Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 40 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
40
Dung lượng
333,23 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ KIM DUNG TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ KIM DUNG TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi Không gian phức hyperbolic 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số tính chất Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi 1.3.1 Metric vi phân Royden-Kobayashi 1.3.2 Định lý 1.3.3 Hệ Không gian phức taut 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lý Kiernan 10 1.4.3 Định nghĩa 10 1.4.4 Bổ đề 10 1.4.5 Ví dụ 11 Các hàm peak antipeak đa điều hòa 12 1.5.1 Định nghĩa 12 1.5.2 Mệnh đề 13 i 1.5.3 Bổ đề 13 1.5.4 Định lý 14 1.5.5 Định lý 14 Tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach 2.1 2.2 Một số kiến thức ban đầu 17 2.1.1 Định nghĩa 17 2.1.2 Định nghĩa 17 2.1.3 Định lý 18 2.1.4 Định nghĩa 19 2.1.5 Định nghĩa 19 2.1.6 Định nghĩa 19 2.1.7 Định nghĩa 20 2.1.8 Định nghĩa 20 Tính taut yếu tính hyperbolic đa tạp giải tích Banach 20 2.2.1 2.3 17 Định lý 21 Tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach 24 2.3.1 Định lý 24 2.3.2 Bổ đề 25 2.3.3 Định lý 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Mở đầu Một tốn quan trọng Giải tích phức hyperbolic tìm đặc trưng khác cho tính hyperbolic không gian phức Như ta biết khơng gian phức taut hyperbolic Do ta nghiên cứu tính hyperbolic khơng gian phức thơng qua việc tìm hiểu tính taut khơng gian Điều cho thấy tính taut cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu lớp không gian phức hyperbolic hữu hạn chiều Tuy nhiên khái niệm taut khơng tồn hồn cảnh miền khơng gian Banach Bằng cách đưa khái niệm taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach, Lê Mậu Hải Phạm Khắc Ban [4] thiết lập mối liên hệ tính taut yếu với tính hyperbolic đa tạp giải tích Banach, đồng thời chứng minh mối liên hệ tính taut yếu địa phương với tính taut yếu miền không bị chặn không gian Banach Mục đích luận văn trình bày tường minh kết nói Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị không gian phức hyperbolic, không gian phức taut số kết liên quan đến chương sau trường hợp hữu hạn chiều Chương 2: Tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach Nội dung chương bao gồm số khái niệm ban đầu giải tích hyperbolic khơng gian Banach; mối liên hệ tính taut yếu tính hyperbolic đa tạp giải tích Banach Cuối chương số tiêu chuẩn cho tính taut yếu miền khơng bị chặn khơng gian Banach Luận văn thực hồn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dự hướng dẫn khoa học PGS TS Phạm Việt Đức Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Tốn, Phịng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn