Qua thực tế những năm trực tiếp giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9, tôi nhận thấy việc khai thác bất đẳng thức Côsi trong quá trình giải các bài toán bất đẳng thức và c[r]
(1)A - ĐẶT VẤN ĐỀ
Các tốn bất đẳng thức cực trị hình học thuộc loại tốn khó, làm cho học sinh phổ thông, trung học sở, kể học sinh giỏi lúng túng gặp dạng toán Thực phần quan trọng hình học, kiến thức bất đẳng thức hình học làm phong phú phạm vi ứng dụng Toán học
So với bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học chưa quan tâm nhiều Một nguyên nhân khó giải vấn đề phương pháp tiếp cận phương pháp thông thường hay áp dụng hình học, phương pháp đại số tuý Để giải tốn bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng kiến thức hình học đại số cách thích hợp nhạy bén
Qua thực tế năm trực tiếp giảng dạy tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 9, tơi nhận thấy việc khai thác bất đẳng thức Cơsi q trình giải tốn bất đẳng thức cực trị hình học hướng tiếp cận hiệu quả, không lẽ đối tượng hình học (diện tích, độ dài đoạn thẳng, số đo góc, …) đối tượng để áp dụng BĐT Cơsi tương đồng (đại lượng khơng âm), mà cịn tính đa dạng BĐT Cơsi vận dụng Sự khéo léo, linh hoạt việc khai thác BĐT Côsi yêu cầu học sinh giỏi Tốn Mức độ khó, dễ tốn điều chỉnh tuỳ theo chủ ý người đề Với suy nghĩ đó, tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “ Khai thác bất đẳng thức Cơsi việc tốn nâng cao lớp 9”, mà cụ thể toán bất đẳng thức cực trị hình học Nội dung đề tài tạm chia làm ba phần Phần gồm số tốn điển hình nhận xét tác giả Phần hai vài suy nghĩ trao đổi xung quanh việc khai thác toán gốc đại số toán với mức độ khác hình học, thơng qua ví dụ cụ thể minh hoạ Và phần ba số tập đề xuất
(2)B - NỘI DUNG
Ta bắt đầu việc nhắc lại Bất đẳng thức Côsi:
Cho a1, a2, …, an số khơng âm Ta ln có:
Dấu xảy a1 = a2 = … = an
* Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi : Với số không âm, trung bình cộng khơng nhỏ trung bình nhân Trung bình cộng trung bình nhân số
* Ý nghĩa BĐT Côsi:
+ n số không âm có tổng khơng đổi, tích chúng đạt giá trị lớn số
+ n số dương có tích khơng đổi, tổng chúng đạt giá trị nhỏ số
I Một số tốn điển hình
Bài : (Một kết đẹp thú vị tứ giác nội tiếp)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Hai đường chéo AC và BD cắt I Chứng minh :
+ + + + + +
Chứng minh : (Hình 1)
Dễ thấy D ABI ∽ D DCI (g.g)
= = = (1)
Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có: ( + ) (2)
Dấu (2) xảy =
Từ (1) (2) ( + ) (3)
Hình
Hồn tồn tương tự, ta có: ( + ) (4)
(3) ( + ) (6)
Dấu (4), (5), (6) xảy tương ứng = , = , =
Cộng vế (3),(4), (5), (6) ta điều phải chứng minh Dấu xảy IA = IB = IC = ID ABCD hình chữ nhật
Nhận xét: Trong toán trên, dấu bất đẳng thức cần chứng minh ,
trong hai vế bất đẳng thức dạng tổng hạng tử Chìa khố để giải tốn việc chuyển đổi hạng tử vế trái thành dạng bậc hai tích ( = , …), từ áp dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh hạng tử vế trái
nửa tổng hai hạng tử vế phải Vì vậy, việc linh hoạt biến đổi toán để
áp dụng bất đẳng thức Côsi trường hợp cụ thể cần thiết, địi hỏi người làm tốn tư duy, tìm tịi sáng tạo
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ ba chiều cao AA1, BB1, CC1; ba trung tuyến AA2, BB2, CC2 Giả sử AA2 BB1=P, BB2 CC1=Q, CC2 AA1=R Chứng
