Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Bài số HÀM VÉC TƠ MỘT BIẾN MỘT SỐ MẶT CONG TRONG R3 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ, HỆ TỌA ĐỘ I Giải tích véc tơ Nhắc lại tham số đường cong x = f (t ) Dạng: (1) y = g (t ) Trong toán Vật lý ta thường xét chuyển động điểm t hiểu thời gian đo từ thời điểm mà chuyển động bắt đầu Điểm P = (x , y ) = (x (t ), y(t )) vạch đường cong t biến thiên: t1 ≤ t ≤ t2 Nhận xét: Phương trình tham số mô tả + Quỹ đạo mà điểm di chuyển + Hướng chuyển động + vị trí quỹ tích nhiều giá trị t , Với t ta xác định vị trí điểm P (x (t ), y(t )) Có thể có nhiều cách tham số hóa đường cong Hàm véc tơ biến a Định nghĩa : Xét đường cong có phương trình tham số: x = x (t ) y = y(t ) Mét ®iÓm P = (x,y) chuyÓn ®éng däc theo ®−êng cong mặt phẳng xy, thời điểm t xác định vị trí điểm P = (x , y ) = (x (t ), y(t )) Nh− véc tơ định vị điểm chuyển động miêu tả xác chuyển động Khi đó: R(t ) = OP = x (t )i+y(t )j đợc gọi hàm véc tơ t viết R = R(t) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 b Giới hạn Tính liên tục Ta nói lim R (t ) = R t →t0 R(t ) − R < ε vµ chØ ∀ ε > 0, ∃δ > : ∀t, < t − t0 < δ th× ta cã (Chó ý: A-B = (a1 − b1 )2 + (a − b2 )2 ) Nh− vËy: nÕu R(t ) = x (t )i + y(t ) j; R = x 0i + y j ; ®ã lim x (t ) = x t →t lim R (t ) = R ⇔ t →t0 lim y(t ) = y t →t0 R(t) đợc nói liên tục t = t nÕu lim R (t ) = R (t0 ) t →t0 cã nghÜa lµ R(t ) − R(t ) có giá trị nhỏ tuỳ ý lấy t đủ gần t Nh : R(t ) = x (t )i + y(t ) j; R(t ) = x (t )i + y(t )j R (t ) liên tục x(t) y(t) lim x (t ) = x (t ) liên tục, tức lim R (t ) = R ⇔ t →t0 t →t0 lim y(t ) = y(t0 ) t t0 c Đạo hàm hàm véc tơ R = R(t) Cho hàm vÐc t¬ : R(t ) = x (t )i + y(t ) j , t biÕn thiªn tíi t+ t , thay đổi R Xét giới h¹n : ∆R = R(t +∆t ) - R(t ) = x (t + ∆t ) - x (t ) i + y(t + ∆t ) - y(t ) j ∆R R(t + ∆t ) − R(t ) lim = lim ∆t → ∆ t ∆t → ∆t giới hạn tồn ta nói hàm véc tơ R(t) có đạo hàm (khả vi) theo t, giá trị giới hạn dR đạo hàm cÊp cđa R(t) , ký hiƯu : R '(t ), dt dR dx dy = i+ j dt dt dt tơng tự đạo hàm cấp hai : R(t) cho d2R/dt2 Nhận xét : Hàm véc tơ R(t) khả vi hàm vô hớng x(t) y(t) hàm khả vi R '(t ) = ((x '(t ), y '(t )) Ví dụ: Xét hàm véc tơ R(t ) = (2t + t + 1)i + (t + t ) j , ®ã ta cã R(t ) = (4t + 1)i + (3t + 1) j Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 C¸c quy tắc tính đạo hàm: Cho R1(t ), R (t ), R(t ) hàm véc tơ khả vi, u(t ) hàm vô hớng (hàm số) khả vi Khi ®ã : 1) d R dR d R1 ± R ) = ± ( dt dt dt 2) d dR du (uR) = u +R dt dt dt 3) NÕu R = R(u ), dR dR du = ⋅ dt du dt u = u(t ) , ta sÏ cã 4) NÕu R(t ) = R * véc tơ (không