Vậy chỉ có một giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.. Vậy chỉ có một giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán..[r]
(1)Dạng 1: Tìm m để max ; yf x m a a 0
Phươngpháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max ; f x K; min ; f x k K k
Kiểm tra max , 2
m K m k m K m k K k
m K m k
TH1:
K k a
Để ;
maxy a m k a m a k m a k a K;
m K a m a K
.
TH2: K k
a
m
.
Cách 2:Xét trường hợp
TH1:
m K a
Max m K
m K m k
TH2:
m k a
Max m k
m k m K
Cách 3:Sử dụng đồ thị (khuyến khích nên làm) BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 1. Cho hàm số
yf x ax bx c
có đồ thị nhự hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số g x f x m đoạn 0;4
A 10. B 6. C 4 D 8.
Lời giải Chọn B
Từ đồ thị hàm số
yf x ax bx c
ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng x2 trục
đối xứng, mà f 0 5 f 4 5 Suy ra: 1f x 5, x 0;4
Xét hàm số g x f x m , x 0; 4 Ta có: max g x0;4 max m 1 ;m5 Cách 1:
Dễ dàng nhận trường hợp
(2)Trường hợp 1:
0;4
3
1 3
10
9
10 m
m m m
m m
max g x m
m
Trường hợp 2:
0;4
3
1 3
4
9 5 9
14 m
m m m
m m
max g x m
m
.
Vậy tổng tất giá trị nguyên m là: 10 4 Cách 3: Dựa vào đồ thị
Từ đồ thị suy m 10;4 Cách 4:
TH1:
10
1 10
8
k tra m m
m m
m
TH2:
5
14
k tra m m
m m
m
Vậy m 10;4 Câu Cho hàm số
3 3 f x x x
Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y f sinx1m Tổng phần tử S
A 4. B 2. C 0. D 6.
Lời giải Chọn C
Đặt tsinx1t0; 2,
3
sin
y f x m f t m t t m
Xét hàm số
3 3 u t t t m
liên tục đoạn 0; 2 có 3 u t t
2 0;
0 3
1 0; t
u t t
t
.
Ta có u 0 m u; 1 m 2;u 2 m max0;2 u x m 2, min0;2 u x m 2.
Khi maxymax m ;m2 Cách 1:
TH1:
6
2
2
0 m m
m m
m m
m
(3)TH2:
2
2
2
0 m m
m m
m m
m
.
Vậy S 2; 2 2
Cách 2: Từ đồ thị
Suy m 2; 2
Câu 3. Biết đồ thị hàm số
4 f x ax bx c
có ba điểm chung với trục hồnh f 1 1; 1
f
Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình 12
f x m
nghiệm đúng x 0; 2 Số phần tử S
A 10 B 11. C 16. D 0
Lời giải Chọn B
Đồ thị hàm số
4 f x ax bx c
có ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành gốc toạ độ, suy f 0 0 c0 I
Ta có
3
4
f x ax bx
Theo giả thiết
1 1
4
f a b c
II
a b
f
.
Từ I II suy
4
1; 2;
a b c f x x x Xét hàm số y x 4 2x2 m đoạn 0; 2
Dễ thấy hàm số cho liên tục đoạn 0; 2 có
3
0 0;2
0 4 0;
1 0;2 x
y x x x
x
.
Khi y 0 m; y 1 m1; y 2 m8
0;2
0;2
max
min
y m
y m
.
(4)Theo 2 12, 0; 2
x x m x max m1 ;m8 12
8 12
8
1 12
1
m
m m
m
m m
4 20
7
4
2 4 11
7
13 11 11
2
2 m
m m
m
m m
m
.
Suy S có 11 phần tử Cách 2: Từ đồ thị
Suy 4 m 11.
Câu 4. Cho hàm số
2020 x
f x
x m
(m tham số thực) Có tất giá trị tham số m sao cho max0;2019 f x 2020.
A. B 1. C D
Lời giải Chọn A
Hàm số f x xác định với x m .
* Nếu m2020 f x 1, x 2020 không thỏa mãn yêu cầu tốn.
