CHUYÊN đề ôn THI vào lớp 10 CHUYÊN hệ PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ phương trình vấn đề trọng tâm chương trình đại số THCS Các tốn giải hệ phương trình thường gặp kỳ thi học sinh giỏi THCS thi vào lớp 10 THPT, đặc biệt lớp chuyên Các tốn hệ phương trình phong phú Có nhiều cách phân loại hệ phương trình: 1) Phân loại theo số ẩn hệ, theo số phương trình hay phân loại theo bậc hệ 2) Phân loại theo cấu trúc, đặc tính hệ hệ đối xứng loại 1, hệ đối xứng loại 2, hệ đẳng cấp, 3) Phân loại theo phương pháp giải Dưới liệt kê số dạng hệ phương trình thường gặp  Hệ bậc hai ẩn: ax + by = c  a'x + b'y = c' Ta sử dụng phương pháp cộng đại số phương pháp để giải biện luận hệ phương trình  Hệ đối xứng loại hai ẩn: hệ ta thay đổi vai trị x y phương trình khơng thay đổi: Thơng thường ta đặt S = x + y,P = xy với S2 ≥ 4P  Hệ đối xứng loại hai ẩn: hệ ta thay đổi vai trò x y hệ  khơng đổi: Thơng thường ta giải hệ cách trừ vế Hệ phương trình đẳng cấp: hệ mà số hạng phương trình có  bậc: Thơng thường ta kiểm tra y ≠ đặt x = ky Hệ phương trình khơng mẫu mực: thơng thường ta giải cách nhận xét, đánh giá vế phương trình Trong chuyên đề này, phân loại hệ phương trình theo cách thứ 3, tức theo phương pháp giải Tùy theo bà tập cụ thể ta giải phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp đánh giá B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ I PHƯƠNG PHÁP THẾ Tùy rheo hệ phương trình ta thay số, ẩn biểu thức ẩn vào phương trình hệ Thay số biểu thức Trong nhiều tốn giải hệ phương trình, ta thay số biểu thức, từ ta dễ dàng giải hệ cho Dưới ví dụ x2 + xy + y2 = ( 1)  x + 3( y − x) = ( 2) Ví dụ Giải hệ phương trình:  (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải 2 Thay = x + xy + y vào (2) ta được: ( ) ( ) x3 + x2 + xy + y2 ( y − x) = ⇔ x3 + y3 − x3 = ⇔ y3 = ⇔ y = Thay y = vào (1) ta được: x + x − = ⇒ x = −2 x = Vậy hệ có nghiệm ( x;y) ∈ { ( −2;1) ,( 1;1) } x2 + 4y2 = ( 1)  ( x + 2y) ( 5+ 4xy) = 27 ( 2) Ví dụ Giải hệ phương trình:  (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải 2 Thay = x + 4y vào (2) ta được: ( x + 2y) ( x2 + 4xy + 4y2 ) = 27 ⇔ ( x + 2y) = 27 ⇔ x + 2y = ⇒ x = 3− 2y Thay vào (1) ta được: 8y − 12y + = ⇒ y =  Vậy hệ có nghiệm ( x;y) ∈ ( 1;1) , 2;     2÷  y= x2 ( x − 3y) = −16 ( 1)  y + 16 = 3xy2 ( 2)   Ví dụ Giải hệ phương trình Hướng dẫn giải Thay (1) vào (2) ta : (y − x) = ⇒ x = y Khi hệ có nghiệm x = y = 3 x + y − xy =  4 Ví dụ 4.Giải hệ phương trình : 4x + y = 4x + y (1) (2) (Vòng 2,THPT chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2005 – 2006) Hướng dẫn giải 3 Thay 1= x + y − xy vào (2) ta : 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 − xy2 ) ⇔ xy(3y2 − 4xy + x2 ) = NÕu x = thi y = 1.NÕu y = thi x = NÕu 3y2 − 4xy + x2 = ⇔ (3y − x)(y − x) = ⇔ x = 3y h c x = y Khi hệ có nghiệm x= 3 ;y = 25 25 x=y=1    (x;y) ∈ (0;1),(1;0),(1;1), ; ÷  25 25    Vậy hệ có nghiệm 7 (1) x + y =  9 2 Ví dụ Giải hệ phương trình: x + y = x + y (2) Hướng dẫn giải 9 7 2 2 5 Thay (1) vào (2) ta x + y = (x + y )(x + y ) ⇔ x y (x + y ) = Nếu x = y = Nếu y = x = 5 Nếu x + y = ⇒ x = − y , thay vào (1) ta 0=1 (vơ lí) Vậy hệ cho có nghiệm (x;y) ∈ { (0;1),(1;0)} Chú ý: Từ toán ta dễ dàng giải toán tổng quát hơn: Cho m,n số tự nhiên lẻ thỏa mãn m < n, giải hệ phương trình: xm + ym =  n n n− m n− m x + y = x + y Thay ẩn số biểu thức Ta rút ẩn từ phương trình thay vào phương trình cịn lại.Khi số ẩn phương trình giảm , từ ta tìm nghiệm hệ (1) x − 2y =  2 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: x − y − 3xy + x + 4y − = (2) Từ (1) : x = 2y + , thay vào (2) ta 3y − 8y − =   −1  (x;y) ∈ (8;3), ; ÷  3   Hệ cho có nghiệm 2 2x + xy − y − 5x + y + = (1)  2 (2) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: x + y + x + y − = (Vòng 2,THPT chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2003 – 2004) Hướng dẫn giải (1) ⇔ 2x2 + (y − 5)x − y2 + y + = ∆ = 9(y − 1)2 Do đó: x= 5− y + 3y − y + = x= – y   −4 −13  (x;y) ∈ (1;1), ; ÷  5   Thay vào (2) ta nghiệm hệ Chú ý: - Ta coi (1) phương trình bậc hai ẩn y, từ ta tìm ẩn y theo x - Dùng phương pháp biến đổi tổng thành tích (1) tương đương với (2x − y − 1)(x + y − 2) = 0, nhiên vế trái cồng kềnh phương pháp gặp nhiều khó khăn  − (1) x − = y − y−1  x  (2) Ví dụ Giải hệ phương trình: 2y = x + Hướng dẫn giải Điều kiện : x≠0 , y≠1 1  x − x = y − 1− y −   Ta có: 2(y − 1) = x + 1  1 x − = t − (3)  ⇒ (x − t) 1+ ÷ = t  x  xt   Đặt t = y – 1, ta được: 2t = x + (4) NÕu x − t = ⇔ x = t,thay vµo (4) ta d­ î c x3− 2x + = ⇒ x = 1h cx= −1± −1 = t = ,thay vào (4) ta dư ợ c x4 + x + = (5) xt x ⇔ −x = x + ≥ ⇒ x ≤ −2 NÕu1+ (5) ⇔ x(x3 + 1) + = 0, x ≤ −2,x3+ 1≤ −7 nên x(x3 + 1) + 16 nên(5) vô nghiÖm   −1+ 1+   −1− 1−   VËy hÖcã nghiÖm(x;y) ∈ ( 1;2) , ; ; ÷ ÷ ÷, 2 2 ÷      Ví dụ Giải hệ phương trình: x + y + z = 12 (1)  x(y + z) = 20 (2) y(x+ z) = 32 (3)  Hướng dẫn giải x = 12 − (y + z)  (do y + z ≠ 0) 20  x =  y+ z Từ (1) , (2) ta có:  ⇒ 12 − (y + z) = 20 ⇒ y + z = h c y + z = 10 y+ z y + z =  y = 4,z = −2 NÕu y + z = ta cã x = 10,do vËy  ⇒ y(10 + z) = 32  y = 8,z = −6 y + z = 10  y = 8,z = NÕu y + z = 10 ta cã x = 2,do vËy  ⇒ y(2 + z) = 32  y = 4,z = VËy hƯcã nghiƯm(x,y,z) ∈ { (10;4;−2),(10;8;−6),(2;8;2),(2;4;6)} Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : (1) xz = x +  2y = 7xz − 3x − 14 (2) x2 + y2 = 35− z2 (3)  (Vòng 1,Khối THPT Chuyên – Đại học Sư phạm Hà Nội , năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải Từ (1) ta có: x = xz − 4, thay vào (2) ta được: 2y2 = 7xz − 3(xz − 4) − 14 ⇔ y2 = 2xz − 1thay vµo (3) ta cã x2 + z2 = 36 − 2xz ⇔ (x + z)2 = 36 ⇔ x + z = ±6 NÕu x + z = ⇔ z = − x thay vµo (1) ta cã x2 − 5x + = ⇒ x = 1;x = NÕu x + z = −6 ⇒ z = −6 − x thay vµo (1) ta cã x2 + 7x + = (1;−3;5),(1;3;5),(4; 15;2),(4;− 15;2),    (x;y;z) ∈  −7 + 33 −5− 33   −7 + 33 −5− 33   ; 33; ; − 33; ÷ ÷  ÷, ÷ 2 2      Vậy Thay biểu thức số Đối với số hệ phương trình ,ta thay biểu thức chứa ẩn số vào phương trình cho x2 + y2 + xy = 61 (1)  2 Ví dụ 11 Giải hệ phương trình : x + x y + y = 1281 (2) Hướng dẫn giải (2) ⇔ (x2 + xy + y2 )(x2 − xy + y2) = 1281 Thay (1) vµo (2) ta cã: 61(x2 − xy + y2) = 1281⇒ x2 − xy + y2 = 21 x2 + xy + y2 = 61 (x + y)2 = 81 ⇒  2 x − xy + y = 21  xy = 20 Khi ta có:  ⇒ (x;y) ∈ { (5;4),(4;5),(−5;−4),(−4;−5)} x + y + z = (1)  xy + yz − zx = (2) x2 + y2 + z2 = 14 (3) Ví dụ 12 Giải hệ phương trình :  (Vịng 1,Khối THPT Chun , Đại học Sư phạm Hà Nội , năm học 2005 – 2006) Hướng dẫn giải 2 Từ (1) (3) ta có: (x + y + z ) + 2(xy + yz + zx) = 36 ⇔ 14 + 2(xy + yz + zx) = 36 ⇔ xy + yz + zx = 11 (4) Từ (2) (4) ta có: xz = , thay vào (1), (2) ta được: y + (x + z) = ⇒ y = 3,x + z =  y.