Nội dung ơn tập Tốn cao cấp Trình bày khái niệm đại số σ-đại số, kiểm tra xem lớp tập hợp có đại số σ-đại số không? Chứng minh lớp tập hợp σ-đại số sinh lớp tập hợp ban đầu Bài tập (a) Phát biểu định nghĩa σ-đại số σ-đại số sinh lớp tập hợp A tập X (b) X = {0, 1, 2, 3} Chứng minh đại số sinh lớp {{0, 1}, {1, 2, 3}} A = {∅, {0}, {1}, {2, 3}, {0, 1}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, X} (c) Gọi A lớp tất tập A ⊂ X mà hai tập A hay Ac hữu hạn đếm Chứng minh A σ-đại số (d) Cho X tập vô hạn M lớp tập gồm phần tử X Chứng minh σ-đại số sinh M lớp tất tập A ⊂ X mà hai tập A hay Ac hữu hạn đếm Định nghĩa độ đo, chứng minh tính chất độ đo Bài tập (a) Phát biểu khái niệm độ đo không gian đo (X, F ) (b) Một độ đo µ xác định [0, 1] thoả mãn 1 µ[0, 1) = 0.8; µ[ , 1) = 0.3; µ[ , 1] = 0.2 2 Hãy tính µ([0, 1]) µ{1} (c) Cho không gian độ đo (X, F , µ), Hãy chứng minh : i) µ(A \ B) = µ(A) − µ(B) với A, B ∈ F B ⊂ A, µ(B) < +∞; ii) µ(B) ≤ µ(A) với A, B ∈ F B ⊂ A; iii) µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A) với A, B ∈ F thoả mãn µ(B) = 0; (d) Trong khơng gian độ đo (X, F , µ), tập X có độ đo 1, chứng minh A1 , A2 tập có độ đo A = Ac1 ∩ Ac2 tập đo Độ đo tập bao nhiêu? (e) Tìm ví dụ để chứng tỏ: i hợp khơng đếm tập có độ đo khơng có độ đo dương; ii giao khơng đếm tập có độ đo có độ đo khơng (f) Cho khơng gian độ đo (X, F , µ), ta có: i Với họ đếm Ai ∈ F (i = 1, 2, ) (không cần rời nhau) ta có ∞ ∞ µ Ai ≤ i=1 µ(Ai ) i=1 ii Với họ đếm Ai ∈ F (i = 1, 2, ) (không cần rời nhau) ta có ∞ Ai ≤ inf{µ(Ai )} µ i=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt iii Nếu dãy Ai ∈ F (i = 1, 2, ) đơn điệu tăng tức A1 ⊆ A2 ⊆ ∞ Ai µ i=1 = lim µ(Ai ) i→∞ (g) Cho B σ-đại số R thoả mãn (a, b) ∈ B với a < b ∈ R Chứng minh [a, b); (a, b] ∈ B với a < b ∈ R Độ đo Lebesgue - Stieltjes R Bài tập (a) Cho hàm số −2 t ≤ 0, −1 < t ≤ 2, F (t) = < t ≤ 3, 3 t > 3, Hãy tìm độ đo Lebesgue-Stieltjes cảm sinh hàm tập sau: (−∞, 1] [3, 3] (3, ∞) Hội tụ theo độ đo hội tụ hkn Bài tập (a) Phát biểu khái niệm hội tụ theo độ đo µ µ (b) Với µ độ đo đủ, chứng minh: Nếu fn (x) → f (x) f (x) = g(x) (hkn) fn (x) → g(x) (hkn) µ µ (c) Chứng minh fn (x) → f (x) fn (x) → g(x) f (x) = g(x) (hkn) µ µ µ (d) Chứng minh fn (x) → f (x) gn (x) → g(x) fn (x) + gn (x) → f (x) + g(x) (e) Cho dãy hàm fn (n = 1, 2, ) đo khơng âm (X, F , µ) Chứng minh X fn dµ → fn → theo độ đo µ Hàm đo phép tốn bảo tồn tính đo Chứng minh hàm số đo Bài tập (a) Phát biểu khái niệm hàm đo (b) Cho X = [0, 1] σ-đại số sau xác định X: A = {∅, [0, 12 ), [ 12 , 1), {1}, [0, 1), [0, 12 ) ∪ {1}, [ 12 , 1], X} Hãy kiểm tra xem hàm số sau có đo khơng ? i)f1 (x) = 1[0, ] + 2.1( ,1] ii)f2 (x) = 1[0,1) + 2.1{1} iii)f3 (x) = 3.1[ ,1) − 1{1} iv)f4 (x) = 2.1[0, ) + 1( ,1) 2 2 (c) Nếu f hàm số đo không gian (X, F ) hàm số f1 (x) = f (x) f (x) ≤ f (x) > có đo X không? Tại sao? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính tích phân Lebesgue Bài tập √ ( x)dm (a) Tính f (x) = [0,10] (b) Tính f (x) = (2x)dm [0,2] (c) Tính f (x) = (sin x)dm [0,2π] 1 1 (d) Cho hàm số f (x) = n x ∈ [ 2n , 2n+1 ) −n x ∈ [ 2n+1 , 2n+2 ) Chứng minh không tồn f (x)dm [0,1] Các Định lý hội tụ đơn điệu Định lý hội tụ bị chặn cho tích phân hàm đo hàm đo không âm Bài tập (a) Phát biểu định lý hội tụ đơn điệu hàm đo (b) Phát biểu định lý hội tụ bị chặn (trội) hàm đo (c) Cho dãy hàm fn (x) = 1[n,n+1) : R → R với n = 1, 2, i Hãy tìm lim fn (x) n→∞ ii Chứng minh lim n→∞ fn (x)dm = lim n→∞ R fn (x)dm R iii Giải thích xem giả thiết định lý hội tụ đơn điệu định lý hội tụ trội không thoả mãn trường hợp (d) Cho fn := 1[0,n] /n Hỏi có tồn hàm g khả tích (đối với độ đo Lebesgue) mà thoả mãn g(x) ≥ fn (x) với n ∈ N, x ∈ R? (e) Giả sử f hàm số không