Bài toán chấp nhận phân rã

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN HẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN PHÂN RÃ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 0112 Người hướng dẫn khoa học: GIÁO SƯ - TIẾN SỸ : NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN, 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên năm - 2012 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời nói đầu Một số khái niệm 1.1 Tập lồi - Hàm lồi 1.2 Không gian Hilbert 13 1.3 Một số ánh xạ 23 Thuật toán CQ thuật toán CQ nới lỏng 27 2.1 Thuật toán CQ 27 2.2 Thuật toán CQ nới lỏng 31 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Cho N, M số nguyên dương tập C, Q hai tập lồi khác rỗng không gian Ơcơlit RN RM Bài toán chấp nhận phân rã giới thiệu [3] tốn tìm điểm x∗ thỏa mãn tính chất: x∗ ∈ C, Ax∗ ∈ Q, (0.1) A ma trận thực M × N Một trường hợp đặc biệt (0.1) tốn tuyến tính có ràng buộc Ax = b, x ∈ C Bài toán nghiên cứu rộng rãi tài liệu Landweber giới thiệu phương pháp lặp gọi phương pháp chiếu lặp Landweber đề xuất năm 1951 Bài toán chấp nhận phân rã Elfving Censor [3] ứng dụng việc tìm phương pháp để phục hồi ảnh, tìm phương pháp giải tốn thu thành cơng Để giải tốn chấp nhận phân rã Byrne [1] giới thiệu thuật toán lặp CQ với việc xác định dãy lặp theo công thức: xn+1 = PC xn − γAT I − PQ Axn , n = 0, 1, , AT ma trận chuyển vị A, xo ∈ C giá trị ban đầu γ > tham số chọn cách thích hợp Nhưng cách giải thuật tốn CQ phức tạp khơng thơng dụng địi hỏi cách giải đơn giản thơng dụng 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày số kết chứng minh đơn giản thuật toán CQ đồng thời thuật toán CQ nới lỏng để đưa thuật tốn trở nên thơng dụng Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Giới thiệu số kiến tập hợp, khái niệm không gian Hilbert, tính chất khơng gian Hilbert ví dụ khơng gian Hilbert, giới thiệu hàm lồi vi phân Chương Trình bày thuật toán CQ, thuật toán CQ nới lỏng Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Giáo sư - Tiến sỹ Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm chân thành thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong q trình học tập làm luận văn, thơng qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giáo sư công tác trường Đại học Khoa học Tự nhiên -Đại học Quốc gia Hà nội, Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin -Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Đại học Thái Ngun Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, tơi xin cám ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tơi vượt qua khó khăn sống để tơi có điều kiện tốt học tập nghiên cứu Do điều kiện thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi hy vọng tiếp tục nghiên cứu đề tài thời gian