(x + z) = Từ suy hệ có nghiệm (x;y;z) ∈ { ( 2;3;1) ,( 1;3;2) } (1) (x + 1)(y + 1) = 42  2 Ví dụ 13 Giải hệ phương trình (x − 1) + (y − 1) = 145 (2) Hướng dẫn giải Hệ cho tương đương với : xy + x + y = 41 xy + x + y = 41 x + y = 15 ⇔ ⇔ h c    2 (x + y) − 2(xy + x + y) = 143 (x + y) − 82 = 143 xy = 26 Vậy x + y = −15  xy = 56 (x;y) ∈ { ( 13;2) ,( 2;13) ,( −7;−8) ,( −8;−7) } II PHƯƠNG PHÁP CỘNG Một phương pháp thường sử dụng để giải hệ phương trình phương pháp cộng.Dưới ta xét số ví dụ: x2 + y2 + 2(xy + x + y) = (1)  2 Ví dụ 14 Giải hệ phương trình : x + y + 4x − 2y + = (2) (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2009- 2010) Hướng dẫn giải Trừ vế hai phương trình ta : 2xy + 2x + 2y − 4x + 2y − = ⇔ (y − 1)(x + 2) = + ) NÕu y − 1= ⇒ y = 1thay vµo (2) :x2 + 4x + = ⇒ x = −1,x = −3 + ) NÕu x + = ⇒ x = −2 thay vµo (2) : y2 − 2y = ⇒ y = 0;y = VËy hÖcã nghiÖm:(x;y) ∈ { ( −1;1) ,( −2;2) ,( −2;0) ,( −3;1) } Chú ý: Ta giải sau: (1) ⇔ (x + y)2 + 2(x + y) = ⇒ (x + y)[(x + y) + 2] = Nên x + y = x + y = −2 Từ dễ dàng tìm nghiệm hệ x2 + 4y2 =  Ví dụ 15 Giải hệ phương trình: 4xy + x + 2y = (Vòng 2,THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2007-2008) Hướng dẫn giải Cộng vế theo vế phương trình hệ ta : (x + 2y)2 + (x + 2y) − 12 = ⇒ x + 2y = 3;x + 2y = −4   1 (x;y) ∈ ( 1;1) , 2; ÷  2  Hệ có nghiệm (x + y)(x2 + y2 ) = 15  2 Ví dụ 16.Giải hệ phương trình: (x − y)(x − y ) = (Vòng 2,THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2004-2005) Hướng dẫn giải (x + y)(x2 + y2) = 15  Hệ cho tương đương với: 5(x + y)(x − y) = 15 2 Trừ vế theo vế phương trình hệ ta có: (x + y)[x + y − 5(x − y) ] = 2 Vì x + y ≠ nên 2x − 5xy + 2y = ⇔ (2x − y)(x − 2y) = +) NÕu 2x − y = ⇒ y = 2x,ta cã ngiÖm x = 1,y = +) NÕu x − 2y = ⇒ x = 2y,ta cã nghiÖm x = 2,y = Vậy (x;y) ∈ { ( 1;2) ,( 2;1) } x + = y + z (I)  xy + z − 7z + 10 = Ví dụ 17 Cho x, y số thực thỏa mãn:  2 a) Chứng minh rằng: x + y = −z + 12z − 19 2 b) Tìm (x;y;z) thỏa mãn hệ (I) cho x + y = 17 (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm , năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải (x − y)2 = z2 − 2z + x − y = z − ⇔  2 2xy = − 2z + 14z − 20 2xy = −2z + 14z − 20 a) Hệ cho tương đương với:  2 Cộng vế với vê ta x + y = −z + 12z − 19 2 2 b) Ta có: − z + 12z − 19 = x + y = 17 ⇒ z − 12z + 36 = ⇒ z = Thay vào hệ ta dược (x;y;z) ∈ { ( 4;−1;6) ,( 1;−4;6) } 2x2y − y2x =  3 Ví dụ 18 Giải hệ phương trình 8x − y = (Vòng 2,THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2008-2009) Hướng dẫn giải 12x2y − 6y2x = (1)  3 (2) Hệ cho tương đương với 8x − y = Trừ vế (2) cho (1) ta được: (2x − y) = 1⇒ 2x − y = 1⇒ y = 2x −   −1   (x;y) ∈ ( 1;1) , ;−2÷    Từ dễ dàng tìm nghiệm hệ là: 2x3 + 3x2y = (1)  Ví dụ 19 Giải hệ phương trình: y + 6xy = (2) (Vòng 