lớp Cao học Toán K20a, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Kim Dung Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị tính hyperbolic tính taut trường hợp hữu hạn chiều 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức Với < r < ∞ ta đặt ∆r = {z ∈ C, |z| < r}, ∆1 = ∆, gọi ∆r đĩa bán kính r, ∆ đĩa đơn vị C 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X Hol(∆, X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X , trang bị tôpô compact mở Xét dãy điểm p0 = x, p1 , , pk = y X , dãy điểm a1 , a2 , , ak ∆ dãy ánh xạ f1 , , fk Hol(∆, X) thỏa mãn fi (0) = pi - , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, , k Tập hợp α = {p0 , , pk , a1 , , ak , f1 , , fk } thỏa mãn điều kiện gọi dây chuyền chỉnh hình (hay đĩa chỉnh hình) nối x y X Ta định nghĩa k dX (x, y) = inf { α ρD (0, ), α ∈ Ωx, y }, i=1 Ωx, y tập hợp dây chuyền chỉnh hình nối x y X Khi dX : X × X → R giả khoảng cách X gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X 1.1.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi 1.1.2.1 Nếu f : X → Y ánh xạ chỉnh hình hai khơng gian phức f làm giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)), ∀x, y ∈ X Hơn nữa, dX giả khoảng cách lớn X thỏa mãn ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → X giảm khoảng cách 1.1.2.2 d∆ = ρ∆ metric Bergman - Poincaré đĩa đơn vị ∆ 1.1.2.3 dCn ≡ 1.1.2.4 Giả sử X khơng gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi dX : X × X → R hàm liên tục Trong trường hợp X đa tạp phức ta có phép chứng minh đơn giản tính liên tục dX sau: 1.1.2.5 Định lý Giả sử X đa tạp phức Khi đó, giả khoảng cách kobayashi hàm liên tục Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có |dX (xn , yn ) − dX (x, y)| ≤ dX (xn , x) + dX (yn , y), với xn , yn , x, y ∈ X Do để chứng minh tính liên tục dX ta cần chứng minh dX (yn , y) → yn → y Gọi U lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆n , n = dimX Ta có d∆n ((x1 , , xn ), (y1 , , yn )) = max{d∆ (xi , yi ), i = 1, , n} Vì U song chỉnh hình với ∆n nên theo tính chất giả khoảng cách Kobayashi ta có dU = d∆n liên tục Do đó, dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) → yn → y Vậy dX liên tục 1.2 1.2.1 Không gian phức hyperbolic Định nghĩa Không gian phức X gọi không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) giả khoảng cách Kobayashi dX khoảng cách X , tức dX (p, q) = ⇔ p = q ∀p,q ∈ X Không gian phức X gọi hyperbolic đầy X hyperbolic đầy khoảng cách Kobayashi dX , tức dãy khoảng cách dX hội tụ Nhận xét Từ định nghĩa tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình ta có tính hyperbolic khơng gian phức bất biến song chỉnh hình 1.2.2 Một số tính