Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh và đạo hàm ảnh... Biến đổi Fourier:..[r]
(1)HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 Sai Đúng Sai Đúng Đúng Đúng Sai Đúng Sai Sai
1.11 a 4i b.
5i
c 25
d 9 46i e. 1 f 16 5i 1.12 a
2 i
b. 2, 1 i, i c 3, ,1 , i i 1.13 a
3
62 3 , 0, 1, 2
k i
z e k
p p
b.
2
3
2 , 0, 1,
k i
z e k
p p
1.15 a Đường tròn tâm (3;4) bán kính
b Nửa đường thẳng gốc z i tạo với trục thực góc c Ellipse với tiêu điểm F1( 2;0), F2(2;0) độ dài trục lớn 2a6 d Đường trịn tâm (2;0) bán kính
e. Nhánh Hyperbol
2
1 16
x y
với x 3
f. Nửa mặt phẳng bên đường thẳng y 3, kể đường thẳng
g Miền nằm ngồi đường trịn tâm (0;-2) bán kính (kể đường trịn này) nằm ngồi đường trịn tâm (0;-2) bán kính
h Miền giới hạn hai nửa tia xuất phát từ gốc lập với trục thực góc p
p
, kể hai nửa tia
1.16 a u x y( , )x33xy2, v x y( , )3x y2 y3
b ( , ) 2 2, ( , ) 2 2
(1 ) (1 )
x y
u x y v x y
x y x y
c u x y( , )e3x cos ,y v x y( , )e3xsin 3y
1.17
2
1 '( ) w z
z
, khơng giải tích z 0 1.18 u x y( , )x x2y2, ( , )v x y y x2 y2
2 2
2
u x
x y
x x y
,
2 2
2
v y
x y
y x y
; 2 , 2
u xy v xy
y x y x x y
(2)242
0
( ) (0)
lim lim
z z
z z w z w
z z
Vậy w'(0)0
1.19 a w z'( )4z3 b
2
2 '( )
( 1) z w z
z
1.20 a v x y( , )3x y2 y3 C, w z( )z3 Ci b v x y( , )2xy2yC, w z( )z22zCi
c
2
1
( , ) y , ( )
v x y x C w z iz Ci
z x y
1.21 a
2
1
( , ) , ( )
1 ( 1)
x
u x y C w z C
z
x y
b u x y( , )x2y23yC, w z( )z23izC
c u x y( , )3 cosex y x y C, w z( )3ez (1 i z) C
1.22 2
C C
I z dz x y dxidy
a. : 1
0 x C
y
1
2
1
2
I x dx xdx
b. : cos( )
sin( ) ;
x t
C
y t t
p
p p
sin( ) cos( )
I t i t dt
p
p p
1.23 a. I 0 b 14
15 i I 1.24 a. I 2 cospi p 2pi
b 1 1
( 1)
z
z
C C
e
I dz e dz i e e
z z z z p
1.25 a I 0 b. I 2pi 1.26 a
2
2 e e
b.
2 p
1.27
2
2
0
z z I
1.28
1
sin( / 4)
sin( / 4)
: 1
1 z 2
C
z
z i
z
C z I dz i
z z
p
p p
p
1.29
'
2
2
( )
: ( 1)
2
( ) ( )
z
z C
z i e
e z i
C x y I dz i i
z i z i
p
p p
p p
(3)1.30 a.
''
3
1
1
2
( 1)
2!
( 1) ( 1)
C
z
i i
z
I dz
z z
p p
b.
''
3
1
1
2
( 1)
2!
( 1) ( 1)
C
z
i i
z
I dz
z z
p p
c I 0
1.31
'''
2
3!
z
z
i e
I p e z pi
1.32
''
1
2
5 10
2! z
i
I p z z pi
1.33 a.