tới Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả Lê văn Hải 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm 1.1 Tập lồi - Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Tập hợp C ⊂ H (H không gian Hilbert) gọi lồi nếu: x, y ∈ C, ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Tức C chứa điểm chứa đoạn thẳng nối điểm Ví dụ Tồn khơng gian H, hình vng hình trịn, nửa khơng gian đóng {x : a, x ≤ α} {x : a, x ≥ α} , hay nửa không gian mở {x : a, x < α} , {x : a, x > α} α = 0, α ∈ H tập lồi k Định nghĩa 1.2 Điểm x ∈ H có dạng x = λi với ∈ H, λi ≥ i=1 k 0, λi = gọi tổ hợp lồi a1 , a2 , , ak ∈ H i=1 Mệnh đề 1.1 Giao họ tập lồi lồi Nếu C, D tập lồi C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D}, αC = {αx : x ∈ C} (do C-D =C+(-1) D) tập lồi Chứng minh Nếu {Cα } họ tập lồi a, b ∈ ∩ Cα với α ta α có a ∈ Cα , b ∈ Cα , [a, b] ⊂ Cα [a, b] ⊂ ∩ Cα α Nếu C, D tập lồi a = x + y, b = u + v với x, u ∈ C, y, v ∈ D (1 − λ) a + λb = [(1 − λ) x + λu] + [(1 − λ) y + λv] ∈ C + D với λ ∈ [0, 1] C+D lồi Tính lồi λC chứng minh tương tự 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3 Tập M H gọi nón (mũi gốc) x ∈ M, λ > ⇒ λx ∈ M Nón M gọi nón lồi tập M tập lồi Định nghĩa 1.4 Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E kí hiệu convE Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.5 Điểm a gọi điểm C tồn hình cầu tâm a {x ∈ H : x − a ≤ r} , {x ∈ H : x − a < r} nằm hoàn toàn C Hệ 1.1 Điểm a tập lồi C ⊂ H điểm C với x ∈ H tồn số α > cho a + α (x − a) ∈ C Định nghĩa 1.6 Tập C compac dãy vô hạn xk ⊂ C chứa dãy xkn hội tụ tới phần tử C Tập C ⊂ H compac ⇔ C đóng giới nội Định nghĩa 1.7 Hàm f : S → H xác định tập lồi thuộc H gọi lồi S với ∀x, y ∈ S , ∀λ ∈ [0; 1] ta có: f [λx + (1 − λ) y] ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) Định nghĩa 1.8 Hàm f (x) xác định tập lồi C ⊂ H gọi lồi mạnh, tồn số ρ > đủ nhỏ (hằng số lồi mạnh) cho với x, y ∈ C λ ∈ [0, 1] ta có bất đẳng thức: f [λx + (1 − λ) y] ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) − λ (1 − λ) ρ x − y Mệnh đề 1.2 a ) Mọi tổ hợp tuyến tính dương hàm lồi lồi hàm lồi chặt hàm cho lồi chặt b ) Nếu f (x) , x ∈ H , hàm lồi f (Ax + b) hàm lồi, A ma trận vuông cấp n b ∈ H c) Cận họ tùy ý hàm lồi hàm lồi 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.3 Cho D tập lồi H, G tập lồi H ϕ (x, y) hàm lồi giá trị thực D × G Khi hàm: f (x) = inf ϕ (x, y) y∈G lồi D Chứng minh Giả sử x1 , x2 ∈ D x = (1 − λ) x1 + λx2 với λ ∈ [0, 1] với i=1,2 lấy dãy y i,k ⊂ G cho: ϕ xi , y i,k → inf ϕ xi , y y∈G Do ϕ lồi nên f (x) ≤ ϕ x, (1 − λ) y 1,k + λy 2,k ≤ (1 − λ) ϕ x1 , y 1,k + λϕ x2 , y 2,k Cho k → +∞ ta nhận được: f (x) ≤ (1 − λ) f x1 + λf x2 Định nghĩa 1.9 Hàm f : H → H gọi Lipschitz địa phương x¯ ∈ H tồn lân cận U x¯ K>0 cho: |f (x) − f (y) | ≤ K||x − y|| (∀x, y ∈ U ) (1.1) hàm f gọi Lipschitz địa phương tập C ∈ H f Lipschitz địa phương điểm x ∈ C f gọi Lipschitz với số Lipschitz K tập C ∈ H (1.1) với ∀x, y ∈ C Định nghĩa 1.10 Cho hàm lồi thường f H, véc tơ p ∈ H gọi grandient f x0 nếu: p, x − x0 + f x0 ≤ f (x) , ∀x ∈ H Tập tất grandient f x0 gọi vi phân f x0 Kí hiệu ∂f x0 Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f x0 = ∅ Định lý 1.1 Một hàm lồi thường f H có vi phân khác rỗng điểm x0 ∈ int (domf) ∂f x0 tập lồi đóng 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Do x0 ∈ int (domf) nên int (epif ) = ∅ Dĩ nhiên x0 , f (xo ) ∈ / int (epif ) , nên ta có siêu phẳng tách điểm với int (epif ) , tức ta có véc tơ (t, tn+1 ) ∈ H\ {0} Sao cho t, x0 + tn+1 f x0 ≥ t, x + αtn+1 , ∀ (x, α) ∈ epif (x, α) ∈ epif Kéo theo (x, β) ∈ epif, ∀β ≥ α ta có t, x0 + tn+1 f (xo ) ≥ t, x + tn+1 β, ∀β ≥ α cho β → +∞ ⇒ tn+1 ≤ Nếu tn+1 = bất đẳng thức trở thành t, x0 ≥ t, x ∀x ∈ domf , tức x0 đạt cực đại hàm tuyến tính t, x domf, mà x0 ∈ int (domf) Điều xảy t = mâu thuẫn với (t, tn+1 ) = tn+1 < Đặt p = t−t , α = f (x) ta nhận n+1 0 p, x − x + f x ≤ f (x) , ∀x ∈ H Chứng minh ∂f x0 lồi, lấy p1 , p2 ∈ ∂f x0 , λ ∈ [0, 1] với ∀x ∈ H Ta xét: λp1 , x − x0 ≤ λ f (x) − f x0 (1 − λ) p2 , x − x0 ≤ (1 − λ) f (x) − f x0 ⇒ λp1 + (1 − λ) p2 , x − x0 ≤ f (x) − f x0 Vậy ⇒ λp1 + (1 − λ) p2 ∈ ∂f (xo ) ⇒ ∂f x0 lồi nên ∂f x0 tập đóng, lấy pk ∈ ∂f x0 , pk → p Từ pk , x − x0 + f x0 ≤ f (x) , ∀x ∈ H ⇒ p, x − x0 + f x0 ≤ f (x) , ∀x ∈ H , chứng tỏ p ∈ ∂f x0 nên suy λp1 + (1 − λ) p2 ∈ ∂f x0 lồi Chứng tỏ p ∈ ∂f x0 Mệnh đề 1.4 Nếu f hàm lồi thường, khả vi điểm x0 ∈ domf ∂f x0 = ∇f x0 , nghĩa ∇f x0 véc tơ grandiet f x0 Nếu f khả vi x0 f x0 , d = ∇f x0 , d véc tơ p grandient f x0 p, d ≤ ∇f x0 , d với d từ đó⇒ p = ∇f x0 Nếu f có x0 véc tơ grandient f khả vi x0 Định lý 1.2 Giả sử A : H → H tốn tử tuyến tính g hàm lồi thường H Khi với x ∈ H AT ∂g (Ax) ⊂ ∂ (g ◦ A) (x) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Hơn g liên tục điểm thuộc Im (A) (ảnh A) thì: AT ∂g (Ax) = ∂ (g ◦ A) (x) ∀x ∈ H Định nghĩa 1.11 Cho tập lồi C ⊂ H y ∈ H Ta gọi hình chiếu y C điểm x0 ∈ C : x0 − y = infx∈C x − y = dC (y) Kí hiệu: x0 = p (y) dC (y) gọi khoảng cách từ y tới C Bổ đề 1.1 Muốn cho điểm x∗ ∈ C hình chiếu điểm y tập lồi đóng C điều kiện cần đủ là: x − x∗ , y − x∗ ≤ ∀x ∈ C (1.2) Chứng minh Giả sử x∗ hình chiếu y C lấy điểm tùy ý x ∈ C xét điểm z = λx + (1 − λ) x∗ C lồi nên với λ ∈ [0, 1] z ∈ C ta có: z − y = λ2 x − x∗ + 2λ x − x∗ , x∗ − y + x∗ − y Do z − y ≥ x∗ − y nên λ2 x − x∗ + 2λ x − x∗ , x∗ − y ≥ Do đẳng thức với λ ∈ [0, 1] nên x − x∗ , x∗ − y ≥ từ suy (1.2) Ngược lại giả sử có (1.2) với x ∈ C ta có: x−y = (x − x∗ ) + (x∗ − y) = x − x∗ 2 + x − x∗ , x∗ − y + x∗ − y ≥ x∗ − y