Hình học trên mặt cầu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH NGUN HÌNH HỌC TRÊN MẶT CẦU Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Các kiến thức 1.1 Đường tròn lớn đường tròn nhỏ 1.2 Kinh độ vĩ độ Tam giác cầu 13 16 2.1 Khái quát tam giác cầu 2.1.1 Tam giác cầu yếu tố 2.1.2 Tính chất tam giác cầu 16 16 18 2.1.3 Tam giác cầu cực 2.2 Các định lí tam giác cầu 19 22 2.2.1 2.2.2 Định lí hàm sin Định lí cosin thứ 22 23 2.2.3 2.2.4 Hướng tàu Định lí hàm số cosin thứ hai 25 27 2.2.5 Định lý hàm số cotang 2.3 Các cơng thức theo góc, cạnh chia đơi 2.3.1 Công thức góc chia đơi 28 31 31 2.3.2 Cơng thức tổng hai góc chia đơi, hiệu hai góc chia đơi 2.4 Giải tam giác cầu 32 33 2.4.1 2.4.2 Khái quát chung Giải tam giác cầu biết cạnh 33 34 2.4.3 2.4.4 Giải tam giác cầu biết cạnh góc xen cạnh Giải tam giác cầu biết cạnh góc đối diện với cạnh 36 2.4.5 Giải tam giác cầu biết góc cạnh đối diện với góc 2.5 Tam giác cầu vuông Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 42 43 2.5.1 2.5.2 Tam giác cầu vuông Hai quy tắc dễ nhớ Nêpe 43 44 2.5.3 Các ví dụ ứng dụng 45 Thiên cầu 3.1 Độ cao góc cực; Độ thiên góc 50 50 3.1.1 Độ cao góc cực 3.1.2 Độ thiên góc 3.2 Biểu đồ cho nam bán cầu thấy đường chân trời 50 53 57 3.2.1 3.2.2 Biểu đồ cho nam bán cầu Những thấy đường chân trời 57 58 3.3 Độ lệch tiêu chuẩn thiên cầu địa tâm cách tính góc tam giác cầu P ZX 3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn thiên cầu địa tâm 60 60 3.3.2 Cách tính góc tam giác cầu P ZX 3.4 Sự tiến thẳng độ nghiêng; Quỹ đạo trái đất 62 64 3.4.1 3.4.2 Sự tiến thẳng độ nghiêng Quỹ đạo trái đất 64 66 3.5 Kinh độ vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn 3.5.1 Kinh độ vĩ độ thiên 3.5.2 Thời gian thiên văn 69 69 70 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời mở đầu Việc ứng dụng hình học mặt phẳng nhiều chun gia với nhiều cơng trình nghiên cứu khác Tuy nhiên, từ người phát trái đất khơng phải mặt phẳng mà hình cầu việc nghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng yêu cầu nghiên cứu thiên văn hàng hải Vì thơi thúc lĩnh vực nghiên cứu ”Hình học cầu” Hình học cầu đời phần đáp ứng nhu cầu nghiên cứu việc lại biển, việc lại sao, vũ trụ, Vì vậy, hình học cầu khơng thể thiếu môn học nghiên cứu thiên văn hàng hải Việc nghiên cứu hình học cầu niềm say mê khơng người đặc biệt người trực trực tiếp dạy tốn Chính để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập tác giả chọn đề tài ”Hình học mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu luận văn Đề tài nhằm phần đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc học tập em học sinh, sinh viên nghiên cứu lĩnh vực thiên văn, hàng hải Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tài liệu tham khảo Chương Các kiến thức Chương đưa kiến thức định nghĩa, định lý tính chất hình học cầu Chương Tam giác cầu Chương đưa định nghĩa, tính chất tam giác cầu, tam giác cầu cực; định lý công thức tam giác cầu Đặc biệt, chương đưa phương pháp giải tam giác cầu kèm theo ví dụ minh họa cho trường hợp cụ thể Đồng thời chương muốn giới thiệu việc ứng dụng hình học cầu lĩnh vực hàng hải Chương Thiên cầu Chương