2
1 2;
2 n i
n z
R z e
n n
j
miền hội tụ z 2
b. Đặt
2
2
1
( 1) ( 1)
(2 1)! (2 1)!
n n
n n
n n
z u
u z z
n n
hội tụ với z
c. Đặt u z i; miền hội tụ z i
d Đặt u (zi)3; 3,
3 1
3 in n
i
n
n
u e
R u e
n n
j j
: miền hội tụ
33
z i
e. z 1 i 1.34 a. Cách 1:
1
1
2
1
' , '' ,
(1 ) (1 ) (1 )
z z
w e w e
z z z
1
6 5
1
'''
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
z
w e
z z z z
2
3 13
1
2
w e z z z
Cách 2:
1
1 z z z2 z3 0( )z3 z z2 z3 0( )z3
e e ee
2 3
2 3 3
2 3
3
0( ) 0( )
0( )
1 0( )
1! 2! 3!
z z z z z z z z
z z z z
e z
13 0( )3
2
e z z z z
(4)244
3 3
sin1cos z z z 0( )z sin z z z 0( ) cos1z
sin1 cos1 cos1 1sin1 5cos1 sin1
2
w z z z
1.35 / /
1
w
z z
a
2
2
1 1
1
6
z z z
w
z z z
b
2
2
1
1
6
z z z
w z z
c
2 3
1 1
3
w
z z z z z z
1.36 a. Đặt u z
2
1 1 ( 1)
1 2! 3! 4!
( 1)
z z
w e
z z
1
z cực điểm bậc 2, chuỗi hội tụ với z 1
b. 12 14 16 13 15
2!
2! 4! 6! 4! 6!
w z z
z
z z z z z
0
z điểm cô lập cốt yếu, chuỗi hội tụ với z 0 c.
2
sin( ) sin( ) ( ) ( )
1
3! 5!
z z z z
w
z z
p p p p p
p p
z p điểm cô lập bỏ được, chuỗi hội tụ với z d.
0
1
2 ( 1) ( 1)
1
n n
n
w z
z z z
1
z cực điểm đơn, chuỗi hội tụ vành khăn 0 z 1 e. Tại z 0, xét ( )
3
( 1) ( 2)!
( ) ( 2) ( )
2( 2)
n n
n
n
f z z f z
z
2
1 3
8 16 16 32
w z z z
z
0
z cực điểm đơn, chuỗi hội tụ vành khăn 0 z 2 Tại z 2, xét
0
1 1 ( 2)
2 2 2
1
n n n
z
z z z
2
3
1 1 1
( 2) ( 2)
8( 2) 16 32 64
2( 2) 4( 2)
w z z
z
z z
2
(5)1.37
2 1 2
8
( 1)( 3)
C C C
z z z
I dz dz dz i
z z z z p
1.38
'
2 2
1
1
2
2
( 1) ( 1) ( 1) ( )
C z z i
dz i
I dz i i
z z z z z i
p
p p
1.39 Phương trình z4 1 có hai nghiệm
2 i
nằm đường trịn C (xem ví dụ
10) Áp dụng cơng thức (1.71) ta có
4 3
1
2
1 1 1
4
2
C
dz i
I i
z i i
p p
1.40 a.
2
4
1 1
2 Re s ; Re s ;
1 2
z i z i
I i
z z
p
2
3
1
1
2
2
1
4
2
i i
i
i i
p p
b
( 1)
2 2
2 (2 2)!
( 1)! ( ) 2 ( 1)!
n
n n
z i
i n
I
n z i n
p p
c.
I p d.
5
2 I
a p
1.41 Áp dụng công thức (1.76)
a.
2
2
1
Im Im Res ;
2 4 4
i x i z
xe ze e
I dx i z i
x z
p p
b.
2
1 Im
2 ( 1)
ix e
I dx
x x
2 2
1 (2 3)
Im Res ; Res ;
2 ( 1) ( 1)
iz iz
e e e
i z i z
e
z z z z
p
p
c.
2
8 e I
p p
d.
2
4 e I
p p
1.42 Áp dụng công thức (1.77)
a.
3
I p b.
I p c. I p d.
2
2
n
a I
a
p
(6)246 1.44 a.
0
( ) ( ) ;
n i
n in n
i
n n n
e z
X z x n z e z z
z z e
w w w
b. Ta có
0
1
;
n a
na n a
a a
n n
e z
e z z e
e z e z
' ( ) ( ) ;
1 ( 1)
a a
n na n a
a a
n n
e z e z
X z x n z ne z z z e
e z e z
1.45 a.
