Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Ma trận và định thức

Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Ma trận và định thức được biên soạn với các kiến thức khái niệm về ma trận, các phép toán về ma trận; khái niệm về hạng của ma trận và số dạng độc lập tuyến tính; biết cách tìm hạng của ma trận; định thức, các tính chất và cách tính định thức; các bài toán về định thức và ma trận, theo cách tự luận và theo trắc nghiệm.

Bài 2: Ma trận Định thức Bài : MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Mục tiêu Nội dung • Nắm khái niệm ma trận, phép toán ma trận; khái niệm hạng ma trận số dạng độc lập tuyến tính; biết cách tìm hạng ma trận Ma trận, định thức, công cụ quan trọng để nghiên cứu đại số hữu hạn Chúng sử dụng vịệc giải hệ phương trình đại số tuyến tính nghiên cứu ngành khoa học khác Bài gồm nội dung sau : • Ma trận • Hiểu định thức, tính chất cách tính định thức • Giải toán định thức ma trận, theo cách tự luận theo trắc nghiệm • Định thức • Ma trận nghịch đảo • Hạng ma trận nghịch đảo số dạng độc lập tuyến tính Thời lượng Bạn đọc nên để 10 để nghiên cứu LT + làm tập v1.0 17 Bài 2: Ma trận Định thức Bài toán mở đầu: Bài tốn xác định chi phí sản phẩm Xét n ngành kinh tế quốc dân; ngành vừa đóng vai trị ngành sản xuất vừa đóng vai trò ngành tiêu thụ Ký hiệu xi tổng sản phẩm ngành i, xj tổng sản phẩm ngành j Giả sử để sản xuất đơn vị sản phẩm ngành j cần chi phí số lượng xác định j sản phẩm ngành i Để sản xuất xj sản phẩm ngành j cần phải sử dụng j xj sản phẩm ngành i Mô gọi Mơ hình “ Chi phí – sản phẩm” , hệ số j gọi hệ số chi phí, ma trận [aij]n x n gọi ma trận chi phí 2.1 Ma trận 2.1.1 Mở đầu Các ma trận dùng suốt toán học để biểu diễn mối quan hệ phần tử tập hợp số lớn mơ hình Ví dụ, ma trận dùng việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, ánh xạ tuyến tính, vấn đề thực tiễn mạng thông tin hệ thống giao thông vận tải, đồ thị Nhiều thuật tốn phát triển để dùng mơ hình ma trận Định nghĩa 2.1 : Ma trận bảng số hình chữ nhật Một ma trận có m hàng n cột gọi ma trận m × n Ví dụ 1: Ma trận ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ma trận x Bây đưa số thuật ngữ ma trận Các chữ hoa đậm dùng để ký hiệu ma trận Định nghĩa 2.2 : Cho ma trận ⎛ a11 … a1n ⎞ ⎜ ⎟ A=⎜ ⎟ ⎜a ⎟ a mn ⎠ ⎝ m1 Hàng thứ i A ma trận × n [ai 1, 2, …, n] Cột thứ j A ma trận m × ⎡a1j ⎤ ⎢ ⎥ ⎢a j ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣a mj ⎥⎦ Phần tử thứ (i, j) A phần tử j, tức số nằm hàng thứ i cột thứ j A Một ký hiệu ngắn gọn thuận tiện ma trận A viết A = [aij]mxw, ký hiệu cho biết A ma trận có kích thước mxn; phần tử thứ (i, j) aij Ma trận mà cột hàng tương ứng A gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu A′, có kích thước n × m 18 v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức ⎛ a11 … a m1 ⎞ ⎜ ⎟ A' = ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ a mn ⎠ ⎝ 1n Ma trận mà tất phần tử số gọi ma trận không, viết Ma trận có cột gọi vectơ cột, cịn ma trận có hàng gọi vectơ hàng Ma trận có số hàng số cột (m = n) gọi ma trận vuông Lúc người ta nói ma trận có cấp n ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣ a n1 a12 a1n ⎤ a 22 a 2n ⎥⎥ ⎥ ⎥ a n a nn ⎦ Một ma trận vuông gọi ma trận tam giác (dưới) có dạng a ij = 0, ∀i > j ( ∀i < j) Ma trận ⎛ a11 a12 ⎜ a 22 A=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a nn ⎠ Ma trận ⎛ a11 ⎜ a a 22 A = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ a n1 a n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ a nn ⎠ ⎤ ⎡ α1 ⎢ ⎥ α2 ⎢ ⎥ ⎥ Ma trận vng có dạng: A=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ α n⎦ ⎣ gọi ma trận đường chéo Một ma trận chéo gọi ma trận đơn vị E phần tử đường chéo ( αi = 1, ∀i = 1, n ) phần tử lại Hai ma trận gọi chúng có kích thước phần tử tương ứng 2.1.2 Số học ma trận Bây xét phép toán số học ma trận • Phép cộng ma trận o Định nghĩa 2.3: Cho A = [aij] B = [bij] ma trận m × n Tổng A B ký hiệu A + B ma trận m × n có phần tử thứ (i, j) aij + bij Nói cách khác, A + B = [aij + bij] v1.0 19 Bài 2: Ma trận Định thức Tổng hai ma trận có kích thước nhận cách cộng phần tử vị trí tương ứng Các ma trận có kích thước khác khơng thể cộng với nhau, tổng hai ma trận xác định hai ma trận có số hàng số cột Ví dụ 2: Ta có: ⎡1 ⎢2 ⎢ ⎢⎣3 o − ⎤ ⎡3 − 1⎤ ⎡ 4 − ⎤ − 3⎥⎥ + ⎢⎢1 − ⎥⎥ = ⎢⎢3 − − ⎥⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ −1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Tính chất A+B=B+A A+0=0+A Nếu gọi – A = [–aij]mxn cịn có A + (–A) = • Nhân ma trận với số α o Định nghĩa 2.4: Cho A = [aij]m × n , α ∈ \ Khi tích α.A ma trận kích thước m × n xác định α.A = (α.aij)m × n Như muốn nhân ma trận với số ta nhân phần tử ma trận với số Ví dụ 3: ⎛ −6 ⎞ ⎛ 20 −30 ⎞ 5⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 15 ⎠ Tính chất α.(A+B) = α.A+ α.B (α+β) A = α.A+ βA α(β A) = (αβ) A 1.A = A 0.A = (ma trận gồm tồn số 0) • Phép nhân ma trận o Định nghĩa 2.5: Xét hai ma trận A = (aik)m × p; B = (bkj)p × n số cột ma trận A số hàng ma trận B Người ta gọi tích AB ma trận C = (cij)mxn có m hàng, n cột mà phần tử cij tính công thức p cij = ∑ a ik b kj k =1 Như vậy: Ma trận A nhân với ma trận B trường hợp số cột ma trận A số hàng ma trận B 20 v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức Ví dụ 4: Cho ⎡1 ⎢2 A=⎢ ⎢3 ⎢ ⎣0 4⎤ 1 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 2⎦ ⎡2 4⎤ B = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Tìm AB Giải: Vì A ma trận × B ma trận × nên tích AB xác định ma trận × Để có phần tử c11 ta lấy hàng thứ ma trận A nhân với cột thứ ma trận B (theo kiểu tích vơ hướng hai vectơ) ⎡14 ⎤ ⎢8 9⎥ ⎥ C = AB = ⎢ ⎢ 13⎥ ⎢ ⎥ ⎣8 2⎦ o Tính chất A(B+C) = AB + AC (B + C) A = BA + CA A(BC) = (AB)C α (BC) = (αB)C = B(αC) Chú ý: Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn Tức là, A B hai ma trận, khơng thiết AB phải BA, ví dụ đây: ⎡1 A=⎢ ⎣2 Ví dụ 5: Cho 1⎤ 1⎥⎦ ⎡3 ⎤ Giải: Ta tìm AB = ⎢ ⎥ ⎣5 ⎦ ⎡ 1⎤ B=⎢ ⎥ Hỏi AB có BA khơng ? ⎣1 1⎦ ⎡4 ⎤ BA = ⎢ ⎥ ⎣3 ⎦ Vậy AB ≠ BA 2.2 Định thức 2.2.1 Định thức ma trận vuông cấp n Định nghĩa 2.6: Định thức ma trận vng [aij]n × n cấp n định nghĩa sau: Δ= v1.0 a11 a12 a 21 a 22 a1j a1n a j a 2n a i1 a ij a in a n1 a n a nj a nn a i2 21 Bài 2: Ma trận Định thức Nhiều người ta ký hiệu định thức ma trận A det(A) Để dễ hiểu ta định nghĩa sau: A ma trận cấp 1: A = [a11 ] det(A) = a11 = a11, gọi định thức cấp A ma trận cấp hai : a12 ⎞ ⎛a A = ⎜ 11 ⎟ ⎝ a 21 a 22 ⎠ det(A) = det(A) = a11 a12 a 21 a 22 a11 a12 a 21 a 22 số định nghĩa sau: = a11a22 – a12 a21 (2.1) gọi định thức cấp Các số a11 , a12 , a21 , a22 gọi phần tử định thức Ví dụ: = 2.5 − 3.4 = −2 A ma trận cấp ba : ⎛ a11 a12 ⎜ A = ⎜ a 21 a 22 ⎜a ⎝ 31 a 32 a11 a12 det (A) = a 21 a 22 a 31 a 32 a11 a12 det (A) = a 21 a 22 a 31 a 32 a13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ a 33 ⎟⎠ a13 a 23 số định nghĩa sau : a 33 a13 a 23 = a 33 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a32 (2.2) gọi định thức cấp Có thể nhớ cách lập biểu thức Δ theo quy tắc Sarrus 22 o o o o o o o o o o o o o o o o o o số mang dấu (+) theo số mang dấu – theo đường chéo đường chéo phụ v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức Ví dụ: −1 = 2.0.3 + 2.3.4 + 5.(−1).(−1) − 2.0.( −1) − 2.4.( −1) − 5.3.3 = −8 −1 2.2.2 Các tính chất định thức Để dễ hiểu ta xét chứng minh cho định thức cấp ta viết số cho phần tử để đơn giản Tính chất 2.1: Khi ta đổi hàng thành cột, đổi cột thành hàng định thức không đổi Chứng minh: Theo định nghĩa ta có a1 Δ = a2 a3 b1 b2 c1 c2 b3 c3 = a1b c3 + b1c a + c1a b3 − c1b a − b1a c3 − a1c2 b ( 2.2 ) Bây giờ, ta đổi hàng thành cột, đổi cột thành hàng, ta a1 a2 a3 Δ ' = b1 c1 b2 b3 c2 c3 = a1b c3 + b1c a + c1a b3 − c1b a − b1a c3 − a1c2 b ( 2.3) So sánh hai biểu thức (2.2) (2.3), ta thấy Δ = Δ ' Chú thích: Do tính chất 1, từ sau ta phát biểu tính chất cho cột cần phải hiểu hàng Tính chất 2.2: Khi ta đổi vị trí hai cột cho định thức đổi dấu Chứng minh: c1 c2 c3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 = c1b a + b1a c3 + a1c2 b3 − a1b c3 − b1c2 a − c1a b3 a1 b1 c1 c1 b1 a1 ⇒ a2 a3 b2 b3 c2 = − c2 c3 c3 b2 b3 a2 a3 Tính chất 2.3: Một định thức có hai cột giống Chứng minh: Thật vậy, gọi Δ định thức Nếu đổi hai cột giống cho định thức đổi dấu theo tính chất 2.2 Mặt khác, hai cột giống nên đổi chúng cho định thức khơng đổi Vậy Δ = −Δ, 2Δ = ⇒ Δ = v1.0 23 Bài 2: Ma trận Định thức Tính chất 2.4: Thừa số chung phần tử cột đưa ngồi dấu định thức Chẳng hạn: ka1 b1 c1 a1 b1 c1 ka b2 c2 = k a b2 c2 ka b3 c3 b3 c3 a3 Chứng minh: Thật vậy, số hạng chứa phần tử cột 1, k thừa số chung đưa ngồi dấu tổng Tính chất 2.5: a1′ + a1′′ a ′2 + a ′′2 a1′ c = a ′2 c3 a ′3 b1 c1 b2 b3 a ′3 + a ′′3 a1′′ b1 c + a ′′2 b c3 a ′′3 b3 b1 c1 b2 b3 c1 c2 c3 Tính chất 2.6: Nếu cộng phần tử cột với phần tử cột khác nhân với số k định thức không đổi Chẳng hạn a1 + kc1 b1 c1 a1 b1 c1 kc1 b1 c1 a + kc b2 c2 = a b2 c + kc b2 c2 a + kc3 b3 c3 b3 c3 b3 c3 a3 kc3 a1 b1 c1 c1 b1 c1 a1 b1 c1 = a2 a3 b2 b3 c2 + k c2 c3 c3 b2 b3 c2 = a c3 a b2 b3 c2 c3 ⎛ c1 ⎜ ⎜ c ⎜ c ⎝ b1 b2 b3 ⎞ c = theo tính chất 2.3 ⎟⎟ ⎟ c3 ⎠ c1 Tính chất 2.7: A, B ma trận cấp Khi ⏐A⏐.