Cơ học kết cấu (dầm): Xoắn dầm

B hình thaønh do coù söï thay ñoåi phaân boá öùng löïc khi xoaén raøng buoäc, hay coøn goïi xoaén goø eùp, laøm meùo moù khung thaønh moûng, phuï thuoäc vaøo dieän tích reõ quaït ω vaø[r]

CHƯƠNG XOẮN DẦM 1 Xoắn trục tròn

Xoắn tự dầm tiết diện tròn chịu tác động momen xoắn MT, xem xét hình Để dễ xem xét, cắt đoạn dầm ngắn, chiều dài đoạn Δx, mặt cắt dầm tiến hành xem xét ứng suất vành khuyên, cách tâm bán kính r

γ r Mt

x Mt

dx

Mt

γ r

x R φ

dφ

Hình

Dưới tác động momen xoắn MT phân đoạn dầm xoắn biến dạng Có thể thấy γ - biến dạng cắt (shear strain) tính cơng thức:

dx d r x r

x

φ φ

γ =

Δ Δ =

→

Δlim0 , dφ - góc xoắn mặt cắt khảo sát Mặt khác ký hiệu

dx dφ

θ = viết γ =rθ Biết biến dạng εxθ =

½ γ, τxθ = 2Gεxθ Ứng suất cắt xoắn (shear stress) tính từ định luật Hooke

sẽ là:

τ = Grθ (3.1)

Nếu biểu diễn momen xoắn mặt cắt biểu thức Mt = viết M

∫AτrdA t = ∫ Biểu thức momen quán tính độc cực Từ đó:

Ar dA

Gθ

∫Ar dA

2

Mt = GJpθ hay laø t GJ

Góc xoắn mặt cắt tính theo biểu thức =∫L p t

GJ dx M

0

φ Neáu Mt = const ,

đó L

GJ L M

p T

θ

φ = = , GJp mang tên gọi độ cứng chịu xoắn (torsional rigidity) Cơng thức tính ứng suất tiếp tuyến xoắn Gθr viết:

) / (J r

M J

r M

p t p

t =

=

τ (3.2)

Biểu thức nằm mẫu số Jp/r mang tên gọi mô đun chống xoắn (polar section

modulus), ký hiệu Wp Zp Công thức (3.2) thường viết τ =MT /Zp Điều

có thể thấy từ biểu thức này, ứng suất τ khơng phụ thuộc vào tính chất vật liệu, độ lớn phụ thuộc vào bán kính cách tâm Nếu tách thành phần thuộc trục dx.rdφ, dày dr, cách tâm r để xem xét, thấy rõ trạng thái ứng suất trục, hình

Mt x

τ τ

τ

τ τ

τ

τ τ

A B

C D

A B

C D

A C

B D

Hình

A

B τ

C τ

τ D

τ σ1

σ1 σ2

σ2=-τ

=τ

45

Trường hợp này, hình 3, σx = σy = ứng suất xác định theo cách sau:

2

2 ,

2

2 τ

σ σ σ

σ

σ ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − ±

+

= x y x y ,

từ nhận σ1 = τ σ2 = -τ Hình

Momen qn tính mặt cắt trục hình vành khun, đường kính ngồi D, đường kính d tính cơng thức ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− = 44

32 D

d D

Jp π , với trục đặc

32

Momen chống xoắn trục trịn đường kính D: 3

2 ,

16 D

D

Zp =π ≅ , mặt cắt hình

vành khuyên ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ≅

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

−

= 44

4

1 ,

16 D

d D

D d D

Zp π

Ví dụ 1: Trục truyền momen quay MT = 10 kN.m Chọn đường kính trục đủ bền chịu xoắn, biết ứng suất cắt giới hạn [τ] = 60MPa

Từ điều kiện đảm bảo độ lớn mô đun chống xoắn [ ]

167cm

M

Z T

p = τ =

tính: 3

835 , 167

cm

D = = Đường kính trục phải D=3 835 =9,43cm

Ví dụ 2: Trục thép đường kính D = 8cm dùng truyền động cho động điện Xác định cơng suất lớn trục truyền Biết G = 76GPa, [τ] = 145MPa, vòng quay động N = 1200v/ph

Momen quay cho phép tính từ biểu thức :

[ ] ( )

Nm R

J

Tcr p 14580

4

2 / 10

145 2

= ×

=

= τ π , R = D/2 = 4cm

Công momen xoắn tính cho vòng quay W = 2πMT Công suất tính công momen MT phút là:

P = 2πN.Tcr

Thay N = 1200v/ph, Tcr = 14580Nm nhận được:

P = 1832.103 Nm/s hay laø 1832kW

2 Xoắn dầm mặt cắt bất kỳ: xoắn Saint Venant

Xoắn dầm trụ, mặt cắt hình dạng St Venant1 giải từ năm1855 nhắc lại phần Hãy ký hiệu diện tích mặt cắt dầm A, chiều dài dầm L Dầm ngàm chặt đầu, bị tác động momen xoắn Mt đầu tự Giả thuyết đưa dầm bị xoắn vật cứng chịu xoắn, có nghĩa hình dạng mặt cắt ngang khơng thay đổi sau xoắn Tuy nhiên khác với xoắn trụ tròn, mặt cắt ngang phẳng trước bị xoắn bị vênh (tiếng Anh: warping) sau xoắn Dịch chuyển theo trục Ox điểm mặt phẳng, trừ tiết diện hình trịn, khơng Phương trình chuyển vị hiểu sau, hình

z y O P d w d v θdx P ' Q Hình ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = − = = y dx dw z dx d z y u u v ) , ( θ