0
0
( ) ( ) ;
n
n n n n
n n n
z a
X z a n z a z z a
a a z
h b.
( ) ( 1) ;
n
n n
n n
z z
X z a n z z a
a z a
h c. 1 0 ( ) ; n N N n N n n z z
X z z z
a z z
1.46 Trong miền z ;
3
4
4 2 1
( )
2
(2 1) 1
2
n
n n
n n
X z z
z
z z z z
z
( ) ( 4)
2n
x n hn
1.47 a ( ) 2 z X z z , z b.
6
1 ( ) z X z
z z
, z 0 c.
2
( )
( )
a a z
X z
z z a
, z a
1.48 a.
2 ( ) ( 1) aT aT zTe X z ze
b.
( )
( )
( )
z z a X z z a c.
cos1 ( )
2 cos1 z
X z
z z z
d.
0
0
sin sin( )
( )
2 cos( )
z z T
X z
z z T
q w q
w
e ( )
1 z X z z
1.49 a. ( ) 8
2
n n
x n n
b.
1 ( ) n a x n a
c ( ) !
n a x n
n
(7)d.
10 11
1
( ) ( 10) ( 11)
2
n n
x n h n h n
e
1
( ) (6 4)
9
n n
x n n
1.50 a. ( ) 1 ( 1)(2 1)
x n n n n b. ( ) ( 1)
x n n n c ( ) ( 1)
n n
x n
d. ( ) (2 1) 1
2
n n
x n n
e.
( ) ( 1) ( ) ( 1)
n n
x n y n
f
( ) 2( 6) ( ) 7( 6)
n n
x n y n
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 Đúng Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Sai Đúng Đúng 2.11Tìm biến đổi Laplace
a. ( ) sin3 sin sin
t t
x t t
2
6 ( )
( 1)( 9) X s
s s
b. cos4 1cos2 1cos
8
t t t
w w w
2 2
1
( )
8 4 16
s s
X s
s s w s w
c.
2
2
cosh cosh
9 ( 2)
t
s s
t e t
s s
L L
d.
3
2 3
( ) t t t t
x t te te t e t e
2
1 6
( )
( 1) ( 2) ( 3)
X s
s s s s
e.
2
( ) cosh cos cos
t t
e e
x t t t t
3
3 ( )
25
s s
X s
s s
f. ( ) sin cos sin sin
t
t e
x t e t t t t
2
3
( )
2 37
X s
s s s s
2.12Tìm biến đổi Laplace
a.
' 2
2 2
9 ( )
9 ( 9)
s s
X s
s s
(8)248
b.
2 2 2
cos
( )
s
t t
s
w w
w
L
2 2
2
2 2
1 ( ) ( )
cos cosh
2
( ) ( )
s a s a
t t at
s a s a
w w
w
w w
L
c.
2
2
1
sin
1 ( 1)
s
t t
s s
L
d. sin 4 sin arctan4
t t
t t s
L L
e.
2
2 2 2
cos cos
( ) ln
2 s
at bt u u s b
X s du
t u a u b s a
L
f. ( ) 1 ln
at bt
s
e e s b
X s du
t u a u b s a
L
2.13Tìm biến đổi Laplace
a.
2
2
2
2
cos ( )cos ( )
( 4) ( 4)
bs
s s
t t b t b e
s s h s s
L L
b.
3
2 ( ) ( 1) ( 1) ( ) s
x t t t X s e
s
h
c. x t( )th( )t h(t1) (2 t) (ht 1) h(t2)
2
1 ( ) 2( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( )
s s
e e
t t t t t t X s
s
h h h
d. x t( )costh( )t h(tp)sin (t th p)
(2 1)
( )cos ( ) cos( ) sin( ) ( )
1 s
s s e
t t t t t X s
s
p
h h p p p
2.14Tìm biến đổi Laplace
a.
3
1 1
1
s s s s
b.
