệ vec tơ sau:
Tìm hạng hệ vec tơ hệ độc lập tuyến tính tối đại
1 5
(1,1, 2, 2),(2,3,6,6),(3, 4,8,8),(5,7,14,14),(8,11, 22, 22) , , , ,
M
M x x x x x
VÍ DỤ
Trong R4cho hệ vec tơ sau:
Tìm hạng hệ vec tơ hệ độc lập tuyến tính tối đại
(1, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (0,1, 1, 2)
M
VÍ DỤ
Trong khơng gian vec tơ V cho họ M={x,y} độc lập tuyến tính
Tìm hạng họ vec tơ sau đây?
1 ) ,
) ,
) , , ,
a M x y
b M x y x y
(7)TÍNH CHẤT HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ
1) Hạng họ vec tơ M không đổi ta nhân vec tơ M với số khác không
2) Cộng vào vec tơ họ M vec tơ khác nhân với số hạng khơng đổi
3) Thêm vào họ M vec tơ x tổ hợp tuyến tính M hạng khơng thay đổi
VÍ DỤ
Tìm hạng họ vec tơ sau:
1,1,1, ; 1, 2,1,1 ; 2, 3, 2,1 ; 1, 3,1, M
HỌ VEC TƠ HÀNG – HỌ VEC TƠ CỘT Cho ma trận A:
Họ vec tơ hàng A:
Họ vec tơ cột A:
1 1
1 1
2
1
A
1,1,1, ; 1, 2,1,1 ; 2, 3, 2,1 ; 1, 3,1, M
1 1 1 ; ; ; 1 N
ĐỊNH LÝ VỀ HẠNG Định lý Cho A ma trận cỡ m x n
Hạng ma trận A với hạng họ vec tơ hàng A Hạng ma trận A với hạng họ vec tơ cột A
VÍ DỤ
Tìm hạng hệ vec tơ sau:
Giải
M họ vec tơ hàng ma trận A nên hạng M với hạng ma trận A
1,1,1, ; 1,1, 1,1 ; 2, 3,1,1 ; 3, 4, 0, M
1 1
1 1
2 1
3
A
HỆ VEC TƠ ĐỘC LẬP – PHỤ THUỘC Cho tập hợp M chứa m vec tơ
1) Nếu hạng M với m (số vec tơ M) hệ M độc lập tuyến tính
2) Nếu hạng M nhỏ m (số vec tơ M) M phụ thuộc tuyến tính
(8)VÍ DỤ
Hãy xác định tập hợp vec tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
A) B)
1,1,1 ; 2,1, ; 1, 2, M
2 1; 2 3 2; 2 1
M x x x x x
VÍ DỤ
Tìm tất số thực m để họ vec tơ sau phụ thuộc tuyến tính
1,1, ; 1, 2,1 ; , 0,1
M m
CƠ SỞ - SỐ CHIỀU – TỌA ĐỘ TẬP SINH
VÍ DỤ
1
1
1,1,1 1, 2,1 2, 3,1
2 x
x x
Hệ có nghiệm với x nên vec tơ x không gian R3đều tổ
VÍ DỤ
1
1
1
1,1, 2, 3,1 3, 4,
3 x
x x
Hệ vơ nghiệm nên có vec tơ x khơng gian R3
(9)VÍ DỤ
Hãy xác định tập hợp vec tơ sau có tập sinh khơng gian P2[x]?
Tồn p(x) để hệ phương trình vơ nghiệm Do hệ vec tơ không tập sinh không gian P2[x]
2 1; 2 3 1; 2
M x x x x x x
2
2
2 2
1
1
1
1
1
2
p x ax bx cx P x
p x x x x x x x
a b c
VÍ DỤ
VÍ DỤ CƠ SỞ - SỐ CHIỀU
Hệ vec tơ M gọi sở không gian vec tơ V độc lập tuyến tính vec tơ khơng gian V biểu thị tuyến tính qua M
ĐỊNH LÝ
Giả sử V không gian hữu hạn chiều Khi đó: 1) Tồn vơ số sở không gian vec tơ V 2) Số lượng vec tơ sở
VÍ DỤ
1) Trong khơng gian V cho M={x,y,z} sở V Hỏi hệ vec tơ:
M1={2x+y+z,x+2y+z,x+y+z} Có sở khơng gian V?
2) Trong không gian V cho M={x,y,z} sở V Hỏi hệ vec tơ:
(10)CƠ SỞ CHÍNH TẮC TRONG Rn
Trong Rnta dễ dàng chứng tỏ tập E sau sở.