* Nếu m2020 f x đơn điệu khoảng ;m m; nên yêu cầu toán
0;2019max f x 2020
0;2019
max ; 2019 2020 m
f f
0; 2019
2020 4039
max ; 2020
2019 m
m m
Cách 1:
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:
0; 2019
2020
2020 4039
2020 2019
m
m m
0 2019
1 4039
2020 2019
m m m
m
(5)Trường hợp 2:
0; 2019
4039 2020 2019 2020 2020 m m m 2019 4082419 2020 4074341 2020 2020 2020 m m m m m 4082419 2020 m Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán
Cách 2: Dựa vào đồ thị
Suy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán
Câu Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số ( ) 2
2
x m
f x x m
x
+ +
=
+ đoạn [- 1;1] Tổng tất phần tử S bằng
A 1. B
1
C
1
2 D
3 Lời giải Chọn B
Tập xác định: D\2 Xét hàm số:
2 2 4
x mx m
g x
x
xác định liên tục 1;1 Ta có: 2 x x g x x
2 1;1
0
4 1;1 x
g x x x
x
.
Ta có:
0
g m
; g 1 2m1;
1
3 g m
1;1
maxg x 2m
; min1;1 g x 2m.
Suy ra: max1;1 f x max 2 m1 ; 2m .
Ta có
1;1
2
1 2
max 3
2
2
2
m m m m f x m m m m . Suy 1; S
(6)Vậy tổng phần tử thuộc tập S
Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ sau.
Tổng tất giá trị thực tham số m để 1;1
max f 4x 4x m
A. 20. B 7. C 10 . D 3
Lời giải Chọn C
Đặt t 4 x 4x2 1,
8 4
h x f x x m
Xét hàm số
2
8 4
t g x x x
1;1
2
'
2
8 4
x
g x x
x x
Bảng biến thiên
Khi ta có t 1; 2 h x f t m
Dựa vào đồ thị ta có min1;1 h x f 1 m m 2, max1;1 h x f 1m m 8
Cách 1:
Suy max1;1 h x max m 2 , m8 .
1;1
2
8 7
max
3
8 m
m m
h x
m m
m
Vậy tổng giá trị mbằng 10 .
Cách 2:Bài toán nằm trường hợp nên ta có 5;5 8 7; 3
(7)suy m 7; 3
Câu 7. Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số
2 2
2
x mx m
y
x
trên
đoạn 1;1 Tính tổng tất phần tử S A
8
B 5 C
5
3 D 1. Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
2 2
2
x mx m
f x
x
1;1 , ta có:
2
2 f x
x
;
0
4 1;1 x
f x
x
;
3 1
1 ; ;
3
m m
f f m f
.
Bảng biến thiên
Cách 1:
Trường hợp f 0 0 m0 Khi đó: 1;1 max f x max f ; f
max 1;
3 m
m
m 1 m2.
Trường hợp f 0 0m0
Khả
1
1
f
m f
Khi đó: 3 max1;1 f x f 0 m3.
Khả
1
3 m
Khi
1 f
f
3 max1;1 f x max f 0 ; f 1
3 max m m;
: Trường hợp vô nghiệm Khả
1
0 m
Khi max1;1 f x max f 0 ; f 1 ; f 1 : Vơ nghiệm. Do có hai giá trị thỏa mãn m3, m2
(8)Từ đồ thị suy có hai giá trị thỏa mãn m3, m2 Cách 3: Bài toán nằm trường hợp 1
Do
0 3;3 3;
m m
Câu 8. Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số
2
3 x mx m y
x trên đoạn 2;2 Gọi T tổng tất phần tử S Tính T .
A T 4 B T 5. C T 1 D T
Lời giải Chọn D
Xét hàm số
2
3 x mx m y f x
x ,
Tập xác định: D\ 3
2 x x f x
x Xét f x 0
2
6
6 x x x
x Bảng biến thiên hàm số yf x :
Ta có:
2 4
f m ; f 0 m
;
2
5
f m
Với
2
3 x mx m g x f x
x Ta có max2;2 g x max f 2 ; f 0 ; f 2 Cách :
Dựa vào đồ thị hàm số
4 ; ; u
5 um um m
(9)Xét với m2 Ta có max2;2 g x f 2 m4 m m1 Xét với m 2 Ta có max2;2 g x f 0 m m 5 m5. Vậy S 5;1 nên tổng T 5 1
Cách : ta có
4
4
m m m
Vậy Max Max m m ; 4
Suy m0 5;5 4 m 5;1 Cách : Từ đồ thị
Suy m 5;1 Câu 9. Cho hàm số
2
2 f x x x
Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số
2 2
g x f x f x m
đoạn 1;3 ?