3 2
2 2
1 s s s
s
s
w w w
c. ( ) cos * ( ) 2
( 2)( 1)
t s
x t t e X s
s s
d. 1 ln
1 t
s
e s
du
t u u s
(9)0
1 1
ln
t u
e du
u s s
L
2.15 Đặt 1 1
2
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t t
X s Y s X s
y t x u du Y s y t dt
s s s
L
2.16a Đặt X s( )L x t( ) , tương tự ví dụ 2.47 ta nghiệm
1
0 1 ( )
C
CJ t s
L , thay điều kiện đầu ta có
b. Sử dụng tính đồng dạng
c.
'
2 2 '
0(2 ) 0(2 ) 0(2 )
t t t
e J t e J t e J t Từ phương trình suy J'0(0)0
'' '
2 2
0 2 0 2
0 0
(2 ) (2 ) (2 )
( 2) ( 2)
t t t
t t
s s
e J t s e J t e J t s
s s
L
d. Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh đạo hàm ảnh
e Áp dụng công thức 0
2
1
( ) ,
1 st
e J t dt s
s
2.17 Tìm biến đổi Laplace
a. 1tanh s
s b
1
(1 )
s s
e
s s e
c.
2
1
2 s
s d
2
1
1
(1
s s
s s
e e
p
p
.
2.18 Áp dụng công thức định nghĩa biến đổi Laplace
a. Sử dụng câu 2, c,
2
4
1
24 ( 1)
sin
1 t
s s s
e t tdt s
b.
1
sin
arctan
4 t
s
e t
dt
t s
p
c. Áp dụng câu e,
2 2
0 0
cos cos 4
ln ln
2 6
s
t t s
dt
t s
d. Áp dụng câu f,
3
0
6
ln ln
3
t t
s
e e s
dt
t s
e.
2
2
sin cos 1
2 4
t t u
du
t t u u
(10)250
2
2 2
0 0
sin sin 1
2 4
ot
s
t t u
dt e dt duds
u
t t u
2
2
0
0 0
1
1 arctan
2 4 4 2
u
u u u
du ds du
u u u
p
2.19 Chứng minh theo quy nạp sử dụng công thức sau:
a.
''
2 2
sin n t (2n 1)(2 )sinn n t(2n1) sin n t
b.
''
2 2 2
sin n t (2n2)(2n1)sin nt(2n 2) sin n t 2.20 Tìm hàm gốc
a.
2 2
3 3
( 1)
( )
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
t
s s t
x t e t
s
s s s s
b. e3t cos 2t c 2e2t3 cos 4t sin 4t d. 4e4t1t e. cos2ttsin2t
f. sin 2 cos
2
t
e t t t t
2.21 Tìm hàm gốc
a. 2et 2 cost sint b.
3 3 3
1 1 1
3( 1)
( 1) 3( 1)
s s
s s s s s s s
3
1 ( / 2) /
3( 1) 1 3
3
2
s s
s
s
2
2
1 3
( ) cos sin
2 3 3
t t
t t
x t e e t e t
c. 4 cos sin
5
t t
e t t e d
2
1
4
3
t t t
e e t
e. sin sin
t
e t t f. sinh cosh
2a at at at 2.22 Tìm hàm gốc
a.
2
3 cos sin
2 t t
e t t
b 1 3 ( ) ( 2)
6
t t h t e ht
c. h(t1 / 3)h(t1 / 3)cos(t1 / 3) d 2 t
(11)e.
3
1
t
e t
p
f
3 4( 4)
4 ( 3)
( 3)
t
t e
t h p
2.24 a
2
( ) 12
t t e
x t b x t( )t e3 t
c x t( ) 2 sintcos2t d ( ) 4cos 4sin 1cos2
5 5
x t t t t
2.25 a x t( ) cosat 2sinat f t( ) *sinat
a a
b x t( ) C1coshat C2 sinhat g t( ) *sinhat
a a
2.26 x t( ) sint t
2.27 a
2
1
( ) sin cos
2 2
1
( ) sin cos
2 2
t t
x t t e t t
y t e t t
b.
2
2
1 1
( ) sin cos
9 45
1 1
( )
9
t t t
t t t
x t e e t t te
y t e e te
c.
