Chuyên đề lượng giác Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phư[r]
(1)Chuyên đề lượng giác Phương pháp thường sử dụng giải phương trình lượng giác là thực số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể việc biến đổi đại số để đưa PTLG dạng phương trình lượng giác hay các phương trình lượng giác thường gặp đưa dạng phương trình tích đặt ẩn phụ để đưa phương trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đôi còn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế phương trình Để đạt kết cao việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững các yêu cầu tối thiểu sau đây : 1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác các cung(góc) đặc biệt 2)Cần nắm vững cách giải PTLG và các trường hợp đặc biệt.Cách giải các phương trình lượng giác thường gặp 3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ phương trình (lấy điều kiện) trước tiến hành phép biến đổi và đối chiếu điều kiện có kết * Tại đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng thức lượng giác thường đa dạng.Chẳng hạn : -Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sử dụng các đồng sau: Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x Ví dụ : Giải phương trình : a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1 c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x 4 -Nếu cần biến đổi cos x-sin x thì tuỳ theo đầu bài ta sử dụng các đồng sau: cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x *Cần chú ý đến các đồng lượng giác thường gặp giải toán như:1 sin2x = (sinx cosx)2 cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x 1 cos 2 x cos x cos x sin x sin 2 x 2 3cos 2 x 3cos x 6 cos x sin x sin x 4 * Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx ± sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ; cos4x − sin4x ; cos3x − sin3x ; + tanx; cotx − tanx ; sin x … 4 * Các phép biến đổi lượng giác thường tiến hành theo các hướng sau: +Hạ bậc phương trình(nếu có) +Đưa cùng cung: -Nếu cùng hàm và cùng cung thì tiến hành đặt ẩn phụ -Nếu cùng cung còn hai hàm sin và côsin thì thường biến đổi phương trình tích (Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử chung,dùng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai) -Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các hạng tử hơn,kém 2n (với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia hai vế phương trình cho coskx sinkx (k là bậc lớn phương trình) để đưa phương trình đã cho dạng còn chứa hàm tang côtang cung tiến hành đặt ẩn phụ * Khi đánh giá hai vế phương trình thì các bất đẳng thức thường dùng để ước lượng như: sin x ; cos x ; a sin x b cos x a b ; 2 sin m x cos n x sin x cos x (với m, n N ; m, n ) sin ax 1 -Đối với phương trình sinax sinbx = 2 sin bx 1 (dấu lấy tương ứng) Văn Hoàng Tương tự pt : cosax cosbx = 1 ; sinax cosbx = 2 *Đôi lúc giải PTLG ta còn dùng phép đổi biến cho phần cung lượng giác Chẳng hạn với phương trình : sin 3x sin x.sin x Ta có thể đặt t = x + 4 4 3 x 3t sin x sin(3t ) sin 3t 2 x 2t sin x sin 2t sin 2t 2 Khi đó: sin3t = sin2t.sint 3sin t 4sin t cos t.sin t phương trình này ta có thể thực nhiều cách giải dễ dàng * Chú ý: Đối với các công thức sinx cosx = sin x ; 4 các công thức nhân ba ; công thức hạ bậc theo tang cung chia đôi dùng phải chứng minh Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác thì biến đổi tương đương ph trình chứa hàm lượng