bị chặn, khả tích Lebesgue (X, F , µ) Đặt [f ]n = Chứng minh X f dµ = limn→∞ f |f | ≤ n, |f | > n X [f ]n dµ Tính tích phân Stieljes tích phân Lebesgue tích phân Stieltjes Bài tập (a) Cho hàm số sau xác định [0, 1]: x , x vô tỉ, x1/4 f (x) = x, x vô tỉ, x1/4 10, x ∈ Q Tính tích phân Lebesgue f (x)dm [0,1] (b) Cho hàm số sau xác định R: t2 H(t) = t + − e2−t CuuDuongThanCong.com t ≤ −2, − < t ≤ 2, t > 2, https://fb.com/tailieudientucntt tính t2 dH; i tích phân Stieltjes −3 ii tích phân Lebesgue f dµ với hàm f đo (X, F , µ) có H(t) hàm phân X phối (c) Cho hàm số 0 F (s) = s s ≤ 0, < s ≤ 1, s > hàm G(t) = 5t+1 t+1 t ≤ 0, t > Hãy tính i tích phân Lebesgue f dµF với hàm f đo nhận F làm hàm phân phối; X (g + 1)2 dµG với hàm g đo nhận G làm hàm phân phối; ii tích phân Lebesgue X iii tích phân Stieltjes G(t)dF ; iv tích phân Stieltjes F (t)dG Định nghĩa ví dụ không gian metric, hội tụ không gian metric Bài tập (a) (b) (c) (d) Phát biểu định nghĩa metric Cho ví dụ metric khơng gian R3 giải thích Phát biểu định nghĩa metric dp d∞ Rk Chứng minh hàm d : X × X → R thoả mãn điều kiện với x, y, z ∈ X: d(x, y) = d(y, x), d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) d(x, y) = ⇔ x = y, thoả mãn điều kiện d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X (e) Chứng minh bất đẳng thức tứ giác không gian metric (X, d): |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v), ∀x, y, u, v ∈ X (f) Chứng minh không gian metric (X, d), xn → x yn → y d(xn , yn ) → d(x, y) (hàm số d(x, y) hàm liên tục theo hai biến) (g) Chứng minh bất đẳng thức tam giác metric d∞ khơng gian Rk 10 Tập đóng tập mở không gian metric Bài tập (a) Cho không gian metric (X, d) chứng minh tập A ⊂ X tập đóng A = [A] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (b) Trên R2 chứng minh tập mở (R2 , d1 ) tập mở (R2 , d2 ) ngược lại (c) Chứng minh hình vng đơn vị (0, 1) × (0, 1) tập mở không gian (R2 , d2 ) (d) Chứng minh trịn tâm (0, 0) bán kính tập mở không gian (R2 , d∞ ) 11 Khái niệm không gian đủ Bài tập (a) Chứng minh không gian R, d(x, y) = |x − y| metric không gian metric không đầy đủ L (b) Chứng minh không gian C[a,b] hàm liên tục [a, b] với metric d(x, y) = y(t)| dt không đầy đủ b |x(t) − a 12 Hàm liên tục không gian metric, tính chất hàm liên tục khơng gian metric compact Bài tập (a) Hãy phát biểu ba điều kiện tương đương để không gian metric (X, d) compact (b) Thừa nhận kết trên, chứng minh tập đóng bị chặn (Rk , d2 ) tập compact (c) Chứng minh tập hợp A = {(x, y) ∈ R2 : 2x + 3y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0} tập compact (R2 , d2 ) (d) Cho (X, d) không gian metric, a ∈ X cố định định nghĩa hàm số f : X → R f (x) = d(x, a) Chứng minh f liên tục (metric R metric thông thường) (e) Cho (X, dX ), (Y, dY ) (Z, dZ ) không gian metric f : X → Y , g : Y → Z hàm liên tục, chứng minh hàm hợp h=g◦f :X →Z tức h(x) = g f (x) , ∀x ∈ X liên tục (f) Chứng minh f hàm liên tục từ không gian metric (X, d) vào R A tập compact X tồn x0 , y0 ∈ A cho f (x0 ) giá trị cực đại f A, f (y0 ) giá trị cực tiểu f A CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... - Stieltjes R Bài tập (a) Cho hàm số −2 t ≤ 0, −1 < t ≤ 2, F (t) = < t ≤ 3, ? ?3 t > 3, Hãy tìm độ đo Lebesgue-Stieltjes cảm sinh hàm tập sau: (−∞, 1] [3, 3] (3, ∞) Hội tụ theo... minh bất đẳng thức tam giác metric d∞ không gian Rk 10 Tập đóng tập mở khơng gian metric Bài tập (a) Cho không gian metric (X, d) chứng minh tập A ⊂ X tập đóng A = [A] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt... không gian (R2 , d∞ ) 11 Khái niệm không gian đủ Bài tập (a) Chứng minh không gian R, d(x, y) = |x − y| metric không gian metric không đầy đủ L (b) Chứng minh không gian C[a,b] hàm liên tục [a, b]