Đặt: ta gọi sở tắc Rn 1, 0, , ; 0,1, 0, , ; ; 0, , 0,1 n
E R
1
(1,0, ,0) (0,1, ,0)
(0, 0,1)
n
e e
e
dim Rn n
CƠ SỞ CHÍNH TẮC CỦA Pn[x] VÀ Mn[R]
TÍNH CHẤT
Cho khơng gian vec tơ V có số chiều n, dimV=n
VÍ DỤ
A) Kiểm tra tập hợp sau có sở R3
B) Kiểm tra tập hợp sau có tập sinh R3 1,1,1 ; 2, 3,1 ; 3,1, M
1,1,1 ; 2, 0,1 ; 1,1, ; 1, 2,1 M
VÍ DỤ
Tập hợp sau có sở không gian P2[x] 1; 2 1; 2 2
M x x x x x x
(11)VÍ DỤ VÍ DỤ
VÍ DỤ TÍNH CHẤT
(12)ĐỔI CƠ SỞ TRONG KGVT ĐỊNH LÝ & VÍ DỤ
VÍ DỤ
Trong kgvt R3cho sở:
A) Viết ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 B) Tìm tọa độ vec tơ x=(3,-1,0) sở B2
Ghi Cơ sở B1 gọi sở tắc R3
1
2
1, 0, ; 0,1, ; 0, 0,1 2, 1, ; 1, 0,1 ; 0, 1,
B e e e
B u u u
GIẢI
A) Ma trận chuyển sở từ B1 sang B2:
B) Tọa độ vec tơ x=(3,-1,0) sở B2 là:
2
1
3
B B
T
2 1
2
2
1
13
1 1 2
1 1
B B B B
B B
B
x T x T
x
(13)1) Trong không gian vec tơ R3cho tập con:
U có phải không gian vec tơ R3hay không? 2) Tập hợp sau không gian R2 VÍ DỤ
( ,1 2,0) : ,1
U x x x x x R
2
2
a) : ( ,3 ),
b) : ( , ),
U x R x a a a R
U x R x a a a R
VÍ DỤ
GIẢI
Câu 1) Sinh viên tự làm Câu
VÍ DỤ
GIẢI
Câu 1) Sinh viên tự làm Câu 2)
KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ Trong không gian vec tơ V, cho tập hợp M vec tơ: Khi tập hợp tất tổ hợp tuyến tính vec tơ M tạo thành không gian vec tơ
Ta có:
1) L(M) khơng gian V
2) dimL(M) với số chiều họ vec tơ M 1, , ,2 n
M v v v V
1 2
1 2
, , , , , ,
n n
n n i L M v v v span v v v
(14)VÍ DỤ
Tìm sở số chiều không gian vec tơ sau
A) Cho F=<(1,1,1); (2,1,1); (3,1,1)> B) G=<x2+x+1, 2x2+3x-1, x2+2x-2>
VÍ DỤ
A) Cho x=(1,-2,3) M={(1,1,1); (2,1,0); (3,-1,3)} Vec tơ x có thuộc khơng gian sinh M? B) Cho x=(1,0,m) M={(1,1,1); (2,3,1); (3,-2,0)} Tìm m để vec tơ x thuộc khơng gian sinh M?
TỔNG VÀ GIAO CỦA HAI KHÔNG GIAN CON ĐỊNH LÝ
TÍNH CHẤT
CÁC BƯỚC TÌM KHƠNG GIAN CON F+G B1 Tìm tập sinh F Giả sử {f1,f2,…,fn} B2 Tìm tập sinh G Giả sử {g1,g2,…,gm} B3 Không gian F+G không gian sinh hệ vecto bao gồm tập sinh F G
1, , , , , , ,2 n m F G f f f g g g
(15)VÍ DỤ VÍ DỤ
(16)KHƠNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
Xét hệ
Đặt:
Là tập hợp tất nghiệm hệ
11 12
21 22 2
1 2
0 0 n n n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
A X
a x a x a x
1, 2, , R : 0
n n
L x x x x A X
KHƠNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
Định lý L không gian vec tơ Rnvà:
Ta gọi L không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính
dimL n r A
VÍ DỤ
Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình
1
1
1
1
1
2
) =0 +5x =0
2
) x x x x
a x x x x x x
x x x x x
b x x x x x
KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’ 1) Cho ma trận:
A) Tìm ma trận nghịch đảo A (nếu có) B) Giải phương trình sau:
0 2
1
4
(17)BÀI 2
Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm B C
•Với 1$ giá trị sản phẩm B công ty tốn 0,45$ nguyên liệu, 0,25$ lương lao động 0,15$ phụ phí
•Với 1$ giá trị sản phẩm C công ty tốn 0,40$ nguyên liệu, 0,30$ lương lao động 0,15$ phụ phí
A) Hãy xây dựng ma trận chi phí, ký hiệu U, theo sản phẩm loại chi phí cơng ty
B) Nếu công ty sản xuất 100$ sản phẩm B 200$ sản phẩm C chi phí cụ thể mục nào?
C) Gọi q1, q2, q3, q4 ma trận cột sản lượng tính theo $ sản phâm B C quý 1,2,3,4 Hãy tính giải thích ý nghĩa ma trận U.Q với Q=[q1 q2 q3 q4]
BÀI 3
Tính định thức sau:
2 2
1 1
2 1
1
1
1 1
a a
A b b
c c
x y B
z t
CÂU 4
Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính
2 1 2 2
2 1
mx y z m
x m y z
x y m z
SÁNG
Tiết 1: 6h45 – 7h30 Tiết 2: 7h30 – 8h15 Nghỉ phút Tiết 3: 8h20 – 9h05 Nghỉ 10 phút Tiết 4: 9h15 – 10h00 Tiết 5: 10h00 – 10h45 Nghỉ phút Tiết 6: 10h50 – 11h35
CHIỀU