đưa định nghĩa, tính chất yếu tố liên quan tới thiên cầu Đồng thời chương giới thiệu cách xác định vị trí thiên cầu như: tính góc cầu tam giác cầu, tính góc phương vị, góc giờ, độ lệch vị trí ngơi xác định thiên cầu Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp tiến TS Nguyễn Văn Minh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên, thầy giáo dạy lớp Cao học Tốn K3 tạo điều kiện thuận lợi truyền Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thụ kiến thức cho suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu-các thầy giáo tổ Tốn-trường THPT Nhã Nam-tỉnh Bắc Giang, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ khích lệ tơi hồn thành luận văn Để hồn thành luận văn này, tác giả tập trung học tập nghiên cứu cách nghiêm túc suốt khóa học Tuy nhiên,do hạn chế thời gian, trình độ hiểu biết nên q trình thực khơng tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận bảo thầy cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hồn thiện Thái Ngun 2011 Nguyễn Thị Bích Ngun Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức 1.1 Đường tròn lớn đường tròn nhỏ Trước hết ta có vài định nghĩa sau Hình cầu vật thể giới hạn mặt bao gồm điểm có khoảng cách khơng đổi tới điểm cố định gọi tâm hình cầu Đoạn thẳng nối điểm mặt cầu với tâm gọi bán kính Đoạn thẳng qua tâm nối hai điểm mặt cầu gọi đường kính Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng đường tròn B C A O D Giả sử AB giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng đó, O tâm hình cầu Kẻ OC vng góc với mặt phẳng; lấy D thuộc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn giao tuyến nối OD, CD Vì OC vng góc với mặt phẳng nên góc √ OCD góc vng; CD = OD2 − OC Do O C cố định nên OC số; OD số bán kính hình cầu nên CD số Như điểm giao tuyến cách C khoảng không đổi, tức C tâm đường tròn giao tuyến Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng gọi đường tròn lớn mặt phẳng qua tâm hình cầu, gọi đường trịn nhỏ mặt phẳng khơng qua tâm hình cầu Như bán kính đường trịn lớn với bán kính hình cầu Trục đường trịn đường kính hình cầu vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn; hai điểm đầu đường kính gọi cực đường tròn Khoảng cách từ cực đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đướng tròn Các cực đường trịn nhỏ có khoảng cách khác đến mặt phẳng chứa đường tròn; chúng gọi tương ứng cực gần xa P S FC E T R D O A X B B’ Y Q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trên hình vẽ, EAB đường trịn lớn, mặt phẳng chứa qua tâm hình cầu Giả sử QOP đường kính hình cầu vng góc với mặt phẳng (EAB) Lấy điểm R tùy ý OP , vẽ mặt phẳng qua R song song với (EAB) giao với hình cầu theo đường tròn nhỏ F CD Các điểm P, Q cực đường tròn lớn EAB đường tròn nhỏ F CD Giả sử P CAQ đường tròn lớn qua cực P, Q cắt F CD, EAB C A; P DB cung đường tròn lớn khác qua P, Q Khi ta nói P có góc cầu xác định theo cách sau: Vẽ tiếp tuyến P S, P T tương ứng với cung P A, P B ; hiển nhiên P T song song với OB, P S song song với OA Góc SP T gọi góc cầu P tạo cung đường tròn lớn P A, P B AOB Khoảng cách từ điểm đường tròn đến cực đường trịn ln P B C A D O P’ Giả sử O tâm hình