A 5 B 4. C 3 D 2.
Lời giải Chọn D
Xét hàm số
2 2 1 f x x x
đoạn 1;3 Ta có bảng biến thiên
Đặt tf x Do x 1;3 nên ta có t 2;2 Ta có hàm số
2 2 g t t t m
(10)Xét hàm số g u u m , với t 1;8 Ta có max1;8 g u max m1 ,m8 . Cách 1:
Trường hợp 1:
1;8
1
max
m m
g u m
1
1
m m
m
m7.
Trường hợp 2:
1;8
8
max
m m
g u m
8
8
m m
m
m0.
Vậy có hai giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán m0 m7.
Cách 2: Bài toán nằm trường hợp nên 1 8;8 8 7;0
m m . Cách 3: Từ đồ thị
Suy m 7;0
Dạng 2: Tìm m để min ; y f x m a a 0. Phươngpháp:
Cách 1: Trước tiên tìm max ; f x K; min ; f x k K k.
Để ;
min
0
m k a m K a m a k m a K
y a
m k m K m k m K
Vậy m S 1S2
Cách 2: Sử dụng đồ thị x k x K Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối
BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 10. Có tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số
2 f x x x m
1; 2
5?
A 3 B 1. C 2. D 4.
(11)+) Đặt
2 2 g x x x m
+) Ta có: g x 2x g x 0 2x 0 x1
+)
1
1
2
g m
g m
g m
+) Suy
1;2
1;2
min
max
g x m
g x m
Vậy min1;2 g x min 0; m1 ;m3 . Cách 1:
Ta xét trường hợp sau:
TH1:
1
6
1
m
m
m m
.
TH2:
3
8
1
m
m
m m
.
Vậy có hai giá trị tham số m thỏa mãn Cách 2: sử dụng đồ thị
Từ đồ thị suy m 8;6
Cách 3: Để
1;2
1
1
min
8
3 m
m m
g x
m m
m
.
Cách 4: TH1:
1
4
k tra m m
m m
m
.
TH2:
3
8
k tra m m
m m
m
.
Câu 11. Tính tích tất số thực m để hàm số
3
6
y x x x m
có giá trị nhỏ đoạn
0;3
18
A. 432 B 216. C 432. D 288
Lời giải Chọn C
+ Xét hàm số
3
6
3
f x x x x m
liên tục đoạn0;3 + Ta có
2
4 12
(12)+
2 0;3
0 12
2 0;3 x
f x x x
x
.
+
10
0 ; ; ;
3
f m f m f m f m
Khi
0;3
0;3
max max ; ; ; 3
min ; ; ;
f x f f f f f m
f x f f f f f m
(*)
Suy min0;3 ymin 0; m m; 6 .
TH1:
18
18
m
m
m m
TH2:
6 18
24
m
m
m m
Kết luận: tích số thực m thỏa mãn yêu cầu toán là: 24.18432. Cách 2:
Từ (*) ta có
0;3
18
0 18
min 18
24 18
6 m
m m
y
m m
m
.
Cách 3: Dựa vào đồ thị
Dựa vào đồ thị hàm số ym ym6
Suy m 24;18 Câu 12. Cho hàm số
4 2 1 f x x x m
Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn [ ]0;2 18 Tổng tất phần tử S
A - B 4 C - 14 D - 10
Lời giải Chọn A
Xét hàm số g x x4 2x2m1 liên tục đoạn [ ]0;2 g x 4x3 4x
g x
1 0; 0; 0;2 x
x x
.
0 g m
, g 1 m 2, g 2 m 7 xmin0;2g x m 2, maxx0;2g x m 7.
0;2
min 0; ;
x f x m m
(13)Cách 1: Trường hợp 1:
2 18
20
2
m
m
m m
.
Trường hợp 2: 18
25
2
m
m
m m
.
Suy m20; 25 Cách 2:
0;2
2 18
2 20
min 18
25 18
7 x
m
m m
f x
m m
m
Suy m20; 25 .
Cách 3: Từ đồ thị
Suy m 25;20
Vậy tổng tất phần tử S 5. Câu 13. Cho hàm số
2
x m f x
x
Gọi S tập hợp tất giá trị m để min2; 0 f x 2 Tổng các phần tử tập S
A 2. B 8. C 5. D 3.