giác Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác nhiều cung khác thì biến đổi tương đương phương trình chứa các hàm lượng giác cung Sau biến đổi trên phương trình nhận không có dạng quen thuộc thì có thể theo hai hướng: Hướng thứ nhất: Biến đổi phương trình đã cho để đưa việc giải phương trình đơn giản quen thuộc Các phương pháp biến đổi gồm có: Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp hạ bậc Phương pháp biến đổi thành phương trình tích Phương pháp tổng các số hạng không âm Phương pháp đánh giá Phương pháp hàm số Hướng thứ hai Dùng lập luận để khẳng định phương trình cần giải vô nghiệm Bài ĐHYD98 (1 tan x)cos x (1 cot x) sin3 x 2sin2 x sinx 0; cosx ĐK: sinx.cosx sin x sinx cosx sinx cosx ) sin3 x( ) 2sin x pt cos x( cosx sinx cos x( sinx cosx) sin2 x( sinx cosx) sin2 x sinx cosx 2sin2 x sinx cosx ( sinx cosx) sinx.cosx sinx cosx sinx cosx 2 sin x sin x cos x sin2 x sinx Cosx x k ;(k ) x k Bài 2:A96 Giải phương trình: tanx - tanx.tan3x = x k cosx ĐK: cos3x x k ;(k ) ( pt ) tan x(tan x tan 3x) sin( x x) sin x tan x 2 cosx.cos3 x cosx.cos3 x 2 sin x sinx 2 sinx.cosx 2 2 cosx.cos3x cosx cosx.cos3 x 2 sin x cosx.cos3 x cos x cos x cos x k ; (k ) cos x 1 x k 2 x tan x Lop8.net (2) Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 2sin( x ) x k cosx sinx ;(k, m ) sin x sin x m 1 4sin x Bài 3: ĐHHH96 Giải 3sin x 4cosx 2cosx 1 2cosx ( pt ) 2 5 3sin x 4cosx (1 2cox) cosx 5 3(1 cos x) 4cosx 4cosx 4cos x Bài 10: Giải tan x.sin x sin x 3(cos x sinx.cosx ) ĐK: cosx x sinx cos x sin x cos x 4 4sinx.cosx cosx sin4 x sinx.cosx sin x sin x sin x k 2 x 12 k ;(k ) x k 2 x 5 k 12 Bài 5: ĐHNT97 Giải phương trình: 2tanx + cotx= sin x sinx k Đk: x ;k cosx pt sinx cosx sin x cos x cosx sinx sinx.cosx sin x pt tan x cotx tan x sin x 2 tan x tan x 3 sin x sin x cosx x k 2 ;(k ) Bài 7:ĐHHVNH98 Giải phương trình: sin x cos x cos x sin x cos x ( sin x cos x )3 3( sin x.cos x ( sin x cos x ) 3 cos x sin 2 x ( ) cos x 4 8 k ;(k ) ( pt ) cos x cos x cos x x 8 Bài 8:ĐHHN98 Giải sin3 x.cosx cos x.sinx 2 ( pt ) sinx.cosx( sin x cos x) 4sinx.cosx(cos x) k sin x 1 x k 2 x ;(k ) 3 Bài 9:Giải phương trình cos x sin x 3cosx.sin x sinx ( pt ) cosx.cos x sin3 x 3cosx.sin x sinx (cosx sinx ) 4sin x (cosx sinx ) (cosx sinx )(1 4sin x ) cos x 1:A03/ cot x sin x sin x ds : x k tan x π x ππ+ k2 π4 π 2:B03/ cotx - tanx + 4sin2x = KQ: x=± +k sin2x 2x 3:D03/ sin - tan x-cos =0 KQ: x = π; x=- +kπ 2 4 4:A04/ Tinh các góc tam giác ABC không tù ,thoả mãn : cos A 2 cos B 2 cos C A 90o Giải: M o B C 45 π; x π 5π = +k2 π π + k2 7:A05/ Cos23xcos2x –cos2x = Hd:hạ bậc đưa pt bậc2 theo sin4x Đs: x = k./2 8:B05: 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 2 KQ : x k ; x k 2 9:D05/ cos x sin x cos x sin x 4 4 2sin x.cos x [sin x sin x] 0; ds : x k 2 4π x 10:db1.A05/ Tìm x(0;): 4sin - 3cos2x=1+2cos x- 2π π 17π 5π π 2π 7π 5 ; x= +k hay x = + h2 KQ x ; 18 18 18 (Chọn k = 0; k = 1; h = 1) 11:db2.A05/ π; π π π π 3 2cos x - - 3cosx - sinx = KQ: x= +k x= +k 4 cos2x π π 12:db2.B05/ tan + x - 3tan x = KQ: x=- +kπ 2π sinx cos x 3 13:db1.D05/ tan - x + = 1+ cosx 2x = + k2π π; π 5π KQ:x = + k2 6 14:db2D05/ sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - = KQ: x = ± cos10 x cos8 x cosx cos10 x cos8 x (cosx sinx) sin3 x 4cosx.sin x tan x tan( ) x k tan x ;(m, k ) tan x tan x m tan x 3 π 5:B04/ 5sinx-2=3 1-sinx tg x KQ: x = + k2 π; x = - + kπ 6:D04/ 2cosx-1 2sinx+cosx =sin2x-sinx cosx(1 