cầu, AB đường trịn bất kì, C tâm, P P cực đường tròn Lấy D thuộc đường tròn; nối √ CD, OD, P D Khi P D = P C + CD2 ; P C CD khơng đổi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn P D khơng đổi Giả sử có đường trịn lớn qua P D dây cung P D khơng đổi, tức cung đường trịn lớn nằm P D số D chạy đường tròn AB Cung đường trịn lớn tính từ cực tới điểm đường tròn 900 P B C O A Giả sử P cực đường tròn lớn ABC cung P A có số đo 900 Thậy ta thấy P O vng góc với (ABC) P cực (ABC), P OA 900 nghĩa sđ P A 900 Góc trương tâm hình cầu cung đường tròn lớn nối cực đường trịn lớn ln góc mặt phẳng chứa đường trịn A B M O C N D E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 3.3 3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn thiên cầu địa tâm cách tính góc tam giác cầu P ZX Độ lệch tiêu chuẩn thiên cầu địa tâm Trong phần trước, độ lệch thiên cầu mà tâm vật quan sát xác định Khi xa vô tận lớn so với kích thước trái đất, độ lệch ngơi khoảng cách cực khơng phụ thuộc vào vị trí người quan sát bề mặt trái đất, thấy hình vẽ Z P X Y P1 M O r C Q1 Hình vẽ Trong hình 7, P1 CQ1 trục quay trái đất, C tâm trái đất O người quan sát COZ phương thiên đỉnh O, OP CP1 phương qua O OX Theo định nghĩa, khoảng cách cực Bắc người quan sát O P OX Nếu CY vẽ song song với OX CY phương tham chiếu đến C -tâm trái đất Vì vậy, P1 CY = P OX Nói cách khác khoảng cách cực Bắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 giống thiên cầu mà tâm tai O (hoặc vị trí khác bề mặt trái đất), nằm thiên cầu có tâm C Nhưng vật thể gần ví dụ mặt trăng, mặt trời hành tinh quan sát định nghĩa khoảng cách cực Bắc(và khoảng cách cực ) nêu lại phụ thuộc vào vị trí xác định người quan sát trái đất Vì vậy, M mặt trăng (hình 7) khoảng cách Υ từ tâm trái đất thì: P OM = P1 CM + OMC OMC phụ thuộc vào vị trí O, P1 CM hồn tồn không phụ thuộc vào O P1 CM xác định khoảng cách cực Bắc M , góc trục trái đất đường thẳng nối tâm trái đất với thiên thể Định nghĩa tổng quát áp dụng thiên thể Z 900 − ø H A P 900 − δ z L R X D E N C F M S W T Q Hình vẽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 Theo trên, tâm thiên cầu tiêu chuẩn (hoặc gọi thiên cầu địa tâm) cho C -tâm trái đất (hình 8) CZ phương thiên đỉnh người quan sát, đường kính QCP trùng với trục trái đất, N W SE đường chân trời (vòng tròn lớn mà mặt phẳng trực giao với CZ ), RW T E mặt phẳng xích đạo thiên (mặt phẳng trùng với mặt phẳng xích đạo trái đất) P X khoảng cách cực Bắc thiên thể DX độ nghiêng δ (N P D = 900 ) Kinh tuyến người quan sát P ZRSQ, khoảng cách thiên đỉnh thiên thể ZX (ký hiệu z) góc cực A (P ZX ) góc H (ZP X ) mơ tả Độ lệch thiên thể (mặt trăng, mặt trời, hành tinh sáng nhất) lập bảng lịch thiên văn Sau đó, thiên cầu thừa nhận hình có tâm C -tâm trái đất 3.3.2 Cách tính góc tam giác cầu P ZX Chúng ta xem xét vấn đề phổ biến có liên quan đến góc P ZX Cho vĩ độ người quan sát ø, độ nghiêng δ góc H thiên thể để tính tốn góc cực khoảng cách thiên đỉnh Bằng cơng thức cos từ ta có cạnh P Z P X góc chứa ZP X cho (hình 8) cosZX = cosP Z.cosP X + sinP Z.sinP X.cosZP X cosz = sinøsinδ + cosøcosδ.cosH(3) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 