2,THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2003-2004) Hướng dẫn giải 8x + 12x y = 20  Nhân hai vế (1) với ta hệ y + 6xy = Cộng vế ta (2x + y) = 27 ⇔ 2x + y = ⇔ y = 3− 2x 2 Thay vào (1) ta 4x − 9x + = ⇔ (x − 1)(4x − 5x − 5) =   5− 105 7+ 105   5+ 105 7− 105   (x;y) ∈ ( 1;1) , ; , ; ÷ ÷  ÷  ÷ 8        Hệ có nghiệm:  x2 + 20 3x = y2   y2 + 20  3y = x2 Ví dụ 20 Giải hệ phương trình  (1) (2) Hướng dẫn giải Điều kiện: x,y ≠ từ suy x >0 , y > 3x2y = y2 + 20  2 Hệ tương đương với: 3xy = x + 20 Trừ vế ta được: 3xy(x − y) = (y − x)(y + x) ⇔ (x − y)(3xy + x + y) = Do x > 0, y > nên 3xy + x + y > ⇒ x − y = ⇒ x = y 2 Thay vào (1) ta 3x − x − 20 = ⇔ (x − 2)(3x + 5x + 10) = ⇒ x = y = Ví dụ 21 Giải hệ phương trình: 3xy = 2(x + y)  5yz = 6(y + z) 4xz = 3(z + x)  (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa , năm học 2007-2008) Hướng dẫn giải Nếu xyz=0 x = y = z = nghiệm hệ x+ y 1  xy =  x + y =   y+ z 1 = ⇔ + =   yz y z z+ x 1 =   + = zx  z x Nếu xyz≠0 , hệ trở thành: 1 11 + + = x y z Cộng vế ta 10 Nếu k ≠ 2,k ≠  k 2k −  (x,y) =  ; ÷  k−2 k−2  hệ có nghiệm  k  k − > ⇔ k0 x > 0,y > Để  k − k > k < 0;k = ;k > 2 Vậy hệ có nghiệm x > 0,y >  x = 1+ k −  y = + (k − 2) Vậy k ∈ { 0;1;3;4} k − (k ∈ Z) , để x,y ∈ Z 2M b)  Ví dụ 48 Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm x > 0,y > : x + xy + y = k +  2 x y + xy = k + Hướng dẫn giải Đặt a = x + y,b = xy , hệ phương trình trở thành: a + b = k +  ab = k + Giải hệ ta a = 1,b = k + x,y nghiệm phương trình t − t + k + = 0, phương trình có hai nghiệm dương −2 < k ≤ −7 Nếu a = k + 2,b = x, y nghiệm phương trình: t − (k + 2)t + 1= 0, phương trình có hai nghiệm dương k ≥ Vậy −2 < k ≤ −7 k ≥ Thì hệ phương trình có nghiệm x > 0,y > Ví dụ 49 Tìm tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: x2 + xy = (k + 2)(y − 1)  a) y + xy = (k + 2)(x − 1) (x + 1) = y + k −  b) (y + 1) = x + k − 23 Hướng dẫn giải a) Ta nhận thấy (x0;y0) nghiệm hệ (y0;x0 ) nghiệm hệ Do để hệ có nghiệm x0 = y0 Khi phương trình 2x − (k − 2)x + k + = phải có nghiệm ⇔ ∆ = (k + 2)(k − 6) = ⇔ k = −2 k = x2 + xy =  Nếu k = −2 hệ trở thành y + xy = , hệ có vơ số nghiệm y = −x x + xy = 8(y − 1)  k = Nếu hệ trở thành y + xy = 8(x − 1) , hệ có nghiệm x = y = Vậy k = hệ có nghiệm b) Tương tự câu a) Ví dụ 50 Tìm a, b để hệ phương trình sau có nghiệm: (2a + b + 1)x + (a − 2b − 2)y = 5a  2 2 (3a + 4b + 2)x + (2a − 8b − 4)y = 8a Hướng dẫn giải Dễ thấy, với giá trị a b x = 2,y = ln nghiệm hệ Do hệ ln có nghiệm với giá trị a,b x2 + y2 + 2x + 2y = 11  Ví dụ 51 Cho hệ phương trình xy(x + 2)(y + 2) = m a) Giải hệ m = 24 b) Tìm m để hệ có nghiệm (THPT Chuyên – TP Hồ Chí Minh, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải a = x2 + 2x + 1= ( x + 1) ≥ 0,b = y2 + 2y + 1≥ Đặt , hệ trở thành: a + b = 13  (a − 1)(b − 1) = m a) Khi m = 24 dễ thấy a = 4,b = a = 9,b = Do hệ có nghiệm (x,y) ∈ { (1;2),(1;−4),(−3;−4),(2;1),(−4;1),(−4;−3)} 24 b) a + b = 13 a + b = 13 ⇔  ab − (a + b) + 1= m ab = m+ 12 a,b nghiệm không âm phương trình t2 − 13t + m+ 12 = ⇔ −12 ≤ m ≤ 121 x + y = k −  2 (x,y) Ví dụ 52 Giả sử nghiệm hệ phương trình: x + y = 5+ 2k − k Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A = xy + 8(x + y) − 25 Hướng dẫn giải a = k −  2 a = x + y,b = xy Đặt , hệ trở thành a − 2b = 5+ 2k − k 2 Để hệ có nghiệm a ≥ 4b ⇔ k − 2k + 1≥ 4k − 8k − ⇔ k2 − 2k − ≤ ⇔ −1≤ k ≤ A = k2 + 6k − 35 = ( k + 3) − 44 Với a = k − 1,b = k − 2k − Vậy Max A = −8 k = 3; Min A = −40 k = −1 Chú ý: Một số học sinh mắc sai lầm sau: “Từ A = (k + 3) − 44 ≥ −44 kết luận Min A = −44 k = −3” Tuy nhiên, k = −3 hệ phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 53 Giả hệ phương trình sau có nghiệm: ax + by = c  bx + cy = a cx + ay = b  3 Chứng minh a + b + c = 3abc Hướng dẫn giải Gọi (x0,y0,z0) nghiệm hệ phương trình 3 2 Khi a + b + c = a (bx0 + cy0) + b (cx0 + ay0) + c (ax0 + by0) = a2bx0 + a2cy0 + b2cx0 + b2ay0 + c2ax0 + c2by0 = ab(ax0 + by0) + bc(bx0 + cy0) + ac(ay0 + cx0) = 3abc 25 BÀI TẬP x2 + y2 = 2x  x − + y3 = ( )   Bài Giải hệ phương trình: (Vịng 1, THPT Chun – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2008 – 2009) Hướng dẫn giải ( x − 1) + y2 =   3 ( x − 1) + y = Hệ tương đương với: 2 a + y =  3 a = x − Đặt ta a + y = Trừ vế a2 ( 1− a) + y2 ( 1− y) = 2 Mặt khác a + y = nên −1≤ a ≤ 1;−1≤ y ≤ 1, suy a = 0,y = 1, a = 1,y = Hệ có nghiệm: ( x;y) = { ( 1;1) ;( 2;0) } x + y = 4z − (1)  y + z = 4x − (2)  z + x = 4y − (3) Bài Giải hệ phương trình:  (Vịng 1, Hệ THPT Chun Tốn – Tin, Trường Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn giải 1 x ≥ ,y ≥ ,z ≥ 4 Điều kiện: Nếu x > y ⇒ x + z > y + z hay 4y − > 4x − ⇔ y > x vô lý Tương tự: Nếu y > x vơ lý, x = y Tương tự ta có y = z 2x = 4x − ⇔ 4x2 − 4x + = ⇔ ( 2x − 1) = Vậy x = y = z thay vào ( ) : Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y;z) =  1 1 ; ; ÷  2 2 26  x + 103 + y − 22 =   y + 103 + z − 22 = 3 z + 103 + x − 22 = Bài Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ 22;y ≥ 22;z ≥ 22 Với x > 22 y > 22 z > 22 : Không thỏa mãn Với x = y = z = 22 thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 22 x + y + z = 15 (1)  xy + yz + zx = 75 (2) Bài Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn giải ( 1) ⇔ x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx) = 225⇒ x2 + y2 + z2 = 225− 2.75 = 75 2 ⇒ x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx ⇒ ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) = ⇒ x = y = z = x2 + y2 + z2 + t2 = 36  Bài Giải hệ phương trình: xy + yz + zt + tx = 36 Hướng dẫn giải 2 2 Từ hệ cho ta có: x + y + z + t = xy + yz + zt + tx ⇔ ( x − y) + ( y − z) + ( z − t) + ( t − x) = ⇒ x = y = z = t Hệ có nghiệm 2 ( x;y;z;t) ∈ { ( −3;−3;−3;−3) ,( 3;3;3;3) }       Bài Giải hệ phương trình:  + 3− = y x + 3− = x y Hướng dẫn giải 1 2 a, =b x ≥ ,y ≥ x y 3 Đặt Điều kiện: ta có: 27 a + 3− 2b2 = ⇒ a + 3− 2b2 = b + 3− 2a2  b + 3− 2a2 = Dễ dàng chứng minh a = b, thay vào ta a = b = a= b= ( x;y) ∈ { ( 1;1) ,( 9;9) } Hệ có nghiệm: x3 + 12x = y3 + 12y (1)  4 x + y = 16 (2) Bài Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn giải x − y) ( x2 + xy + y2 + 12) = ⇒ x = y ( Từ (1) có: Thay vào (2) ta được: x = nên hệ có nghiệm Bài Giải hệ phương trình: ( x,y) ∈ { ( 8, 8) ;( − 8,− 8) }  697 x + y = 81  2 x + y + xy − 3x − 4y + =  (1) (2) Hướng dẫn giải (2) ⇔ x2 + (y − 3)x + y2 − 4y + = phương trình bậc hai ẩn x Để phương trình có nghiệm ∆ x = −3y2 + 10y − ≥ ⇔ 1≤ y ≤ (2) ⇔ y2 + (x − 4)y + x2 − 3x + = phải có nghiệm y: Suy ∆ y = −3x2 + 4x ≥ ⇒ ≤ x ≤ 4     697 x +y ≤ ÷ + ÷ = ⇒ x = ,y = 81 3    3 Từ suy Các giá trị khơng thỏa mãn (2) Vậy hệ vơ nghiệm 4x2 + 4y2 + z2 + 8xy − 2xz − 2yz = 12  4x + 4y2 + 2yz − 2xz − 8xy = −4 Bài Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn giải ( 1) ⇔ 4( x + y) − 2( x + y) z + z2 − 12 = 28 (1) (2) 2 Đặt t = x + y ta có 4t − 2zt + z − 12 = ∆1' ≥ ⇔ −3z2 + 48 ≥ ⇔ −4 ≤ z ≤ ( 2) ⇔ 4( x − y) − 2z( x − y) + = Đặt x − y = k ta có 4k − 2zk + = ∆ '2 ≥ ⇔ z2 − 16 ≥ ⇔ z ≤ −4 z ≥ Vậy z = −4 z = Hệ có nghiệm ( x;y;z) ∈ { ( 1;0;4) ,( −1;0;−4) } Bài 10 Tìm số x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ thỏa mãn hệ phương trình: 2(x + y) = z2  2(y + z) = x 2(z + x) = y2  Hướng dẫn giải Trước hết ta chứng minh x = y = z ≥ Thay vào ta x = 4x ⇒ x = 0hoặc x = Vậy hệ có nghiệm: ( x;y;z) ∈ { ( 0;0;0) ,( 4;4;4) } Bài 11 Chứng minh không tồn số nguyên x,y,z thỏa mãn hệ x2 − 3xy + 3y2 − z2 = 31  2 phương trình: x + xy + 8z = 100 (THPT Chuyên – TP Hồ Chí Minh, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải Nhân hai vế (1) với cộng với (2) ta được: ( ) 9x2 − 23xy + 24y2 = 348 ⇔ 2x2 − 5xy + 5y2 = ( x − y) + 348 (3) Dễ thấy hai vế trái chia hết cho (x − y) chia cho dư dư dư 4, vế phải chia cho dư dư dư Từ suy hệ phương trình khơng có nghiệm ngun x3 + 2y2 − 4y + = (1)  2 x + x y − 2y = (2) Bài 12 Giải hệ phương trình:  29 (Thi học sinh giỏi lớp – TP Hồ Chí Minh, năm học 1995-1996) Hướng dẫn giải ( 1) ⇔ x3 = −1− 2( y − 1) ≤ −1⇒ x ≤ −1 ( 2) ⇔ x2y2 − 2y + x2 = Nếu x = y = không thỏa mãn (1) ' Nếu x ≠ 0,∆ = 1− x ≥ ⇒ −1≤ x ≤ Từ suy x = −1 thay vào (2) ta y = Hệ có nghiệm ( x;y) = ( −1;1) x9 + y9 = (1)  10 10 x + y = (2) Bài 13 Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn giải 10 10 Từ (2) ta có: x ≤ 1,y ≤ 1⇒ −1≤ x ≤ 1;−1≤ y ≤ 9 Do x ≤ 1nên x ≤ 1⇒ y ≥ ⇒ y ≥ tương tự x ≥ Do ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ 10 10 9 Ta có: x − x + y − y = ⇒ x ( 1− x) + y (1− y) = x (1− x) = ⇒ ⇒ ( x;y) ∈ { ( 0;1) ,( 1;0) } y (1− y) = Hệ có nghiệm x6 + y4 = (1)  x + y = (2) Bài 14 Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn giải y ≤ 1⇒ −1≤ y ≤ 1⇒ y ≤ 1⇒ x ≥ ⇒ x ≥  Từ (1) Ta có: x ≤ 1⇒ −1≤ x ≤ Từ ta có ≤ x ≤ Tương tự ta có ≤ y ≤ Trừ vế với vế ( 1) ,( 2) ta x6 ( 1− x) + y4 ( 1− y) = 30 x6 ( 1− x) =  y ( 1− y) = ( x;y) ∈ { ( 1;0) ,( 0;1) } Từ suy ra:  Hệ có nghiệm Bài 15 Giải hệ phương trình: 1 1  x + y + z = (1)    − = (2)  xy z2 Hướng dẫn giải Điều kiện: x,y,z ≠  1 1 1 1 2 2 ( 1) ⇔  + + ÷ = = − ⇔ + + + + + − + = xy z x y z xy xz yz xy z  x y z 2  1  1  1   1 ⇔  + + ÷+  + + ÷ = ⇔  + ÷ +  + ÷ =  x xz z   y yz z   x z  y z 1  x + z = −1 ⇒ ⇒ x = y = ,z = 2 1 + =  y z x + y =  12  4 x + y + = 35  xy x,y Bài 16 Tìm dương thỏa mãn hệ:  Hướng dẫn giải 4 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: x + y ≥ 32 xy ≤ Do x+ y 12 = ⇒ xy ≤ ⇒ ≥3 xy x4 + y4 + 12 ≥ 35 xy Dấu xảy x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm dương x = y = Bài 17 TÌm x,y số nguyên thỏa mãn hệ điều kiện sau: 2y2 − x2 − xy + 2y − 2x = (1)  3 (2) x + y + x − y = (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2004 – 2005) 31 Hướng dẫn giải ( 1) ⇔ ( y − x) ( 2y + x + 2) = , có nghiệm nguyên x = 1,y = x = −5,y = Kết hợp với ( 2) ta có x = 1,y = 2) : c = a − b + 3, 3) a2 = b2 + ( a − b + 3) ( ( 5.64 thay vào : + 1⇔ ( a − b) ( b − 3) = ( a,b,c) ∈ { ( −3;2;−2) ,( −3;−2;2) } Từ kết hợp với ( 1) ta được: a < b  a + = b + c  2 Bài 18 Tìm số nguyên a,b,c thỏa mãn hệ điều kiện sau: a = b + c + Hướng dẫn giải ( x + 1) ( x − 2) = y + 2( 1)   ( y − 1) ( y + 2) = z − 4( 2)  ( z + 2) ( z − 4) = − x( 3) Hệ cho tương đương với: Nếu x > 2, từ ( 3) ta có z < Từ ( 2) ta có y < −2 Từ ( 1) ta có x < (vơ lý) Tương tự x < vô lý Vậy ( x;y;z) = ( 2;−2;4) x3 = 3x + y +  y = 3y + z − z3 = 12z − x + 18 Bài 19 Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn giải Từ (1) ta có: y = −mx − 1, thay vào (2) ta ( 1− m) x = 1− m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm ⇔ m ≠ x = 1,y = −m− 1,y2 = x ⇔ ( −m− 1) = ⇔ m = Khi BÀI TẬP TỰ LUYỆN 32 m = −2 x + y =  3 x + y = 3(x2 + y2) Bài Giải hệ phương trình:  (1) (2) x2 + y2 + xy = (1)  3 x + y = 3(x2 + y2 ) (2)   Bài Giải hệ phương trình: x3 + y3 = (1)  2y + x y + 3xy2 = (2) Bài Giải hệ phương trình:  2x2 + xy − 6x − 2y + =  2y − xy − 3x + 3y + = Bài Giải hệ phương trình:  (1) (2) x2 + 2y2 − 2xy + 6x − 10y + 18 =  Bài Giải hệ phương trình: 2x + xy − = x2 − 4y2 − 4x + 4y + = (1)  x + 2y2 − 2xy + 4x − 4y − 1= (2)   Bài Giải hệ phương trình: x2 = (5y + 4)(4 − y) (1)  x − 5y2 − 4xy + 16y − 8x + 16 = (2)   Bài Giải hệ phương trình: x2 − 3xy + 2y2 =  2x − 3xy + = Bài Giải hệ phương trình:  (1) (2) (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) x3 − y3 = 3(x − y)  x + y = −1 Bài Giải hệ phương trình:  x2 + xy + = 3x + y  2 x +y =2 Bài 10 Giải hệ phương trình:  (1) (2) (1) (2) (Vịng 1, THPT Chun – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2001 – 2002) 6x2 − 3xy + x = 1− y  2 x +y =1 Bài 11 Giải hệ phương trình:  (1) (2) (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2004-2006) 33 x2 − xy − 6y2 − 2x + 11y − =  2 x +y =5 Bài 12 Giải hệ phương trình:  x2 − y2 = 4x − 2y −  2 x +y =5 Bài 13 Giải hệ phương trình:  (1) (2) (1) (2) (Vòng 2, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) x2 + x − xy − 2y2 − 2y =  2 x + y =1 Bài 14 Giải hệ phương trình:  (1) (2) (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004) xy + x + y = x2 − 2y2  x 2y − y x − = 2x − 2y Bài 15 Giải hệ phương trình:   x + 2y + x − 2y = 2y  x + 10y = Bài 16 Giải hệ phương trình:  (1) (2) (1) x + y + z =  2x + 3y + z =  2 ( x + 1) + ( y + 2) + (z + 3) = 26 Bài 17 Giải hệ phương trình: (2) (1) (2) (3) Bài 18 Giải hệ phương trình: a) x + y + z = 21  2 x + y + z = 189 y2 = xz  b) 2(y + z) = yz  xy + yz + zx = 108 xyz = 180  x + 2xy = 24  Bài 19 Giải hệ phương trình: y + 2x y = 24 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008) 3x3 = 5y + 66  Bài 20 Giải hệ phương trình: 3y = 5x + 66 34  x − 3y =  y − 3x = Bài 21 Giải hệ phương trình:  4y x 4x y (1) (2) x2 + xy + x + y =  (x + y)(1+ xy) = Bài 22 Giải hệ phương trình:  (1) (2) (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) x2 − y2 + xy =  3x + y = y2 +   Bài 23 Giải hệ phương trình: (1) (2) (Vịng 2, THPT Chun – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 20096 – 2010) x2 + y2 − 2(x + y) =  2 y + z − 2(y + z) =  2 z + x − 2(z + x) = Bài 24 Giải hệ phương trình:  (1) (2) (3) (THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ) Năm học 2003 – 2004) x(x + y + z) = 12 − yz  y(x + y + z) = 15− xz  z(x + y + z) = 20 − xy Bài 25 Giải hệ phương trình:  (1) (2) (3) x y z  + 12 − =   x + y− z =1 Bài 26 Cho x,y,z nghiệm hệ phương trình: 10 Tính giá trị A = x + y + z (Vòng 2, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2009 – 2010) (x − 1)y2 + x + y =  (y − 2)x2 + y = x +   Bài 27 Giải hệ phương trình: (1) (2) (Vịng 1, THPT Chun – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2011 – 2012) x2 + 2xy = 2x = 2y + 1=  Bài 28 Giải hệ phương trình: 3x + xy + 4x − y − = 35 x2 + y2 + 3x + 3y + 2xy − =  2 Bài 29 Giải hệ phương trình: x y + xy = 48 x(x + 2)(3x + y) = 64  Bài 30 Giải hệ phương trình: x + 5x + y = 16 Bài 31 Giải hệ phương trình: 2x − 2y − xy = 8+ 12  (x − y) + 2xy = 24 4 x + y = 16  6 Bài 32 Giải hệ phương trình: x + y = 64 x2 + y2 − 3xy = −11  2 Bài 33 Giải hệ phương trình: x + x y + y = 931 y  2 x + y + = 22  x  x  32 +2 =1 Bài 34 Giải hệ phương trình:  x + y − y x − y − xy = 15 (1)  x + + y + = (2) Bài 35 Giải hệ phương trình:  2 y − xy + x y = 16  Bài 36 Giải hệ phương trình: y − xy − xy = ( )( )  x2 + y2 + + 8xy =   x y + =−  Bài 37 Giải hệ phương trình:  x + y + (1) (2) (THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương, năm học 2007 – 2008)  x − + y − =  x+ + y+ = Bài 38 Giải hệ phương trình: a)   x − + y + =  x+ + y+ = b)  36 xy2 + 2x + y = 4xy  1 y  xy + y2 + x = Bài 39 Giải hệ phương trình:  xy(x + y) =  3 Bài 40 Giải hệ phương trình: x + y + x + y = (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008) x2 − 2xy + 3y3 =  2 Bài 41 Giải hệ phương trình: a) 2x − 13xy + 15y = 3 x + y =  3 b) 6x − 3xy + y = 3x2 + 8y2 + 12xy = 23  2 Bài 42 Giải hệ phương trình: x + y = (Vịng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2010 – 2011) 2 2x + 2xy + 3y =  2 Bài 43 Giải hệ phương trình: 4xy − x − 2y = 2x2 − xy + 3y2 = 13  2 Bài 44 Giải hệ phương trình: x + 4xy − 2y = −6  x + + y − =  x − 5+ y+ = Bài 45 Giải hệ phương trình:   x2 + y2 + 2xy = (1)   (2)  x+ y=4 Bài 46 Giải hệ phương trình:  (Vịng 2, THPT Chun Tốn – Tin, Lam Sơn – Thanh Hóa, năm học 2005 – 2006) 37 ... + 91 + 10   Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3) III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Tương tự giải phương trình, phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp tơt để giải hệ phương trình, đưa hệ phương trình hệ đơn...B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ I PHƯƠNG PHÁP THẾ Tùy rheo hệ phương trình ta thay số, ẩn biểu thức ẩn vào phương trình hệ Thay số biểu thức Trong nhiều tốn giải hệ phương trình, ta... ẩn số biểu thức Ta rút ẩn từ phương trình thay vào phương trình cịn lại.Khi số ẩn phương trình giảm , từ ta tìm nghiệm hệ (1) x − 2y =  2 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: x − y − 3xy + x + 4y