Điều chứng tỏ x∗ hình chiếu y C Mệnh đề 1.5 Muốn cho điểm x∗ tập lồi đóng C điểm cực tiểu hàm lồi khả vi f (x) C, điều kiện cần đủ x∗ = p (y ∗ ) y ∗ = x∗ − α∇f (x∗ ) với α > số Chứng minh Đủ: Giả sử x∗ = p (y ∗ ) Do p (y ∗ ) hình chiếu điểm y ∗ C nên ta có: x − x∗ , y ∗ − x∗ ≤ ∀x ∈ C Vì y ∗ = x∗ − α∇f (x∗ ) α > ta suy ∇f (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C nên x∗ điểm cực tiểu hàm f (x) C 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Định nghĩa 1.16 Cho T : H → H ánh xạ (i) T thác triển T x − T y ≤ x − y với ∀x, y ∈ H (ii) T thác triển ổn định T x − T y, x − y ≥ T x − T y ∀x, y ∈ H với (iii) T trung bình tồn ánh xạ thác triển S : H → H số thực γ ∈ (0, 1) thỏa mãn: T = (1 − γ)I + γS, (1.8) I ánh xạ đồng Trong trường hợp đó, T γ -trung bình Ta sử dụng kí hiệu Fix(T) để ký hiệu tập điểm cố định T, F ix(T ) = {x ∈ H : T x = x} T trung bình, Fix(T)=Fix(S) với S ánh xạ (1.8) Như ánh xạ thác triển ổn định thác triển Một hình chiếu PK x thác triển ổn định thác triển Các khái niệm khác tính đơn điệu Định nghĩa 1.17 Cho T : H → H ánh xạ (i) T đơn điệu T x − T y, x − y ≥ ∀x, y ∈ H (ii) T đơn điệu mạnh tồn số thực β T x − T y, x − y ≥ β x − y thỏa mãn ∀x, y ∈ H (Trong trường hợp gọi T β - đơn điệu mạnh ) (iii) T ngược đơn điệu mạnh (ism ) tồn số thực ν thỏa mãn T x − T y, x − y ≥ ν T x − T y ∀x, y ∈ H (Trong trường hợp gọi T ν ngược đơn điệu mạnh , ν -ism (cho ngắn gọn) ) 24Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Sau mệnh đề tính chất tập trung thác triển trung bình ánh xạ đơn điệu Mệnh đề 1.11 Cho toán tử S, T, V : H → H (i) T thác triển phần bù I-T - ism (ii) T thác triển ổn định phần bù I - T thác triển ổn định (iii) Hợp ánh xạ trung bình trung bình Nếu T1 , T2 trung bình, hợp T1 T2 := T1 ◦ T2 trung bình Nếu T1 α1 - trung bình T2 α2 , α1 , α2 ∈ (0, 1) , T1 T2 α - trung bình, với α = α1 + α2 − α1 α2 (iv) Nếu T1 T2 trung bình có điểm chung cố định, F ix (T1 ) ∩ F ix (T2 ) = F ix (T1 T2 ) (v) Nếu T ν -ism, với γ > 0, γT ν γ - ism (vi) T trung bình phần bù I -T ν - ism với ν > 12 Thực vậy, α ∈ (0, 1) , T α - trung bình I - T 2α -ism Định lí sau sử dụng chứng minh Định lý 1.7 Cho T : H → H ánh xạ trung bình có F ix (T ) = ∅ Thế thì, với x0 ∈ H , dãy {T n x0 } hội tụ tới điểm cố định T Sử dụng hàm lồi xác định từ tập lồi đóng C Q (0.1) Gọi hàm ϕ : H → R hàm lồi ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y) với λ ∈ [0, 1] x, y ∈ H 25Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Cho x0 ∈ H, ϕ khả vi x0 tồn ξ ∈ H cho ϕ(y) ≥ ϕ(x0 ) + ξ, y − x0 ∀y ∈ H (1.9) Dưới vi phân ϕ x0 kí hiệu ∂ϕ(x0 ) gồm tất ξ thỏa mãn hệ thức (1.9) Thế thì, ϕ khả vi x0 ∂ϕ(x0 ) = ∅ Chú ý đẳng thức (1.9) biết đẳng thức vi phân Từ hàm lồi thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương liên tục số điểm miền xác định, từ giả thiết hàm lồi ϕ xác định tồn khơng gian H, ta có ϕ Lipschitz địa phương liên tục với điểm H Một hệ {xn } dãy bị chặn H ξn ∈ ∂ϕ(xn ) với n, dãy {xn } bị chặn Xét tốn tối ưu hóa sau {ϕ(x) : x ∈ K} (1.10) K tập lồi đóng khác rỗng H ϕ : H → R lồi hàm mục tiêu khả vi liên tục Thuật tốn hình chiếu grandient sử dụng để giải (1.10) Thuật toán xuất phát từ dãy {xn } sau: xn+1 = PK (xn − γ∇ϕ(xn )), n = 0, 1, , (1.11) Với giá trị ban đầu x0 ∈ K chọn tùy ý γ > tham số Dưới kết tính hội tụ bắt đầu (1.11) Định lý 1.8 Giả sử tốn cực tiểu (1.10) có nghiệm Giả sử gradient ϕ thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz: ∇ϕ(x) − ∇ϕ(y) ≤ L x − y ∀x, y ∈ H, L ≥ số Thế γ tham số chọn với < γ < L2 , dãy {xn } (1.11) hội tụ tới nghiệm toán cực tiểu (1.10) 26Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Chương Thuật toán CQ thuật toán CQ nới lỏng 2.1 Thuật toán CQ Thuật toán CQ giới thiệu Byrne sau Bắt đầu với x0 ∈ C, thuật toán dãy{xn } cách lặp sau: xn+1 = PC (xn − γAT (I − PQ )Axn ), n = 0, 1, , AT ma trận chuyển vị A γ ∈ 0, ϕ(A2T A) với ϕ(AT A) = A bán kính phổ ma trận AT A, nghĩa giá trị lớn AT A Thuật toán CQ thuật toán sử dụng để giải toán (0.1) Thuật toán lần đầu giới thiệu [3] giả thiết tính nghịch đảo toán tử A nâng lên lũy thừa với tính tốn A−1 trở nên khơng thơng dụng Bây ta xét thuật tốn CQ từ hướng sau: Tối ưu hóa điểm cố định Từ hướng Tối ưu hóa, ý x∗ nghiệm (0.1) x∗ ∈ C Ax∗ − PQ Ax∗ = Ta xác định hàm f sau: f (x) = 2 Ax − PQ Ax , x ∈ H1 := RN Xét toán cực tiểu lồi sau đây: fmin := minf(x) = x∈C x∈C Ax − PQ Ax 27Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Ở x∗ nghiệm (0.1) x∗ nghiệm toán cực tiểu (2.1) fmin := Ứng dụng phương pháp hình chiếu gradient để giải (2.1) Đây phương pháp xuất phát dãy {xn } qua công thức: xn+1 = PC (I − γ∇f )xn , n ≥ 0, γ > tham số chọn x0 ∈ H1 giá trị ban đầu tùy ý Từ gradient f cho ∇f (x) = AT (I − PQ )Ax, ta phục hồi thuật toán CQ Byrne [1,2] sau: xn+1 = PC (I − γAT (I − PQ )A)xn , n ≥ (2.2) Từ ta có thuật tốn hình chiếu gradient từ tốn cực tiểu lồi (2.1), tìm kết tính hội tụ từ thuật toán CQ sau Định lý 2.1 Nếu < γ < A , dãy {xn } thuật toán CQ (2.2) hội tụ tới nghiệm toán (0.1) Chứng minh Xét toán cực tiểu (2.1) Từ ∇f (x) = AT (I − PQ )Ax, thuật toán CQ (2.2) viết lại thuật tốn hình chiếu gradient sau đây: xn+1 = PC (xn − γ∇f (xn )), n = 0, 1, Từ I − PQ thác triển ổn định, ta thấy ∇f thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz: ∇f (x) − ∇f (y) ≤ AT A = A = ρ AT A Kết thúc định lí suy từ Định lí 1.8 Từ tốn điểm bất động ta có cơng thức (0.1) Ta thấy Ax∗ ∈ Q nếu: (I − PQ )Ax∗ = 28Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Đấy phương trình H2 , thỏa mãn với γ > 0, γAT (I − PQ )Ax∗ = 0, phương trình H1 , phương trình điểm bất động (I − γAT (I − PQ )A)x∗ = x∗ Phía trái khơng cần C Sử dụng hình chiếu xét phương trình điểm bất động ta có PC (I − γAT (I − PQ )A)x∗ = x∗ (2.3) Mệnh đề 2.1 x∗ nghiệm (0.1) x∗ nghiệm phương trình điểm bất động (2.3) Chứng minh Nếu x∗ nghiệm (0.1), nghiệm phương trình điểm bất động (2.3) Bây ta giả sử x∗ nghiệm phương trình điểm bất động (2.3) Theo tính chất hình chiếu, ta có I − γAT (I − PQ )A)x∗ − x∗ , z − x∗ ≤ 0, z ∈ C Nói cách khác, AT (I − PQ )Ax∗ , z − x∗ ≥ 0, z ∈ C Từ đó, Ax∗ − PQ Ax∗ , Ax∗ − Az ≤ 0, z ∈ C Nói cách khác ta có, Ax∗ − PQ Ax∗ , v − Ax∗ ≤ 0, v ∈ Q Cộng bất đẳng cuối ta có Ax∗ − PQ Ax∗ , v − Az ≤ 0, v ∈ Q, z ∈ C Đặt z = x∗ v = PQ Ax∗ đảm bảo Ax∗ = PQ Ax∗ ∈ Q Loại trừ nhau, ta đưa đến phương trình điểm bất động (2.3) PC (I − γAT (I − PQ )A)x∗ = x∗ Chú ý điều kiện tối ưu toán cực tiểu x∈C Ax − PQ Ax 29Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 x∗ ∈ C nghiệm toán cực tiểu γAT (I − PQ )Ax∗ , x − x∗ ≥ 0, x ∈ C ∀γ > Điều tương đương với phương trình điểm bất động (2.3): PC (I − γAT (I − PQ )A)x∗ = x∗ Từ nghiệm (0.1) tương đương với nghiệm phương trình điểm bất động (2.3), ta sử dụng thuật tốn điểm bất động để giải (0.1) Do Thuật tốn CQ phục hồi lại sau Định lý 2.2 Nếu < γ < A , dãy {xn } xuất phát thuật toán CQ (2.2) hội tụ tới nghiệm (0.1) Chứng minh Đặt T = PC (I − γAT (I − PQ )A) Viết lại dãy {xn } xuất phát thuật toán thuật toán CQ (2.2) sau xn+1 = T xn (n ≥ 0) xn = T n x0 (n ≥ 0) Từ Định lí 1.7 ta chứng minh T - trung bình Đầu tiên ta phải chứng minh, AT (I − PQ )A - ngược đơn điệu mạnh A Chú ý I − PQ thác triển ổn định từ AT (I − PQ )Ax − AT (I − PQ )Ay ≤ A(I − PQ )Ax − A(I − PQ )Ay , ta suy AT (I − PQ )Ax − AT (I − PQ )Ay, x − y = (I − PQ )Ax − (I − PQ )Ay, Ax − Ay ≥ (I − PQ )Ax − (I − PQ )Ay 30Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 ≥ Trong AT (I − PQ )A A A (I − PQ )Ax − (I − PQ )Ay - ngược đơn điệu mạnh Từ Mệnh đề 1.11 γAT (I − PQ )A γ A - ngược đơn điệu mạnh, chọn < γ < A , phần bù I − γAT (I − PQ )A trung bình Như hợp ánh xạ trung bình, T = PC (I − γAT (I − PQ )A) trung bình 2.2 Thuật tốn CQ nới lỏng Xét trường hợp đặc biệt sau gọi H1 = RN H2 = RM : C = {x ∈ H1 : c (x) ≤ 0} , Q = {y ∈ H2 : q (y) ≤ 0} , c q hàm lồi từ H1 tương ứng H2 R Hàm c q khả vi dưới, giả thiết vi phân ∂c (x) = {z ∈ H1 : c (u) ≥ c (x) + u − x, z , u ∈ H1 } = ∅ ∀x ∈ C ∂q (y) = {ω ∈ H2 : q (v) ≥ q (y) + v − y, ω , v ∈ H2 } = ∅ Giả sử < γ < A ∀y ∈ Q x0 ∈ H1 Định nghĩa dãy {xn } thuật toán lặp sau xn+1 = PCn (I − γA∗ (I − PQn )A)xn , n≥0 (2.4) Cn Qn tập lồi đóng xây dựng sau: Cn = {x ∈ H1 : c (xn ) + ξn , x − xn ≤ 0} với ξn ∈ ∂c (xn ) , Qn = {y ∈ H2 : q (Axn ) + ηn , y − Axn ≤ 0} 31Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 