Vì z tính trực tiếp từ (3), thường hợp viết havz = hav(ø − δ) + cosø.cosδhavH(4) Tính lại theo A: cosP X = cosP X.cosZX + sinP Z.sinZX.cosP ZX sinδ = sinø.cosz + cosø.sinz.cosA(5) Từ cách tính ta tính góc cực A Trong đẳng thức (5) ta viết cosøcosa.havA = hav(900 − δ) − hav(ø − a)(6) (a độ cao so với mực nước biển) Cho vĩ độ người quan sát ø, góc cực khoảng cách thiên đỉnh ngơi để tính góc độ nghiêng ngơi Chúng ta viết ø, z A; vậy, theo (5) tính độ nghiêng Đẳng thức (3) (4) tính góc Vì từ (3) cosH = coszsecøsecδ − tanøtanδ(7) Bây xem xét tam giác cầu P ZX hình Góc P ZX góc cực (Đơng) Hãy nhớ góc tính cực từ kinh độ người quan sát phía Tây Ta thấy ZP X = 24h − H Cách tính góc tam giác cầu có trước Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 3.4 3.4.1 Sự tiến thẳng độ nghiêng; Quỹ đạo trái đất Sự tiến thẳng độ nghiêng Trong phương pháp tính góc độ lệch vị trí ngơi xác định thiên cầu có tọa độ, độ lệch không đổi mà ngơi di chuyển bầu trời, góc tăng đồng từ 0h đến 24h Z P R X D N C S Υ W Q T Hình vẽ Vị trí ngơi thiên cầu so sánh với vị trí số điểm cố định bề mặt trái đất, xác định phép tham chiếu xích đạo thiên ngơi cụ thể xích đạo Ví dụ hình 9, cho Υ ngơi mặt phẳng xích đạo X Để cho đường kinh tuyến qua X cắt xích đạo thiên D Khi qua bầu trời, biết cụ thể độ nghiêng X , DX ln khơng đổi hình thể Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 liên quan khơng đổi Theo đó, ΥD khơng đổi; nói cách khác, góc kinh tuyến Υ D khơng đổi Chúng ta xem Υ điểm tham chiếu xích đạo thiên Chú ý đến Υ xích đạo thiên, xác định rõ vị trí ngơi X vịng trịn lớn ΥD độ nghiêng DX Điểm tham chiếu chọn làm ví dụ gọi xuân phân điểm chòm bạch dương thật thuận tiện để coi vị trí Υ xác định cụ thể bầu trời Sau vạch rõ Υ cách xác ΥD ΥP X gọi tiến thẳng (R.A) X ( ký hiệu α ) tính hướng Đông từ Υ từ 0h đến 24h ( theo phương mũi tên gần Υ ) Phương ngược lại với phương góc tính Từ hình 9, thấy rằng, RΥ = RD + ΥD Khi đó, RD (RP X) góc H X RΥ góc Υ Góc Υ gọi thiên văn (S.T ) Theo ta có: Sid.time = H.A.X + R.A.X(8) S.T = H + α(9) Khi Υ nằm đường kinh tuyến người quan sát, góc Υ 0h Khi ta nói: thiên văn 0h Khi Υ gần với kinh tuyến người quan sát, khoảng thời gian 24h thiên văn trôi Tất nhiên, khoảng thời gian giống ngày thiên văn Thực tế, trái đất quay quanh trục vật đo thời gian tiêu chuẩn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 (Ngày thiên văn: thời gian quay trái đất quanh trục xét từ định tính) 3.4.2 Quỹ đạo trái đất E F S B A G Hình vẽ 10 Trái đất hành tinh quay quanh mặt trời theo hình ellip quỹ đạo, mặt trời bị thu hút vào tiêu điểm S hình ellip (hình 10) Đây định luật chuyển động hành tinh Kepler Thời gian để trái đất hoàn thành vòng quay quanh quỹ đạo năm Khi trái đất quay quanh quỹ đạo, hướng trái đất nhìn từ mặt trời khơng thay đổi, nhiên vận tốc góc khơng hình dáng Từ vị trí quan sát trái đất, thấy mặt trời giống quỹ đạo hình ellip quanh trái đất Theo hình 11, điểm C trung tâm trái đất hình ellip thể quỹ đạo rõ ràng mặt trời với trái đất Vị trí trình tự mặt trời đặt tên a, e, f, b, g quỹ đạo tương ứng với vị trí A, E, F, B, G trái đất quỹ đạo quay quanh mặt trời (hình 