minh rằng: + +
Chứng minh:
Áp dụng định lý Menelauyt tam giác AA2C với đường thẳng BRB1, ta có:
=
Suy ra: = (1)
Do AA2 trung tuyến nên BC = 2.A2B,
BB1 AC nên = =
Hình Vậy từ (1) =
Hoàn toàn tương tự, ta có: = , = Từ đó: + + = 2.( + + )
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cơsi, thì: + + =
(4)Bài 3: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax, By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với nhau cắt Ax, By theo thứ tự C, D Xác định vị trí điểm C, D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải: (Hình 3) Ta có: SMCD = MC.MD
Đặt : MA = a, MB = b, = = α Khi MC = , MD =
Nên: SMCD =
Do a, b số nên SMCD nhỏ
2sinαcosα lớn
Hình Theo bất đẳng thức Côsi: 2sinαcosα sin2α + cos2α =
Nên SMCD ab Dấu xảy sinα = cosα α = 450
Như Min SMCD = ab Điểm C, D xác định thứ tự tia Ax, By cho
AC = AM, BD = BM
Nhận xét: Điểm sáng tạo cách giải ta chọn biến tỉ số lượng giác sinα, cosα Giữa sinα, cosα , sin2α + cos2α có liên hệ BĐT Côsi: x2 + y2 2xy. Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC AB, chúng cắt AB AC theo thứ tự D, E. Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
Cách 1 :
Ta thấy SADME lớn lớn
Kẻ BK AC, cắt MD H
SADME = MD.HK, SABC = AC.BK
Suy ra: =
Đặt MB = x, MC = y, ta có: = = , = =
(5)Hình Theo bất dẳng thức Cơsi: x + y (x + y)2 4xy (**)
Từ (*) (**), ta được: Dấu xảy x = y
Như max SADME = SABC, M trung điểm BC
Cách 2: Ký hiệu SABC = S, SDBM = S1, SEMC = S2
Rõ ràng SADME lớn S1 + S2 nhỏ nhỏ
Vì tam giác DBM EMC đồng dạng với tam giác ABC nên: = ( )2, = ( )2
Suy ra: = = Như S1 + S2 S nên SADME S Xảy dấu x =
y
Kết luận: max SADME = SABC, M trung điểm BC
Nhận xét: Ở cách 1, ta xét biểu thức trung gian, tỉ số diện tích hình bình hành ADME diện tích tam giác ABC, bất đẳng thức Cơsi dạng Còn
cách 2, ta xét biểu thức trung gian tỉ số tổng diện tích tam giác DBM, EMC diện tích tam giác ABC, lại áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng Qua cho thấy, toán, với cách khai thác
khác việc vận dụng bất đẳng thức Côsi dạng khác Vấn đề địi hỏi người làm tốn khả vận dụng linh hoạt, hợp lý để đạt mục đích cụ thể
Dưới hai toán, tốn cực trị hình học ta lại vận dụng bất đẳng thức Cơsi khía cạnh khác Với hai số dương x, y có tổng x + y khơng đổi, tích xy đạt giá trị lớn x = y Ngược lại tích xy khơng đổi tổng x + y đạt giá trị nhỏ x = y
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Gọi D trung điểm của AB Điểm E di chuyển cạnh AC Gọi H, K theo thứ tự chân các đường vng góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn hình thang DEKH Khi hình thang trở thành hình gì?
(6)Ta có: 2SDEKH = (DH+EK).HK =(BH+KC).HK
Ta thấy tổng (BH+KC) + HK không đổi (bằng BC = a cho trước) nên tích (BH+KC).HK lớn BH+KC = HK =
Do đó: max S = =
Khi hình thang DEKH có đường cao HK= kẻ AM BC tam giác ABC vng
cân A nên MB = MC = , nên HB = HM =
Hình
Vậy KC = BC - BH - HK = a - - =
Khi DH = HB = , EK = KC = Hình thang DEKH hình chữ nhật, E trung điểm AC
Bài 6: Hai anh em chia tài sản mảnh đất hình tam giác ABC Họ muốn chia mảnh đất thành miếng đất có diện tích bờ rào thẳng ngắn Tính độ dài m bờ rào theo diện tích S góc nhỏ nhất α tam giác.