với ηn ∈ ∂q (Axn ) Trong C ∈ Cn Q ∈ Qn với ∀n Chú ý Cn Qn nửa khơng gian, hình chiếu PCn PQn có dạng đóng Định lý 2.3 Giả sử điều kiện tốn (0.1) thích hợp Thế thì, tham số γ chọn với < γ < L2 , dãy {xn } bắt đầu thuật toán (2.4) hội tụ tới nghiệm (0.1) Chứng minh Nếu viết Tn = PCn (I − γAT (I − PQn )A), Tn thác triển Tn x∗ = x∗ với ∀x∗ ∈ Γ (Gọi Γ tập nghiệm (0.1).) Sau đây, với x∗ ∈ Γ, xn+1 − x∗ = Tn xn − x∗ ≤ xn − x∗ Từ đó, { xn − x∗ } dãy giảm, trường hợp đặc biệt tồn tại, lim { xn − x∗ } n→∞ ∀ x∗ ∈ Γ (2.5) Ta ước lượng xác xn − x∗ sau Sử dụng thác triển hình chiếu, ta có xn+1 − x∗ ≤ (I − γAT (I − PQn )A)xn − x∗ = (xn − x∗ ) − γAT (I − PQ )Axn = xn − x∗ 2 + γ AT (I − PQn )Axn −2γ xn − x∗ , AT (I − PQn )Axn ≤ xn − x∗ + γ2 A (I − PQn )Axn −2γ Axn − Ax∗ , (I − PQn )Axn Từ Ax∗ ∈ Q ⊂ Qn , ta có (2.6) (I − PQn )Axn , Ax∗ − PQn Axn ≤ Kéo theo (I − PQn )Axn , Axn − Ax∗ = (I − PQn )Axn , Axn − PQn Axn 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 + (I − PQn )Axn , PQn xn − Ax∗ ≥ (I − PQn )Axn (2.7) Kết hợp (2.6) (2.7) ta có xn+1 − x∗ ≤ xn − x∗ − γ(2 − γ A ) (I − PQn )Axn Trong trường hợp đặc biệt, lim n→∞ (I − PQn )Axn = Tập hợp un = A∗ (I − PQn )Axn → Ta chứng minh: xn+1 − xn → (2.8) Tiếp tục làm sau ta được: xn+1 − x∗ = (xn+1 − xn ) + (xn − x∗ ) = xn+1 − xn + xn − x∗ = xn+1 − xn + xn − x∗ + xn+1 − xn , xn − x∗ +2 xn+1 − xn , xn − xn+1 + xn+1 − xn , xn+1 − x∗ Từ xn+1 − xn = xn − x∗ − xn+1 − x∗ + xn+1 − xn , xn+1 − x∗ (2.9) Từ xn+1 = PCn (xn − γun ), (xn − γun ) − xn+1 , x − xn+1 ≤ 0, x ∈ Cn Do x∗ ∈ Cn , xn − xn+1 , x∗ − xn+1 ≤ γ un , x∗ − xn+1 → Do từ (2.9) ⇒ xn+1 − xn → 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Vì {xn } bị chặn, kéo theo dãy {ξn } bị chặn, tập hợp điểm giới hạn {xn } ω (xn ) khác rỗng Điều kiện cần: ω (xn ) ⊂ Γ ∧ Thực vậy, giả thiết x ∈ ω (xn ) xnj dãy {xn } hội tụ ∧ tới x Từ xnj+1 ∈ Cnj , ta thu c xnj + ξnj , xnj+1 − xnj ≤ Suy c xnj ≤ − ξnj , xnj+1 − xnj ≤ ξ xnj+1 − xnj ξ thỏa mãn ξn ≤ ξ ∀n Do tính liên tục c, ta có (2.8) ∧ c x = lim c xnj ≤ j→∞ Trong đó, xˆ ∈ C ∧ Tiếp theo A x ∈ Q Tập yn = Axn − PQn Axn → giả sử η thỏa mãn ηn ≤ η ∀n Thế thì, từ Axnj − ynj = PQnj Axnj ∈ Qnj , ta có q Axnj + ηnj , (Axnj − ynj ) − Axnj ≤ Do đó, q Axnj ≤ ηnj , ynj ≤ η ynj → ∧ Do tính liên tục q Axnj → A x, nên ta đến kết luận ∧ q A x = lim q Axnj ≤ j→∞ ∧ Nghĩa là, A x ∈ Q ∧ Do x ∈ Γ Nên dãy {xn } hội tụ hoàn toàn, giả thiết x˜ điểm giới hạn khác dãy {xn } xmj dãy {xn } hội tụ tới 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 x˜, suy x˜ ∈ Γ Chú ý từ (2.5) ta tiếp tục sau: lim xn − xˆ n→∞ = lim x − xˆ) xmj − x˜ + (˜ = lim xmj − x˜ = lim x − x˜) xmj − xˆ + (ˆ = lim xmj − xˆ j→∞ j→∞ j→∞ j→∞ = lim xn − xˆ n→∞ 2 2 + x˜ − xˆ 2 + x˜ − xˆ + x˜ − xˆ 2 + x˜ − xˆ Suy x˜ = xˆ Từ đó, {xn } có điểm giới hạn nhiều điểm hội tụ Chú thích (2.4) Thuật tốn CQ nới lỏng (2.4) giới thiệu [7] ta chứng minh cách Có nhiều cách chứng minh đơn giản tính hội tụ Định lí 2.3 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 KẾT LUẬN Luận văn trình bày khái niệm tập lồi hàm lồi Khơng gian Hilbert ví dụ tính chất khơng gian Hilbert Luận văn trình bày khái niệm ánh xạ thác triển, ánh xạ trung bình cơng cụ chủ yếu để chứng minh thuật toán CQ thuật toán CQ nới lỏng để đưa thuật tốn có nhiều ứng dụng thơng dụng Luận văn trình bày cụ thể cách chứng minh thuật toán CQ, thuật toán CQ nới lỏng chứng minh tính hội tụ thuật tốn Do điều kiện thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong nhận bảo tận tình thầy đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi hy vọng tiếp tục nghiên cứu đề tài thời gian tới 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Lưu - Giải tích hàm - Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội -1999 [2] C Byrne, Iterative oblique projection onto convex subsets and the split fea-splity problem, Inverse problems, 18 (2002), 441- 453 [3] C Byrne A unified treatment of some Iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse problems, 20 (2004), 103-120 [4] Y Censor and T Elfving, A multiprojection algorithms using Bregman projection in a priduct space, Numer Algorithms (1994 ), 221-239 [5] K Goebel and W A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 28, Cambridge University Press, 1990 [6] A Ruszczynski (2006), Nonlinear optimization, Princeton University Press [7] B Qu and N Xiu, Anote on the CQ algorithms for the split feasibility problem, Inverse problems 21 (2005), 1655 - 1665 [8] Q Yang, The relaxed CQ algorithms for solving the split feasibility problem, Inverse problems 20 (2004), 1261 -1266 [9] J Zhao and Q Yang, Several solution methods for the split feasibility problem, Inverse problems 21 (2005), 1791 -1799 [10] H K Xu, A variable Krasnosel skii-Mann algorithm and the multipple -set split feasibility problem, Inverse problems 22 (2006), 2021 -2034 [11] Trần Vũ Thiệu - Cơ sở Giải tích lồi (2011) 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... buộc Ax = b, x ∈ C Bài toán nghiên cứu rộng rãi tài liệu Landweber giới thiệu phương pháp lặp gọi phương pháp chiếu lặp Landweber đề xuất năm 1951 Bài toán chấp nhận phân rã Elfving Censor [3]... đầu Cho N, M số nguyên dương tập C, Q hai tập lồi khác rỗng không gian Ơcơlit RN RM Bài toán chấp nhận phân rã giới thiệu [3] tốn tìm điểm x∗ thỏa mãn tính chất: x∗ ∈ C, Ax∗ ∈ Q, (0.1) A ma trận... pháp để phục hồi ảnh, tìm phương pháp giải tốn thu thành công Để giải toán chấp nhận phân rã Byrne [1] giới thiệu thuật toán lặp CQ với việc xác định dãy lặp theo công thức: xn+1 = PC xn − γAT