1.1. Giới thiệu về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng.. 5
1.1.1. Giới thiệu về dao động phi tuyến............................................................... 5
1.1.2. Một số phương pháp giải tích gần đúng......................................................8
1.1.2.1. Phương pháp nhiễu..............................................................................8
1.1.2.2. Phương pháp cân bằng điều hòa..........................................................8
1.1.2.3. Phương pháp khai triển tham số..........................................................9
1.1.2.4. Phương pháp năng lượng...................................................................10
1.2. Tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm micro và nano.................11
2.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền định.............23
2.2.1. Trung bình cổ điển....................................................................................25
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Giá trị trung bình có trọng số của một số hàm điều hòa.............................30
Bảng 3.1. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing bậc 7.................................................................................................................................42
Bảng 3.2. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 9 (α1=10, α3=10, α5=10, α7=10 và α9=5).....................................................................................................................42
Bảng 3.3. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 11(α1=5, α3=10, α5=10, α7=10, α9=5 và α11=10).........................................................................................................43
Bảng 3.4. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 13(α1=1, α3=10, α5=10, α7=10, α9=5, α11=10 và α13=20).............................................................................................44
Bảng 3.5. Một vài ứng dụng khác nhau của dao động phi tuyến mở rộng.................45
Bảng 3.6. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi ().............................................................................50
Bảng 3.7. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi ().......................................................................53
Bảng 4.1. So sánh các tỉ số tần số của dầm vĩ mô.....................................................73
Bảng 4.2. So sánh tỉ số tần số của dầm micro với hai đầu tựa bản lề........................75
Bảng 4.3. So sánh tỉ số tần số của dầm micro với hai đầu ngàm...............................76
Bảng 4.4. Tỉ số tần số của dầm micro hai đầu tựa bản lề với S = 40.........................82
Bảng 4.5. Tỉ số tần số của dầm micro hai đầu ngàm với S = 40................................83
Bảng 4.6. Tỉ số tần số của dầm micro hai đầu tựa bản lề với θ = 6..........................85
Bảng 4.7. Tỉ số tần số của dầm micro hai đầu tựa bản lề với θ = 6.........................86
Bảng 4.8. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của MEMS.....................100
Bảng 4.9. Các tần số xấp xỉ của NEMS ..................................................................101
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình 4.18. Mô hình dầm nano đặt giữa hai bản tích điện..........................................89
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Dao động là một hiện tượng hay gặp trong tự nhiên và kỹ thuật. Hiện tượng dao động xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, không chỉ trong vật lý và cơ học, mà còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác như hóa học, sinh học, điện, điện tử và th...
Về cơ bản, dao động có thể chia thành dao động tuyến tính và dao động phi tuyến. Thực tế, hầu hết tất cả các dao động của các hệ kỹ thuật đều là phi tuyến, dao động tuyến tính chỉ là sự lý tưởng hóa một hiện tượng dao động mà ta gặp. Một hiện tượng da...
Với những phân tích ở trên, tác giả đã lựa chọn đề tài “Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số” để làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục tiêu của luận án
Luận án phát triển một kỹ thuật kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động phi tuyến tự do không cản.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu bài toán dao động phi tuyến tự do không cản của một số hệ một bậc tự do như dao động Duffing, dao động Duffing-điều hòa, dao động phi tuyến mở rộng, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ, dao động phi tuyến với sự không liên tục và da...
4. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng phương pháp giải tích kết hợp với phương pháp số để mô phỏng đáp ứng của các bài toán dao động phi tuyến. Phương pháp giải tích được sử dụng trong Luận án tập trung chủ yếu vào phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp với trung b...
5. Bố cục của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Luận án được chia làm 4 Chương, phần Kết luận và kiến nghị, danh mục các công trình đã công bố của tác giả liên quan đến Luận án và các Tài liệu kham khảo. Trong đó, nội dung chính của các Chương như sau:
Chương 1: “Tổng quan”. Chương này trình bày tổng quan về dao động phi tuyến, một số phương pháp giải tích gần đúng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương và các phát triển của phương pháp này, phương pháp trung bình có trọng số và một số ứng dụng, tì...
Chương 2: “Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền định và trung bình có trọng số”. Chương này trình bày những ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định; đồng thời, chương này cũn...
Chương 3: “Dao động phi tuyến của hệ một bậc tự do”. Trong chương này, Luận án áp dụng phương pháp đề xuất trong Chương 2 để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động tự do phi tuyến không cản một bậc tự do, chẳng hạn như:
- Dao động phi tuyến Duffing.
- Dao động phi tuyến Duffing-điều hòa.
- Dao động phi tuyến với thế năng dạng giếng đôi.
- Dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ.
- Dao động phi tuyến với sự không liên tục.
Chương 4: “Dao động phi tuyến của dầm micro và nano”. Chương này tập trung phân tích hai bài toán dao động phi tuyến của hệ liên tục đó là:
- Dao động của dầm micro tựa trên nền đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi.
- Dao động của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện (bài toán dao động phát sinh trong các hệ vi cơ điện tử MEMS/NEMS) theo lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ.
Một số kết luận rút ra từ Luận án và kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo được tóm lược trong Phần Kết luận và kiến nghị.
Danh sách các công trình đã công bố có liên quan đến nội dung Luận án được trình bày trong phần Danh mục công trình liên quan đến luận án.
Các tài liệu trích dẫn trong Luận án được trình bày trong phần Tài liệu tham khảo.
