Chøng minh ®iÒu ®ã... TÝnh tæng HD:..[r]
(1)Bài toán Chứng minh 1 1 1
1.2 2
1 1.2 1.1 2 1 1 1 1.2 2.1 1.2 1.2
1 1 1
1.2 2 HD:
Ta cã:
(2)1 1 1 )
2.3 2 3
a ) 1 1 1
3.4 3 4
b
1.1 Cho ví dụ t ơng tự nh 1, chứng minh khẳng định đó.
HD:
1.2 Dùa vµo bµi 1, bµi đ a tr ờng hợp tổng quát.
1 1 1
.( 1) 1
n n n n víi n N *
(3)1.3 TÝnh tæng A 1.2 2.3 3.4 4.51 HD:
1 1 1 1 1 2 3 4
1 5 5
1 1 A
1.2 2.3 3.4 4.5
(4)1
1 1
A
1.2 2.3 3.4 99.100
1 1 1 1
1 2 3 99 100 1 100 99
1 100 100 100 100
1
1 1
A
1.2 2.3 3.4 99.100
1.4 TÝnh tæng sau HD:
Ta cã:
(5)2
1 1
a) A
1.2 2.3 3.4 499.500
3
1 1
b) A
1.2 2.3 3.4 2008.2009
1.5 TÝnh c¸c tỉng sau
4
1 1
c) A
1.2 2.3 3.4 n n.( 1)
víi n N *
2
499 A
500
A3 2008
2009
A4
1 n n
;
; HD:
1 1 1 1 n
+ + + + =
(6)1.6 TÝnh tæng sau A5 1 1 1 1
5.6 6.7 7.8 24.25
5
1 1 1 1
A
5.6 6.7 7.8 24.25
5
1 1 1 1 1 1
A
5 6 7 8 24 25
5
1 1 5 1 4
A
5 25 25 25 25
(7)6
1 1 1 1
A
6 12 20 870
6
1 1 1 1
A
2.3 3.4 4.5 29.30
6
1 1 1 1 1 1
A
2 3 4 5 29 30
6
1 1 15 1 14 7
A
2 30 30 30 30 15
6
1 1 1 1
A
6 12 20 870
1.7 TÝnh tæng H
(8)7
1 1 1 1
A 2.
1.2 2.3 3.4 2008.2009
7
2008 4016 A 2.
2009 2009
7
2 2 2 2
A
1.2 2.3 3.4 2008.2009
(9)8
1 1 1 1
A .
1.2 2.3 3.4 2008.2009
k
8
2008 2008.
A .
2009 2009
k k
8
A
1.2 2.3 3.4 2008.2009
k k k k
(10)9
2 2 2 2
A
20 30 42 240
9
1 1 1 1
A 2.
20 30 42 240
9
1 1 1 1
A 2.
4.5 5.6 6.7 15.16
9
1 1 3 3
A 2. 2.
4 16 16 8
9
1 1 1 1
A
10 15 21 120
(11)10
1 1 1 49
A
1.2 2.3 3.4 49.50 50 50
10
A 1
10
1 1
A
1.2 2.3 3.4 49.50
1.11 Chøng minh r»ng HD:
VËy
11
1 1 1 1 49
A
2.2 3.3 4.4 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50
11
A 1
11 2 2 2 2
1 1
A
2 50
1.12 Chøng minh r»ng H
D:
(12)12
1 1 1 1 1
A
2.2 3.3 4.4 ( 1) 1.2 2.3 3.4 ( 1)
n
n n n n n
12
A 1
13 2 2
1 1
A
(2.2) (2.3) (2.4) (2 )n
13 2 2 2 2
1 1
A
4.2 4.3 4.4 4.n
13 2 2 2 2
1 1 1 1
A
4 n 4
13
1 A
4
12 2 2
1 1
A
2 n
1.13 Chøng minh r»ng H
D:
VËy
13 2 2
1 1 1
A
4 (2 )n
1.14 Chøng minh r»ng H
D:
(13)14
1 1 1 1 1 1
A 1 1 1 1 1 1
2 6 12 20 42 56
14
1 1 1 1 1 1
A 1 1 1 1
2 12 20 42 56
14
1 1 1 1 1 1
A 6
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7
14
1 1 6 36
A 6 6
1 7 7 7
14
1 11 19 41 55 A
2 12 20 42 56
1.15 TÝnh tæng sau: H
(14)15
1 1 1 1
A 1 1 1 1
2 6 12 9900
15
1 1 1 1
A 1 1 1
2 12 9900
15
1 1 1 1
A 1 1 1
2 12 9900
15
1 1 1 1
A 99.1
1.2 2.3 3.4 99.100
15
1 1 99 9801
A 99 99
1 100 100 100
15
1 11 9899
A
2 12 9900
1.16 TÝnh tỉng sau:
(15)Bµi to¸n Chøng tá 2 1 1
1.3 3
2 1 1
)
2.4 2 4
a
1 1 1
)
3.5 3 5
b
(16)2.2 Dùa vµo bµi 1, đ a tr ờng hợp tổng quát. H
D:
*
n N
2 1 1
.( 2) 2
n n n n víi
1
1 1 1 1 1 1
B
1 3 5 7 2007 2009
1
1 1 2008
B
1 2009 2009
1
2 2 2 2
B
1.3 3.5 5.7 2007.2009
(17)2
2 2 2 2
B 5.