thay đổi t thay đổi) dR d R * = = O (véc tơ O) dt dt ý nghĩa hình học : Xét hàm véc tơ R(t ) , điểm cuối P biểu diễn R(t ) vạch đờng cong Khi đạo hàm dR/dt véc tơ tiếp xúc với đờng cong điểm P R, độ dài véc tơ là: 2 dx dy dx + dy dR ds = + = = dt dt dt dt dt Nh− vËy : VÐc tơ dR dt có hớng hớng chuyển ®éng, ®é dµi b»ng tèc ®é cđa chun ®éng VÝ dô : Cho R = (4cos2t)i + (3sin2t)j , h y tìm quỹ đạo chuyển động điểm cuối P biểu diễn hàm véc tơ đó, tính vận tốc v điểm đờng v lớn nhỏ Giải + Phơng trình tham sè x = 4cos2t, y = 3sin2t, ®ã ®−êng ellipse nh− ë h×nh x y2 + =1 16 lµ Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 §iĨm P = (x, y) chuyển động ellip ngợc chiều kim đồng hồ + Vận tốc + Tốc độ lµ v = v = (64 sin2 2t + 36 cos2 2t )1/2 = (28 sin 2t + 36)1/2 + Tốc độ nhỏ sin2t = 0, đạt đợc P hai đầu trục phụ + Tốc độ lớn sin2t=1 cos2t=0 nghĩa P hai đầu trục Vận tốc v điểm chuyển động tốc độ biến thiên vị trí nó, gia tốc a là tốc độ biến thiên vận tốc cđa ®iĨm : dv d R a= = dt dt Nếu điểm dịch chuyển P vị trí chuyển động học vật có khối lợng m chuyển động dới tác động lực F, theo Định luật II Newton F = ma Nh vậy: lực gia tốc có hớng Cả F a h−íng tíi bỊ lâm cđa ®−êng cong(trõ mét sè trờng hợp ngoại lệ F a tiếp xóc víi ®−êng cong) VÝ dơ1.(tiÕp tơc) Ta cã gia tèc a cđa vËt chun ®éng a= dv = (−16 cos 2t )i + (−12 sin 2t ) j dt a= - (4 cos 2t ) i + (3 sin 2t ) j = - 4R : Nh vậy: Gia tốc luôn hớng ®Õn t©m cđa ®−êng ellipse VÝ dơ 2: (Chun ®éng tròn đều) Một vật có khối lợng m chuyển động ngợc chiều kim đồng hồ dọc đờng tròn x2+ y2= r2 với tốc độ không đổi v H y tính gia tốc vật lực cần thiết để tạo chuyển động Giả: + Đờng cong quỹ ®¹o cã thĨ viÕt nh− sau R = (rcos θ )i +(rsin θ )j + V× s=r θ ta cã : v = ds dθ =r dt dt + Do ®ã d θ /dt = v/r, nªn v= d R dR d θ v = = (−r sin θ ) i + (r cos θ ) j dt d θ dt r = v (− sin θ ) i + (cos θ ) j Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến vµ : a= 2010 -2 011 dv d v d θ v v2 = = v (− cos θ)i + (− sin θ) j = − (cos θ)i + (sin θ) j dt d θ dt r r Bằng cách nhân chia cho r ta có a = - (v2/r2)R Nh− vËy,vect¬ gia tèc a h−íng tâm đờng tròn có độ lớn a = v2 v2 R = r r2 Theo định luật Newton, lực F cần thiết để tạo chuyển động phải hớng tâm đờng tròn : Lực đợc gọi lực hớng tâm d) Véc tơ tiếp tuyến đơn vị Xét tham số s ®é dµi cung ®o däc theo ®−êng cong tõ ®iĨm cố định P đến P Khi R = R(s ) véc tơ T đợc định nghĩa: T= dR ∆R = lim ∆t →0 ∆s ds lµ vÐc tơ véc tơ tiếp tuyến đơn vị đờng cong t¹i P Ta cã : v= dR dR ds ds = =T dt ds dt dt h−íng cđa v đợc T độ lớn ds/dt e) Véc tơ pháp tuyến đơn vị Xét góc (góc tạo chiều