Lời giải: (Hình 6)
Bờ rào phải cắt cạnh tam giác Giả sử góc đỉnh A nhỏ nhất, BAC = α, độ dài bờ rào IK = m Gọi khoảng cách từ đỉnh A tới hai đầu bờ rào x, y Ta có: IK2 = x2 + y2 - 2xy.cosA (*)
Đặt SABC = S , SAIK = S’ S’ = không đổi
Mặt khác, S’ = xy.sinA, mà S’ A không đổi nên xy không đổi Từ (*) ta thấy:
IK nhỏ x2 + y2 nhỏ
Theo bất đẳng thức Côsi: x2 + y2
2xy (hằng số)
Vậy x2 + y2 nhỏ
x = y
Hình
(7)
Hình 6.1
Kẻ đường cao AH tam giác cân AIK (hình 6.1) Khi đó: IH = AH.tg suy IK = m = 2AH.tg Mặt khác 2S’ = IK.AH = m.AH nên 2.AH = Vậy m = tg m2 = 4S’.tg m =
Thay S’ = m =
Kết luận: Bờ rào có độ dài ngắn m = với α = ( , , )
Nhận xét: Một tình thực tế giải thuyết phục Toán học. Nếu để chia mảnh đất hình tam giác thành mảnh có diện tích đơn giản (chỉ cần bờ rào ba trung tuyến tam giác đủ), mục đích đặt vừa phải chia đơi diện tích, vừa đảm bảo độ dài bờ rào thẳng ngắn Trong cách giải trên, ta sử dụng công thức: IK2 = x2 + y2 - 2xy.cosA
để từ khẳng định tích xy khơng đổi, sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị nhỏ IK
Bài toán thực tế khai thác việc chọn lọc, đề thi chọn học sinh giỏi Toán hay phù hợp với việc kết hợp câu hỏi phụ “ Chứng minh tam giác ABC, với độ dài AB = c, BC = a, AC = b, a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA”.
Hoặc kết luận (**) lời giải cho ta toán “ Chứng minh rằng trong tam giác AIK có diện tích số đo góc A khơng đổi, tam giác cân A có độ dài IK nhỏ nhất”
Dưới ví dụ khác việc khai thác toán gốc tốn khác, tuỳ theo mục đích hỏi đối tượng làm
(8)Lời giải:
Gọi S diện tích D CMN, ta có : S = SOCM + SOCN = (CM + CN).r
Do đó: = (CM + CN) (1) Theo bất đẳng thức Côsi:
(CM + CN) (2)
Mặt khác: CM.CN 2S (3)
Hình Kết hợp (1), (2), (3) suy ra: = (CM + CN)
hay S r S2 2S.r2 S 2r2 Vậy S nhỏ bẳng 2r2 CM = CN
Tam giác CMN cân đỉnh C có CO phân giác nên CO MN
Kết luận: Đường thẳng MN CO O D CMN có diện tích nhỏ
Nhận xét: Có thể diễn đạt kết toán dạng sau: Cho điểm O thuộc tia phân giác góc C, đường thẳng qua O cắt hai cạnh góc C M N Tam giác CMN có diện tích nhỏ CO đường cao tam giác
Cách khác: Cho điểm O thuộc tia phân giác góc C, đường thẳng qua O cắt hai cạnh góc C M N Tam giác CMN có diện tích nhỏ CO trung tuyến tam giác
Ta có kết mạnh cách bỏ điều kiện O thuộc tia phân giác góc C: Cho điểm O nằm góc C, đường thẳng qua O cắt hai cạnh góc C M N Tam giác CMN có diện tích nhỏ CO trung tuyến tam giác Dưói hai cách giải tốn này:
Cách 1 : Xét D CMN nhận CO trung tuyến D CDE có DE qua O OD < OE (như hình vẽ 7.1) Lấy I đoạn OE cho OI = OD
Ta có: D ODM = D OIN (c.g.c) => SODM = SOIN SCMN < SCDE