⏐B⏐=⏐AB⏐ 2.2.3 Khai triển định thức theo phần tử cột (hay hàng) Định thức Phần phụ đại số Biểu thức (2.2) định nghĩa định thức cấp ba Δ xếp lại Δ = a1 ( b c3 − b3c ) − a ( b1c3 − b3c1 ) + a ( b1c − b c1 ) Hay 24 a1 b1 c1 Δ = a2 b2 c = a1 a3 b3 c3 b2 c2 b3 c3 − a2 b1 c1 b3 c3 + a3 b1 c1 b2 c2 (2.4) v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức Ta gọi định thức ứng với phần tử định thức cấp ba Δ định thức cấp hai suy từ Δ cách bỏ hàng cột chứa phần tử Ta ký hiệu định thức ứng với phần tử a1 , a , a D1 , D , D3 Khi Δ = a1D1 − a D + a D3 (2.5) Có thể viết lại (2.5) sau Δ = a1 ( −1) 1+1 D1 + a ( −1) +1 D2 + a ( −1) 3+1 D3 (2.6) Trong lũy thừa (–1) tổng số hàng cột phần tử a1 , a , a tương ứng Ta ký hiệu A1 = ( −1) 1+1 D1 , A = ( −1) +1 D , A = ( −1) 3+1 D3 gọi chung phần phụ đại số ứng với phần tử a1 , a , a tương ứng Công thức (2.6) trở thành Δ = a A1 + a A + a A ( 2.7 ) Công thức (2.7) gọi công thức khai triển định thức cấp ba Δ theo phần tử cột thứ Tương tự, ta khai triển định thức theo phần tử cột thứ hai, cột thứ ba hay hàng thứ nhất, hàng thứ hai, hàng thứ ba Ta phát biểu tổng quát: Định thức tổng tích phần tử cột (hay hàng) với phần phụ đại số tương ứng với chúng Chú thích: Trong cơng thức (2.7) giả sử a1 = a = Δ = a A Vì vậy, ta áp dụng tính chất 2.6 để đưa định thức cấp ba dạng có hai phần tử hàng hay cột 0, sau áp dụng tính chất trên, ta tính định thức cấp ba nhanh Ví dụ: Tính định thức cấp ba −1 5 C3 + C2 → C3 C2 + C1 →C2 Δ = ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ −1 1 −1 0 = 1( −1) 3+1 = 8 Định thức cấp 4: Định thức a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4 gọi định thức cấp v1.0 25 Bài 2: Ma trận Định thức Ta tính định thức cách khai triển nó, chẳng hạn theo cột thứ Δ = a1 ( −1) 1+1 + a ( −1) b2 b3 b4 3+1 c2 c3 c4 b1 b2 b4 d2 b1 +1 d + a ( −1) b3 d4 b4 c1 c2 c4 c1 c3 c4 d1 b1 +1 d + a ( −1) b d4 b3 d1 d3 d4 c1 c2 c3 d1 d2 d3 Ví dụ: Tính định thức cấp 1 Δ= 1 1 1 1 1 1 1 −1 0 = 0 −1 0 0 −1 ( lấy hàng 2,3,4 trừ hàng 1) −1 1+1 = (−1) 0 −1 0 0 = −1 −1 Định thức cấp n : Khai triển định thức theo phần tử hàng i Ký hiệu Dij định thức ứng với phần tử a ij có Δ cách bỏ hàng i cột j Ký hiệu Aij phần phụ đại số ứng với phần tử a ij A ij = ( −1) Dij i+ j n n Δ = ∑ ( −1) a ijDij = ∑ a ijA ij j=1 i+ j j=1 Định lý 2.1: Gọi d định thức ma trận A ( d = A ) ; i, j hai số tự nhiên, ≤ i, j ≤ n , ta có: ⎧d nÕu i = j a i1A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = ⎨ ⎩0 nÕu i ≠ j ⎧d nÕu i = j a1i A1j + a 2i A j + + a ni A nj = ⎨ ⎩0 nÕu i ≠ j ( 2.8 ) ( 2.9 ) Chứng minh: Ta chứng minh công thức (2.8), công thức (2.9) chứng minh tương tự Với i = j, cơng thức cơng thức khai triển định thức d theo hàng thứ i Với i ≠ j , ta xét định thức 26 