chất 1.2.2.1 Nếu X, Y khơng gian phức, X × Y khơng gian hyperbolic X Y không gian hyperbolic 1.2.2.2 Giả sử X không gian phức không gian phức Y Nếu Y hyperbolic X hyperbolic Hay nói cách khác, không gian không gian hyperbolic hyperbolic 1.2.2.3 Định lý (Barth) Giả sử X không gian phức liên thơng Nếu X hyperbolic dX sinh tô pô tự nhiên X Chứng minh Ta có khơng gian phức X compact địa phương với tơ pơ đếm được, metric hóa định lý metric hóa Urưxơn Vì có hàm khoảng cách ρ xác định tơ pơ tự nhiên X Ta phải chứng minh dX ρ so sánh được, tức với {xn } ⊂ X ta có ρ(xn , x) → ⇔ dX (xn , x) → n → ∞ Do dX liên tục nên từ ρ(xn , x) → suy dX (xn , x) → n → ∞ Ngược lại, giả sử dX (xn , x) → mà ρ(xn , x) → n → ∞ Khi tồn s > cho có dãy (vẫn ký hiệu {xn }) mà xn nằm ρ−cầu tâm x, bán kính s Nối xn với x dây chuyền chỉnh hình Gọi γ ảnh trắc địa đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X Xét hàm t → ρ(γ(t), x), hàm liên tục tồn t0 ∈ [a, b] cho ρ(γ(t0 ), x) = s Vậy điểm yn = γ(t0 ) nằm mặt cầu tâm x bán kính s (đối với metric ρ) Từ theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (yn , x) ≤ dX (xn , x) → n → ∞ Do tính compact địa phương, dãy {yn } có dãy {ynk } hội tụ tới y thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ) Khi đó, dX (y, x) = lim dX (ynk , x) = 0, n→∞ mà y = x Điều mâu thuẫn với giả thiết X khơng gian hyperbolic Định lý chứng minh 1.2.3.4 Ví dụ +) Đĩa ∆r đa đĩa ∆m r hyperbolic +) Một miền bị chặn Cm hyperbolic, tập mở tích đa đĩa +) Cm khơng hyperbolic, dCm ≡ 22 Tuy nhiên sup ||gkp (λ1 )|| = sup ||fnp (0)θkp (λ1 )|| = ∞ p≥1 p≥1 Từ mâu thuẩn ta có i) chứng minh ii) Bây ta dX mêtric X Giả sử p, q hai điểm khác X Lấy lân cận Uq q cho p ∈ / U q Từ (i) ta chọn lân cận Vq q , Vq ⊂ Uq c > cho FX (x, v) ≥ c||v|| với x ∈ Vq v ∈ Tx X Lấy hình cầu B(q, r) ⊂ Vq Giả sử γ : [0, 1] → X đường cong C -từng khúc nối q với p, γ(0) = q, γ(1) = p Cho < s < cho γ([0, s)) ⊂ B(q, r) γ(s) = y ∈ ∂B(q, r) Khi s FX∗ (γ(t), γ (t))dt ≥ FX∗ (γ(t), γ (t))dt s ≥c ||γ (t)||dt ≥ c||γ(s) − γ(0)|| = cr > 0 Do dX (p, q) ≥ d∗X (p, q) ≥ cr > Như vậy, dX mêtric X iii) Ta dX xác định tô pô X Trước tiên, ta giả sử dX (xn , x0 ) → xn → x0 n → ∞ Ta chọn lân cận liên thông U x0 c > cho FX (x, v) ≥ c||v|| (2.1) với x ∈ U v ∈ Tx X Tiếp theo ta chọn lân cận V x0 cho V ⊂ U Khơng tính tổng qt ta giả sử V = B(x0 , r) = {x ∈ E : ||x − x0 || < r} ⊂ U 23 Vì {xn } → x0 , nên tồn dãy {yn } ⊂ {xn } cho {yn } ⊂ B(x0 , r) với n ≥ Ta có d∗X (yn , x0 ) = inf{ FX∗ (γ(t), γ (t))dt : γ ∈ Ωyn ,x0 }, (2.2) Ωyn ,x0 tập đường cong C -từng khúc γ : [0, 1] → X, γ(0) = x0 , γ(1) = yn Theo (2), ta tìm γn ∈ Ωyn ,x0 cho 1 FX∗ (γn (t), γ n (t))dt − n ∗ kX (yn , x0 ) ≥ Lấy < tn < cho γn ([0, tn )) ⊂ B(x0 , r) y n = γn (tn ) ∈ ∂B(x0 , r) Khi tn d∗X (y n , x0 ) ≤ FX∗ (γn (t), γ n (t))dt ≤ FX∗ (γn (t), γn (t))dt < d∗X (yn , x0 ) + 1 ≤ dX (yn , x0 ) + n n Do d∗X (y n , x0 ) → n → ∞ Dễ thấy x0 , y n ∈ U Chọn βn ∈ Ωyn ,x0 ⊂ U cho d∗X (y n , x0 ) ≥ FX∗ (βn (t), β n (t))dt − sn ≥ n FX∗ (βn (t), β n (t))dt − , n 24 < sn < chọn cho βn ([0, sn )) ⊂ B(x0 , r) βn (sn ) ∈ ∂B(x0 , r) Sử dụng 2.1 định nghĩa FX∗ ta có sn sn FX∗ (βn (t), β n (t))dt ≥ c ||β n (t)||dt ≥ c||βn (sn ) − βn (0)|| 0 = cr, với n ≥ Điều khơng xảy sn FX∗ (βn (t), β n (t))dt ≤ d∗X (y n , x0 ) + →0 n n → ∞ Mặt khác, X đa tạp Banach, cách sử dụng lý luận tương tự Định lý 1.1.2.5, ta chứng tỏ yn → y0 X dX (yn , y0 ) → Vậy Định lý chứng minh 2.3 Tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach Sau kết tương tự Định lý 1.5.4 trường hợp Ω miền không gian Banach 2.3.1 Định lý Giả sử Ω miền không gian Banach E Giả sử tồn hàm đa điều hịa peak antipeak địa phương vơ cực Khi Ω hyperbolic Để chứng minh Định lý ta cần chứng minh Bổ đề sau: 25 2.3.2 Bổ đề Giả sử p điểm thuộc ∂Ω ∪ {∞} Giả sử có hàm đa điều hòa peak antipeak địa phương ϕ ψ p, hai xác định lân cận Vp p Khi với lân cận U p, tồn lân cận U p cho với ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → Ω thỏa mãn f (0) ∈ U ⇒ f (∆ 12 ) ⊂ U, với ∆ 12 = {z ∈ ∆ : |z| < 21 } Chứng minh Vì ϕ hàm đa điều hịa peak địa phương p, tồn hai lân cận U V p, U ⊂ V ⊂ Vp hai số dương c c (c > c ) cho z∈Ω∩∂U z∈Ω∩∂V inf ϕ(z) = −c , sup ϕ(z) = −c Do giả thiết ϕ hàm liên tục Ω ∩ ∂U compact (vì U bị chặn Ω đóng), nên hàm ϕ˜ xác định Ω công thức ϕ(z) ˜ = ϕ(z)nếu z ∈ Ω ∩ U, c+c ϕ(z) ˜ = sup ϕ(z), − z ∈ Ω ∩ (V \U ), c+c ϕ(z) ˜ =− z ∈ Ω\V hàm peak đa điều hòa dưới, âm p Lấy f ∈ Hol(∆, Ω) Vì ϕ˜ ◦ f hàm điều hịa (ϕ˜ ◦ f )(eiθ ) ≤ 0, ∀θ ∈ [0, 2π], với số âm α tùy ý cho (ϕ˜ ◦ f )(0) > α, ta có mes(Eα ) ≥ π , mes(Eα ) độ đo tập hợp Eα = {θ ∈ [0, 2π] : (ϕ˜ ◦ f )(eiθ ) ≥ 2α} 26 Thật vậy, 2π α < (ϕ˜ ◦ f )(0) ≤ 2π (ϕ˜ ◦ f )(eiθ )dθ = 2π (ϕ˜ ◦ f )(eiθ )dθ + 2π Eα ≤ (ϕ˜ ◦ f )(eiθ )dθ ∂∆\Eα 2π (ϕ˜ ◦ f )(eiθ )dθ < 2αmes(∂∆\Eα ) 2π ∂∆\Eα α = (2π − mesEα ) π Do mes(Eα ) ≥ π (2.3) Bây giờ, ta chọn ε > đủ nhỏ cho inf (ϕ + εψ) = −c1 < 0, Ω∩∂U sup (ϕ + εψ) = −c2 < −c1 Ω∩∂V Do lim ϕ(z) = 0, ϕ(z) < 0, ∀z = p ε đủ nhỏ nên ta định nghĩa z→p hàm ρ Ω công thức (ϕ + εψ)(z)nếu z ∈ Ω ∩ U, c1 + c2 sup (ϕ + εψ)(z), − ρ(z) = c + c2 − z ∈ Ω\V z ∈ Ω ∩ (V \U ), Dễ thấy, ρ(z) hàm đa điều hòa liên tục, âm Ω thỏa mãn ρ−1 (−∞) = {p} Theo cơng thức tích phân Poisson, với điểm λ ∈ ∆ 21 ta có 27 2π (ρ ◦ f )(λ) ≤ 2π − r2 (ρ ◦ f )(eiθ )dθ − 2rcos(θ − t) + r Vì ≤ r ≤ , ta có − r2 ≥ − 2rcos(θ − t) + r2 với ≤ θ ≤ 2π Từ đó, ta nhận 2π (ρ ◦ f )(eiθ )dθ với |λ| < (ρ ◦ f )(λ) ≤ 6π (2.4) Vì ϕ˜ hàm peak đa điều hòa p ρ thỏa mãn lim ρ(z) = −∞ z→p nên với số dương L, tồn số âm α cho với điểm z ∈ Ω bất đẳng thức ϕ(z) ˜ ≥ 2α kéo theo ρ(z) < −L Sử dụng giả thiết (2.3), (2.4) ta biết ρ hàm âm, ta chứng tỏ với f ∈ Hol(∆, Ω) λ ∈ ∆ 21 , ta có L ϕ(f ˜ (0)) > α ⇒ (ρ ◦ f )(λ) ≤ − (2.5) Với số nguyên dương n tồn số αn < cho với ˜ ≥ 2αn kéo theo ρ(z) < −n Vì điểm z Ω ta có bất đẳng thức ϕ(z) ρ−1 (−∞) = {p}, ta có họ Un = {z ∈ Ω : ρ(z) < (− )n} lân cận tọa độ p Ω Gọi U n lân cận p Ω xác định U n = {z ∈ Ω : ϕ(z) ˜ > αn } Từ (2.5) ta suy f ∈ Hol(∆, Ω) f (0) ∈ U n f (∆ 12 ) ⊂ Un Vậy Bổ đề 2.3.2 chứng minh 28 Chứng minh (Định lý 2.3.1 ) Tương tự Định lý 2.2.1 ta cần chứng minh: Với a ∈ Ω, tồn lân cận U a c > cho FΩ (z, u) ≥ c||u|| với z ∈ U u ∈ E Để có điều mâu thuẫn, giả sử ta tìm z0 ∈ Ω dãy {zn } ⊂ Ω, zn → z0 n → ∞, {un } ⊂ E, ||un || = cho FΩ (zn , un ) ≤ n (2.6) Chọn dãy {fn } ⊂ Hol(∆, Ω) cho fn (0) = zn , ||f n (0)|| ≥ n (2.7) Giả sử tồn ε > cho M = sup{||fn (λ)|| : |λ| ≤ ε với n ≥ 1} < ∞ Khi ||f n (0)|| = || fn (t)dt M || ≤ t2 ε 2πi |t|=ε với n ≥ Điều mâu thuẫn với (2.7) Do đó, ta tìm dãy {λk }, λk → cho ||fnk (λk )|| → ∞ Lấy hợp thành fnk với phép biến đổi Moebius ta có họ {f˜n } ⊂ Hol(∆, Ω) thỏa mãn k f˜nk (0) = fnk (λk ) f˜nk (λk ) = znk Điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.3.2 Vậy Định lý 2.3.1 chứng minh Tương tự Định lý 1.5.5 Chương 1, ta thiết lập tính taut yếu miền khơng bị chặn khơng gian Banach dựa tính taut yếu địa phương 29 2.3.3 Định lý Cho Ω miền không gian Banach E Giả sử Ω taut yếu địa phương điểm ∂Ω có hàm đa điều hịa peak antipeak địa phương vơ cực Khi Ω miền taut yếu Chứng minh Cho {fn } ⊂ Hol(∆, Ω) Trường hợp Giả sử tồn điểm λ ∆ dãy {gn }n∈A ⊂ {fn } cho lim ||gn (λ)|| = ∞ n∈A Đặt C = {z ∈ ∆ : lim ||gn (z)|| = ∞} n∈A Do Bổ đề 2.3.2, với điểm λ ∈ C , ta có lim ||gn ◦ hλ,θ || = +∞ n∈A ∆ 21 , λ − eiθ z hλ,θ (z) = − eiθ λz (2.8) tự đẳng cấu ∆ Theo Bổ đề 1.5.3 , với λ ∈ C , tồn số thực dương rλ cho lim ||gn (∆(λ, rλ ))|| = +∞, n∈A ∆(λ, rk ) = {z ∈ ∆ : |z − λ| < rλ } Do C mở ∆ Tuy nhiên, (λk )k dãy điểm ∆ hội tụ đến điểm λ ∆, từ tính compact tập hợp ({λk , k ≥ 1} ∪ {λ}), Bổ đề 1.5.3 suy tồn số thực dương r cho với số nguyên dương k , ta có lim ||gn || = +∞ n∈A 30 ∆(λk , r) Do đó, lim ||gn (λ)|| = +∞ n∈A Như vậy, tập C đóng ∆ Từ suy C = ∆ Vậy ta có, với số λ ∈ ∆, tồn số thực dương rλ cho lim ||gn || = +∞ n∈A ∆(λ, rλ ) Trong trường hợp đặc biệt, dãy {gn }n∈A phân kỳ đến vô hạn tập compact ∆ Do đó, dãy {gn }n∈A phân kỳ compact Trường hợp 2: Giả sử với điểm λ ∈ ∆ với dãy {fnk } ⊂ {fn }, dãy {fnk (λ)} bị chặn Trong trường hợp này, ta chứng minh {fn } bị chặn địa phương Thật vậy, giả sử ngược lại {fn } không bị chặn địa phương Khi đó, có λ0 ∈ ∆ dãy {λk }, λk → λ0 k → ∞ dãy {fnk } dãy {fn } cho lim ||fnk (λk )|| = +∞ k Theo Bổ đề 2.3.2 ta có lim ||fnk ◦ hλk ,θ || = +∞ k ∆ 21 , với hλk ,θ định nghĩa (2.8) Sử dụng Bổ đề 1.5.3 cho tập compact {λk , k ≥ 1}∪{λ0 }, ta suy có số dương r > cho lim ||fnk (∆(λk , r))|| = +∞ k Do đó, lim ||fnk (λ0 )|| = +∞ k Điều mâu thuẫn với tính bị chặn dãy {fnk (λ0 )} 31 Bây ta giả sử {fn } không phân kỳ compact Theo Định lý 2.3.1, Ω hyperbolic Vì dΩ giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình, ta suy có λ0 ∈ ∆ dãy {gn }n∈A ⊂ {fn } cho {gn (λ0 )}n∈A hội tụ đến x0 ∈ Ω Đặt C = {λ ∈ ∆ : ∃ lim gn (λ)} n∈A Kí hiệu C tập điểm tụ C ∆ a) Giả sử C = ∅ Vì {gn }n∈A bị chặn địa phương, nên dãy {gn }n∈A hội tụ đến g Hol(∆, E) Nếu g(∆) ⊂ Ω Ω taut yếu Trong trường hợp ngược lại, tồn λ1 ∈ ∆ cho g(λ1 ) ∈ ∂Ω Đặt D = {λ ∈ ∆ : g(λ) ∈ ∂Ω} Theo lập luận D = ∅ Hơn nữa, dễ thấy D đóng ∆ Cho λ điểm D Khi p = g(λ) ∈ ∂Ω Vì Ω taut yếu địa phương p, nên tồn lân cận U p cho U ∩ Ω taut yếu Vì {gn }n∈A hội tụ đến g Hol(∆, E), nên tồn δ > cho gn (∆(λ, δ)) ⊂ U ∩ Ω với n ∈ A, n ≥ n0 Vì U ∩ Ω taut yếu g(λ) ∈ ∂Ω, nên tồn tập rời rạc S ⊂ ∆(λ, δ) cho g(∆(λ, δ)\S) ⊂ ∂Ω Ta chọn số nhỏ tùy ý < δ1 < δ cho g(∆(λ, δ1 )) ⊂ ∂Ω Do D mở ∆ Vì D = ∆ Suy g(∆) ⊂ ∂Ω Điều xảy g(λ0 ) = x0 ∈ Ω b) Giả sử C = ∅ Kí hiệu A = {U : U tập mở ∆ tồn dãy {gnU } ⊂ {gn }n∈A cho {gnU } phân kỳ compact U } Ta trang bị A quan hệ thứ tự sau: U1 < U2 U1 ⊂ U2 {gnU1 } ⊂ {gn }, phân kỳ compact U1 , chứa {gnU2 } ⊂ {gnU1 } cho {gnU2 } phân kỳ compact U2 32 Trước tiên ta chứng minh A = ∅ Để làm điều này, ta chứng minh ∃ε > 0, ∃{gn }n∈B ⊂ {gn }n∈A cho {gn }n∈B phân kỳ compact ∆∗ (λ0 , ε) = {λ ∈ ∆ : < |λ − λ0 | < ε} Ta có, ∆∗ (λ0 , ε) ∈ A Ngược lại với k , tồn dãy Bk ⊂ A λk : < |λk − λ0 | < cho dãy {gn (λk )}n∈Bk phân kỳ Hơn k nữa, ta giả sử Bk+1 dãy Bk Khi q trình chéo hóa ta tìm dãy {gn }n∈B ⊂ {gn }n∈A cho λ0 điểm giới hạn tập C˜ = {λ ∈ ∆ : ∃ lim gn (λ)} n∈B Do đó, lập luận {gn }n∈B hội tụ Hol(∆, Ω) Vì Ω taut yếu Bây giờ, đặt {Uα }α∈I tập thứ tự tuyến tính A Do tính Lindelof C kéo theo tồn Uα1 < Uα2 < < Uαn < cho ∞ Uα = U= α∈I Uαj j=1 Bằng q trình chéo hóa ta tìm dãy {gn }n∈B ⊂ {gn }n∈A cho phân kỳ compact U Do U ∈ A Hơn nữa, lập luận Uα tương tự ta với dãy {gn j } ⊂ {gn } mà phân kỳ compact Uα Uαj , tồn dãy {gn }n∈J ⊂ {gn j } phân kỳ compact U Bây ta chứng minh họ {Uα }α∈I có cận Lấy α0 ∈ I Nếu ta tìm j0 cho Uα0 < Uαj0 theo lập luận cho ta Uα0 < U Do U cận họ {Uα }α∈I Ngược lại, đặt Uαj < Uα0 , với αj Khi đó, Uα0 = U Mặt khác, {Uα }α∈I tập thứ tự tuyến tính, nên với β ∈ I ta có Uβ < Uα0 Uα0 < Uβ 33 Khi Uα0 = U , theo định nghĩa A với quan hệ thứ tự ta suy Uβ < Uα0 , với β ∈ I Do đó, Uα0 cận họ {Uα }α∈I Theo Bổ đề Zone, A có phần tử lớn Ω Giả sử {gnΩ }n∈J dãy phân kỳ compact ứng