1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Bài giảng giải tích nhiều biến

127 83 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 127
Dung lượng 5,11 MB

Nội dung

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Bài số HÀM VÉC TƠ MỘT BIẾN MỘT SỐ MẶT CONG TRONG R3 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ, HỆ TỌA ĐỘ I Giải tích véc tơ Nhắc lại tham số đường cong x = f (t ) Dạng:  (1)  y = g (t )  Trong toán Vật lý ta thường xét chuyển động điểm t hiểu thời gian đo từ thời điểm mà chuyển động bắt đầu Điểm P = (x , y ) = (x (t ), y(t )) vạch đường cong t biến thiên: t1 ≤ t ≤ t2 Nhận xét: Phương trình tham số mô tả + Quỹ đạo mà điểm di chuyển + Hướng chuyển động + vị trí quỹ tích nhiều giá trị t , Với t ta xác định vị trí điểm P (x (t ), y(t )) Có thể có nhiều cách tham số hóa đường cong Hàm véc tơ biến a Định nghĩa : Xét đường cong có phương trình tham số: x = x (t )   y = y(t )  Mét ®iÓm P = (x,y) chuyÓn ®éng däc theo ®−êng cong mặt phẳng xy, thời điểm t xác định vị trí điểm P = (x , y ) = (x (t ), y(t )) Nh− véc tơ định vị điểm chuyển động miêu tả xác chuyển động Khi đó: R(t ) = OP = x (t )i+y(t )j đợc gọi hàm véc tơ t viết R = R(t) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 b Giới hạn Tính liên tục Ta nói lim R (t ) = R t →t0 R(t ) − R < ε vµ chØ ∀ ε > 0, ∃δ > : ∀t, < t − t0 < δ th× ta cã (Chó ý: A-B = (a1 − b1 )2 + (a − b2 )2 ) Nh− vËy: nÕu R(t ) = x (t )i + y(t ) j; R = x 0i + y j ; ®ã lim x (t ) = x  t →t lim R (t ) = R ⇔  t →t0 lim y(t ) = y  t →t0 R(t) đợc nói liên tục t = t nÕu lim R (t ) = R (t0 ) t →t0 cã nghÜa lµ R(t ) − R(t ) có giá trị nhỏ tuỳ ý lấy t đủ gần t Nh : R(t ) = x (t )i + y(t ) j; R(t ) = x (t )i + y(t )j R (t ) liên tục x(t) y(t) lim x (t ) = x (t ) liên tục, tức lim R (t ) = R ⇔  t →t0 t →t0 lim y(t ) = y(t0 ) t t0 c Đạo hàm hàm véc tơ R = R(t) Cho hàm vÐc t¬ : R(t ) = x (t )i + y(t ) j , t biÕn thiªn tíi t+ t , thay đổi R Xét giới h¹n : ∆R = R(t +∆t ) - R(t ) = x (t + ∆t ) - x (t ) i + y(t + ∆t ) - y(t ) j ∆R R(t + ∆t ) − R(t ) lim = lim ∆t → ∆ t ∆t → ∆t giới hạn tồn ta nói hàm véc tơ R(t) có đạo hàm (khả vi) theo t, giá trị giới hạn dR đạo hàm cÊp cđa R(t) , ký hiƯu : R '(t ), dt dR dx dy = i+ j dt dt dt tơng tự đạo hàm cấp hai : R(t) cho d2R/dt2 Nhận xét : Hàm véc tơ R(t) khả vi hàm vô hớng x(t) y(t) hàm khả vi R '(t ) = ((x '(t ), y '(t )) Ví dụ: Xét hàm véc tơ R(t ) = (2t + t + 1)i + (t + t ) j , ®ã ta cã R(t ) = (4t + 1)i + (3t + 1) j Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 C¸c quy tắc tính đạo hàm: Cho R1(t ), R (t ), R(t ) hàm véc tơ khả vi, u(t ) hàm vô hớng (hàm số) khả vi Khi ®ã : 1) d R dR d R1 ± R ) = ± ( dt dt dt 2) d dR du (uR) = u +R dt dt dt 3) NÕu R = R(u ), dR dR du = ⋅ dt du dt u = u(t ) , ta sÏ cã 4) NÕu R(t ) = R * véc tơ (không thay đổi t thay đổi) dR d R * = = O (véc tơ O) dt dt ý nghĩa hình học : Xét hàm véc tơ R(t ) , điểm cuối P biểu diễn R(t ) vạch đờng cong Khi đạo hàm dR/dt véc tơ tiếp xúc với đờng cong điểm P R, độ dài véc tơ là: 2 dx dy  dx + dy dR ds =   +   = = dt dt dt  dt   dt  Nh− vËy : VÐc tơ dR dt có hớng hớng chuyển ®éng, ®é dµi b»ng tèc ®é cđa chun ®éng VÝ dô : Cho R = (4cos2t)i + (3sin2t)j , h y tìm quỹ đạo chuyển động điểm cuối P biểu diễn hàm véc tơ đó, tính vận tốc v điểm đờng v lớn nhỏ Giải + Phơng trình tham sè x = 4cos2t, y = 3sin2t, ®ã ®−êng ellipse nh− ë h×nh x y2 + =1 16 lµ Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 §iĨm P = (x, y) chuyển động ellip ngợc chiều kim đồng hồ + Vận tốc + Tốc độ lµ v = v = (64 sin2 2t + 36 cos2 2t )1/2 = (28 sin 2t + 36)1/2 + Tốc độ nhỏ sin2t = 0, đạt đợc P hai đầu trục phụ + Tốc độ lớn sin2t=1 cos2t=0 nghĩa P hai đầu trục Vận tốc v điểm chuyển động tốc độ biến thiên vị trí nó, gia tốc a là tốc độ biến thiên vận tốc cđa ®iĨm : dv d R a= = dt dt Nếu điểm dịch chuyển P vị trí chuyển động học vật có khối lợng m chuyển động dới tác động lực F, theo Định luật II Newton F = ma Nh vậy: lực gia tốc có hớng Cả F a h−íng tíi bỊ lâm cđa ®−êng cong(trõ mét sè trờng hợp ngoại lệ F a tiếp xóc víi ®−êng cong) VÝ dơ1.(tiÕp tơc) Ta cã gia tèc a cđa vËt chun ®éng a= dv = (−16 cos 2t )i + (−12 sin 2t ) j dt a= -  (4 cos 2t ) i + (3 sin 2t ) j = - 4R   : Nh vậy: Gia tốc luôn hớng ®Õn t©m cđa ®−êng ellipse VÝ dơ 2: (Chun ®éng tròn đều) Một vật có khối lợng m chuyển động ngợc chiều kim đồng hồ dọc đờng tròn x2+ y2= r2 với tốc độ không đổi v H y tính gia tốc vật lực cần thiết để tạo chuyển động Giả: + Đờng cong quỹ ®¹o cã thĨ viÕt nh− sau R = (rcos θ )i +(rsin θ )j + V× s=r θ ta cã : v = ds dθ =r dt dt + Do ®ã d θ /dt = v/r, nªn v= d R dR d θ  v = = (−r sin θ ) i + (r cos θ ) j   dt d θ dt r = v (− sin θ ) i + (cos θ ) j   Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến vµ : a= 2010 -2 011 dv d v d θ v v2 = = v (− cos θ)i + (− sin θ) j = − (cos θ)i + (sin θ) j dt d θ dt r r Bằng cách nhân chia cho r ta có a = - (v2/r2)R Nh− vËy,vect¬ gia tèc a h−íng tâm đờng tròn có độ lớn a = v2 v2 R = r r2 Theo định luật Newton, lực F cần thiết để tạo chuyển động phải hớng tâm đờng tròn : Lực đợc gọi lực hớng tâm d) Véc tơ tiếp tuyến đơn vị Xét tham số s ®é dµi cung ®o däc theo ®−êng cong tõ ®iĨm cố định P đến P Khi R = R(s ) véc tơ T đợc định nghĩa: T= dR ∆R = lim ∆t →0 ∆s ds lµ vÐc tơ véc tơ tiếp tuyến đơn vị đờng cong t¹i P Ta cã : v= dR dR ds ds = =T dt ds dt dt h−íng cđa v đợc T độ lớn ds/dt e) Véc tơ pháp tuyến đơn vị Xét góc (góc tạo chiều dơng trục x tiếp tuyến P) ta có véc tơ tiếp tuyến đơn vị T = i cos φ + j sin φ dT = - i sin φ + j cos φ dφ dT = N véc tơ pháp tuyến đơn vị điểm P d f) Độ cong Vì hớng đờng cong đợc quy định góc từ trục x đến tiếp tuyến, ta xét góc nh hàm số độ dài cung s định nghĩa độ cong k tốc độ biến thiên cña φ theo s: k= dφ ds Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 +) k > cã nghĩa tăng s tăng đờng cong dịch chuyển xa sang bên trái đờng tiếp tuyến theo hớng dơng +) k < nghĩa chuyển xa sang bên phải tiếp tuyến Nhận xét : Đờng thẳng có độ cong không Đờng tròn bán kính a có độ cong: k = d = = ds 2π a a §é cong đồ thị hàm số y = f(x) là: k= d 2y dx 2  dy     1 +    dx      3/2 x = x (t ) NÕu mt đờng cong cho dới dạng tham số ®é cong cđa nã ®−ỵc y = y(t )  tÝnh theo c«ng thøc: k= x ′y ′′ − y ′x ′′ 2  (x ′) + (y ′)    3/2 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng ®é cong cđa parabola y = x2 lµ lín nhÊt đỉnh Giải : Tính toán cụ thể ta cã k= d 2y dx 2  dy     1 +    dx      3/2 = 3/2 (1 + 4x ) Rõ ràng, đại lợng có giá trị lớn x = nghĩa đỉnh II Mặt trụ Mặt tròn xoay Mặt bậc hai Nhắc lại số đờng bậc hai mặt phẳng Đờng cong mặt phẳng xy thờng có phơng trình dạng F (x , y ) = , đờng cô nic: (E) Elip: x y2 + =1 a b2 (H) – Hypecbol: x y2 − = ±1 a b2 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến (P) – Parabol: x = ±2py; (C) - Đờng tròn: (x a )2 + (y − b)2 = R … 2010 -2 011 y = ±2px MỈt trơ a Định nghĩa: Xét đường cong phẳng C đường thẳng L không song song với mặt phẳng C Mặt trụ hình khơng gian sinh đường thẳng dịch chuyển song song với L tựa C Đường thẳng chuyển động gọi đường sinh mặt trụ Đường cong (C) goi đường chuNn Nếu C đường tròn L đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đưịng trịn ta mặt trụ trịn xoay b Phương trình mặt trụ: Giả sử đường cong cho trước (C) có phương trình (trong Oxy ): F (x , y ) = cho đường sinh song song với trục z Khi phương trình F (x , y ) = Oxyz phương trình mặt trụ không gian ba chiều Cách gọi tên: Mặt trụ + tên đường chu n+ ic Kết luận Bất phương trình hệ toạ độ Oxy khuyết biến biểu diễn mặt trụ với đường sinh song song với trục toạ độ tương ứng với biến bị khuyết x y2 + =1 Giải + Đây phương trình mặt trụ khuyết z Oxyz với đường sinh song song với trục z Mặt cong gọi mặt trụ elliptic Ví dụ Vẽ mặt trụ: Tiến sỹ: Nguyễn n Hữu Hữ Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giảii tích nhiều biến bi 2010 -2 011 Ví dụ Vẽ mặt trụ z = x Giải: Đây mặt trụ với đường ờng sinh song song với v trục y khuyết biến ến y phương ph trình Mặt cong gọi mặt ặt trụ tr parabolic Mặt tròn xoay a Định nghĩa: Một mặtt cong xoay đường cong phẳng (C) quanh đường thẳng ng L không thuộc thu mặt phẳng chứa (C) gọi mặtt tròn xoay với trục L Đường cong (C) lúc gọi ọi đường sinh mặt tròn xoay b Mơ tả phương trình mặt ặt trịn xoay: Giả sử đường cong C nằm m mặt m phẳng yz có phương trình f (y, z ) = Khi đường ng cong xoay quanh trục tr z, đường cong C tạo nên mặt trịn xoay có p/t: f (± x + y , z ) = Ví dụ Nếu đuờng thẳng z=3y mặt phẳng yz xoay trịn quanh trục z mặtt trịn xoay m mặt nón hai tầng với đỉnh gốc toạ độ trục trục z z Để có phương trình mặt nón thay thếế y phương ph trình z=3y ± x + y sau hữuu tỷ hố b bình phương: z = ±3 x + y ⇔ z = 9(x + y ) Mặt bậc hai a Phương trình tổng ng quát củ mặt bậc hai Trong không gian ba chiều, u, dạng tổng qt phương trình bậc hai có dạng ạng: Ax + By + Cz + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = giả thiết tất hệệ số A,B,…,F không đồng thời không nên bậc b phương trình thực bậc Đồ thị phương ph trình gọi mặt bậc hai b Các dạng mặt bậc hai thư ường gặp Có xác sáu loại mặt bậc ậc hai không suy biến: bi Ellipsoid Hyperboloid tầng ầng Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến Hyperboloid hai tầng Mặt nón elliptic Paraboloid Elliptic Paraboloid Hyperbolic c Một số ví dụ: Ví dụ 1: Mặt ellipsoid: x y2 z + + =1 a b2 c2 + Bậc x,y,z chẵn nên mặt cong đối xứng qua mặt phẳng toạ độ + Các lát cắt mặt phẳng xz yz ellip: x2 z2 + =1; a c2 y2 z + =1 b2 c2 + Lắt cắt mặt phẳng nằm ngang z=k elip: x y2 k2 + = − a b2 c2 elip giảm dần kích thước k biến thiên từ tới c – c x y2 z Ví dụ Đồ thị phương trình + − = a b c hyperboloid tầng + Nếu viết p/trình dạng : x y2 z2 + = 1+ a b2 c nhận thấy lát cắt ngang mặt phẳng z=k ellip, elip lớn dần dịch chuyển xa mặt phẳng xy + Lát cắt mặt cong mặt phẳng yz hyperbol : y2 z − =1 b2 c2 Ví dụ : Mặt hyperboloid hai tầng: − x2 y2 z2 − + =1 a2 b2 c2 + Nếu viết phương trình theo dạng: x y2 z2 + = −1 a2 b2 c2 2010 -2 011 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Môn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 lát cắt ngang nằm mặt phẳng z=k với k ≥ c ellip điểm riêng biệt, lát cắt ngang nằm mặt phẳng z=k với k < c rỗng + Lát cắt mặt phẳng yz hypecbol : Ví dụ Đồ thị phương trình: z y2 − = c2 b2 x y2 z2 + = a b2 c2 mặt nón elliptic + Mặt cong giao với mặt phẳng xz yz theo cặp đường thẳng giao c z = ± x, a c z =± x b + Giao với mặt phẳng xy gốc toạ độ + Tất lát cắt ngang bị căt mặt phẳng z=k với k ≠ elip + Khi a=b, mặt nón mặt nón trịn Ví dụ 5: Mặt paraboloid elliptic: z = ax + by +Lát cắt thẳng đứng mặt cong với mặt phẳng xz mặt phẳng yz parabol: z = ax 2, z = by + Các lát cắt nằm ngang mặt cong mặt phẳng z=k elip k>0, gốc toạ độ k=0 rỗng k

Ngày đăng: 21/03/2021, 18:29

TỪ KHÓA LIÊN QUAN