v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức a11 a12 a1n a i1 a i2 a in ( hàng i ) d= a i1 a i2 a in ( hàng j) a n1 a n a nn Định thức d nhận từ định thức d cách thay phần tử hàng thứ j phần tử tương ứng hàng thứ i (các hàng khác giữ nguyên) Khai triển định thức d theo dòng thứ j, ta vế trái đẳng thức (2.8) Mặt khác, d = định thức có hai hàng giống Vậy cơng thức (2.8) i ≠ j 2.3 Ma trận nghịch đảo 2.3.1 Định nghĩa 2.7 Một ma trận vuông X cấp với ma trận vuông A gọi ma trận nghịch đảo ma trận A AX = XA = E Từ định nghĩa, ta suy ma trận vng có ma trận nghịch đảo có ma trận nghịch đảo Thật vậy, X Y ma trận nghịch đảo ma trận A ( XA ) Y = EY = Y X ( AY ) = XE = X Vì phép nhân ma trận có tính chất kết hợp nên từ suy X = Y Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo ma trận A A −1 Theo định nghĩa AA −1 = A −1A = E 2.3.2 Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo Xét ma trận vuông cấp n ⎛ a11 a12 ⎜ a a 22 A = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ a n1 a n a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a nn ⎠ ứng với ma trận A ta lập ma trận ⎛ A11 ⎜ A * A = ⎜ 12 ⎜ ⎜ ⎝ A1n A 21 A n1 ⎞ ⎟ A 22 A n ⎟ ⎟ ⎟ A 2n A nn ⎠ Trong Aij phần phụ đại số phần tử a ij định thức A Ma trận A* gọi ma trận phụ hợp ma trận A v1.0 27 Bài 2: Ma trận Định thức Định nghĩa 2.8: Ma trận vuông A gọi ma trận không suy biến d = A ≠ Định lý 2.2: Điều kiện cần đủ để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo d = A ≠ 0, tức ma trận A không suy biến Chứng minh: Cần: Giả sử ma trận A có ma trận nghịch đảo A −1 Theo định nghĩa, ta có: AA −1 = A −1A = E Từ suy A A −1 = AA −1 = E 0 = =1 0 Do d = A ≠ (vì A = A = A −1 = ) Đủ: Giả sử d = A ≠ 0, ta chứng minh ma trận vng A có ma trận nghịch đảo Đặt AA* = ( u ij ) n×n , A*A = ( vij ) n×n , ta có: u ij = a i1A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn vij = a1i A1j + a 2i A j + + a ni A nj ( i, j = 1, 2, n ) Theo định lý khai triển định thức, ta ⎧d nÕu i = j u ij = vij = ⎨ ⎩0 nÕu i ≠ j Như d 0 d = dE AA* = A*A = 0 d Từ suy ⎛1 *⎞ ⎛1 *⎞ ⎜ A ⎟A = A⎜ A ⎟ = E ⎝d ⎠ ⎝d ⎠ Điều chứng tỏ ma trận A có ma trận nghịch đảo A −1 = 28 * A d (2.10) v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức Định lý vừa chứng minh cho ta tiêu chuẩn để nhận biết ma trận vng có ma trận nghịch đảo hay khơng mà cịn cho ta cơng thức để tìm ma trận nghịch đảo (cơng thức (2.10)) Ví dụ 1: Cho ma trận ⎛1 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 −2 ⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ Ma trận khơng có ma trận nghịch đảo A = Ví dụ 2: Tìm nghịch đảo ma trận ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1⎟ ⎜0 2⎟ ⎝ ⎠ Đối với ma trận ta có d = = ≠0 đó, có ma trận nghịch đảo Để tìm ma trận nghịch đảo, trước hết, ta tìm ma trận phụ hợp A* Ta có A11 = 5; A12 = 0, A13 = A 21 = −4, A 22 = 2, A 23 = −1 A 31 = 2, A 32 = −1, A 33 = ⎛ A11 ⎜ A = ⎜ A12 ⎜A ⎝ 13 * A 21 A 22 A 23 A 31 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ A 32 ⎟ = ⎜ −1⎟ A 33 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 ⎟⎠ Ma trận nghịch đảo ma trận cho ⎛ ⎜1 − ⎜ * * ⎜ −1 A = A = A = ⎜ d 5 ⎜ ⎜0 − ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ 1⎟ − 5⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Nhận xét: Cho A B hai ma trận vuông cấp n, A ma trận khơng suy biến Xét phương trình ma trận AX = B YA = B Dễ thấy phương trình có nghiệm tương ứng X = A −1B Y = BA −1 v1.0 (2.11) 29 Bài 2: Ma trận Định thức Ví dụ: Cho hai ma trận ⎛3 2⎞ A=⎜ ⎟ ⎝1 1⎠ ⎛ −1 ⎞ B=⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ Ma trận A ma trận không suy biến ( A = 1) đó, có ma trận nghịch đảo ⎛ −2 ⎞ A −1 = ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ Nghiệm phương trình AX = B YA = B là: ⎛ −2 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −3 X = A −1B = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎝ −1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −6 Y = BA −1 = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ −5 2.3.3 −7 ⎞ ⎟ 13 ⎠ 17 ⎞ ⎟ 16 ⎠ Các tính chất ma trận nghịch đảo • Nếu ma trận A khơng suy biến (A ) −1 −1 = A A −1 = A • Nếu A B ma trận vng cấp khơng suy biến AB có ma trận nghịch đảo là: ( AB ) −1 = B−1A −1 Thật ( AB ) ( B−1A −1 ) = A ( BB−1 ) A −1 = AEA −1 = AA −1 = E ( B−1A −1 ) ( AB) = B−1 ( A −1A ) B = B−1EB = B−1B = E Ma trận nghịch đảo ma trận đơn vị ma trận đơn vị Điều suy từ EA = A Vậy thay A E −1 , ta có: E = EE −1 = E −1 2.4 Hạng ma trận số dạng độc lập tuyến tính Xét ma trận A = ( a ij ) m×n Từ ma trận A lấy k hàng k cột ( k ≤ {m, n} ) phần tử chung k hàng k cột tạo thành ma trận vuông Định thức ứng với ma trận vng gọi định thức cấp k ma trận A Định nghĩa 2.9: Cấp cao định thức khác ma trận A gọi hạng ma trận A, ký hiệu r ( A ) Dễ thấy < r ( A ) ≤ {m, n} 30 v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức Ta gọi biểu thức f = a1x1 + a x + + a n x n ®ó a1 , a , , a n số, x1 , x , , x n biến số dạng tuyến tính Hệ m dạng tuyến tính n biến x1 , x , , x n f1 = a11x1 + a12 x + + a1n x n f = a 21x1 + a 22 x + + a 2n x n f m = a m1x1 + a m2 x + + a mn x n ( 2.12 ) phụ thuộc tuyến tính tìm số c1 , c , , c m không đồng thời cho c1f1 + c f + + c m f m = với x1 , x , , x n (2.13) Nếu khơng tìm số ta nói m dạng tuyến tính f , , f m độc lập tuyến tính Dạng tuyến tính f gọi tổ hợp tuyến tính m dạng tuyến tính f1 , , f m f = α1f1 + α f + + α m f m víi mäi x1 , x , , x n (2.14) α1 , α , , α m số Muốn tính hạng ma trận, người ta dựa vào tính chất sau: • Tính chất 1: Hạng ma trận không thay đổi ta thực phép biến đổi sau: o Đổi cột thành hàng, hàng thành cột o Đổi chỗ hàng (cột) cho o Nhân phần tử hàng (cột) với số khác o o Cộng vào hàng (cột) phần tử tương ứng hàng (cột) khác nhân với số Thêm bớt hàng (cột) tổ hợp tuyến tính hàng (cột) khác Trường hợp riêng thêm bớt hàng (cột) gồm toàn số Các tính chất dễ dàng suy từ tính chất định thức, phép tốn phép tốn đến phép tốn khơng làm thay đổi tính chất khác hay định thức định