2
2
2
( )
3 3
2 1
( ) cos
3 3
t
t t
x t t t e
y t t e te t
2.28 Phương trình ảnh 16 50 2s I E s
L
Hay 16 50 (s sQ q(0)) E 16s 50 2s Q2 E s
L L
a. 4
2
150
( ) 6 cos3t sin3t
( 25)
t t
Q q t e e
s s s
;
4
( ) dq 50 t sin
i t e t
dt
b.
2
150
( 9)( 25)
Q
s s s
25 25
( ) sin 3 cos sin 3 cos
52 52
t
q t t t e t t
75 25
( ) cos 3 sin 17 sin cos
52 52
t dq
i t t t e t t
dt
(12)252
55 2
1
55
2
1 2
55
1 2 2
2
1
110
30 10 2
55
10 20
3 3
(2 55)
t
t t
i e
I I I
I I
I sI I I I i i e
s
I sI I sI I
i i e
s s
2.30 Trở kháng ảnh tương đương Z thỏa mãn:
1
2
1 1
1 Z R Ls
R Cs
2.31 q t( )sin10t2 cos10te10tsin10t 2 cos10t
2.32 Áp dụng công thức (2.36)-(2.38) ta nghiệm: u x t( , )3e4p2t sin2px
2.33 a. 0
3 ( 1)
3, 0;
n
n n
a a b
np
Chuỗi Fourier
1
3 ( 1)
sin
2
n
n
n t n
p p
b. ( 5) (0) (5) x x x
2.34 a
1
4
( ) ( 1) sin
4
n n
n
x t t
n
p p
b
2
16
( ) ( 1) cos
4
n n
n
x t t
n
p p
2.35 a
1
sin (2 1) cos (2 1) /
1 2
( )
2 n 2 n
n t n t
x t
n n
p p
p p
b
1 1
( 1) 1
( ) sin( ) cos ( 1) sin ( 1)
2
n
n n
n n n
x t nt nt nt
n n n
p p
2.36 a
(2 1)
2 ( )
2 (2 1)
i n t
n
e x t
n
p p
b
;
( ) n it
n n
i e
x t
n
p
p
c
2(2 1)
1 ( )
2
n it
n
i e
x t
n
p
2.37 a Biến đổi Z:
0
1
( ) ( )
3
1
n n
n n
z X z x n z
z z
z
,
(13)
2
2
2
2
2
1
( ) ( ) ( )
1 3 1
1
i f
i f n
i nf i f
i f z e
n n
i f
e
X f x n e e X z
e e
p
p
p p
p p
c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
i nf i nf
n n
d d
X f i n x n e nx n e X f
df i df
p p
p
p
2
2
2
3
( )
2 3 1
3
i f i f
i f
i f
i d e e
Y f
df e
e
p p
p
p
p
2.38
1/4 1/4
1
2 2 ( 4)
1 1/4 1/4
( ) ( ) i n f i f i n f i n f
x n X f e p df e p e p df e p df
1/4
0
sin ( 4) /
4 1 4
2 ( 4) /
2 cos ( 4) sinc
2
1
4
n
n n
n n f df
n
p p p
2.39 a.
0
( ) ( ) cos 2 sinc(2 )
T i ft
X f x t e p dt pft dt T Tf
b. I sinlTcosltdl sinlTe di tl l
l l
Đổi biến số sin 2 1 ( ) / 2
0 i ft
t T
fT
f I e df X f t T
f
t T
p
p p
l p p p p
p
F
c Sử dụng kết b với T 1, t 0
0
sin sin
2
u
du d
u
l l p
l
d.
2
( ) ( )
x t dt X f df
2 2
2 2
0
sin 2 sin sin sin
2
2
Tf T u T u u
T df du du du
u u u
f
p p
p p
p
2.40 Áp dụng cơng thức (2.93) tích phân Fourier cho hàm chẵn:
1
2
0 0
2 2(1 cos )
( ) cos ( )cos (1 )cos t
x t t d x u u du t d
t
l l l l l l
p p p
2.41 Áp dụng công thức (2.93) tích phân Fourier cho hàm chẵn:
0
2
cos cos
t u
e l lt d e lu du
p
2
0
1
cos cos
1 u
s
e lu du lt
l
L
(14)254
b. X f( )Tsinc ( )2 Tf 2.43 a.