1.3 3.5 5.7 n n.( 2)
2
1 5( 1)
B 5. 2 2 n n n n
15 2 2 2 2
B .
2 1.3 3.5 5.7 n n.( 2)
3
15 1 15( 1)
B . n n
2
10 10 10 10
B
1.3 3.5 5.7 n n.( 2)
2.4 TÝnh tæng HD:
3
15 15 15 15
B
1.3 3.5 5.7 n n.( 2)
(18)4
2 2 2 2
2.B
1.3 3.5 5.7 n n.( 2)
1 1 1 1 1 1
2.B
1 3 5 7 n n 2
4
1 1 1
2.B
1 2 2
n
n n
4
1 B
2( 2)
n n
1 1 1 1
B
1.3 3.5 5.7 n n.( 2)
(19)5
2 2 2 2
B .
2 1.3 3.5 5.7 .( 2)
k
n n
5
1 ( 1)
B .
2 2 2.( 2)
k n k n
n n
5
B
1.3 3.5 5.7 .( 2)
k k k k
n n
*
N
2.7 TÝnh tỉng víi k
(20)6
1 1 1 1
B 1 1 1 1
3 15 35 9999
6
1 1 1 1
B 1 1 1
3 15 35 9999
6
1 1 1 1
B 1 1 1
1.3 3.5 5.7 99.101
6
1 2 2 2 2
B 1 1 1 .
2 1.3 3.5 5.7 99.101
6
1 1 1 1 100 50 4899
B 49.1 . 49 . 49
2 101 2 101 101 101
6
2 14 34 9998
B
3 15 35 9999
2.8 TÝnh tæng H
(21)20 20 20 20
)
11.13 13.15 15.17 53.55 11
a x
1 1 2
)
21 28 36 ( 1)
b
x x
2 10 131313 131313 131313 131313
) 70 :
3 11 151515 353535 636363 999999
c x
(22)20 20 20 20 3
)
11.13 13.15 15.17 53.55 11
a x
20 20 20 20 3
11.13 13.15 15.17 53.55 11
x
2 2 2 2 3
10.
11.13 13.15 15.17 53.55 11
x
1 1 3
10.
11 55 11
x
4 3 3 40 55
10. 1
55 11 11 55 55
(23)1 1 1 2 2
)
21 28 36 ( 1) 9
b
x x
2 2 2 2 2
42 56 72 x x( 1) 9
2 2 2 2 2
6.7 7.8 8.9 x x( 1) 9
1 1 1 1 1 1 2
6 7 8 9 x x 1 9
1 1 2 5 2
6 1 9 6( 1) 9
9( 5) 12( 1) 9 45 12 12
x
x x
x x x x
9x 45 12x 12 9x 12x 12 45
(24)2 10 131313 131313 131313 131313
) 70 :
3 11 151515 353535 636363 999999
c x
2 10 13.10101 13.10101 13.10101 13.10101
70 :
3 x 11 15.10101 35.10101 63.10101 99.10101
2 10 13 13 13 13
70 :
3 x 11 15 35 63 99
2 10 13 2 2
70 :
3 x 11 3.5 5.7 7.9 9.11
2 10 13 1 1 1 1
70 :
3 x 11 5 7 9 11
2 10 13 1
70 :
3 x 11 11
10 13
70 : x 11 33
2 780 104 2
(25) 30;42;56;72;90;110;132;156;182;210 15;35;63;99;143;195
2.10 Cho A = vµ B =
Chứng tỏ tổng số nghịch phần tử thuộc tập hợp A tổng số nghịch các phần tử thuộc tập hợp B.
đảo
đảo
1 1 1 1 1 C=
30 42 56 72 90 110 132 156 182 210
1 1 1 1 1
C=
5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 13.14 14.15 1
C=
HD:
Gọi tổng số nghịch tập hợp A, B lần l ợt C vµ D Ta cã:
(26)1 1 1 1 1 1 D=
15 35 63 99 143 195
1 1 1 1 1 1
D=
3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 13.15
1 2 2 2 2 2 2
D=
2 3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 13.15
1 1 1 1 4 2
D= .
2 15 2 15 15
2 15
Do C = D
Vậy tổng số nghịch phần tử thuộc tập hợp A tổng số nghịch các phần tử thuộc tập hợp B.
đảo
(27)*
n N
2 1 1
.( 2) 2
n n n n víi
Tõ c«ng thøc:
, *
n a N
1 1
.( )
a
n n a n n a víi
(28)7
1 1 1 1 1 1 1
B
4 7 10 10 13 73 76
7
1 1 18 9
B
4 76 76 38
7
3 3 3 3
B
4.7 7.10 10.13 73.76
2.11 TÝnh tæng
(29)8
6 6 6 6
B
15.18 18.21 21.24 87.90
8
3 3 3 3
B 2.