sin x) 4sin3 x 3cosx.sin x sinx tan x tan x tan x (tan x 1)(tan x 3) k ;(k ) Bài 6:ĐHVHHN98 Giải phương trình: cos10 x 2cos x 6cos3 x.cosx cosx 8cosx.cos 3 x pt cos10 x 2cos x cosx 2cosx(4cos3 3x 3cos3x) x k ; k ( pt ) Bài 4:ĐHAN Giải phương trình: tanx + cotx = sinx k ĐK sinx.cosx sin x x ;(k ) cosx Ta có: tanx+cotx= sin3 x sin x 3(cos x sin x sinx.cosx) cosx Chia vế cho cos2x ≠ có tan x tan x 3(1 tan x tan x) cosx cosx 1 x k 2 ; (k ) cos x Lop8.net (3) Chuyên đề lượng giác π; x = π + k2π; x = ; x = +π π π;π x= 5ππ+kπ π π 5π KQ: x = + k2 k2 6 cos x + sin x - sinx.cosx 15:A06/ = KQ: x = + 2k - 2sinx x 16:B06/ cotx+sinx 1+tanx.tan = KQ: x= +k 2 12 12 17:D06/ cos3x +cos2x –cosx -1 = KQ : x k ; x 2 k 2 18:db1.A06/ cos3x.cos3 x sin 3x.sin x KQ : x k 16 π 7π 19:db2.A06/ 2sin 2x- +4sinx+1=0 KQ: x= +k2π; x=kπ 6 π π 20:db1.B06/ 2sin x-1 tg 2x+3 2cos -1 =0 KQ: x = ± +k π; x = + k2π; x = π + k2π 21:db2.B06/ cos2x+ 1+2cosx sinx-cosx =0 π π +k 22:db1.D06/ cos3 x sin x sin x KQ: x = k ; x k 2 ; x k 2 π;π;xx== ± + k2π; + k2π x2= k2π 23:db2.D06/ 4sin x+4sin x+3sin2x+6cosx=0 π 2π KQ: x = - + k2 24:A07/ 1 + sin x cosx + 1 + cos x sinx = + sin2x KQ : x Hồ Văn Hoàng 34:B08/ sin x cos x sin x.cos x sin x cos x k KQ : x ; x k 35:D08/ 2sinx(1+cos2x) + sin2x =1 +2cosx 2 ds : x k ; x k 2 36)Tham khảo 2004: 4(sin3x +cos3x ) =cosx +3sinx 1 37) Tham khảo 2004: 2 cos x cos x sin x 4 38)TK 2004: sin x sin x cos x cos x 3 x 2 / k 2 / 3; x k 2 Cao đẳng năm2006 1)sin3x + cós3x =2(sinx +cosx) -1 HD: t = sinx +cosx 2)4cos2x – 6sin2x + 5sin2x – = HD: tanx(tanx −1) = 3)sin3x = sinx + cosx HD: cosx(sinx.cosx −1) = 4) 1+cos2x +cos4x = HD: cos2x(2cos2x −1) = 5) 2sin2x -cosx – = 6) 2sinx +cosx =sin2x +1 HD: (1 − cosx)(2sinx −1) = 7) sin2x +cos2x +sinx -2cos2x/2= 0.HD (cosx –sinx)(2sinx−1)= 8)sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) Đưa dạng: cos2x(sin3x – cos3x) = 9)2cos2x + 5sinx -4 = 10) (1+sinx)(1+cosx) = HD: t = sinx + cosx 3x x 11) sin 3.sin Đặt t x 3x 3t 4 4 2 pt sin 3t 3sin t sin 3t 3sin t k 2 HD: sin5x(cos3x-sin2x) =0 3sin t 4sin t 3sin t sin t x π π KQ: x = - + k 25:B07/ 2sin 2 x sin x sin x 2 5 2 KQ : x k 2 ; x k ;x k 18 18 3π 12)cos7x +sin8x = cos3x –sin2x 13) sin x cos3 x sin x HD: t = sinx +cosx π; x= π π 14) sin x cos x tg x x x 26:D07/ sin +cos + 3cosx=2 KQ: x = +k2 - +k2 2 x k sin x 2sin x 1 1 2 x 2 k 2 27:db1.A07/ sin x sin x cot x 2sin x sin x 4 2 15) sin x cos x sin x cos x cos x sin x 27: KQ : x k 28: KQ: x k Phương pháp đổi biến: Để giải phương trình lượng giác 28:Db2.A07/ cos x sin x cos x sin x cos x π x π 3x π;x=- +kπ 5x 29:db1.B07/ sin - - cos - = 2cos 4 2 4 2 KQ : x k ; x k 2 ; x k 2 3 sin x cos x 30:db2.B07/ tan x - cot x.; x k 2 cos x sin x 31:db1.D07/ 2 sin x - cos x 1.KQ : x k ; x k 12 π 32:db2.D07/ 1- tan x 1 sin x tan x.KQ : x=k 33:A08/ sin x KQ : x 3 sin x k ; x 7 4sin x k ; x 5 k phương pháp đổi biến, ta sử dụng biến t để chuyển phương trình ban đầu chứa các cung t, 2t, 3t,…, kt, sử dụng các công thức góc nhân đôi, nhân ba,… Ví dụ 1: Giải sin(2x Đặt t = x - 2x - ) = 5sin(x - ) + cos3x (1) = 2t và 3x = 3t + Khi đó (1) sin2t = 5sint + cos(3t + ) sin2t = 5sint - sin3t sin3t + sin2t = 5sint 3sint - 4sin3t + 2sint.cost = 5sint (3 - 4sin2t + 2cost - 5) sint = (2sin2t - cost + 1)sint = (2cos2t + cost - 3) sint = sin t cos t sint = t = k x = k x= + k , k cos t (loại) 3 x 3x Ví dụ 2: Giải sin( ) = sin( ) (2) 10 2 10 Lop8.net (4) Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 3 x 3x (2) sint = sin( 3t ) - 3t = 10 10 2sint = sin3t 2sint = 3sint - 4sin3t 4sin3t - sint = (4sin2t - 1)sint = (1 - 2cos2t)sint = t k t k sin t 2t k 2 t k cos 2t Đặt t = 3 3 x 10 k x k 2 3 x 4 k x k 2 , k 10 15 3 x k x 14 k 2 10 15 Ví dụ 3: Giải sin(3x - ) = sin2x.sin(x + ) 4 3 x 3t Đặt t = x + suy x 2t (3) (2) sin(3t - ) = sin(2t - ).sint - sin3t = - cos2t sint 2 3sint - 4sin t = (1 - 2sin t)sint sin3t - sint = (sin2t - 1)sint = cos2t.sint = cost.sint = k k sin2t = 2t = k t = x+ k x=- , k Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Giải 2cos( x Đặt t = x 3x = 3t - (4) 2cost = sin(3t - ) = sin3x - cos3x (4) ) - cos(3t - ) 2cost = - cos3t - sin3t 2 2cost = - (4cos t - 3cost) - (3sint - 4sin3t) 4cos3t - cost + 3sint - 4sin3t = (5) Ta xét hai trường hợp: TH1: Với cost = t = k , k Khi đó phương trình có dạng: 3sin( (Vô lý) Vậy t = k ) - 4sin3( k ) = k không là nghiệm phương trình k , k Chia hai vế phương trình (5) cho cos3t, ta được: 4−(1+tan2t)+3(1+tan2t)tant−4tan3t=0 tan3t+tan2t−3tant−3 = tan t 1 (tant + 1)(tan t - 3) = 0 tan t tan t TH2: Với cost ≠ t ≠ x k t k t k x k x k t k Vậy phương trình có họ nghiệm 5 x 12 k x k , k x k Giải phương trình lượng giác công thức hạ bậc Để giải phương trình lượng giác công thức hạ bậc, ta thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Thực hạ bậc phương trình việc sử dụng các công thức: 21 Ví dụ 1: Giải sin24x - cos26x = sin(10x + ) (1) cos8 x cos12 x sin(10 x 10 ) Phương trình (1) 2 2cos10x + cos12x + cos8x = 2cos10x + 2cos10x.cos2x = (cos2x + 1)cos10x = x k 2 x k cos x 1 ,k 10 x k x k cos10 x 20 10 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sin 3x - cos 4x = sin25x - cos26x (2) Sử dụng công thức hạ bậc ta có: cos x cos8 x cos10 x cos12 x (2) 2 2 (cos12x - cos6x) + (cos10x - cos8x) = - 2sin9x.sin3x - 2sin9x.sinx = - 2sin9x(sin3x + sinx) = - 4sin9x.sin2x.cosx k sin x x sin x sin x ,k sin x k x cos x Với phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử 3) Thông thường ta không hạ bậc tất các nhân tử đó mà chọn hai nhân tử để hạ bậc Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình sin23x - sin22x - sin2x = (3) cos x cos x (3) sin 2 x 0 2 (cos6x−cos2x) + 2sin 2x = -2 sin4x.sin2x + 2sin22x = - 2sin2x(sin4x - sin2x) = k x sin x ,k sin x sin x x k 3 Ví dụ 4: Giải phương trình: sin 2x cos6x + sin6x cos32x = Ta có thể lựa chọn hai cách sau để biến đổi cho VT: Cách 1: Ta có: VT = sin22x.sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.cos22x = (1 - 2cos2x).sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.(1 - 2sin22x) = sin2x.cos6x + sin6x.cos2x - cos22x.sin2x.cos6x sin6x.cos2x.sin22x = sin8x - cos2x.sin2x.(cos2x.cos6x + sin6x.sin2x) = sin8x - sin4x.cos4x = sin8x Cách 2: Ta có: 1 VT = (3sin2x - sin6x)cos6x + (3cos2x + cos6x).sin6x 4 3 = (sin2x.cos6x + cos2x.sin6x) = sin8x 4 Phương trình biến đổi dạng: k x 48 3 sin8x = sin8x = ,k x 5 k 48 4 Lop8.net (5) Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác Phương trình lượng giác Loại Phương trình bậc nhất, bậc hai , bậc cao với hàm số lượng giác Cách giải chung b1 Đặt HSLG theo t ( với t = sinx t = cosx thì có đk t ) b2 Giải phương trình theo t ( chẳng hạn f(t) = ) b3 Chọn t thoả mãn điều kiện và giải theo phương trình lượng giác để tìm x Chú ý: 1.Phương trình (k ) u v 2k sinu = sinv u v 2k cosu = cosv u v 2k Đặc biệt: ( cần ghi nhớ ) ( k ) º sinx = x= k º sinx = x = º cosx = x = + k =– + k2 º sinx = –1 x= – + k2 º cosx = x = k2 º cosx = – x= +k2 º tanx = x = k º tanx = x = + k º tanx = – x + k tan x tan x 14/ cos3x + cos2x – cosx – = 15/ cos 3xcos2x – cos x = Loại 16/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – = Phương trình bậc sinx và cosx dạng: asinx + bcosx = c (1) Điều kiện có nghiệm (1) có nghiệm a2 + b2 c2 Điều kiện vô nghiệm (1) vô nghiệm a2 + b2 < c2 b1.Chia vế (1) cho a b b2.Biến đổi dạng: sinu = sinv (hoặc cosu = cosv ) (2) b3.Giải (2) và kết luận Chú ý: Sau biến đổi asinx + bcosx thành dạng C sin x C cos x ta có thể dùng máy tính cầm tay (MTCT) để tính nghiệm phương trình Cách giải 2: Phương trình bậc theo HSLG a.sinx + b = (a 0) sinx = – 13/ Cách giải 1: cotu = cotv u = v + k tanu = tanv u = v + k 5 7 ) – 3cos( x ) = + 2sinx 2 9/ cos2x + 5sinx + = 10/ cos2x + 3cosx + = 11/ 2cos2x – 3cosx + = 12/ cos2x + sinx + = 8/ sin( x b b sin ( 1) a a cosx = – a.tanx +b = (a 0) b tanx = tg a b b cos ( 1 ) a a a.cotx + b = (a 0) b cotx = cot g a 3.phương trình bậc hai theo HSLG a.sin2x + b.sinx + c = (3.1) a.cos2x + b.cosx + c = (3.2) a.tan2x + b.tanx + c = (3.3) a.cot2x + b.cotx + c = (3.4) Cách giải b1.Dùng ẩn phụ: (3.1) Đặt X = sinx ; (3.2) Đặt X = cosx , ĐK:–1 X (3.3) Đặt X = tanx ; (3.4) Đặt X = cotx ta phương trình a.X2 + b.X + c = (2) b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm ) b3.Dùng phương trình giải phương trình tìm x Kết luận Phương trình bậc hai theo HSLG a.sin3x + b.sin2x + c.sinx + d = (4.1) a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + d = (4.2) a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = (4.3) a.cot3x + b.cot2x + c.cotx + d = (4.4) Cách giải: b1.Dùng ẩn phụ: (4.1) Đặt X = sinx , – X (4.2) Đặt X = cosx , –1 X (4.3) Đặt X = tanx (4.4) Đặt X = cotx ta phương trình a.X3 + b.X2 + c.X + d = = (2) b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm ) b3.Dùng phương trình giải phương trình tìm x Kết luận BT1 Giải các phương trình sau: 2 cos x cos x 1/ sin x 2/ 4sin3x+3 sin2x = 8sinx 1 5sin x cos x 4/ cos x 5/ Cho 3sin3x – 3cos2x+4sinx– cos2x+2 = (1) và cos2x+3cosx(sin2x – 8sinx) = (2) Tìm n0 (1) đồng thời là n0 (2) 6/ sin3x + 2cos2x – = 7/ sin6x + cos4x = cos2x 3/ 4cosx.cos2x +1=0 b a sinu = sinv ( cosu = cosv ) (2) b1 Chia vế (1) cho a Đặt tg a.cosx + b = (a 0) b2.Biến đổi dạng: b3.Giải (2) và kết luận Cách giải 3: x 2t 1 t2 b1 Đặt t tg , với sin x , cos x 1 t2 1 t2 b2 Giải phương trình bậc hai theo t: (b c)t 2at b c b3 Kết luận sin x cos x sin( x ) cos( x ) 4 BT2 Giải các phương trình sau Đăc biệt : 1/ 3cosx + 4sinx = – 2/ 2sin2x – 2cos2x = 3/ 5sin2x – 6cos x = 13 5/ cos x sin x 6/ ( cos2x – sin2x) – 4/ 2sin15x + cos5x + sin5x = 2 6 Tìm nghiệm x ( ; ) sinx – cosx + = Loai Phương trình đẳng cấp sin x và cosx dạng: a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x = d (1) Cách giải 1: b1.Tìm nghiệm cosx = b2.Với cosx 0.Chia vế (1) cho cos2x, ta được: a.tan2x + b.tanx + c = d.(1 + tan2x) (2) b3.Giải (2) và kết luận Cách giải 2: b1.Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc b2.Biến đổi (1) dạng: A.sin2x + B.cos2x = C (2) (pt bậc theo sin2x và cos2x) b3.Giải (2) và kết luận Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc 3: asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + d.cos3x = e Cách giải b1.Tìm nghiệm cosx = b2.Với cosx 0.Chia vế (1) cho cos3x, ta được: a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = e.