với Ω Đặt T : {λ ∈∆\Ω : tồn dãy {gn }n∈J˜ ⊂ {gnΩ }n∈A cho {gn (λ)}n∈J˜ phân kỳ Ω} Với λ ∈ T , cách lập luận tương tự trên, ta tìm ε > dãy {hn }n∈J1 ⊂ {gn }n∈J˜ cho {hn }n∈J1 phân kỳ compact ∆∗ (λ, ε) Khi {hn }n∈J1 phân kỳ compact ∆∗ (λ, ε) ∪ Ω Theo tính chất cực đại Ω kéo theo ∆∗ (λ, ε) ⊂ Ω Điều chứng tỏ T rời rạc {gnΩ }n∈J phân kỳ compact Ω\T Do đó, từ định nghĩa khái niệm taut yếu ta kết luận Ω taut yếu Vậy Định lý 2.3.3 chứng minh 34 Kết luận Luận văn trình bày số kết tính taut yếu taut yếu địa phương miền khơng gian Banach Các kết luận văn gồm có: • Trình bày mối liên hệ tính taut yếu tính hyperbolic đa tạp giải tích Banach (Định lý 2.2.1) • Trình bày điều kiện cho tính hyperbolic miền không gian Banach vô hạn chiều (Định lý 2.3.1) • Trình bày tiêu chuẩn cho tính taut yếu miền không bị chặn không gian Banach thơng qua tính taut yếu địa phương (Định lý 2.3.3) 35 Tài liệu tham khảo [Tiếng Việt] [1] P.V Duc, Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, NXB ĐHSP (2005) [Tiếng Anh] [2] T.J Barth, The Kobayashi distance induces the standard topology, Proc Amer Math Soc 35 (1972), 439-441 [3] R Brody, Compact manifolds and hyperbolicity, Trans Math Soc 235 (1978), 213-219 [4] L M Hai and P K Ban, On the weak tautness and the locally weak tautness of a domain in a Banach space, Acta Math Vietnamica 28 (2003), 39-50 [5] S Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehrender mathematischen Wissenschaften, 318(1998) [6] H Gaussier, Tautness and complex hyperbolicity of domains in Cn , Proc Amer Math Soc 127 (1999), 105-116 [7] S Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Berlin-HeidelbergNew York 1987 [8] P Mazet, Analytic Sets in Locally Convex Spaces, North-Holland, (1987) 36 [9] J.P Ramis, Sous-ensembles Analitiques d’une Variété Banachique Complexe, Springer-Verlag, (1970) [10] E Vesentini and T Franzoni, Holomorphic Maps and Invariant Distances, North-Holland, (1980) [11] E Vesentini, Invariant Distance and Invariant Differential Metric in Locally Convex Spaces, spectral Theory, Banach Centre Publication U.8 P.W.N, Polish Sci Publisher Warsaw, (1982) ... Chương 1, ta thiết lập tính taut yếu miền không bị chặn không gian Banach dựa tính taut yếu địa phương 29 2.3.3 Định lý Cho Ω miền không gian Banach E Giả sử Ω taut yếu địa phương điểm ∂Ω có hàm... kiện cho tính hyperbolic miền không gian Banach vô hạn chiều (Định lý 2.3.1) • Trình bày tiêu chuẩn cho tính taut yếu miền không bị chặn không gian Banach thơng qua tính taut yếu địa phương (Định... văn trình bày số kết tính taut yếu taut yếu địa phương miền không gian Banach Các kết luận văn gồm có: • Trình bày mối liên hệ tính taut yếu tính hyperbolic đa tạp giải tích Banach (Định lý 2.2.1)