15.18 18.21 21.24 87.90
8
1 1 1 1 1 1 1 1
B 2.
15 18 18 21 21 24 87 90
8
1 1 5 1
B 2. 2.
15 90 90 9
8
6 6 6 6
B
15.18 18.21 21.24 87.90
(30)9
3.3 3.3 3.3 3.3
B
8.11 11.14 14.17 197.200
9
3 3 3 3
B 3.
8.11 11.14 14.17 197.200
9
1 1 24 9
B 3. 3.
8 200 200 25
2 2
9
3 3 3 3
B
8.11 11.14 14.17 197.200
(31)10
15 15 15 15
B
90.94 94.98 98.102 146.150
10
15 4 15 4 15 4 15 4
B . . . .
4 90.94 4 94.98 4 98.102 4 146.150
10
15 4 4 4 4
B .
4 90.94 94.98 98.102 146.150
10
15 1 1 1 1 1 1 1 1
B .
4 90 94 94 98 98 102 146 150
10
15 1 1 15 5 3 15 1 1
B . . .
4 90 150 4 450 450 4 225 60
10
15 15 15 15
B
90.94 94.98 98.102 146.150
2.14 TÝnh tæng H
(32)11
10 10 10 10
B
56 140 260 1400
11
5 5 5 5
B
28 70 130 700
11
5 3 3 3 3
B .
3 4.7 7.10 10.13 25.28
11
5 1 1 5 3 5
B . .
3 28 3 14 14
11
10 10 10 10
B
56 140 260 1400
2.15 TÝnh tæng H
(33)1 1
1.6 6.11 11.16 (5n 1).(5n 6)
1 5 5
5 1.6 6.11 11.16 (5n 1).(5n 6)
1 1 1 1 1
5 6 11 11 16 5n 5n
1 1 1 5 5( 1)
5 5 6 5 5 6
n n n n
n n n n n n
1 1 1
1.6 6.11 11.16 (5 1).(5 6) n
n n n
2.16 Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, ta cã: HD:
Biến đổi vế trái, ta có:
(34)2 1 1 )
1.2.3 1.2 2.3
a
4 1 1
)
1.3.5 1.3 3.5
b
6 1 1
)
1.4.7 1.4 4.7
c
(35)3 1
.( ).( ).( ) ( ).( ) ( ).( ).( ) a
n n a n a n a n n a n a n a n a n a
1
.( ).( ) ( ) ( ) ( 1) ( ).( ) ( )
ma
(36)1
1 2 2 2 2
C .
2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
C .
2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 18.19 19.20
1
1 1 1 1 189 189
C . .
2 1.2 19.20 2 380 760
1
1 1 1 1
C
1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20
1 C 4
3.2 Tính tổng Từ chứng tỏ
H D: 1 C 4 VËy
189 190 1
C
760 760 4
(37)2
36 36 36 36
C
1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29
2
4 4 4 4
C 9.
1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29
2
1 1 1 1 1 1 1 1
C 9.
1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 25.27 27.29
2
1 1 1 1 260 260
C 9. 9. 9.
1.3 27.29 1.3 27.29 783 87
2
36 36 36 36
C 3
1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29
3.3 Chøng minh r»ng H
D:
260 261
3
(38)1
1 1 1 1 1
a) K
2 12 30 42
2
1 1 1 1 1 1 1
b) K . . . . . .
2 3 4 5 6 7 8
3
1 1 1 1 1 1 1
c) K
30 42 56 72 90 110 132
4
2 2 2 2
a) K
3.5 5.7 7.9 97.99
5
6 6 6 6 6
b) K
15 35 63 99 143
6
3 3 3 3
c) K
3.5 5.7 7.9 47.49
Bµi tËp tù
luyện
Bài Tính hợp lý
(39)7
3 3 3 3
a) K
10 40 88 340
2 2
8
5 5 5
b) K
1.6 6.11 26.31
9
9 9 9 9
c) K
10 40 88 340
1 1 1 1 1 1 1 1
1
26 27 28 50 2 4 49 50
Bµi TÝnh hỵp lý
(40)(41)20 20 20 20
)
11.13 13.15 15.17 53.55 11
a x
1 1 1 2 2
)
21 28 36 ( 1) 9
b
x x
(42)20 20 20 20 3
)
11.13 13.15 15.17 53.55 11
a x
20 20 20 20 3
11.13 13.15 15.17 53.55 11
x
2 2 2 2 3
10.
11.13 13.15 15.17 53.55 11
x
1 1 3
10.
11 55 11
x
4 3 3 40 55
10. 1
55 11 11 55 55
(43)1 1 2
)
21 28 36 ( 1) b
x x
2 2 2
42 56 72 x x( 1) 9
2 2 2
6.7 7.8 8.9 x x( 1) 9
1 1 1 1
6 7 8 9 x x 1 9
1
9( 5) 12( 1) 45 12 12 6( 1)
x
x x x x
x x