2
2
0
( ) ( )
1 t
t i f t
T
i ft T i ft T
X f x t e dt e e dt e dt
i Tf p
p p
p
b. 1
2
2
( ) cos(2 ) cos(2 )
1 (2 )
t t
i ft
T T
s T
T
X f e e dt e ft dt ft
Tf
p p p
p
L
c
2
2
2 2 2
0
cos(2 ) cos(2 )
( )
1 i ft
a f
e ft fa
X f dt dt d e
a a
t a t a
p p p l p p
l l
d
1
2 3
0
sin(2 ) (2 )cos(2 )
0
( ) (1 )cos(2 ) 2
4 /
f f f
f
X f t ft dt f
f
p p p
p p
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Đúng Đúng Sai Sai
3.13 a 16
315 b
3 c 2 p d 12 p
e 4 2p (sử dụng / 4 4 / 4 )
3.14 a 3! b Đổi biến số y 2x suy
7
(7) 45
3.15 a. Đổi biến số x y3 suy (1 / 2)
3
p
b.
2 ln
p
3.16 Đổi biến số y lnx ln1 x
3.17
3 3
3
8 (3 / 2) (3 / 2) (3 / 2) (1 / 2) 945
R R R R
M p
3.18 Đổi biến tính tương tự ví dụ 3.7
3.19 ( 2 2)
30 abck
a b c
p
, k số tỷ lệ
3.20
3
8 (1 / ) (3 / )
m
V a
m m
3.21 (2 / ) (3 / )
4 (1 / ) (4 / )
m m
x y z a
m m
3.22 a
180 b 64
15 c.
16
p
(15)3.23 a
315 c. 12
p
c.
2
p
3.22 a. Đặt
1 x y
x
1
0
( ,1 )
p x
dx B p p
x
b Đặt x yp áp dụng a 3.28 a.
4 p
b.
3
p
c.
2
p
3.29 a Áp dụng công thức (1.90)
1 1 ( 1) ( 1) ( 1)
2! !
m m m m m m n n
z mz z z
n
với| | 1z
12
2
1
1 2 2 ( 1) (2 )!
1
2 2! 2 ( !)
1
n
n n
n
n
z z z z
n z
Với s0,
2 2 2
2 0 0
1 1 ( 1) (2 )! ( 1) (2 )!
2 ( !) ( !)
1 1
n n
n n n n
n n
n n
s n s n s
s s
s
2
0 2 2 2
0
( 1) (2 )! ( 1) ( )
(2 )!
2 ( !) ( !)
n
n n n
n
n n
n t t
J t
n
n n
b 1/
2 3
1 1 1 1 1
1
2! 3! ! 3!
s e
s s s s s s s s s
2
2
0
2 2 2 2
2 2
( ) 1 (2 )
(2!) (3!) 2 4
t t t
t t
x t t J t
3.30 J t0( ) *J t0( )sint
3.31 a x J xn n( )C b. n( ) n J x
C x
c. (8x2x J x4) ( ) (40 x316 ) ( )x J x1 C 3.32 a
2
3
8
( ) x ( ) ( )
J x J x J x
x x
b 63xJ1(3x)33x J2 0(3x)C
c xJ x0( )sinxxJ x1( )cosxC 3.34 a 1 b.
3.41
1
1
( ) a
a
y x z x b
3.42 a
1
(2 )
y z ax b
1
( )
y z x c
1
2 ( )
(16)256
c. y =
1 0( )
z x d
1
2
1
1 ( )
2
y x z x e
1
2
1
2
( )
3
yx z x .