thức thu sau phép tốn • Tính chất 2: Nếu định thức cấp k ma trận A khác mà định thức cấp k + chứa r ( A ) = k • Ý nghĩa tính chất 1: Cho phép ta biến đổi ma trận để tính định thức dễ tìm hạng ma trận • Ý nghĩa tính chất 2: Nếu tìm định thức D cấp k khác rồi, ta khơng cần tính tất định thức cấp k + ma trận A mà cần tính định thức cấp k + chứa định thức D Nếu định thức ta kết luận r ( A ) = k Nếu có định thức cấp k + khác ta lặp lại cũ v1.0 31 Bài 2: Ma trận Định thức Ví dụ: Tính hạng ma trận A= 10 −1 −2 0 → −1 18 10 → 12 0 −1 18 −2 → 12 0 12 0 −1 0 −1 0 → −2 → −2 3 0 −1 −1 → −2 → −2 Ta có r ( A ) ≤ Xét định thức cấp −1 =0 −2 −1 = 1 Vậy r ( A ) = Bây áp dụng tính chất 2, ta thấy có định thức cấp khác D= = ≠ Ta tính hai định thức cấp chứa 10 18 Δ1 = 10 18 = Δ2 = = 12 Vậy r ( A ) = Xét hệ m dạng tuyến tính (2.12) Gọi ma trận lập từ hệ số hệ dạng là: A= a11 a 21 a12 a 22 a1n a 2n a m1 a m2 a mn Định lý 2.3: Nếu r ( A ) = k tồn k dạng độc lập tuyến tính, cịn dạng khác biểu diễn qua k dạng Chứng minh: Vì r ( A ) = k nên có định thức D cấp k khác Khơng giảm tính tổng qt giả thiết D nằm góc trái phía ma trận 32 v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức Ta chứng minh k dạng độc lập tuyến tính Thật vậy, dạng phụ thuộc tuyến tính phải có dạng biểu diễn qua dạng lại Chẳng hạn, dạng thứ k biểu diễn qua k – dạng đầu f k = α1f1 + α f + + α k −1f k −1 Viết dạng đầy đủ lấy x1 , x , , x n làm thừa số chung vế phải ta có: a k1x1 + a k x + + a kn x n = ( α1a11 + α a 21 + + α k −1a k −1,1 ) x1 + + ( α1a12 + α a 22 + + α k −1a k −1,2 ) x + + ( 2.15) + ( α1a1n + α a 2n + + α k −1a k −1,n ) x n Vì (2.15) với x1 , x , , x n tức đồng thức nên hệ số tương ứng phải a k1 = α1a11 + α a 21 + + α k −1a k −1,1 a k = α1a12 + α a 22 + + α k −1a k −1,2 a kn = α1a1n + α a 2n + + α k −1a k −1,n ( 2.16 ) Hệ thức (2.16) chứng tỏ hàng thứ k ma trận A A ( k ) = ( a k1 , a k , , a kn ) tổ hợp tuyến tính k – hàng A (1) = ( a11 , a12 , , a1n ) , , A( k −1) = ( a k −1,1 , a k −1,2 , , a k −1,n ) Trong trường hợp riêng, hàng thứ k định thức D tổ hợp tuyến tính k – hàng Theo tính chất định thức, ta suy D = vô lý Vậy k dạng phải độc lập tuyến tính Bây giờ, ta phải chứng minh dạng lại f i ( i > k ) biểu diễn theo k dạng đầu, tức chứng minh hàng thứ i ma trận A biểu diễn theo k hàng đầu Xét định thức cấp k + lập từ D thêm vào hàng i ( i ≥ k + 1) cột j a11 Δj = a k1 a1k D a kk a1j a kj a i1 a ik a ij Ta có Δ j = Thật vậy, j ≤ k Δ j có cột giống nhau, đó, Δ j = , cịn j > k Δ j định thức cấp k + mà r ( A ) = k nên Δ j = Khai triển Δ j theo cột cuối cùng, ta được: Δ j = a1jA1j + a jA j + + a kjA kj + a ijA ij = v1.0 33 Bài 2: Ma trận Định thức Vì A ij = D ≠ nên sau chia cho D ta có: a ij = − Đặt c1 = − A1j D , c2 = − A2 j D A1j D a1j − , , c k = − A kj D A2 j D a j − − A kj D a kj Ta có: a ij = c1a1j + c a j + + c k a kj Nghĩa phần tử hàng i cột j ma trận tổ hợp tuyến tính k phần tử cột j Cho j = 1, 2, …, n, ta suy hàng i tổ hợp tuyến