(1 + tan2x) (2) b3.Giải (2) và kết luận BT3 Giải các phương trình sau 1/ 3sin2x– sinxcosx + 2cos2x = Lop8.net 2/ sin2x+3 sinxcosx – 2cos2x = (6) Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 3/ sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 4/ sin2x + 6sinxcosx + 2(1+ )cos2x – – 3/ cos3x + sin3x = cos2x =0 5/ sin4x + cos4x = Loại Phương trình đối xứng và gần sinx và cosx 4.1 dạng: a.(sinx + cosx) + b.sinxcosx = c (1) Cách giải: sin( x ) ta có: X 1 X và sinxcosx = b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2) b3.Giải (2) và kết luận Loại Phương trình lượng giác biến đổi dạng tích f ( x) f(x).g(x) = g ( x) BT7 Giải các phương trình sau 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ cos2x – cos8x + cos4x = sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – sin3 x + 2cosx – + sin2 x = 3sinx + 2cosx = + 3tanx sin2x+ cos2x+ cosx=0 7/ 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 6/ sin( x ) , ta có: 1 X X và sinxcosx = b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2) b3.Giải (2) và kết luận BT4 9/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x x x 10/ cos8x + sin8x = 11/ (sinx + 3)sin4 – (sinx+3) sin2 +1 = Cách giải: Dùng công thức 4.2 dạng: a.(sinx – cosx) + b.sinxcosx = c (1) Cách giải: b1.Đặt X = sinx – cosx = cos2x 9/ + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 10/ + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 11/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 12/ cos3x + cos2x + 2sinx – = 13/ cos2x – 2cos3x + sinx = 8/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + Giải các phương trình sau 1/ sin3 x + cos3 x = 2sinxcosx + sin x + cosx 2/ – sin3 x + cos3 x = sin2x 3/ 2sinx + cotx = 2sin2x + 4/ sin2x(sin x + cosx) = 5/ (1+sin x)(1+cosx) = 6/ (sin x + cosx) = tanx + cotx 14/ sin2x = + cosx + cos2x 15/ cosx(cos4x + 2) + cos2x – cos3x = 16/ + tanx = sinx + cosx 17/ (1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx 18/ cotx – tanx = cosx + sinx 19/ 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = Loại Phương trình LG phải thực công thúc nhân đôi, hạ bậc cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1=1–2sin2x t2 2t sinx = ; cosx = sin2x=2sinxcosx t2 1 t tan x tan2x= 2t tanx= tan x t2 7/ 1+sin 2x + cos x = sin 4x 8/ 3(cotx – cosx)-5(tanx-sin x)=2 4 2 9/ cos x + sin x – 2(1 – sin xcos x) sinxcosx – (sinx+cosx)=0 3 BT8 Giải các phương trình sau Loại Giải phương trình lượng giác phương pháp hạ bậc Công thức hạ bậc cos x cos2x= ; cos2 x sin2x= + cos3xsinx 3/ tanx + 2cot2x = sin2x 5/ sin4x = tanx 7/ sin2x+cos2x+tanx=2 Công thức hạ bậc 3 cos x cos3 x cos3x= ; 3sin x sin 3x sin3x= 1/ sin3xcosx = 9/ cotx=tanx+2cot2x BT5 Giải các phương trình sau 1/ sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos24 x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 9x 5x 4/ cos3x + sin7x = 2sin2( ) – 2cos2 5/ sin24 x + sin23x = cos22x + cos2x , với x (0; ) Loại Phương trình LG phải thực phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng Công thức biến đổi tổng thành tích 8/ 4sin3x – = – cos3x 10/ sin2x = cos22x + cos23x 7/ cos4x – 5sin4x = 9/ sin22x + sin24x = sin26x cosa + cosb = 2cos 11/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 cos4x = 12/ 2cos22x + cos2x = sin22xcos2x x 13/ cos4xsinx – sin22x = 4sin2( ) – 7/2 , với x 1 <3 14/ cos32x – 4cos3xcos3x + cos6x – 4sin3xsin3x = 15/ sin3xcos3x +cos3xsin3x = sin34x 16/ 8cos3(x+ sina + sinb = 2sin 17/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 18/ cos7x + sin22x = cos22x – cosx 19/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 20/ 3cos4x – cos23x = a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) a4 – b4 = ( a2 + b2 )( a2 – b2 ) a6 – b6 = ( a2 – b2 )( a4 + a2b2 + b4 ) a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) a8 + b8 = ( a4 + b4 )2 – 2a4b4 a6 + b6 = ( a2 + b2 )( a4 – a2b2 + b4 ) BT6 Giải các phương trình sau x x 1/ sin4 + cos4 =1 – 2sinx 2/ cos3x – sin3x = cos2x – sin2x ab ab cos 2 ab ab cos 2 cosa – cosb = – 2sin sina – sinb = 2cos tana + tanb = sin(a b) cos a.cos b tana – tanb = cota + cotb = sin(a b) sin a.sin b cota – cotb = )=cos3x Loại Phương trình lượng giác giải các đẳng thức 4/ sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x 6/ sin2x + 2tanx = 8/ tanx+2cot2x=sin2x 10/ tan2x+sin2x= cotx 13/ cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x 2/ cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16 12/ sin x sin x sin 2 x sin x 11/ (1+sinx)2 = cosx 6/ sin 4x – cos 6x = sin( 10,5 10x ) với x (0; ) 2 13 cos22x cot( x ) cot( x ) 6/ cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 7/ cos3x + sin3x = cosx – sinx 8/ cos6x + sin6x = cos4x 5/ tanx sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 6/ sin3(x- /4)= sinx 7/ 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 8/ sinx – 4sin3x + cosx = 9/ 4cos3x + 2sin3x – 3sinx = 10/ cos3x = sin3x 11/ cos3x – sin3x = cosx + sinx 12/ sinx sin2x + sin3x = cos3x b1.Đặt X = sinx + cosx = 4/ cos6x – sin6x = ab ab sin 2 ab ab sin 2 sin(a b) cos a.cos b sin(a b) sin a.sin b Công thức biến đổi tích thành tổng cos(a b) cos(a b) 2 sina.sinb = cos(a b) cos(a b) sina.cosb = s in(a b) sin(a b) cosa.cosb = BT9 Giải các phương trình sau 1/ cosx.cos5x = cos2x.cos4x cos5xsin4x = cos3xsin2x Lop8.net 2/ (7) Chuyên đề lượng giác 3/ sin2x + sin4x = sin6x sin2x = cosx + cos2x 5/ sin8x + cos4x =1 + 2sin2xcos6x cos2x + cos3x + cos4x = 7/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = sinx + 2sin2x = 9/ tanx + tan2x = tan3x – cos3x +1 = 2sinxsin2x Hồ Văn Hoàng 4/ sinx + 6/ cosx + 8/ sin5x + 10/ 3cosx + cos2x Loại 10 Phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu số Cách giải b1 Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( mẫu số khác ) b2 Rút gọn phương trình, giải phương trình cuối cùng ( sau thu gọn ) b3 Đối chiếu với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm Chú ý: Việc chọn nghiệm ( nhận nghiệm nào, loại nghiệm nào ), tùy theo bài tốn ta dùng phương pháp đại số phương pháp hình học Giả sử rằng: 2m + Điều kiện xác định là: x x0 m , p * p + Phương trình có nghiệm là 2k x k , n * n phương pháp đại số 2k 2m + Nghiệm xk bị loại m : x0 n p + Nghiệm xk nhận 2k 2m m : x0 n p phương pháp hình học 2m + Điều kiện xác định là: x x0 m , p * có nghĩa p là trên đường tròn lượng giác có p điểm A1, A2, , Ap không thể là cung nghiệm phương trình đã cho + Ký hiệu L A1 , A2 , , Ap ( tập hợp các điểm bị loại ) 2k k , n * biểu diễn n n cung nghiệm trên đường tròn lượng giác + Ngọn cung nào thuộc L thì bị loại, ngược lại thì nhận + Các nghiệm xk BT 10 Giải các phương trình sau cos x 1/ cot g x sin 2 x cos x 2sin x cos x cos x sin x cos 3x sin 3x 3/ sin x cos x 2sin x sin x cot g x 1 cos x 5/ 2tgx cot gx sin x 2tgx cot gx 2sin x sin x 7/ tgx cot g x cos x sin x