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12
Sai Sai Đúng Đúng Đúng Sai Sai Đúng Sai Đúng Sai Sai 4.13 a
1
1
( , , , ) ( )
n
n
X X n X i
i
F x x x F x
b mX( )n EXn m c
2 2
( , )
XX
n m R n m
n m
m s m
d
0 ( , ) XX
n m
C n m
n m
s
4.14 a P X 0 0,X12,X2 1
P X 0 0P X 12X0 0P X 2 1X0 0,X12
0 0 1 2
P X P X X P X X
0, 0,7 0, 0,168
b P X 2 2X0 10,63; P X 01,X2 20, 4.0,630,252
4.15 Điều kiện thứ hai ma trận Markov viết dạng
11 12
21 22
1
1
1
1
m m
m m mm
p p p
p p p
p p p
Paatrong
1 1
a
Do P2aPaa … PnaPn1aa
4.16 a.
0, 47 0,13 0, 40 0, 42 0,14 0, 44 0,26 0,17 0,57 P
b. P X 3 1X1 0P X 2 1X0 00,13;
0 1, 0 0 1, 0
P X X P X X X P X X X
1,
P X X X
0 0 0, 0
P X X P X X X
P X 1X0 0P X 1X0 0,X2 1 P X 2 2X0 0P X 3 1X0 0,X2 2
(17) 2 0 2 0, 47 0,2 0,13 0,2 0, 40 0,1 0,16
P X X P X X
c. Phân bố dừng x y z, , nghiệm hệ phương trình
, , 0;
x y z P x y z x y z x y z
Như x y z, , nghiệm khơng âm hệ phương trình
9
2
1
x y z
x y z
x y z
Hệ phương trình có nghiệm 50 , 21 , 68
139 139 139
x y z
4.17 Đặt p0 P X 0 0
a) P X 0 0,X10,X2 0P X 0 0P X 10,X2 0X00
P X 0 0P X 1 0X0 0 P X2 0X0 0,X10p0(1a)2 b) P X 0 0,X1 0,X2 0P X 0 0,X1 1,X2 0p0a2 (1 a)2 c) P X 5 0X0 016a540a440a320a25a1
4.18 a) P (0,2)(0, 3)(0,2)(0,5)(0,2)0, 0012
b)
0,21 0,26 0,26 0,27 0,20 0,28 0,24 0,28 0,18 0, 30 0,21 0, 31 0,22 0, 32 0,22 0,24 P
, , ,
P X a X c X b X a X b
P X a X b P X c X a P X b X c P X a X b
(0,2)(0,26)(0,5)(0,2)0, 0052
c)
0,2029 0,2912 0,2319 0,2740 0,2028 0,2914 0,2317 0,2740 0,2027 0,2918 0,2313 0,2742 0,2030 0,2916 0,2317 0,2737 P
d) P X 5 a X0 b0,2028
e) P(5) 0,2028 0,2915 0,2316 0,2740 4.19 a) Hệ phương trình
1
1
0, 0;
a b x x
a b y y
x y x y
0 0,
b
ax by x
a b x y
a y
x y
a b
1
(1 )
n b a n a a
(18)258
1
( )n (0)Pn 0,5 0,5 b a (1 a b)n a a
b a b b
a b
P P
1
2 (1 ) ( ) (1 ) ( )
2( )
n n
b a b a b a a b b a
a b
c) Nếu a b lim n n
b a P
b a a b
4.20 Không gian trạng thái E 1, 0,1,2, 3 Theo công thức (5.21) ta có
( 1) ( ) 0,
0
ij
P j i
p P X n j X n i
P i j i
x x
nÕu nÕu
1, ( 1) ( ) ( )
p P X n X n P j ,
1,0 ( 1) ( ) ( 3) ( )
p P X n X n P x P ,
1,1 ( 1) ( ) ( 2) 0,
p P X n X n P x ,
1,2 ( 1) ( ) ( 1) 0,
p P X n X n P x ,
1,3 ( 1) ( ) ( 0) 0,
p P X n X n P x ,
Ma trận xác suất chuyển:
0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, P
4.21 A có 43,3% B có 56,7% thị phần
4.22 a)
3 / / / / / / / / / P
;
3 / / /
(1) / 10 / 10 / 10 / / / 143 / 400 171 / 400 86 / 400 / / /
P
b)