tính k hàng đầu Vì i nên ta có điều phải chứng minh 34 v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn học Ma trận Định thức Các bạn cần ghi nhớ vấn đề sau: • Nắm khái niệm ma trận, phép tốn ma trận; • Khái niệm hạng ma trận số dạng độc lập tuyến tính; biết cách tìm hạng ma trận; • Hiểu định thức, tính chất cách tính định thức; • Giải tốn định thức ma trận cách tự luận theo trắc nghiệm v1.0 35 Bài 2: Ma trận Định thức BÀI TẬP Tính định thức cấp 2 a +3 c+3 b+4 d+4 Với điều kiện α, β γ cos α cos β cos α cos β cos α cos γ = cos α cos γ cos β cos γ cos β cos γ Giải biện luận phương trình x x2 a b c x =0 Tính định thức ma trận sau: ⎡1 ⎢1 − x ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣2 ⎤ ⎥⎥ ⎥ ⎥ − x2 ⎦ Cho hai ma trận ⎡0 A=⎢ ⎣3 2⎤ ⎡0 = ; B ⎢2 ⎥⎦ ⎣ 1⎤ ⎥⎦ Tìm (2A) (5B) ⎡ −2 ⎤ Cho A = ⎢⎢ −4 ⎥⎥ f ( x ) = 3x − 2x + H·y tÝnh f ( A ) ⎢⎣ −5 ⎥⎦ Cho hai ma trận ⎡2 A=⎢ ⎣1 9⎤ ⎡1 − 1⎤ ;B = ⎢ ⎥ 4⎦ 1⎥⎦ ⎣0 a) Chứng tỏ A khả nghịch ⎡ −4 ⎤ A-1= ⎢ ⎥ ⎣1 − ⎦ b) Tìm ma trận A-1BA 36 v1.0 Bài 2: Ma trận Định thức Tính hạng ma trận ⎡1 .m − .2 ⎤ A = ⎢⎢ − .m .5⎥⎥ theo tham số m ⎢⎣1 10 − 1⎥⎦ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Xét định thức a Δ = a' b b' c c' , a ' b' c' Δ ' = a " b" c" , a " b" c" Khi a b a " b" c" Δ" = a ' b ' c ' c A Δ = −Δ ' ; B Δ = Δ ' ; C Δ = Δ " ; D Δ > Δ " a b c Cho định thức A = −1 , B= 2, −2 −3 C= −1 Khi A ( A + B ) + C ≠ A + ( B + C ) B ( A + B ) + C = A + ( B + C ) C ( B + A ) + C ≠ ( A + B ) + C D C + ( A + B ) ≠ ( A + B ) + C Cho ma trận ⎡cos ϕ − sin ϕ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ sin ϕ cos ϕ ⎦ Kết sau ⎡cos 2ϕ sin 2ϕ ⎤ A A = ⎢ ⎥ ⎣ sin 2ϕ cos 2ϕ⎦ ⎡cos 2ϕ − sin 2ϕ⎤ B A = ⎢ ⎥ ⎣ sin 2ϕ cos 2ϕ ⎦ ⎡ − cos 2ϕ − sin 2ϕ⎤ C A = ⎢ cos 2ϕ ⎥⎦ ⎣ sin 2ϕ ⎡ cos 2ϕ − sin 2ϕ⎤ D A = ⎢ ⎥ ⎣ − sin 2ϕ cos 2ϕ ⎦ Cho ma trận ⎡1 2⎤ ⎡x z⎤ A=⎢ Tìm ma trận X = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ −1 −1⎦ ⎣y t ⎦ giao hoán với ma trận A, nghĩa AX = XA v1.0 37 Bài 2: Ma trận Định thức 2y ⎤ ⎡x A X = ⎢ ⎥; ⎣ y x + 2y ⎦ ⎡ x −2y ⎤ B X = ⎢ ⎥; ⎣ y x + 2y ⎦ ⎡ x x + 2y ⎤ C X = ⎢ ⎥; ⎣ y −2y ⎦ ⎡ x x + 2y ⎤ D X = ⎢ 2y ⎥⎦ ⎣x Cho ma trận ⎡ −1⎤ A = ⎢⎢ ⎥⎥ Khi đó: ⎢⎣ 1 ⎥⎦ A Ma trận A khơng có ma trận nghịch đảo ⎡ −2 −2 ⎤ 1⎢ B A = ⎢ −6 ⎥⎥ ⎢⎣ −2 ⎥⎦ −1 ⎡ −2 −2 ⎤ C A = ⎢⎢ −6 ⎥⎥ ; ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1 ⎡ −2 −2 ⎤ 1⎢ D A = ⎢ −2 ⎥⎥ ⎢⎣ −6 ⎥⎦ −1 38 v1.0 ... i2 21 Bài 2: Ma trận Định thức Nhiều người ta ký hiệu định thức ma trận A det(A) Để dễ hiểu ta định nghĩa sau: A ma trận cấp 1: A = [a11 ] det(A) = a11 = a11, gọi định thức cấp A ma trận cấp hai... v1.0 27 Bài 2: Ma trận Định thức Định nghĩa 2.8: Ma trận vuông A gọi ma trận không suy biến d = A ≠ Định lý 2 .2: Điều kiện cần đủ để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo d = A ≠ 0, tức ma trận A... ma trận để tính định thức dễ tìm hạng ma trận • Ý nghĩa tính chất 2: Nếu tìm định thức D cấp k khác rồi, ta khơng cần tính tất định thức cấp k + ma trận A mà cần tính định thức cấp k + chứa định