cot gx 2/ 4/ 6/ 8/ sin x 2 x tg x sin x cos 2 sin x cos x 9/ cos 4 x tg x tg x 4 4 cogt x tg x 16(1 cos x) cos x cos x sin x sin x 11/ cot gx tgx cot gx tgx 4sin x 10/ 12/ sin x x x 13/ sin tg x cos 2 4 5sin x 1 sin x tg x cos6 x sin x sin x cos x 14/ 16/ 0 2sin x x cot gx sin x 1 tgx.tg 17/ tgx 18/ 2 cot x tgx cos x 4sin 2 x 6sin x 3cos x 19/ 20/ cos x sin x cos x cos x 21/ 4sin x 3cos x 22/ 6 4sin x 3cos x 1 sin x cos x sin x cos x 1 cos x cos x cos x 23/ (3 sin x) 24/ cos x cos x cos x 2sin x.cos x cos x sin x 1 25/ tgx 2sin x 26/ cos x 1 sin x cos x tan x cot x 1 10 27/ cos x 28/ sin x cos x sin x sin x 1 5sin x sin x cos x 29/ 30/ (tan x cot x) sin x sin x sin x 1 31/ 2cos2x – 8cosx + = 32/ 2sin3x – cos x sin x = 2cos3x + cos x 33/ tan x sin x cos x cos x 34/ + cos x 15/ Lop8.net (8) Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác cot2x = cos x sin 2 x 1/ sin( 35/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + sin 2x sin( 3x 36/ 1 2 sin( x ) sin x cos x 37/ tan x cot x 38/ sin x cos x cot x 4sin x cos x cot x cos x 4 4 3/ Chú ý: Đối với phương trình chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối phương pháp khoảng (cần nhớ dấu giá trị lượng giác và chiều biến thiên các hàm số lượng giác ) tg x tgx tgx tgx tgx cos x cos x cos x sin x , x 2 sin x 2sin x 2sin x sin 2 x cos x 0 9/ 2sin x cos x 8/ sin 2x cos 2x 15/ sin x cos x sin 3x sin x cos x x 12/ x x x 2 cos sin 2sin 12 12 5 12/ 3x 2sin 6 14/ Loại 14 Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá vế ,tổng lượng không âm,vẽ đồ thị đạo hàm 0 sin x cos x x 2 BT13 Giải các phương trình sau 16/ 1/ sin x sin x sin x cos x Loại 12 Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc hàm số lượng giác BT12 Giải các phương trình sau sin x cos x 4sin x 13/ sin x cos x sin x cos x (16 2) cos x cos x 6/ sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin 2x 7/ tan2x.tan23 x.tan24x.= tan2x– tan23 x + tan4x 8/ tan2x = – sin3xcos2x 9/ sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x) 10/ sin x sin x sin x cos x 2 11/ cos2 sin x cos x – = tan2 x tan 10/ sin x cos x 11/ cos x sin x cos2x + Loại 13 Phương trình LG phải thực các phép biến đổi phức tạp 6/ 6/ 3cot2x 2/ cos 3x x 16 x 80 =1 tìm n0 x Z 4 3/ 5cos x cos x + 2sinx = 4/ 3cotx – tanx(3-8cos2x) = sin x tan x 5/ cos x tan x sin x 4x cos x 0 tg x sin 3x sin x 7/ , 4/ cosx – 3 x )=3 2 7 5/ cos( x ) = sin(4x+3 ) + 2 sin2x = (2 + )cosx 7/ 2cot2x + + 5tanx + 5cotx + = 8/ cos x 1 = cosx + cos x cos x 9/ sinx – cos2x + + =5 10/ sin x sin x sin x tan x +2 =3 sin x tan x 1/ 3/ cos x sin x sin x cos x 4/ sin x cos x sin x 5/ ) = sin2x sin( x ) 4 4x cos cos x 0 tg x BT13 Giải các phương trình sau 2/ cos x sin x 2/ 2sin( Loại 11 phương trình lượng giác chứa thức chứa giá trị tuyệt đối Cách giải b1) Đặt điều kiện xác định (nếu có) b2) Khử dấu giá trị tuyệt đối khử thức ( thông thường dùng quy tắc bình phương hai vế Cần nhớ: a b a b ) giải phương trình b3) Kết luận BT 11 Giải các phương trình sau 1/ sin x cos x sin x cos x 3 x 3x ) ) = sin( 10 10 cos3x + cos 3x = 2(1+sin22x) 2/ 2cosx + sin10x = + 2sinxcos28x 3/ cos24x + cos26x = sin212x + sin216x + với x 0; 4/ 8cos4xcos22x + cos 3x +1 = 5/ 6/ Lop8.net sin x cos x – 4sin2x – 8cos2x/2 = 3k tìm k Z* để hệ có nghiệm (9) Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác x = cosx 8/ ( cos2x – cos4x)2 = + 2sin3x 7/ 1– 9/ cos x cos x cos x sin x Lop8.net (10)