θ (a)

cịn đạo hàm chúng có dạng:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ y x w z x θ θ v (b) Từ quan hệ biến dạng-chuyển vị thấy rằng:

0 ; v ; = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = z w y x u z y

x ε ε

ε (c)

Từ giả thuyết mặt cắt xoay song khơng thay đổi hình dạng cho phép viết:

0 v = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = z y w yz

γ (d)

Trong biến dạng góc γxy, γxz hiểu theo cách sau đây: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = z y u x y u xy θ γ v ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = y z u x z u xz θ γ w

1 (e)

Trong mặt cắt thành phần ứng suất suy từ quan hệ ứng suất-biến dạng là: σx = σy = σz = τyz = Chỉ có hai ứng suất khác sau đây:

Từ phương trình cân nêu “Lý thuyết đàn hồi” , với trường hợp σx = viết phương trình:

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ z y xz xy τ τ (g) Bài toán xoắn nhằm xác định hai ứng suất khác 0, liên tục y z, hiểu theo cách St Venant xem xét theo hai đường khác

Bài toán sử dụng hàm ứng suất phân tích ứng suất, biến dạng Bài tốn thứ hai nêu mối quan hệ hàm vênh, miêu tả chuyển vị dọc trục Ox điểm vật chất mặt cắt ngang dầm với đại lượng liên quan ứng suất, biến dạng dầm

2.1 Sử dụng hàm ứng suất ψ(y,z)

Hàm ứng suất ψ(y,z) hiểu theo nghĩa sau:τxy ≡ (∂ψ/∂z); τzx ≡ (-∂ψ/∂y) Hàm Prandtl ψ(y,z) phải thỏa mãn điều kiện ghi (f), hay là:

⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = ∂ ∂ y z u G z z y u G z θ ψ θ ψ (h) vaø ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ θ ψ θ ψ z y u G z z y u G z 2 2 2 (h’)

Cọng hai phương trình cuối nhận được:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ y z u y z u G G z y 2 2 2 θ ψ ψ

Từ ψ ψ Gθ

z

y 2

2 2 − = ∂ ∂ + ∂

∂ ψ θ ,

G

2

2 =−

∇ 22 22

z y ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇

Phương trình có tên gọi phương trình Poisson Trong biểu thức (-2Gθ), θ góc xoắn đơn vị (unit angle of twist), G- mođun đàn hồi xoắn

σ = N A

M y I

M z I

B I z

z y y

+ + + ω

ω (j)

Ba thành phần đầu vế phải mang ý nghĩa ứng suất cho dầm đặc, riêng thành phần cuối vế phải có ý nghĩa khác Đại lượng B, có tên gọi momen ngẫu lực Thuật ngữ chuyên ngành gọi tên bi-momen (lưỡng momen), ký hiệu chữ B, ký tự mở đầu tên gọi Thứ nguyên bi-momen L2F, ví dụ cm2kG hệ kỹ thuật, N m2 hệ thống SI Khác với thành phần nội lực khác mà quen từ phương trình cân cắt đoạn dầm dx để xem xét, momen B không tham gia vào thành phần lực hệ thống Momen B xem xét ngồi khn khổ lý thuyết “strip theory” B hình thành có thay đổi phân bố ứng lực xoắn ràng buộc, hay cịn gọi xoắn gị ép, làm méo mó khung thành mỏng, phụ thuộc vào diện tích rẽ quạt ω momen quán tính rẽ quạt Iωcủa mặt cắt

xét Momen B tự cân mặt cắt Góc xoắn đơn vị α phụ thuộc khơng momen xoắn mà cịn vào momen B

Với ví dụ cụ thể áp dụng cho dầm thép hình, mặt cắt chữ I, chịu tác động bốn lực P thể hình, momen B tính sau: Hình 16

B = P

i=

∑

iωi (k)

hoặc dạng khai triển công thức cuối: B = 4P.b h

4 = P.b.h (l)

Thứ nguyên momen, giải thích (Lực x độ dài) x độ dài

Nếu áp dụng công thức tính B vào việc xét góc xoắn đơn vị cho dầm chữ I vừa nêu, dài l, tính sau

Tại x = 0: d dx

α = - Pbh

EIω (m)

trong α = C1sinh kx + C2cosh kx, xác định C2 = vaø C1 = -α

ω

EI

Pbh , từ đó: α =

α

ω

EI

Pbh [tanh

klcoshkl -sinhkx] (o)

α = α

ω

EI

Pbh e-kx (p)

Ứng suất cắt xoắn vênh có dạng: τ t =

ω ω

I S B I

S N I

S N

z z z y

y

y * '

*

−

+ (q)