Lời giải Chọn B
+) D\{1}
*) Với m2 Ta có
2
2
x f x
x
nên min2; 0 f x 2 Vậy m2 thỏa mãn đề bài. *) Với m2 Khi đó,
2 ,
1 m
f x x
x
+) Ta có
4
3 m f
, f 0 m ( )
2 m f x x m x
(14)TH1: Đồ thị hàm số yf x( ) cắt trục hoành điểm có hồnh độ thuộc 2; 0, tức
2
2 m
m
Khi min2; 0 f x 0.
TH2: Đồ thị hàm số yf x( ) khơng cắt trục hồnh cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
nằm đoạn 2; 0 , tức
4
0
2 m
m
m m
Khi đó:
2; 0
4
min ; ; ;
3
m m
f x f f m m
+) Nếu
2
4
4 4 4
3 m
m m m m m m m
2 m m
2; 0
4
3
m
f x
Ta có
4 (loại, )
3 10 (nhaä
2 n)
m m m
m
m m
+) Nếu m
m
1 m
min2; 0 f x m
Ta có
2 (loại)
2 (loại)
m m
m
.
Suy S {2; 10}
Vậy tổng phần tử S 8.
Cách 2: Từ đồ thị
Suy m 10; 2 Suy S{2; 10} Vậy tổng phần tử S 8.
Câu 14. Cho hàm số
1 x
y f x m
x
(m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị m cho
2;3
min f x 5
Số phần tử S
A 3 B 2 C 1. D 4
Lời giải Chọn B
Hàm số
1 x
y f x m
x
liên tục đoạn 2;3,
2
x x
f x x
Ta có
0
2 x f x
x
; x0,x 2 2;3.
2 f m ,
9
2 f m
(15)+ Nếu
9
2
2
f f m
min2;3 f x 0 Trường hợp không thoả yêu cầu
toán
+ Ta xét trường hợp
9
2
4 m
f f
m
.
Khi min2;3 f x min f 2 ; f 3
9 ;
2
m m
.
* Trường hợp 1: min2;3 f x m4 5
1
19 1
9
5 2
2
1 m m m
m m
m
m
.
* Trường hợp 2: 2;3
9
min
2 f x m
1
5 19 19
2
2 2
4 9
1 m m
m m
m m
m
Vậy có giá trị m thỏa mãn toán Cách 2: Từ đồ thị
Suy
19 ;1 m
.
Cách 3:
2;3
4
1
min 5 19
2 2
9 m m
m
f x m
m m
.
Dạng 3:Cho hàm số yf x liên tục ; , M số thực dương Tìm m để max ( ) ; f x m không
(16)Phương pháp:
Cách 1: Do
f x liên tục ; nên ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f x trên
; lần lượt ,K k
;
max ( )f x m max K m k m,
Để ;
2
max ( )
2
M K m M K
K m M
K k m
K m k m
f x m M
M k m M k
k m M
K k
k m K m m
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên. BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 15. Cho hàm số
4
4
y= x - x + +x m
Tính tổng tất số nguyên m để max[-1;2] y£11.
A - 19 B - 37 C - 30 D - 11
Lời giải Chọn C
Cách 1:
+ Xét hàm số ( )
4
4
f x = x - x +x
liên tục đoạn [- 1; 2] + Ta có f x¢ = -( ) x3 3x2+2x
+
( )
[ ]
[ ]
[ ]
3
0 1;
0 1;2
2 1; x
f x x x x x
x
é = Ỵ -ê
ê
¢ = Û - + = Û ê= Ỵ
-ê
ê = Ỵ
-ë .
+ ( ) ( ) ( ) ( )
9
1 ; 0; ;
4
f - = f = f = f = Þ
[ 1;2] ( ) [ 1;2] ( )
max ,
4
f x f x
= =
Khi [ ]
( )
1;2
9
max max ;
4
f x m m m
-ì ü
ï ï
ï ï
+ = íï + ýï
ï ù
ợ ỵ
;
9 53 35
11
4 4 4
9 35
9
35
8
4
max ( ) 11 11
9
11 11 11
11
8
9
8
m m
m
m m m
f x m m
m m
m
m
m m
Vì m nguyên nên mỴ -{ 11; 10; ;8- }
Kết luận: tổng số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán là: 11 10 8- - - - + =- 30 Cách 2:
+ Xét hàm số
( ) 4
(17)+ Ta có f x¢ = -( ) x3 3x2+2x
+
( )
[ ]
[ ]
[ ]
3
0 1;
0 1;2
2 1; x
f x x x x x
x
é = Ỵ -ê
ê
¢ = Û - + = Û ê= Î
-ê
ê = Î
-ë .