dơng trục x tiếp tuyến P) ta có véc tơ tiếp tuyến đơn vị T = i cos φ + j sin φ dT = - i sin φ + j cos φ dφ dT = N véc tơ pháp tuyến đơn vị điểm P d f) Độ cong Vì hớng đờng cong đợc quy định góc từ trục x đến tiếp tuyến, ta xét góc nh hàm số độ dài cung s định nghĩa độ cong k tốc độ biến thiên cña φ theo s: k= dφ ds Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 +) k > cã nghĩa tăng s tăng đờng cong dịch chuyển xa sang bên trái đờng tiếp tuyến theo hớng dơng +) k < nghĩa chuyển xa sang bên phải tiếp tuyến Nhận xét : Đờng thẳng có độ cong không Đờng tròn bán kính a có độ cong: k = d = = ds 2π a a §é cong đồ thị hàm số y = f(x) là: k= d 2y dx 2 dy 1 + dx 3/2 x = x (t ) NÕu mt đờng cong cho dới dạng tham số ®é cong cđa nã ®−ỵc y = y(t ) tÝnh theo c«ng thøc: k= x ′y ′′ − y ′x ′′ 2 (x ′) + (y ′) 3/2 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng ®é cong cđa parabola y = x2 lµ lín nhÊt đỉnh Giải : Tính toán cụ thể ta cã k= d 2y dx 2 dy 1 + dx 3/2 = 3/2 (1 + 4x ) Rõ ràng, đại lợng có giá trị lớn x = nghĩa đỉnh II Mặt trụ Mặt tròn xoay Mặt bậc hai Nhắc lại số đờng bậc hai mặt phẳng Đờng cong mặt phẳng xy thờng có phơng trình dạng F (x , y ) = , đờng cô nic: (E) Elip: x y2 + =1 a b2 (H) – Hypecbol: x y2 − = ±1 a b2 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến (P) – Parabol: x = ±2py; (C) - Đờng tròn: (x a )2 + (y − b)2 = R … 2010 -2 011 y = ±2px MỈt trơ a Định nghĩa: Xét đường cong phẳng C đường thẳng L không song song với mặt phẳng C Mặt trụ hình khơng gian sinh đường thẳng dịch chuyển song song với L tựa C Đường thẳng chuyển động gọi đường sinh mặt trụ Đường cong (C) goi đường chuNn Nếu C đường tròn L đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đưịng trịn ta mặt trụ trịn xoay b Phương trình mặt trụ: Giả sử đường cong cho trước (C) có phương trình (trong Oxy ): F (x , y ) = cho đường sinh song song với trục z Khi phương trình F (x , y ) = Oxyz phương trình mặt trụ không gian ba chiều Cách gọi tên: Mặt trụ + tên đường chu n+ ic Kết luận Bất phương trình hệ toạ độ Oxy khuyết biến biểu diễn mặt trụ với đường sinh song song với trục toạ độ tương ứng với biến bị khuyết x y2 + =1 Giải + Đây phương trình mặt trụ khuyết z Oxyz với đường sinh song song với trục z Mặt cong gọi mặt trụ elliptic Ví dụ Vẽ mặt trụ: Tiến sỹ: Nguyễn n Hữu Hữ Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giảii tích nhiều biến bi 2010 -2 011 Ví dụ Vẽ mặt trụ z = x Giải: Đây mặt trụ với đường ờng sinh song song với v trục y khuyết biến ến y phương ph trình Mặt cong gọi mặt ặt trụ tr parabolic Mặt tròn xoay a Định nghĩa: Một mặtt cong xoay