Cách 2: Qua O kẻ đường thẳng song song với cạnh góc C, tạo thành hình bình hành OHCK (như hình vẽ 7.2)
(9)Theo kết Bài 4, ta có: SOHCK SCMN
SCMN 2SOHCK
Do góc C điểm O cố định nên SOHCK
khơng đổi
Vì minSCMN = 2SOHCK, O trung
điểm MN
Để dựng điểm M, ta cần lấy M cho H trung điểm CM
Hình 7.2
Nhận xét: Qua tốn điển hình tơi lựa chọn trên, số tốn cịn có cách giải khác Tuy nhiên, với việc khai thác linh hoạt hợp lý vai trị bất dẳng thức Cơsi, kết khác hình học, lời giải qua ví dụ ngắn gọn đẹp Đối với người học ( đối tượng HS giỏi Tốn 9), coi gợi ý, định hướng suy nghĩ tìm tịi lời giải cho số tốn cực trị hình học Cịn người dạy (GV), coi ý kiến tham khảo, trao đổi việc khai thác bất đẳng thức Côsi việc đưa tốn cực trị hình học hay tốn giải vấn đề có ý nghĩa thực tiễn sống
II Phát triển tốn hình học từ toán gốc đại số
Để mức độ khai thác bất đẳng thức Cơsi sâu hơn, cao hơn; ta sử dụng tốn gốc Đại số, dạng cụ thể bất đẳng thức Côsi, chứng minh góc độ tổng quát, đưa vào tốn chứng minh bất đẳng thức hình học Muốn giải tốn này, địi hỏi người làm tốn khả phân tích áp dụng khéo léo kết
Tiếp sau vài ví dụ cho ý tưởng
Bài toán gốc: Chứng minh a1, a2, …, an số dương, thì
(a1 + a2 + … + an)( + + … + ) n2 Chứng mih: Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có:
(1)
(10)Do vế (1) (2) số dương, nên nhân vế hai bất đẳng thức trên, ta được: (a1 + a2 + … + an)( + + … + ) n2
Dấu xảy a1 = a2 = … = an
Trong nhiều toán, người ta thường sử dụng hai trường hợp riêng sau đây: Với a, b > 0, ta có: (a + b)( + )
2 Với a, b, c > 0, ta có : (a + b + c)( + + )
Sau ví dụ việc sử dụng tốn gốc số tốn cụ thể
Bài 8.1 : Cho D ABC, O điểm tuỳ ý tam giác AO, BO, CO kéo dài cắt các cạnh đối diện thứ tự M, N, P Chứng minh : + +
Lời giải : (Hình 8.1)
Theo định lý Seva, ta có :
+ + = (1)
Áp dụng kết toán gốc với trường hợp riêng thứ 2, ta có :
( + + )( + + ) (2)
Kết hợp (1) (2) suy : + +
+ +
Hình 8.1 + + + + 1+ + +
Dấu xảy = = , mà + + = Nên = = = M trọng tâm D ABC
Bài 8.2 : Cho D ABC nội tiếp đường tròn (O) Ba chiều cao AA’, BB’, CC’ thứ tự cắt (O) A1, B1, C1 Chứng minh + +
Lời giải : Gọi H trực tâm D ABC (hình 8.2) Dễ thấy A’H = A’A1, B’H = B’B1, C’H =
C’C1
Theo tốn gốc, ta có : ( + + ).( + + ) (*)
Xét + + = + + +
(11)
Nên: + + = + = Khi đó, (*) + +
Dấu xảy = = 1+ = 1+ = 1+
= = H trọng tâm D ABC
D ABC tam giác
* Nếu thay đổi giả thiết ba đường cao AA’, BB’, CC’ tốn thành ba đường trrung tuyến kết toán ? Dấu có cịn
khơng ? Ta tiếp tục xét toán sau :
Bài 8.3 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Ba trung tuyến AA’, BB’, CC’ cắt (O) A1, B1, C1 Chứng minh :
+ + (*)
Lời giải : Đặt AB = c, AC = b, BC = a.