+ Ta có Bảng biến thiên hàm số
( ) 4
f x = x - x + +x m
Từ BBT ta xét trường hợp: + [ 1;2]
9 35
0 max ( ) 11
4 4
m f x m m m
-³ Þ = + Þ + £ Þ £
Vậy
35
0
4 m
£ £
+ [ 1;2]
9
0 max ( ) 11 11
4+ £ Þm m£ - 4Þ - f x =- mÞ - m£ Þ m³ - Vậy
9
11
4 m
- £ £
-+
[ 1;2]
9 9
0 max ( ) max , 11, :
4 m - f x m m m m
ì ü
ï ï
ï ï
- £ £ Þ = íï + ýï < " - £ £
ï ï
ỵ þ
Vậy
35
11
4 m
- £ £
Kết luận: tổng số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán là: 11 10 8- - - - + =- 30 Câu 16. Cho hàm số
2
2
f x x mx
Có giá trị m nguyên để giá trị lớn f x đoạn 1;2 không lớn 3?
A 2 B 3 C 1. D 4
Lời giải Chọn A
Ta có giá trị lớn f x đoạn 1; 2 không lớn 3, tức max1;2 f x 3
2
2
2 3, 1;
2 3, 1;
x mx x
x mx x
2
2 , 1;
2 , 1;
m x x x
m x
x
1;2
1;2
2 max
6
2
m x
x m
x
+) 1 2m 2 m1 +) Xét hàm
2 6 6
x
g x x
x x
với x1;2 có g x
x
Suy ra: g x 0, x 1; 2 min1;2 g x g 2 5 Do
5
2 m
Vậy
5
2 m
(18)Câu 17. Cho hàm số
3 yx x x m
Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để 2;3
maxy 50
Tổng phần tử M là
A 0 B 737 C 759. D 215
Lời giải Chọn B
Xét hàm số f x x3 3x2 9x m liên tục đoạn 2;3 Ta có f x 3x2 6x 9,
2
0
3 x
f x x x
x
.
Có f 2 m 2; f 1 m5; f 3 m 27 Suy max2;3 f x m 5; min2;3 f x m 27. Do M max2;3 ymax m5 ;m 27 . Cách 1:
5 27 2 22 0
5 50 50 50 11;45
50 23;45
2 22 23;11
5 27
50 27 50 27 50
m m m
m m m
M m
m m
m m
m m
.
Do S 22; 21; 20; ; 1;0;1;2; ; 44 Vậy tổng phần tử M 737
Cách 2: sử dụng đồ thị
Suy 23;45 22; 21; ; 44 m
m m
Câu 18. Cho hàm số
4 2 yx x x a
Có giá trị nguyên tham số a để max1; 2 y100.
A 197 B 196 C 200 D 201
Lời giải Chọn A
Xét u x 4 2x3x2a liên tục đoạn 1; 2
3
'
u x x x.
0 1; ' 1;
1
1; 2
x
u x
x
(19)Suy
1;
1;
1
max max , , , , 2
2
min , , , , 2
M u u u u u u u u a
m u u u u u u u u a
.
Cách : Vậy
1;
4 100 100
max max , 100
4 100 96
a a a
y a a
a a a
.
Vậy a 100, 99, , 96 có 197số nguyên thỏa mãn Cách 2: Sử dụng đồ thị
Suy 100m96 Vậy có 97 số nguyên thỏa mãn.
Câu 19. Cho hàm số ysinxcosx m , có giá trị nguyên m để hàm số có giá trị lớn bé
A 0 B 1. C 2 D 3
Lời giải Chọn B
Xét hàm số f x sinxcosx m , có tập xác định: D.
Ta có: 2msinxcosx m 2m, x .
Suy 2mf x 2m, x .
Vậy: maxD ym maxD ym . Cách :
Yêu cầu toán
2
2 2
2 0
2 2
2
0
2
m
m
m m m
m m
m
m m
0 2
2 2
2
m
m m
.
(20)