đường cong phẳng (C) quanh đường thẳng ng L không thuộc thu mặt phẳng chứa (C) gọi mặtt tròn xoay với trục L Đường cong (C) lúc gọi ọi đường sinh mặt tròn xoay b Mơ tả phương trình mặt ặt trịn xoay: Giả sử đường cong C nằm m mặt m phẳng yz có phương trình f (y, z ) = Khi đường ng cong xoay quanh trục tr z, đường cong C tạo nên mặt trịn xoay có p/t: f (± x + y , z ) = Ví dụ Nếu đuờng thẳng z=3y mặt phẳng yz xoay trịn quanh trục z mặtt trịn xoay m mặt nón hai tầng với đỉnh gốc toạ độ trục trục z z Để có phương trình mặt nón thay thếế y phương ph trình z=3y ± x + y sau hữuu tỷ hố b bình phương: z = ±3 x + y ⇔ z = 9(x + y ) Mặt bậc hai a Phương trình tổng ng quát củ mặt bậc hai Trong không gian ba chiều, u, dạng tổng qt phương trình bậc hai có dạng ạng: Ax + By + Cz + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = giả thiết tất hệệ số A,B,…,F không đồng thời không nên bậc b phương trình thực bậc Đồ thị phương ph trình gọi mặt bậc hai b Các dạng mặt bậc hai thư ường gặp Có xác sáu loại mặt bậc ậc hai không suy biến: bi Ellipsoid Hyperboloid tầng ầng Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến Hyperboloid hai tầng Mặt nón elliptic Paraboloid Elliptic Paraboloid Hyperbolic c Một số ví dụ: Ví dụ 1: Mặt ellipsoid: x y2 z + + =1 a b2 c2 + Bậc x,y,z chẵn nên mặt cong đối xứng qua mặt phẳng toạ độ + Các lát cắt mặt phẳng xz yz ellip: x2 z2 + =1; a c2 y2 z + =1 b2 c2 + Lắt cắt mặt phẳng nằm ngang z=k elip: x y2 k2 + = − a b2 c2 elip giảm dần kích thước k biến thiên từ tới c – c x y2 z Ví dụ Đồ thị phương trình + − = a b c hyperboloid tầng + Nếu viết p/trình dạng : x y2 z2 + = 1+ a b2 c nhận thấy lát cắt ngang mặt phẳng z=k ellip, elip lớn dần dịch chuyển xa mặt phẳng xy + Lát cắt mặt cong mặt phẳng yz hyperbol : y2 z − =1 b2 c2 Ví dụ : Mặt hyperboloid hai tầng: − x2 y2 z2 − + =1 a2 b2 c2 + Nếu viết phương trình theo dạng: x y2 z2 + = −1 a2 b2 c2 2010 -2 011 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 lát cắt ngang nằm mặt phẳng z=k với k ≥ c ellip điểm riêng biệt, lát cắt ngang nằm mặt phẳng z=k với k < c rỗng + Lát cắt mặt phẳng yz hypecbol : Ví dụ Đồ thị phương trình: z y2 − = c2 b2 x y2 z2 + = a b2 c2 mặt nón elliptic + Mặt cong giao với mặt phẳng xz yz theo cặp đường thẳng giao c z = ± x, a c z =± x b + Giao với mặt phẳng xy gốc toạ độ + Tất lát cắt ngang bị căt mặt phẳng z=k với k ≠ elip + Khi a=b, mặt nón mặt nón trịn Ví dụ 5: Mặt paraboloid elliptic: z = ax + by +Lát cắt thẳng đứng mặt cong với mặt phẳng xz mặt phẳng yz parabol: z = ax 2, z = by + Các lát cắt nằm ngang mặt cong mặt phẳng z=k elip k>0, gốc toạ độ k=0 rỗng k