0, 3659 0, 4390 0,1951 0, 3659 0, 4390 0,1951 0, 3659 0, 4390 0,1951 n
P
với n 15
(19)
covY t( t); ( )Y t cov X t( t 1) X t( t); (X t 1) X t( )
cov X t( t 1); (X t 1) cov X t( t); (X t 1)
cov X t( t 1); ( )X t cov X t( t); ( )X t
( ) ( 1) ( 1) ( )
XX XX XX XX
K t K t K t K t
không phụ thuộc t Vậy Y t( ) q trình dừng có hàm tự tương quan KYY( )t 2KXX( )t KXX(t 1) KXX(t1)
4.29
2
0
0 0 0
0
1
E ( ) E sin( ) sin( ) cos( )
2
A
X t A t A t d t
p p
q
w w q q w q
p p
0 0
covX t( t); ( )X t E A sin( (w t t) ) A sin(wt )
2
0
0 0
E cos( ) cos( (2 ) ) cos( )
2
A A
t
w t w t w t
Vậy X t( ) q trình dừng có hàm tự tương quan
2
0
( ) cos( )
X
A
K t w t
2
0 0
0
0 2
0 0
0
0
sin sin cos
1
1 cos
2
T
T T T
A A
d
T T T T
w t w t w t
t
w t t t
w w w
2
0
0
0
1 cos
sin sin
2
A T
T T T
T T
w
w w
w w
Theo định lý 5.11 x t( ) trình dừng thoả mãn điều kiện (5.16) q trình ergodic
4.30 Theo giả thiết R độc lập,
EX t( ) ERcos(lt ) E R E cos(lt ) Mặt khác
2
1
2
2
0
2
E 2 (3 / 2)
2
r
t
r
R e s dr s t e dt s s p
s
;
E cos( lt ) Vậy EX t( )
covX t( t); ( )X t E Rcos( (lt t) ) Rcos(lt ) ER2 E cos( ( ltt) ) cos( lt )
E E cos (2 ) cos E cos
2
t
R l t lt R lt
2
3
2 2 2
2
0
E 2 (2)
r
t
r
R e s dr s te dt s s
s
Vậy X t( ) trình dừng có hàm tự tương quan KX( )t s2coslt 4.31 a EX t( ) EAcos( )pt cos( )Ept A 0
(20)260
Do X(1) có phân bố chuẩn N(0;s2)
b. covX t( t); ( )X t EAcos( (p t t))Acos(pt
E A2 cos( (p t t))cos( )pt s2cos( (p t t))cos( )pt
Hàm tương quan phụ thuộc t q trình X t( ) không dừng theo nghĩa rộng, suy không dừng cấp n2
( )
X t có phân bố chuẩn N(0;s2cos ( ))2 pt ;
( )
X th có phân bố chuẩn N(0;s2cos (2 ptph))
Do q trình X t( ) khơng dừng dừng cấp Vậy X t( ) không dừng theo cấp 4.32 EX t( ) EZ1coslt Z2sinlt cosltE Z1 sinltE Z2 0
Theo giả thiết Z Z1, 2 độc lập đó:
1 2
covZ cos (ltt)Z sin (ltt);Z coslt Z sinlt
2
1
cos (lt t)cosltE Z sin (lt t)sinltE Z coslt
Vậy X t( ) q trình dừng có hàm tự tương quan KX( )t coslt
4.36 Áp dụng cơng thức (5.9) ta có
2
( ) ( )
7 n
in f in f
x
n n
f e p K n e p
P
2
2
1 3
1
7 4 3 4 3 25 24 cos
i f i f
i f i f
e e
f
e e
p p
p p p
4.37 Theo ví dụ 5.1 ta có EX t( ) Ee W eat ( 2at) eatEW e( 2at) 0
Với t 0:
(2 ) (2 ) (2 ) 2
EX t( t) ( )X t ea tt EW e ( a tt ) (W e at) ea tt se at seat
Do KX( )t s2ea t
Theo công thức (5.10) ví dụ 2.39 ta được:
2
2 2
2
2
( ) ( )
4
i f i f
X
f e K d e e d
f
pt pt a t s a
t t s t
a p
P .
4.38 Theo cơng thức (5.10) ví dụ 2.64
2 2
2
1
( ) ( ) sinc
B
i f i f
X
B
K e f df e B f df B
B
pt pt
t t