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN
1.1. Giới thiệu về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng
1.1.1. Giới thiệu về dao động phi tuyến
Chúng ta biết rằng dao động phi tuyến là một hiện tượng hay gặp trong nhiều lĩnh vực. Dao động phi tuyến có thể xảy ra trong nhiều hệ thực từ những hệ có kích thước vĩ mô (macro) đến những hệ có kích thước vi mô (micro/nano). Với kích thước vĩ mô, đó ...
Một ví dụ đơn giản nhất về dao động đó là chuyển động của con lắc toán học bao gồm một vật (kích thước rất nhỏ) với khối lượng m được buộc vào đầu một sợi dây với chiều dài L, đầu còn lại của sợi dây được buộc vào điểm cố định (Hình 1.1). Khi đó, phươ...
(1.1)
Trong phương trình (1.1), là góc lệch giữa sợi dây và phương thẳng đứng và g là gia tốc trọng trường. Rõ ràng phương trình (1.1) là phương trình vi phân phi tuyến. Dao động tuyến tính của con lắc toán học là sự lý tưởng hóa của dao động phi tuyến đượ...
1.1.2. Một số phương pháp giải tích gần đúng
1.2. Dao động phi tuyến của dầm micro và nano
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TIỀN ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CÓ TRỌNG SỐ
Với mục đích phân tích đáp ứng của các hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương được Caughey [1] đề xuất dựa trên kỹ thuật tuyến tính hóa tương đương cho các hệ dao động tiền định của Krylov và Bogoliubov...
2.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định
2.2.1. Trung bình cổ điển
Định nghĩa 1: Giá trị trung bình của một hàm tiền định, khả tích trên miền D: (0, d) là một giá trị không đổi được xác định bởi:
CHƯƠNG 4
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA DẦM MICRO
VÀ NANO
Các cấu trúc micro/nano bao gồm dầm micro/nano, thanh micro/nano hay tấm micro/nano được sử dụng như các bộ phận cơ bản của các hệ vi cơ điện tử (Micro-/Nano-electromechanical systems–MEMS/NEMS). Các mô tơ kích thước micro/nano (micro-/nano-motors), c...
Như đã biết, lý thuyết đàn hồi cổ điển không phù hợp để mô tả ứng xử cơ học của các cấu trúc kích cỡ micro/nano. Trong số các lý thuyết đàn hồi được xây dựng để quan sát ứng xử phụ thuộc kích thước của các cấu trúc kích cỡ micro/nano, lý thuyết ứng su...
4.1. Dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi
4.1.1. Lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi
4.1.2. Phương trình chuyển động của dầm micro tựa trên nền đàn hồi
4.1.3. Phân tích dao động tự do
Ta thấy rằng phương trình (4.40) là phương trình Duffing bậc 3, trong phần này ta sẽ sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp với trung bình có trọng số để tìm nghiệm giải tích gần đúng của phương trình này.
Với mục đích phân tích dao động tự do của dầm micro, ta bỏ qua ảnh hưởng của lực phân bố ngang, tức là F = 0. Ta viết gọn lại phương trình (4.40) như sau:
4.1.4. Các kết quả số và thảo luận
4.2. Dao động của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện
Trong phần này, dao động phi tuyến phát sinh trong các hệ vi cơ điện tử (MEMS/NEMS) sẽ được phân tích dựa trên lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ (the nonlocal strain gradient theory) [64]. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có tr...
4.2.1. Lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ
Theo lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ [64], ứng suất được xác định bởi:
(4.62)
4.2.2. Mô hình và phương trình chuyển động
Hình 4.18. Mô hình dầm nano đặt giữa hai bản tích điện
Phương trình chuyển động của dầm nano được xây dựng dựa trên nguyên lý Hamilton. Theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và giả thuyết von-Kármán, thành phần khác không của ten xơ biến dạng được cho bởi:
(4.70)
(4.71)
Thay (4.70) vào (4.71) ta được:
(4.72)
Công ảo của động năng của dầm nano được cho bởi [74]:
(4.74)
trong đó, là diện tích mặt cắt ngang của dầm nano.
(4.75)
trong đó là lực tĩnh điện gây ra bởi dòng điện chạy qua hai bản tích điện tác dụng lên dầm theo phương ngang [78-80]:
Theo nguyên lý Hamilton, năng lượng biến dạng ảo , công ảo của động năng của dầm nano và công ảo của ngoại lực thỏa mãn phương trình sau đây:
4.2.3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương
Phương trình (4.96) là phương trình vi phân thường phi tuyến, việc tìm nghiệm chính xác của phương trình này là rất khó. Ta sẽ sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình này. Trước hế...
trong đó, là biên độ ban đầu không thứ nguyên lớn nhất của dao động. Dạng tuyến tính của phương trình vi phân phi tuyến (4.96) được giới thiệu như sau:
4.2.4. Áp dụng phương pháp biến phân
4.2.5. Các kết quả số và thảo luận
Để kiểm chứng sự chính xác của nghiệm giải tích gần đúng thu được, các kết quả thu được bởi Luận án sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số được so sánh với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge – Kutta và nghiệm gần đún...
Khi và , mô hình nghiên cứu trong Luận án trở thành mô hình đã được nghiên cứu bởi Fu và cộng sự [78], Qian và cộng sự [79] dựa trên lý thuyết đàn hồi cổ điển. Các tần số xấp xỉ thu được bởi các phương pháp giải tích khác nhau và tần số chính xác đượ...
Bảng 4.9 liệt kê các tần số xấp xỉ của dầm nano thu được bởi phương pháp tuyến tính hóa tương đương và phương pháp biến phân với một vài giá trị khác nhau của các tham số của hệ. Ta có thể quan sát thấy một sự nhất quán rất lớn giữa hai tần số xấp x...