10) Theo lịch trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 mặt trời hồn thành vịng quay năm Mặt phẳng quỹ đạo gọi mặt phẳng ellip vòng tròn lớn mà mặt phẳng mặt phẳng giao cắt với thiên cầu, trung tâm thiên cầu trung tâm trái đất gọi ellip g C a b e f Hình vẽ 11 Trong hình 12, đặt C trung tâm thiên cầu mà đường xích đạo thiên thể T ΥR cực Bắc P hình thành Chúng ta tưởng tượng nhìn từ trung tâm trái đất từ điểm C thấy vị trí xác định thiên cầu hình 12 Theo tham chiếu sao, mặt phẳng ellip có vị trí xác định tương ứng hình ellip hình trịn lớn đặc biệt, hình trịn tìm từ điểm quan sát có độ nghiêng 10 góc khoảng 23 tới đường xích đạo thiên cầu Trên hình 12, Y ΥMU thể mặt phẳng hoàng đạo độ nghiêng với mặt phẳng xích đạo MΥR, điều biết đến mặt phẳng xích đạo mặt phẳng hoàng đạo Liên quan tới trái đất, mặt trời di Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 chuyển thiên cầu theo hình ellip-theo hướng Y ΥM lần năm, Υ U , vị trí thiên cầu trùng với giao cắt hình ellip với mặt phẳng xích đạo Giữa Υ M M U mặt trời nằm mặt cực Nam mặt phẳng xích đạo; độ dốc mặt phẳng hướng Bắc 900 − β K P 900 − δ L ε X U ∧ C T K R Υ D Y Hình vẽ 12 Tương tự U Y Y Υ độ dốc phía Nam Điểm Υ, độ nghiêng mặt trời thay đổi từ Nam đến Bắc, xuân phân Theo cách này, tham chiếu điểm Υ, từ tính hướng lên bên phải trì Do X sao, hướng lên bên phải ΥD tính theo đường xích đạo từ phía Đơng điểm Υ hướng nghiêng δ DX Từ biểu đồ thấy hướng thẳng lên hướng nghiêng mặt trời thay đổi liên tục Khi mặt trời điểm Υ độ nghiêng hướng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 lên bên phải không ( điều xảy vào khoảng 21 tháng xuân phân ) Ở điểm M chiều hướng lên bên phải 6h độ nghiêng 10 khoảng 23 N (điều xảy vào khoảng 21 tháng 6-hạ chí) Ở điểm U hướng lên bên phải 12h độ nghiêng 00 (điều xảy vào khoảng 21 tháng 9-thu phân) điểm Y hướng lên bên 10 phải 18h độ nghiêng khoảng 23 S (điều xảy vào khoảng 21 tháng 12-đơng chí ) 3.5 3.5.1 Kinh độ vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn Kinh độ vĩ độ thiên Vị trí thiên thể tham chiếu đến đường hồng đạo hình trịn lớn xuân phân Υ điểm tham chiếu Hình vẽ 12 K cực Bắc đường hồng đạo KXA hình trịn lớn xuyên qua X gặp đường hoàng đạo A Đó ΥA tính tốn từ Υ tới A theo dọc đường hoàng đạo theo phương chuyển động hàng năm mặt trời, ví dụ phía Đơng gọi kinh độ thiên thể X tính từ 00 đến 3600 quanh mặt phẳng hồng đạo AX vĩ độ vĩ độ Bắc xem dấu (+) vĩ độ Nam (-) Nếu biết giảm xuống hướng lên trì vĩ độ β kinh độ λ từ hình tam giác KP X ; ngược lại Bây Υ cực đường tròn lớn KP MR, KP Υ = 900 từ ΥD = ΥP X = α, KP X = 900 + α Cũng P KΥ = 900 ΥA = ΥXK = λ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 70 P KX = 900 − λ Cũng P X = 900 − δ KX = 900 − β Để biểu thị đường xiên mặt phẳng hồng đạo; góc CM CR, RM = ε Nhưng KM = 900 P R = 900 ; KP = ε Áp dụng cơng thức có cosKX = cosP XcosKP + sinP XsinKP cosKP X sinKXsinP KX = sinP XsinKP X sinKXcosP KX = cosP XsinKP − sinP XcosKP cosKP X sinβ = sinδcosε − cosδsinεsinα(10) cosβcosλ = cosδcosα(11) cosβsinλ = sinδsinε + cosδcosεsinα(12) Tương tự đường hướng lên bên phải α độ nghiêng δ thể giới hạn β, λ, ε