Vì tứ giác ABA1C nội tiếp (O), AA1 cắt BC
tại A’ nên: AA’.A’A1 = A’B.A’C =
=> AA’.AA1 = AA’.(AA’ + A’A1)
= AA’2 + AA’.A’A
1 = AA’2 +
Mà AA’ trung tuyến D ABC nên: AA’ = -
Suy ra: AA’.AA1 =
Hình 8.3 Ta có:
= = = - (1)
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: = - (2) = - (3)
Kết hợp (1), (2), (3) :
(*) - ( + + )
+ +
+ + + + +
(12) [ (b2 + c2)+(a2+ c2) + (a2 + b2)].( + + ) (**)
Rõ ràng (**) với toán gốc nêu Do (*)
Dấu (*) xảy a = b = c, tức D ABC Nhận xét:
Về mức độ, toán 8.3 yêu cầu cao so với toán 8.2 Cũng việc vận dụng toán gốc, phát triển sâu hơn, với học sinh phải biết công thức trung tuyến (coi toán phụ): ma2 = -
Cũng học sinh dừng lại chỗ + + Đây nội dung
bất đẳng thức Nesbit (với n =3): + + Bất đẳng thức Nesbit chứng
minh qua kết toán gốc nêu
Dưới tốn nữa, coi “minh hoạ hình học” cho bất đẳng thức Nesbit
Bài 8.4: Cho tam giác ABC Vẽ ba phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi a1, b1, c1 tương ứng khoảng cách từ A’ đến AB, B’ đến BC, C’ đến CA Gọi ha, hb, hc tương ứng ba chiều cao tam giác kẻ từ A, B, C Chứng minh rằng:
+ +
Lời giải:
Kẻ AH BC A’K AB (hình 8.4)
Theo đó, AH = ha, A’K = a1
Trong D ABA’ có : BA’.ha = AB.a1 = c.a1
Suy ra: = (1)
Mặt khác, AA’ phân giác D ABC, nên : = =
BA’ = (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
= (3)
Hình 8.4 Hồn tồn tương tự, ta có:
= (4) = (5)
(13)+ + = + +
III Một số tập đề xuất
Bài 9: M điểm di động đoạn thẳng AB cố định Vẽ hình vng AMCD, BMEF Xác định vị trí M để tổng diện tích hai hình vng đạt giá trị nhỏ
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC coá cạnh tương ứng a, b, c; đường cao AH = h Hãy nội tiếp tam giác hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất, với M thuộc AB, N thuộc AC, P Q thuộc BC
Bài 11: Cho góc nhọn xOy điểm A cố định nằm góc M, N thứ tự hai điểm tia Ox, Oy cho 2.OM = ON Tìm vị trí M, N tia cho 2.AM + AN đạt giá trị nhỏ
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác kẻ IM
BC, IN AC, IK AB Xác định vị trí điểm I cho IM2 + IN2 + IK2 nhỏ Bài 13: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Qua A vẽ hai tia vng
góc với nhau, cắt (O) (O’) thứ tự B, C Xác định vị trí hai tia để diện tích tam giác ABC lớn
Bài 14: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) G trọng tâm tam giác Các trung tuyến xuất phát từ A, B, C cắt (O) A1, B1, C1 Xác định dạng
tam giác ABC để tổng + + lớn
Bài 15: Cho đoạn thẳng AB = a điểm M di động đoạn thẳng Dựng phía AB hai hình vng AMCE BMKQ
a Chứng minh AK, BC, QE đồng quy điểm I
b Xác định M đoạn AB để D AIB có chu vi lớn nhất? Diện tích lớn nhất?
Bài 16: Cho đoạn thẳng AB song song với đường thẳng d M điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa d (M không thuộc đoạn AB) Gọi C, D thứ tự giao điểm tia MA, MB với d Tìm tập hợp điểm M cho tam giác MCD có diện tích nhỏ
Thi HSG Tốn 9- Hà Nội năm 1999
(14)b Có tồn hay khơng hình thang cân có tính chất mà diện tích 27,001 cm2?
Thi HSG - Tiệp Khắc năm 1980
Bài 18: Đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC chia cạnh tam giác thành hai đoạn Gọi x, y, z theo thứ tự độ dài đoạn tiếp tuyến xuất phát từ A, B, C Gọi ra, rb, rc thứ tự bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Gọi S
diện tích tam giác ABC
a Chứng minh: r.ra = yz
b Chứng minh: S =
c Chứng minh: = (x+y+z)( + + )
d Trong tam giác ngoại tiếp (O, r), tam giác có tổng bán kính ba đường trịn bàng tiếp nhỏ ?
Thi HSG bang NewYork (Mỹ) năm 1984
Bài 19 : Một đường tròn tiếp xúc ngồi với nửa đường trịn điểm cung nửa đường trịn Biết tổng đường kính đường trịn bán kính nửa đường trịn Tính tích lớn đạt diện tích hình trịn nửa hình trịn nói
Thi HSG bang NewYork (Mỹ) năm 1989
C - KẾT LUẬN
(15)mong Hội đồng khoa học cấp đồng nghiệp bổ sung thêm ý kiến đóng góp để đề tài hoàn thiện hơn, thực hữu ích yêu Toán học
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Bình Minh, ngày 25 tháng năm 2014 Người viết
Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP XÓM
……… ……… ……… ……… …, ngày tháng năm 2014 Chủ tịch hội đồng
Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP THÔN
(16)