Toán học - Chuyên đề 1: Tọa độ phẳng

TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng ph[r]

CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán tọa độ mặt phẳng thường gặp các yêu cầu tìm tọa độ điểm, vectơ, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc hai vectơ, quan hệ cùng phương vuông góc hai vectơ, điểm thẳng hàng Ta vận dụng các kiến thức sau đây: G G Cho a = ( a1 , a ) , b = ( b1 , b2 ) ta coù: G G a= b ⇔ ⎧a1 = b1 ⎨ ⎩a = b2 G G a + b = ( a1 + b1 , a + b2 ) G G a – b = ( a1 - b1 , a - b2 ) G k a = (k a1 , k a ) (k ∈ R) G G α a + β b = ( α a1 + β b1 , α a + β b2 ) G G a b = a1 b1 + a b2 Với các quan hệ độ dài ta có: G a = ( a1 , a ) ⎧⎪ A ( x A , y A ) ⇒ ⎨ ⎪⎩B ( x B , y B ) vaø ⇒ G a = a12 + a 22 JJJG AB = ( xB – x A , y B – y A ) AB = ( xB - xA ) + ( yB - yA ) Với quan hệ cùng phương vuông góc ta có: G G a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a b2 = G G G G a cuøng phöông b ⇔ sin( a, b) = ⇔ a1 b2 – a b1 = ⇔ A, B, C thaúng haøng a1 a = ( b1 , b2 ≠ 0) b1 b2 JJJG JJJG AB cuøng phöông AC ⇔ Lop6.net xB - x A y B - y A ⇔ xC - x A y C - y A =0 Với việc tìm góc hai vectơ ta có: G G - Góc hình học tạo hai vectơ a , b suy từ công thức: GnG ab +a b cos( a, b ) = 1G G 2 a.b (1) G G - Số đo góc định hướng hai vectơ a , b ngoài (1) còn suy thêm từ hai công thức: ab - a b G G sin( a, b) = 2G G a b a b - a2 b1 G G tg( a, b) = a1b1 + a2 b2 Ngoài các bài toán tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết sau đây: M( x M , y M ) là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ xA ⎧ x = M ⎪⎪ ⎨ ⎪y = y A ⎪⎩ M + xB + yB G( x G , y G ) laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇔ x A + x B + xC ⎧ ⎪⎪ x G = ⎨ y + y B + yC ⎪y = A G ⎪⎩ I( x I , y I ) và J( x J , y J ) là chân đường phân giác và ngoài góc A Δ ABC thì: JJG JJJG IB JB AB JJG = − JJJG = − AC IC JC Với A( x A , y A ), B( xB , y B ), C( xC , yC ) thì diện tích tam giác ABC là: S= Δ với Δ = xB - x A y B - y A xC - x A y C - y A Ví duï 1: Lop6.net Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2) a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B JJJJG G JJJJG JJJJG b) Tìm tọa độ điểm M để AM + BM - CM = c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có cạnh đáy là AB và E nằm Ox d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp Δ ABC e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng Giaûi a) D là điểm đối xứng A qua B ⇔ B laø trung ñieåm cuûa AD ⇔ xA + xD ⎧ ⎪⎪x B = ⎨ ⎪y = y A + y D ⎪⎩ B ⎧⎪ x D = 2x B − x A = ( ) − = − hay D(–2, 7) ⎨ ⎪⎩ y D = 2y B − y A = ( ) + = JJJJG G JJJJG JJJJG b) Ta coù: AM + BM – CM = = ( 0, ) ⇔ ⇔ ⎧⎪2 ( x M − ) + ( x M − ) − ( x M − ) = ⎨ ⎪⎩2 ( y M + 1) + ( y M − ) − ( y M − ) = ⇔ ⎧x M = − 12 ⎨ ⎩y M = − hay M(–12, –1) c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox ⇔ ⎧⎪ y E = ⎨ JJJG JJJG ⎪⎩CE // ΑΒ ⇔ ⎧yE = ⎪ ⎨ xE - yE - ⎪⎩ - = + ⇔ ⎧yE = ⎨ ⎩ xE = hay E(5, 0) ⇔ JJJJG JJJG ⎧⎪ AH.BC = ⎨ JJJJGJJJG ⎪⎩BH.AC = d) H là trực tâm Δ ABC ⇔ ⎧ AH ⊥ BC ⎨ ⎩BH ⊥ AC Lop6.net treân ⇔ ⎧⎪( x H − )( − ) + ( y H + 1)( − 3) = ⎨ ⎪⎩( x H − )( − ) + ( y H − 3)( + 1) = ⇔ 18 ⎧ x = H ⎪⎪ ⎨ ⎪y = ⎪⎩ H ⎧4 xH − y H − = ⇔ ⎨ ⎩2 xH + 3y H − = ⎛ 18 ⎞ hay H ⎜ , ⎟ ⎝ 7⎠ G laø troïng taâm Δ ABC ta coù: x A + x B + xC + + ⎧ = =2 ⎪⎪ x G = 3 ⎨ ⎪ y = y A + y B + y C = −1 + + = ⎪⎩ G 3 ⎛ 4⎞ hay G ⎜ 2, ⎟ ⎝ 3⎠ + I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC 2 ⎪⎧IA = IB ⎨ 2 ⎪⎩IA = IC ⇔ IA = IB = IC ⇔ ⎧⎪( − x I )2 + ( −1 − y I )2 = ( − x I )2 + ( − y I )2 ⎨ 2 2 ⎪⎩( − x I ) + ( −1 − y I ) = ( − x I ) + ( − y I ) ⇔ ⎧−4x I + 8y I − = ⎨ ⎩4 xI + y I − 15 = ⇔ 24 12 ⎧ ⎪⎪ x I = 14 = ⎨ ⎪ y = 19 ⎪⎩ I 14 ⇔ hay ⎛ 12 19 ⎞ I⎜ , ⎟ ⎝ 14 ⎠ JJJJG ⎛ ⎞ JJJG ⎛ ⎞ e) Ta coù : HG = ⎜ − , ⎟ vaø HI = ⎜ − , ⎟ ⎝ 21 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⇒ = 21 = − 14 JJJJG JJJG HG cùng phương với HI ⇒ H, I, G thaúng haøng ⇒ − Ví duï 2: Trong maët phaúng Oxy cho A(2, ), B(1, 3 ), C (-1, Lop6.net ) Tính JJJG JJJG cos ( AO , AB ) vaø dieän tích tam giaùc ABC Ta coù: Giaûi JJJG JJJG AO = (–2, –2 ), AB = (–1, JJJG JJJG cos( AO , AB ) = ) = ( a1;a2 ) 2−6 = − + 12 + JJJG AC = (–3, – ) = = ( b1; b2 ) ⇒ S ABC = 1 a1b2 − a2 b1 = ( −1 )( − ) − ( −3 ) = 2 *** Lop6.net