Công thức sinδ = sinβcosε + cosβsinεsinλ cosδcosα = cosβcosλ cosδsinα = −sinβsinε + cosβcosεsinλ 3.5.2 Thời gian thiên văn Để trái đất thiên cầu (trung tâm C ) vẽ hình 13 Để g thể vị trí Greenwich mặt phẳng trái đất l vị trí mặt phẳng khác Góc kinh tuyến plq pgq kinh độ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 71 l; trường hợp l phía Tây Greenwich Cho Cg, Cl gặp thiên cầu điểm G điểm L Do G L thiên đỉnh Greenwich tương ứng l Nếu X vị trí thiên thể thiên cầu điểm cho, GP X góc X quan sát kinh tuyến Greenwich LP X góc việc quan sát kinh tuyến l Nhưng GP X ≈ LP X + GP L GP L = gpl (H.A) X Greenwich =H.A X l+long (W ) l (13) P G p g X C l Υ L q Q Hình vẽ 13 Trong công thức giả sử kinh độ l thể thước đo thời gian (150 = 1h , 15 = 1m , 15 = 1s ) Công thức (13) công thức phổ biến nắm giữ xuân phân Υ Do có thời gian thiên văn góc Υ Sid thời gian Greenwich=Sid.thời gian ± độ dài l (14) Dấu (+) thực l phía Tây Greenwich dấu (-) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 72 l phía Đông Greenwich Thời gian thiên văn l gọi thời gian thiên văn địa phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 73 Kết luận Luận văn Hình học mặt cầu nghiên cứu vấn đề sau: -Những khái niệm hình học mặt cầu như: điểm, đường, góc cầu, tam giác cầu -Đã trình bày lại định lý hình học cầu như: định lý hàm số sin, định lý cosin thứ nhất, định lý cosin thứ hai, định lý hàm số cotang Và áp dụng định lý để giải tam giác cầu -Ứng dụng hình học cầu vào ngành hàng hải như: xác định vị trí tàu qua tàu qua địa điểm đó, tìm hướng tàu, xác định vị trí hai tàu gặp nhau, tính thời gian hành trình tàu, tính khối lượng nhiên liệu, tính góc tam giác cầu -Ứng dụng vào nghiên cứu vật lý thiên văn như: giải tam giác cầu biết ba yếu tố tam giác cầu, cách xác định vị trí thiên cầu Kết luận văn góp phần tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành hàng hải, vật lý thiên văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 74 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Trần Tuấn Nham (2006), Bài giảng lượng giác cầu, Tài liệu lưu hành nội Đại Học Hàng Hải Nguyễn Đình Dương (2007), Bài giảng Toán chuyên đề, Tài liệu lưu hành nội Đại Học Hàng Hải Tiếng Anh W M Smart (1986), Text book on spherical astronomy, Great Britain at the University Press, Cambridge Claude Irwin Palmer and Charles Wilber leigh (1934), Plane and Spherical Trigonomerty, Mc Graw-Hill book company, Ine, New York and London Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... đất mặt phẳng mà hình cầu việc nghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng yêu cầu nghiên cứu thiên văn hàng hải Vì thơi thúc lĩnh vực nghiên cứu ? ?Hình học cầu? ?? Hình học cầu đời phần đáp ứng nhu cầu. .. tuyến Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng gọi đường tròn lớn mặt phẳng qua tâm hình cầu, gọi đường trịn nhỏ mặt phẳng khơng qua tâm hình cầu Như bán kính đường trịn lớn với bán kính hình cầu Trục đường... chứa đường xích đạo gọi mặt phẳng xích đạo Mặt phẳng xích đạo chia mặt cầu thành bán cầu gọi bán cầu bắc bán cầu nam *Các mặt phẳng song song với mặt phẳng xích đạo cắt mặt cầu theo giao tuyến đường